Funkcją liniową \(f:\ \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) nazywamy funkcję określoną wzorem \[f(x)=ax+b,\] gdzie \(a,b\in \mathbb{R}\). Liczba \(a\) jest współczynnikiem kierunkowym, a liczba \(b\) wyrazem wolnym funkcji liniowej. Dziedziną i zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór \(\mathbb{R}\). Wykresem funkcji \(y=ax+b\) jest linia prosta przecinająca oś \(Oy\) w punkcie \((0,b)\) i nachylona do dodatniej półosi \(Ox\) pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\hbox{tg}\,\alpha=a\).

Liczba miejsc zerowych funkcji liniowej \(y=ax+b\) zależy od wartości występujących w jej równaniu współczynników \(a\) i \(b\) w następujący sposób:

• jeżeli \(a\neq 0\), to funkcja liniowa posiada jedno miejsce zerowe \[x_0=-{b\over a}\]
• jeżeli \(a=0\) oraz \(b\neq 0\), to funkcja liniowa nie posiada miejsc zerowych,
• jeśli \(b=0\), to wykres funkcji \(y=0\) pokrywa się z osią \(Ox\) i każda liczba rzeczywista jest jej miejscem zerowym.

Monotoniczność funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\) zależy od wartości jej współczynnika kierunkowego \(a\), tzn.:

• funkcja \(f\) jest rosnąca, jeżeli \(a\gt 0\),
• funkcja \(f\) jest malejąca, jeżeli \(a\lt 0\),
• funkcja \(f\) jest stała, jeżeli \(a=0\).

Funkcja odwrotna do funkcji liniowej \(y=ax+b\) istnieje tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy \(a\) jest niezerowy. Aby otrzymać wzór funkcji do niej odwrotnej, należy wyznaczyć niewiadomą \(x\) z równania \(y=ax+b\), a następnie zamienić nazwy zmiennych \(x\) i \(y\) miejscami.

Rozwiązując nierówność liniową należy pamiętać, że przy mnożeniu lub dzieleniu jej stronami przez liczbę ujemną trzeba zmienić kierunek nierówności na przeciwny.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi ma postać \[ \left\{\eqalign{a_1 x + b_1y&=c_1\cr a_2 x + b_2 y&=c_2\cr}\right., \quad \hbox{gdzie} \quad a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in\mathbb{R},\] W zależności od liczby rozwiązań układ równań liniowych może być:

• oznaczony, jeżeli posiada dokładnie jedno rozwiązanie,
• nieoznaczony, jeżeli posiada nieskończenie wiele rozwiązań,
• sprzeczny, jeżeli nie posiada rozwiązania.