Funkcją kwadratową nazywamy funkcję \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) określoną wzorem \[f(x)=ax^2+bx+c,\] gdzie \(a,b,c\in \mathbb{R}\) i \(a\neq 0\). Wyrażenie \(ax^2+bx+c\) nazywamy również trójmianem kwadratowym.
Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego \(ax^2+bx+c\) jest liczba \(\Delta\) określona wzorem \[\Delta=b^2-4ac\] Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) zależy od wartości wyróżnika \(\Delta\) w następujący sposób:

• jeżeli \(\Delta\gt 0\), to funkcja \(f\) ma dwa różne miejsca zerowe: \[x_1={-b-\sqrt{\Delta}\over 2a}, \qquad x_2={-b+\sqrt{\Delta}\over 2a},\]
• jeżeli \(\Delta=0\), to funkcja \(f\) ma jedno (dwa równe) miejsca zerowe \[x_0=-{b\over 2a},\]
• jeżeli \(\Delta\lt 0\), to funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych.

Wykresem funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\) \((a\neq 0)\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W(p,q)\), gdzie \[ p=-{b\over 2a}, \qquad q=-{\Delta\over 4a}\] Położenie paraboli \(y=ax^2+bx+c\) \((a\neq 0)\) względem osi \(Ox\) zależy od współczynnika \(a\) i wyróżnika \(\Delta\) w następujący sposób:

• znak współczynnika \(a\) decyduje o kierunku ramion paraboli, tzn. jeśli \(a\gt 0\), to ramiona paraboli skierowane są w górę, a jeśli \(a\lt 0\), to w dół,
• wartość wyróżnika \(\Delta\) decyduje o liczbie punktów wspólnych paraboli z osią \(Ox\) (o liczbie miejsc zerowych funkcji \(y=ax^2+bx+c\)).

Zbiór wartości \(W_f\) funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) zależy od wartości współczynnika \(a\) (\(a\neq 0\)) oraz od drugiej współrzędnej \(q=-\frac{\Delta}{4a}\) wierzchołka \(W(p,q)\) paraboli będącej jej wykresem w następujący sposób:

• jeżeli \(a\gt 0\), to \(W_f=\left< q,\infty\right)\),
• jeżeli \(a\lt 0\), to \(W_f=\left(-\infty, q\right>\).

Funkcja kwadratowa jest monotoniczna tylko przedziałami. Maksymalne przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) zależą od wartości współczynnika \(a\) (\(a\neq 0\)) oraz od pierwszej współrzędnej \(p=-\frac{b}{2a}\) wierzchołka \(W(p,q)\) paraboli będącej jej wykresem w następujący sposób:

• jeżeli \(a\gt 0\), to funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \(\left(-\infty, p\right>\) oraz rosnąca w przedziale \(\left< p,\infty\right)\),
• jeżeli \(a\lt 0\), to funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \(\left< p,\infty\right)\) oraz rosnąca w przedziale \(\left(-\infty, p\right>\).

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\) \((a\neq 0)\) to \[y=a(x-p)^2+q,\] gdzie \(p\) i \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\) \((a\neq 0)\) istnieje tylko wtedy, gdy \(\Delta \geq 0\), tzn. \[\begin{array}{ll}y=a(x-x_1)(x-x_2),&\hbox{gdy} \ \Delta \ge 0 \\ y=a(x-x_0)^2, &\hbox{gdy} \ \Delta = 0\end{array}\]

Rozwiązanie równania kwadratowego \(ax^2+bx+c=0\) \((a\neq 0)\) polega na wyznaczeniu miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\).
Rozwiązanie nierówności kwadratowej postaci: \[ax^2+bx+c\lt 0,\quad ax^2+bx+c\gt 0,\quad ax^2+bx+c\le 0,\quad ax^2+bx+c\ge 0\] wyznaczamy na podstawie położenia paraboli \(y=ax^2+bx+c\) względem osi \(Ox\). Porządkując nierówność kwadratową należy pamiętać, że przy mnożeniu lub dzieleniu jej stronami przez liczbę ujemną trzeba zmienić kierunek nierówności na przeciwny.

Metoda podstawiania

• Równanie postaci \[af^2(x)+bf(x)+c=0,\quad\hbox{gdzie}\quad a\neq 0\] jest równaniem sprowadzalnym do równania kwadratowego za pomocą podstawiania \[t=f(x),\quad\hbox{gdzie}\quad t\in W_f\ \hbox{oraz}\ x\in D_f,\] jeżeli funkcja \(f(x)\) nie jest funkcją stałą. Po wyznaczeniu rozwiązań \(t_1\), \(t_2\) równania kwadratowego z niewiadomą \(t\) odrzucamy te rozwiązania, które nie należą do zbioru \(W_f\). Na koniec wracamy do podstawienia \(f(x)=t\) i wyznaczamy niewiadomą \(x\).
  Metodę podstawiania stosowana jest najczęściej w przypadku równania dwukwadratowego postaci \[ ax^4+bx^2+c=0, \] gdzie \(a\neq 0\), i polega na sprowadzeniu go do równania kwadratowego za pomocą podstawienia \(x^2=t\), gdzie \(t\geq 0\) oraz \(x\in \mathbb{R}\).
• Nierówności postaci: \[af^2(x)+bf(x)+c\lt 0,\quad af^2(x)+bf(x)+c\gt 0,\quad af^2(x)+bf(x)+c\le 0,\quad af^2(x)+bf(x)+c\ge 0\] są nierównościami sprowadzalnymi do nierówności kwadratowych za pomocą podstawiania \[t=f(x),\quad\hbox{gdzie}\quad t\in W_f\ \hbox{oraz}\ x\in D_f,\] jeżeli funkcja \(f(x)\) nie jest funkcją stałą. Po wyznaczeniu zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej z niewiadomą \(t\) bierzemy część wspólną tego zbioru rozwiązań i zbioru \(W_f\). Na koniec wyznaczamy niewiadome \(x\), dla których \(f(x)=t\) należy do wyznaczonej części wspólnej.