Rozpoczynamy od ustalenia dziedziny równania. Ponieważ wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne, więc dziedziną równania jest zbiór \(D=\left<4,\infty\right)\). Korzystając z podanego wyżej twierdzenia, podnosimy obie strony do kwadratu i dostajemy równanie równoważne \[ x-4=4\quad \Longleftrightarrow\quad x=8 \] Ponieważ \(8\in D\), więc jest to rozwiązanie równania.

Wyznaczymy najpierw dziedzinę równania. Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne, więc: \[ D:\quad 2x-x^2\geq 0 \] \[ \quad\qquad x(2-x)\geq 0 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=x(2-x)\) Z rysunku odczytujemy, że dziedziną równania jest \(D=\left<0,2\right>\). Korzystając z własności potęg, podnosimy obie strony równania do kwadratu i dostajemy równanie równoważne: \[ 2x-x^2=1 \] \[ \qquad -x^2+2x-1=0\ /\cdot (-1) \] \[ x^2-2x+1=0 \] \[ (x-1)^2=0 \] \[ x=1 \] Ponieważ \(1\in D\), zatem jest rozwiązaniem równania.

Wyrażenie pod pierwiastkiem nieparzystego stopnia może być dowolnego znaku, więc dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Podnosimy obie strony do potęgi trzeciej i dostajemy równanie równoważne: \[ x^2-3x=8 \] \[ x^2-3x-8=0 \] Ponieważ \(\Delta = 41\) i \(D=\mathbb{R}\), więc rozwiązanie równania to: \[ x={3-\sqrt{41}\over 2} \quad \vee \quad x={3+\sqrt{41}\over 2} \]

Ponieważ prawa strona równania jest ujemna, a lewa – nieujemna, dlatego równanie jest sprzeczne.

Wyrażenie pod pierwiastkiem nieparzystego stopnia może być dowolnego znaku, więc dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Podnosimy obie strony do potęgi trzeciej i dostajemy równanie równoważne: \[ x^2-3x+1=-1 \] \[ x^2-3x+2=0 \] Ponieważ \(\Delta = 1\) i \(D=\mathbb{R}\), więc rozwiązanie równania to \[ x=1 \quad \vee \quad x=2 \]

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne, więc \[ D:\quad x-1\geq 0 \] \[ \quad x\geq 1 \] Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=\left<1,\infty \right)\). Równanie możemy przedstawić w postaci \[ (x-1)(x+1)\sqrt{1-x}=0 \] Ponieważ iloczyn jest równy \(0\) wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy \(0\), to: \[ x-1=0\quad \vee \quad x+1=0 \quad \vee \quad \sqrt{1-x}=0 \] \[ x=1\quad \vee \quad x=-1 \] Po uwzględnieniu dziedziny równania widzimy, że jedynym jego rozwiązaniem jest \(x=1\).

Wyznaczymy najpierw dziedzinę równania. Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne oraz mianownik musi być różny od zera, więc: \[ D:\quad \left\{\eqalign{\frac{x+2}{2x-1}\geq 0 \cr 2x-1\neq 0\cr}\right.\]Ponieważ znak ilorazu jest taki sam, jak znak iloczynu, to powyższy warunek możemy przedstawić w postaci \[(x+2)(2x-1)\geq 0 \quad \wedge \quad x\neq \frac{1}{2} \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(x+2)(2x-1)\). Z rysunku odczytujemy, że dziedziną równania jest \(D=\left(-\infty,-2\right>\cup\left(\frac{1}{2},\infty\right)\). Ponieważ obie strony równania są nieujemne, to podnosimy je do kwadratu i dostajemy równanie równoważne: \[ \frac{x+2}{2x-1}=4 \]\[\frac{x+2}{2x-1}-4=0\]\[\frac{x+2}{2x-1}-\frac{4(2x-1)}{2x-1)}=0\]\[\frac{x+2-8x+4}{2x-1}=0\]\[\frac{-7x+6}{2x-1}=0\] \[-7x+6=0\]\[x=\frac{6}{7}\] Ponieważ \(\frac{6}{7}\in D\), zatem jest rozwiązaniem równania.

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne, czyli \[D:\quad 5-x\geq 0\] \[\qquad\qquad\quad\ -x\geq -5 \ /:(-1)\] \[\qquad x\leq 5\] Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=\left(-\infty,5 \right>\). Zauważmy, że lewa strona równania jest nieujemna. Aby równanie było niesprzeczne, jego prawa strona także musi być nieujemna. Załóżmy więc, że \[3-x\geq 0\] \[x\leq 3\] Przy powyższym założeniu możemy podnieść obie strony do kwadratu \[5-x=(3-x)^2\] \[5-x=9-6x+x^2\] Uporządkujemy równanie \[x^2-5x+4=0\] Ponieważ \(\Delta = 9\), więc \[x=1 \quad \vee \quad x=4\] Wobec założenia \(x\leq 3\) i \(D=\left(-\infty,5 \right>\) jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=1\).

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne, czyli \[D:\quad 8-2x\geq 0\] \[\qquad\qquad\quad -2x\geq -8 \ /:(-1)\] \[\qquad x\leq 4\] Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=\left(-\infty,4 \right>\). Zauważmy, że lewa strona równania jest nieujemna. Aby równanie było niesprzeczne, jego prawa strona także musi być nieujemna. Załóżmy więc, że \[x-2\geq 0\] \[x\geq 2\] Po uwzględnieniu dziedziny równania otrzymujemy warunek \(x\in \left<2,4\right>\). Przy powyższym założeniu możemy podnieść obie strony równania do kwadratu \[8-2x=(x-2)^2\] \[8-2x=x^2-4x+4\] Po uporządkowaniu dostajemy równanie \[x^2-2x-4=0\] Ponieważ\(\Delta = 20\) i \(\sqrt{\Delta} = \sqrt{20}=2\sqrt{5}\), więc \[x={2-2\sqrt{5}\over 2}=1-\sqrt{5} \quad \vee \quad x=1+\sqrt{5}\] Wobec założenia \(x\in \left<2,4\right>\) jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=1+\sqrt{5}\).

Ponieważ wyrażenie po lewej stronie nierówności przyjmuje wartości nieujemne, a wyrażenie po prawej stronie nierówności jest ujemne, więc nierówność jest sprzeczna.

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia powinno być nieujemne, więc dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left<6,\infty\right)\). Lewa strona nierówności jest nieujemna, a prawa – ujemna, więc nierówność jest spełniona dla każdego \(x\in D\), czyli rozwiązaniem jest \(x\in \left<6,\infty\right)\).

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia powinno być nieujemne, więc dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left(-\infty, 3\right>\). Obie strony nierówności są nieujemne, więc podnosimy je do kwadratu i otrzymujemy równoważną nierówność \[ 3-x<25\quad \Longleftrightarrow\quad x>-22 \] Po uwzględnieniu dziedziny nierówności otrzymujemy rozwiązanie \(x\in\left(-22,3\right>\).

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia powinno być nieujemne, więc dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left<-4,\infty\right>\). Obie strony nierówności są nieujemne, więc podnosimy je do kwadratu i otrzymujemy równoważną nierówność \[ x+4\gt 9\quad \Longleftrightarrow\quad x\gt 5 \] Po uwzględnieniu dziedziny nierówności otrzymujemy rozwiązanie \(x\in\left(5,\infty\right)\).

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia powinno być nieujemne, więc dziedziną nierówności jest zbiór: \[\eqalignno{D:\ &x^2-x\geq 0\cr &x(x-1)\geq 0\cr}\] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=x(x-1)\). Z powyższego rysunku odczytujemy, że dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left(-\infty,0\right>\cup\left< 1,\infty\right)\). Obie strony nierówności są nieujemne, więc podnosimy je do kwadratu i otrzymujemy równoważną nierówność: \[ x^2-x\lt 2\] \[ x^2-x-2\lt 0\] \[(x+1)(x-2)\lt 0\] Rysujemy pomocniczą parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(x+1)(x-2)\). Z powyższego rysunku odczytujemy, że \[x\in\left(-1,2\right)\] Po uwzględnieniu dziedziny nierówności otrzymujemy rozwiązanie \(x\in \left(-1,0\right>\cup\left< 1,2\right)\).

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia powinno być nieujemne, a jego mianownik nie może być zerem, zatem \[D:\quad \cases{{x-1\over x+2}\geq 0 \cr x+2\neq 0\cr}\] Ponieważ iloraz \({x-1\over x+2}\) ma taki sam znak jak iloczyn \((x-1)(x+2)\), więc rozwiązujemy nierówność kwadratową \[(x-1)(x+2)\geq 0 \quad \hbox{dla} \quad x\neq -2\] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(x-1)(x+2)\) dla \(x\neq -2\). Z rysunku odczytujemy dziedzinę nierówności \(D=\left(-\infty, -2\right)\cup\left<1, \infty\right)\). Ponieważ obie strony nierówności są nieujemne, więc podnosimy je do kwadratu i otrzymujemy równoważną nierówność \[\qquad\qquad {x-1\over x+2}<4 \quad \hbox{dla}\quad x\in D\] \[{x-1\over x+2}-4<0\] Sprowadzamy do wspólnego mianownika \[{x-1\over x+2}-{4(x+2)\over x+2}<0\] \[{x-1-4x-8\over x+2}<0\] \[{-3x-9\over x+2}<0\] Znak ilorazu \({-3x-9\over x+2}\) jest taki sam jak znak iloczynu\((-3x-9)(x+2)\), więc rozwiązujemy nierówność kwadratową \[(-3x-9)(x+2)<0 \] \[-3(x+3)(x+2)<0 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji\(y=-3(x+3)(x+2)\). Z rysunku odczytujemy, że \(x\in\left(-\infty, -3\right)\cup\left(-2, \infty\right)\). Po uwzględnieniu dziedziny nierówności otrzymujemy rozwiązanie zadania \[ x\in\left(-\infty, -3\right)\cup\left<1, \infty\right)\]

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia powinno być nieujemne, więc dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left<0, \infty\right)\). Aby nierówność nie była sprzeczna, jej prawa strona powinna być nieujemna, czyli \(x\leq 2\). Wtedy obie strony nierówności są nieujemne, więc podnosimy je do kwadratu i otrzymujemy równoważną nierówność \[\qquad\qquad\quad x\leq (2-x)^2\quad \hbox{dla}\quad x\in\left<0,2\right>\] \[x\leq 4-4x+x^2\] \[x^2-5x+4\geq 0\] Rozkładamy trójmian kwadratowy \(x^2-5x+4\) na czynniki \[(x-1)(x-4)\geq 0\] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(x-1)(x-4)\). Z rysunku odczytujemy, że \[x\in \left(-\infty,1\right>\cup\left<4,\infty\right)\] Uwzględniamy warunek \(x\in\left<0,2\right>\) i otrzymujemy rozwiązanie zadania \(x\in \left<0,1\right>\).

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia powinno być nieujemne, więc \[D:\quad x^2+2x-3\geq 0\] \[\qquad\quad (x+3)(x-1)\geq 0\] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(x+3)(x-1)\). Z powyższego rysunku odczytujemy, że dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left(-\infty, -3\right>\cup\left<1, \infty\right)\). Aby nierówność nie była sprzeczna, jej prawa strona powinna być nieujemna, czyli \(x\geq -5\). W dziedzinie nierówności warunek \(x\geq 5\) spełniony jest dla \(x\in \left<-5,-3\right>\cup\left<1,\infty\right)\). Ponieważ dla \(x\in \left<-5,-3\right>\cup\left<1,\infty\right)\) obie strony nierówności są nieujemne, więc podnosimy je do kwadratu i otrzymujemy równoważną nierówność \[x^2+2x-3 < (x+5)^2\] \[x^2+2x-3 < x^2+10x+25\] \[-8x<28\ /:(-8)\] \[x>-{7\over 2}\] Po uwzględnieniu warunku \(x\in \left<-5,-3\right>\cup\left<1,\infty\right)\) otrzymujemy rozwiązanie zadania \(x\in \left(-{7\over 2},-3\right>\cup\left<1, \infty\right)\).

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne, zatem \[D:\quad x^2-5x+4\geq 0\] \[\qquad\quad (x-1)(x-4)\geq 0\] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(x-1)(x-4)\). Z powyższego rysunku odczytujemy, że dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left(-\infty,1\right>\cup\left<4,\infty\right)\). W zależności od znaku wyrażenia\(x\) stojącego po prawej stronie rozwiązywanej nierówności rozważamy osobno przedziały, w których \(x\) jest ujemny albo nieujemny. Uwzględniając dziedzinę nierówności, mamy dwa przypadki:

1. \(x<0\ \wedge \ x\in D \ \Longleftrightarrow \ x\in \left(-\infty,0\right)\) Wtedy prawa strona nierówności jest ujemna, a lewa nieujemna, więc nierówność jest spełniona dla każdego \(x\in \left(-\infty,0\right)\).
2. \(x\geq 0\ \wedge \ x\in D \ \Longleftrightarrow \ x\in \left<0,1\right>\cup\left<4,\infty\right)\) Obie strony nierówności są w tym przypadku nieujemne, więc możemy podnieść je do kwadratu \[x^2-5x+4>x^2\] \[\qquad\quad -5x>-4 \ /:(-5)\] \[x<{4\over 5}\] Skoro \(x\in \left<0,1\right>\cup\left<4,\infty\right)\), to otrzymujemy \(x\in \left<0,{4\over 5}\right)\)
   

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań dla poszczególnych przypadków, czyli \(x\in \left(-\infty,0\right)\cup \left<0,{4\over 5}\right)=\left(-\infty,{4\over 5}\right)\).

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left(-\infty,4\right>\). Rozważmy dwa przypadki, w~zależności od znaku wyrażenia \(x-2\) stojącego po prawej stronie nierówności:

1. \(x-2<0\ \wedge\ x\in D\ \Longleftrightarrow \ x\in \left(-\infty,2\right)\) Wtedy prawa strona nierówności jest ujemna i nierówność jest spełniona dla każdego \(x\in \left(-\infty,2\right)\).
2. \(x-2\geq 0\ \wedge\ x\in D\ \Longleftrightarrow \ x\in \left<2,4\right>\) W tym przypadku obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy podnieść je do kwadratu \[4-x>(x-2)^2\] \[4-x>x^2-4x+4\] \[x^2-3x<0\] \[x(x-3)<0\] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji\(y=x(x-3)\).
   
   Z powyższego rysunku odczytujemy, że \(x\in \left(0,3\right)\). Po uwzględnieniu założenia\(x\in\left<2,4\right>\) dla przypadku II otrzymujemy \(x\in \left<2,3\right)\)
   

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań dla poszczególnych przypadków, czyli \(x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left<2,3\right)=\left(-\infty,3\right)\).