Funkcja logarytmiczna zmiennej dodatniej

Obcięciem (zwężeniem) funkcji \(f:X\longrightarrow Y\) do zbioru \(A\subset X\) \((\emptyset\neq A\neq X)\)
nazywamy funkcję \(f\vert_A: A\longrightarrow Y\) taką, że \[ \bigwedge_{x\in A}\ f\vert_A(x)=f(x) \]

Definicja logarytmu \[ \bigwedge_{a\in \mathbb{R}_+\backslash\{1\}}\quad \log_ax=y\quad \Longleftrightarrow\quad a^y=x \]

Funkcje \(f:D_f \longrightarrow Y\) oraz \(g:D_g\longrightarrow Y\) są równe, jeżeli \[ D_f=D_g\quad\wedge\quad\bigwedge_{x\in D_f}\ f(x)=g(x) \]

Suma logarytmów o tej samej podstawie \[ \log_a x+\log_a y=\log_a(x\cdot y) \]

Funkcję \(f\) nazywamy różnowartościową (iniekcją) w zbiorze \({A\subset D_f}\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1\not= x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)\not= f(x_2)\]

Mówimy, że funkcja \(f\) odwzorowuje zbiór \(X\) na zbiór \(Y\) (jest suriekcją), jeżeli \[\bigwedge_{y\in Y}\quad \bigvee_{x\in X}\quad f(x)=y\] Piszemy wtedy \(f:X \buildrel na \over \longrightarrow Y\), co oznacza, że \(W_f=Y\).

Przesunięcie wykresu funkcji \(\boldsymbol{y=f(x)}\) o wektor \(\boldsymbol{\vec v=[p,q]}\)

Rysunek przedstawiający przesunięcie wykresu funkcji f o wektor v.

Wykresy funkcji \(y=f(x)\) i \(y=f(x-p)+q\)

Symetria osiowa wykresu funkcji \(\boldsymbol{y=f(x)}\) względem osi \(Oy\)

Wykres otrzymany w wyniku symetrii względem osi Oy części wykresu funkcji f znajdującej się po prawej stronie osi Ox.

Wykresy funkcji \(y=f(x)\) i \(y=f(-x)\)

Odbicie symetryczne względem osi \(\boldsymbol{Ox}\) fragmentu wykresu funkcji \(\boldsymbol{y=f(x)}\) dla \(\boldsymbol{y<0}\)

Wykresy funkcji \(y=f(x)\) i \(y=|f(x)|\)

Funkcja logarytmiczna zmiennej dodatniej

Definicja

Niech \(a\) będzie liczbą rzeczywistą taką, że \(a\in(0,1)\cup (1,\infty)\). Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję \(f: \mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}\) określoną wzorem \[ f(x)=\log_a x \]

Kształt wykresu funkcji logarytmicznej zależy od wartości podstawy \(a\) logarytmu.

Rysunek przedstawiający wykres funkcji logarytmicznej, gdy jej podstawa a jest liczbą dodatnią mniejszą niż 1.

Rysunek przedstawiający wykres funkcji logarytmicznej, gdy podstawa a jest większa niż 1.

Wykresy funkcji \(y = \log_a x\)

Dziedziną funkcji logarytmicznej \(y=\log_a x\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}_+\). Zbiorem wartości funkcji jest zbiór \(W_f=\mathbb{R}\). Miejscem zerowym jest \(x_0=1\). Funkcja logarytmiczna jest funkcją różnowartościową. Dla \(a\in(0,1)\) jest to funkcja malejąca, natomiast dla \(a\in (1,\infty)\) jest to funkcja rosnąca. Nie jest to funkcja ograniczona ani z dołu, ani z góry.

Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, jak zmienia się wykres funkcji logarytmicznej \(y=\log_a x\) w zależności od wartości podstawy \(a\).

Ilustracja zmienności wykresu funkcji logarytmicznej

Z definicji logarytmu wynika, że dziedziną naturalną funkcji logarytmicznej \(f(x)=\log_ax,\) gdzie \(a\in(0,1)\cup (1,\infty)\), jest zbiór \[ D_f=\left\{x\in \mathbb{R}:\quad x\gt 0\right\} \]

Zadanie

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\) określonej wzorem:

\(\displaystyle f(x)=\log_3(x-4) \)
Argument funkcji logarytmicznej musi być liczną dodatnią, więc \[ D_f:\quad x-4>0\quad \Longleftrightarrow\quad x>4 \] Zatem dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\left(4,\infty\right)\).
\(\displaystyle f(x)=\log_5x^2 \)
Argument funkcji logarytmicznej musi być liczną dodatnią, więc \[ D_f:\quad x^2>0\quad \Longleftrightarrow\quad x\neq 0 \] Zatem dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}\).
\(\displaystyle f(x)=\log_2\left[(x+2)(x-5)\right]\)
Argument funkcji \(f\) musi spełniać warunek \[ D_f:\quad (x+2)(x-5)>0 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(x+2)(x-5)\).

Z rysunku odczytujemy, że dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \[ D_f=\left(-\infty, -2\right)\cup\left(5,\infty\right) \]
\(\displaystyle f(x)=\log_2(x+2) + \log_2(x-5)\)
Liczby logarytmowane muszą być dodatnie, zatem \[ D_f:\quad\cases{x+2>0\cr x-5>0\cr}\quad \Longleftrightarrow\quad \cases{x>-2\cr x>5\cr} \]

Dziedziną funkcji jest więc zbiór \(D_f=\left(5,\infty\right)\).
\(\displaystyle f(x)=\log_5(\vert x\vert -4)\)
Dziedzinę funkcji wyznaczamy z warunku \[ D_f:\quad \vert x\vert -4>0\quad \Longleftrightarrow\quad \vert x\vert >4 \] Po opuszczeniu wartości bezwzględnej otrzymujemy \(x>4\) lub \(x<-4\). Dlatego dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \[ D_f=\left(-\infty,-4\right)\cup\left(4,\infty\right) \]
\(\displaystyle f(x)=\log_{1\over 4} (3x-x^2)\)
Dziedzinę funkcji wyznaczamy z warunku \[ D_f:\quad 3x-x^2>0\quad \Longleftrightarrow\quad x(3-x)>0 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=x(3-x)\).

Z rysunku odczytujemy, że \(D_f=(0,3)\).
\(\displaystyle f(x)=\log_{2\over 3} (2^x-4)\)
Wyznaczamy dziedzinę funkcji, rozwiązując nierówność wykładniczą \[ D_f:\quad 2^x-4>0 \] \[ \ \ \quad 2^x>2^2 \] \[ \ \ \ x>2 \] Zatem \(D_f=\left(2,\infty\right)\).

Przykład

Sprawdzimy, czy funkcje \[f(x)=\log_4(x-3)+\log_4(x-1)\quad\hbox{oraz}\quad g(x)=\log_4(x-3)(x-1)\] są sobie równe.
Zgodnie z definicją funkcji równych musimy sprawdzić, czy funkcje \(f\) i \(g\) mają równe dziedziny oraz wartości. Wyznaczamy dziedzinę funkcji \(f\), wiedząc, że argument funkcji logarytmicznej musi być dodatni \[ D_f :\quad \cases{x-3>0 \cr x-1>0 \cr}\quad \Longleftrightarrow\quad \cases{x>3 \cr x>1 \cr} \]

Rysunek przedstawiający dziedzinę funkcji f na osi liczbowej.

Zatem \(D_f=\left(3,\infty\right)\). Wyznaczamy teraz dziedzinę funkcji \(g\) \[ D_g :\quad (x-3)(x-1)>0 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(x-3)(x-1)\).

Rysunek przedstawiający dziedzinę funkcji g na osi liczbowej.

Z rysunku odczytujemy \[ D_g=\left(-\infty, 1\right)\cup\left(3,\infty\right) \] Widzimy więc, że \(D_f\neq D_g\), co oznacza, że funkcje \(f\) i \(g\) nie są równe, choć po zastosowaniu wzoru na sumę logarytmów mamy \[f(x)=\log_4(3-x)(x-1)=g(x)\] Z powyższych rozważań wynika, że funkcja \(f\) jest obcięciem funkcji \(g\) do przedziału \(\left(3,\infty\right) \), czyli \[f=g\vert_{\left(3,\infty\right)}\]

Znamy już wykresy podstawowych funkcji logarytmicznych. Wiemy też, jak zmienia się wzór funkcji w zależności od tego, jakiemu przekształceniu uległ jej wykres. Możemy zatem narysować wykresy różnych funkcji logarytmicznych, jak w poniższym zadaniu.

Zadanie

Narysuj wykres funkcji \(f\) określonej wzorem:

\(\displaystyle y=\log_2 (x+1)\)
Zaczynamy od narysowania pomocniczego wykresu funkcji \(y=\log_2 x\). Wykres funkcji \(y=\log_2 (x+1)\) otrzymujemy po przesunięciu wykresu funkcji \(y=\log_2 x\) o wektor \(\overrightarrow{v}=[-1,0]\).
\(\displaystyle y=\log_{1\over 3}(-x)\)
Zaczynamy od narysowania pomocniczego wykresu funkcji \(y=\log_{1\over 3}x \). Wykres funkcji \(y=\log_{1\over 3}(-x)\) otrzymujemy z wykresu funkcji \(y=\log_{1\over 3}x \) przez symetrię osiową względem osi \(Oy\).
\(\displaystyle y=\vert \log_3 x\vert\)
Zaczynamy od narysowania pomocniczego wykresu funkcji \(y=\log_3 x\). Wykres funkcji \(y=\vert \log_3 x\vert\) otrzymujemy po pozostawieniu bez zmian części wykresu funkcji \(y=\log_3 x\), gdy \(y\geq 0\), oraz po symetrycznym odbiciu względem osi \(Ox\), gdy \(y<0\).

Z definicji logarytmu wynika, że funkcja logarytmiczna \(y=\log_ax\) jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej \(y=a^x\). Wykresy funkcji wykładniczej \(y=a^x\) i logarytmicznej \(y=\log_a x\) są więc symetryczne względem prostej \(y=x\), jak na poniższym rysunku.

Rysunek przedstawiający wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej o tej samej podstawie a, gdy podstawa a jest liczbą dodatnią mniejszą niż 1.

Rysunek przedstawiający wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej o tej samej podstawie a, gdy podstawa a jest większa niż 1.

Wykresy funkcji \(y=\log_a x\) i \(y=a^x\)

Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, jak zmienia się wzajemne położenie wykresów funkcji wykładniczej \(a^x\) i funkcji logarytmicznej \(y=\log_a x\) w zależności od wartości podstawy \(a\).

Ilustracja położenia wykresu funkcji wykładniczej i logarytmicznej o tej samej podstawie

W rozdziale poświęconym funkcji odwrotnej mówiliśmy, że funkcja jest odwracalna, jeżeli jest bijekcją, czyli jest jednocześnie iniekcją i suriekcją. Co więcej, stwierdziliśmy także, że złożenie dwóch iniekcji też jest iniekcją. Wykorzystamy tę wiedzę w poniższym zadaniu.

Zadanie

Wyznacz funkcję odwrotną do funkcji \(y=f(x)\), jeżeli:

\(\displaystyle y=\log_2 3x\)
Widzimy, że funkcja \(f(x)=\log_2 3x\) jest odwracalna, ponieważ:
- jest suriekcją \(f:\mathbb{R}_+ \buildrel na \over \longrightarrow \mathbb{R}\),
- jest iniekcją jako złożenie dwóch iniekcji: funkcji logarytmicznej \(y=\log_2 x\) i funkcji liniowej \(y=3x\).
Aby otrzymać wzór funkcji odwrotnej \(f^{-1}: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}_+\), korzystajamy z definicji logarytmu i wyznaczamy niewiadomą \(x\) z równania \(y=\log_2 3x\) \[ 2^y=3x\ \big/:3\] \[{2^y\over 3}=x \] Po zamianie nazw zmiennych otrzymujemy szukaną funkcję odwrotną \[ y={2^x\over 3} \] Na poniższym rysunku widoczne są wykresy obu funkcji.
\(\displaystyle y=\log_{1\over 3} (2x-4)\)
Widzimy, że funkcja \(f(x)=\log_{1\over 3} (2x-4)\) jest odwracalna, ponieważ:
- jest suriekcją \(f: \left( 2,\infty\right) \buildrel na \over \longrightarrow \mathbb{R}\),
- jest iniekcją jako złożenie dwóch iniekcji: funkcji logarytmicznej \(y=\log_{1\over 3} x\) i funkcji liniowej \(y=2x-4\).
Aby otrzymać wzór funkcji odwrotnej \(f^{-1}: \mathbb{R}\longrightarrow \left( 2,\infty\right)\), korzystajamy z definicji logarytmu i wyznaczamy niewiadomą \(x\) z równania \(y=\log_{1\over 3} (2x-4)\) \[ \left({1\over 3}\right)^y=2x-4\ \bigg/+4 \] \[ \left({1\over 3}\right)^y+4=2x\ \bigg/:2 \] \[ {1\over 2}\cdot\left({1\over 3}\right)^y+2=x \] Po zamianie nazw zmiennych otrzymujemy szukaną funkcję odwrotną \[ y={1\over 2}\cdot\left({1\over 3}\right)^x+2 \] Na poniższym rysunku widoczne są wykresy obu funkcji.
\(\displaystyle y=4^{6x}\)
Widzimy, że funkcja \(f(x)=4^{6x}\) jest odwracalna, ponieważ:
- jest suriekcją \(f: \mathbb{R} \buildrel na \over \longrightarrow \mathbb{R}_+\),
- jest iniekcją jako złożenie dwóch iniekcji: funkcji wykładniczej \(y=4^x\) i funkcji liniowej \(y=6x\).
Aby otrzymać wzór funkcji odwrotnej \(f^{-1}: \mathbb{R}_+\longrightarrow \mathbb{R}\), korzystajamy z własności logarytmu i wyznaczamy niewiadomą \(x\) z równania \(y=4^{6x}\) \[ 4^{\log_4 y}=4^{6x} \] \[ \log_4 y=6x\ \big/:6 \] \[ {1\over 6}\log_4 y=x \] Po zamianie nazw zmiennych otrzymujemy szukaną funkcję odwrotną \[ y={1\over 6}\log_4 x \] Na poniższym rysunku widoczne są wykresy obu funkcji.
\(\displaystyle y=5^{3x-1}\)
Widzimy, że funkcja \(f(x)=5^{3x-1}\) jest odwracalna, ponieważ:
- jest suriekcją \(f: \mathbb{R} \buildrel na \over \longrightarrow \mathbb{R}_+\),
- jest iniekcją jako złożenie dwóch iniekcji: funkcji wykładniczej \(y=5^x\) i funkcji liniowej \(y=3x-1\).
Aby otrzymać wzór funkcji odwrotnej \(f^{-1}: \mathbb{R}_+\longrightarrow \mathbb{R}\), korzystajamy z własności logarytmu i wyznaczamy niewiadomą \(x\) z równania \(y=5^{3x-1}\) \[ 5^{\log_5 y}=5^{3x-1} \] \[ \log_5 y=3x-1\ \big/+1 \] \[ 1+\log_5 y=3x\ \big/:3 \] \[ {1\over 3}+{1\over 3}\log_5 y=x \] Po zamianie nazw zmiennych otrzymujemy szukaną funkcję odwrotną \[ y={1\over 3}+{1\over 3}\log_5 x \] Na poniższym rysunku widoczne są wykresy obu funkcji.
\(\displaystyle y=2^{\sqrt{x}}\)
Widzimy, że funkcja \(f(x)=2^{\sqrt{x}}\) jest odwracalna, ponieważ:
- jest suriekcją \(f: \left<0,\infty\right) \buildrel na \over \longrightarrow \left<1,\infty\right)\),
- jest iniekcją jako złożenie dwóch iniekcji: funkcji wykładniczej \(y=2^x\) i funkcji potęgowej \(y=\sqrt x\).
Aby otrzymać wzór funkcji odwrotnej \(f^{-1}: \left<1,\infty\right)\longrightarrow \left<0,\infty\right)\), korzystajamy z własności logarytmu i wyznaczamy niewiadomą \(x\) z równania \(y=2^{\sqrt{x}}\) \[ 2^{\log_2 y}=2^{\sqrt{x}} \] \[ \log_2 y=\sqrt{x} \] Ponieważ obie strony równania są dodatnie, to możemy podnieść je do kwadratu \[ \left(\log_2 y\right)^2=x \] Po zamianie nazw zmiennych otrzymujemy szukaną funkcję odwrotną \[ y=\left(\log_2 x\right)^2 \] Na poniższym rysunku widoczne są wykresy obu funkcji.