Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję \[ f:\ \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{R} \] Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej \(n\) to \(n\)-ty wyraz ciągu oznaczany przez \(a_n\). Ciąg oznaczamy symbolem \(\left(a_n\right)\).

Monotoniczność ciągu \(\left(a_n\right)\) o wyrazach dowolnych badamy za pomocą znaku różnicy dwóch kolejnych wyrazów:

1. \(\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ a_{n+1}-a_n\gt 0\ \Longleftrightarrow\ \) ciąg \(\left(a_n\right)\) jest rosnący
2. \(\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ a_{n+1}-a_n\geq0\ \Longleftrightarrow\ \) ciąg \(\left(a_n\right)\) jest niemalejący
3. \(\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ a_{n+1}-a_n\lt 0\ \Longleftrightarrow\ \) ciąg \(\left(a_n\right)\) jest malejący
4. \(\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ a_{n+1}-a_n\leq0\ \Longleftrightarrow\ \) ciąg \(\left(a_n\right)\) jest nierosnący.

Monotoniczność ciągu \(\left(b_n\right)\) o wyrazach dodatnich badamy za pomocą iorazu dwóch kolejnych wyrazów:

1. \(\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ {b_{n+1}\over b_n}\gt 1\ \Longleftrightarrow\ \) ciąg \(\left(b_n\right)\) jest rosnący
2. \(\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ {b_{n+1}\over b_n}\geq 1\ \Longleftrightarrow\ \) ciąg \(\left(b_n\right)\) jest niemalejący
3. \(\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ {b_{n+1}\over b_n}\lt 1 \ \Longleftrightarrow\ \) ciąg \(\left(b_n\right)\) jest malejący
4. \(\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ {b_{n+1}\over b_n}\leq1\ \Longleftrightarrow\ \) ciąg \(\left(b_n\right)\) jest nierosnący.

Ciąg rosnący lub niemalejący jest ograniczony z dołu, a ciąg malejący lub nierosnący jest ograniczony z góry.

Szczególne rodzaje ciągów to:

1. Ciąg arytmetyczny, czyli ciąg, w którym różnica \((r)\) dwóch kolejnych wyrazów jest wielkością stałą.
   \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(\left(a_n\right)\) opisuje wzór \[ a_n=a_1+(n-1)r \] Monotoniczność ciągu arytmetycznego \(\left(a_n\right)\) zależy od znaku jego różnicy:
   • ciąg \(\left(a_n\right)\) jest rosnący \(\Longleftrightarrow r>0\)
   • ciąg \(\left(a_n\right)\) jest malejący \(\Longleftrightarrow r<0\)
   • ciąg \(\left(a_n\right)\) jest stały \(\Longleftrightarrow r=0\).
   Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(\left(a_n\right)\) wyraża się wzorem \[ S_n=a_1+a_2+\ldots +a_n={a_1+a_n\over 2}\cdot n \]
2. Ciąg geometryczny, czyli ciąg, w którym iloraz \((q)\) dwóch kolejnych wyrazów jest wielkością stałą. \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego \(\left(a_n\right)\) opisuje wzór \[ a_n=a_1\cdot q^{n-1} \] Monotoniczność ciągu geometrycznego \(\left(a_n\right)\) zależy od jego ilorazu i pierwszego wyrazu:
   • ciąg \(\left(a_n\right)\) jest rosnący \(\Longleftrightarrow \left[q>1 \ \wedge\ a_1>0\right]\ \vee\ \left[q\in (0,1)\ \wedge\ a_1\lt 0\right]\)
   • ciąg \(\left(a_n\right)\) jest malejący \(\Longleftrightarrow \left[q>1 \ \wedge\ a_1\lt 0\right]\ \vee\ \left[q\in (0,1) \ \wedge\ a_1\gt 0\right]\)
   • ciąg \(\left(a_n\right)\) jest stały \(\Longleftrightarrow q=1 \ \vee\ a_1=0\)
   • ciąg \(\left(a_n\right)\) nie jest monotoniczny \(\Longleftrightarrow q\le 0 \ \wedge \ a_1 \neq 0 \)
   Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego \(\left(a_n\right)\) wyraża się wzorem \[ S_n=a_1+a_2+\ldots +a_n=a_1\cdot{1-q^n\over 1-q} \quad \hbox{dla}\quad q\neq 1 \] Jeżeli \(q=1\), to ciąg geometryczny jest stały (\(a_n=a_1\)). Wówczas \(S_n=n\cdot a_1\).

Zasada indukcji matematycznej
Niech \(T(n)\) będzie formą zdaniową określoną w zbiorze \(\mathbb{N}\). Jeżeli

1. zdanie \(T(n_0)\) jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej \(n_0\) oraz
2. z założenia, że zdanie \(T(k)\) jest prawdziwe, wynika prawdziwość zdania \(T(k+1)\), gdzie \(k\in \mathbb{N}\) oraz \(k\geq n_0\),

to forma zdaniowa \(T(n)\) jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej \(n\geq n_0\).

Schemat dowodu indukcyjnego:

1. sprawdzamy prawdziwość zdania \(T(n_0)\),
2. zapisujemy założenie indukcyjne \(T(k)\) oraz tezę indukcyjną \(T(k+1)\) i przeprowadzamy dowód \(T(k+1)\), wykorzystując założenie indukcyjne.