Powtórka

Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję $$f:\ \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{R}$$ Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej $n$ to $n$-ty wyraz ciągu oznaczany przez $a_n$. Ciąg oznaczamy symbolem $\left(a_n\right)$.

Monotoniczność ciągu $\left(a_n\right)$ o wyrazach dowolnych badamy za pomocą znaku różnicy dwóch kolejnych wyrazów:

1. $\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ a_{n+1}-a_n\gt 0\ \Longleftrightarrow\ $ ciąg $\left(a_n\right)$ jest rosnący
2. $\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ a_{n+1}-a_n\geq0\ \Longleftrightarrow\ $ ciąg $\left(a_n\right)$ jest niemalejący
3. $\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ a_{n+1}-a_n\lt 0\ \Longleftrightarrow\ $ ciąg $\left(a_n\right)$ jest malejący
4. $\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ a_{n+1}-a_n\leq0\ \Longleftrightarrow\ $ ciąg $\left(a_n\right)$ jest nierosnący.

Monotoniczność ciągu $\left(b_n\right)$ o wyrazach dodatnich badamy za pomocą iorazu dwóch kolejnych wyrazów:

1. $\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ {b_{n+1}\over b_n}\gt 1\ \Longleftrightarrow\ $ ciąg $\left(b_n\right)$ jest rosnący
2. $\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ {b_{n+1}\over b_n}\geq 1\ \Longleftrightarrow\ $ ciąg $\left(b_n\right)$ jest niemalejący
3. $\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ {b_{n+1}\over b_n}\lt 1 \ \Longleftrightarrow\ $ ciąg $\left(b_n\right)$ jest malejący
4. $\bigwedge\limits_{n\in \mathbb{N}}\ {b_{n+1}\over b_n}\leq1\ \Longleftrightarrow\ $ ciąg $\left(b_n\right)$ jest nierosnący.

Ciąg rosnący lub niemalejący jest ograniczony z dołu, a ciąg malejący lub nierosnący jest ograniczony z góry.

Szczególne rodzaje ciągów to:

1. Ciąg arytmetyczny, czyli ciąg, w którym różnica $(r)$ dwóch kolejnych wyrazów jest wielkością stałą.
   $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$ opisuje wzór $$a_n=a_1+(n-1)r$$ Monotoniczność ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$ zależy od znaku jego różnicy:
   • ciąg $\left(a_n\right)$ jest rosnący $\Longleftrightarrow r>0$
   • ciąg $\left(a_n\right)$ jest malejący $\Longleftrightarrow r<0$
   • ciąg $\left(a_n\right)$ jest stały $\Longleftrightarrow r=0$.
   Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$ wyraża się wzorem $$S_n=a_1+a_2+\ldots +a_n={a_1+a_n\over 2}\cdot n$$
2. Ciąg geometryczny, czyli ciąg, w którym iloraz $(q)$ dwóch kolejnych wyrazów jest wielkością stałą. $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ opisuje wzór $$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$ Monotoniczność ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ zależy od jego ilorazu i pierwszego wyrazu:
   • ciąg $\left(a_n\right)$ jest rosnący $\Longleftrightarrow \left[q>1 \ \wedge\ a_1>0\right]\ \vee\ \left[q\in (0,1)\ \wedge\ a_1\lt 0\right]$
   • ciąg $\left(a_n\right)$ jest malejący $\Longleftrightarrow \left[q>1 \ \wedge\ a_1\lt 0\right]\ \vee\ \left[q\in (0,1) \ \wedge\ a_1\gt 0\right]$
   • ciąg $\left(a_n\right)$ jest stały $\Longleftrightarrow q=1 \ \vee\ a_1=0$
   • ciąg $\left(a_n\right)$ nie jest monotoniczny $\Longleftrightarrow q\le 0 \ \wedge \ a_1 \neq 0$
   Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ wyraża się wzorem $$S_n=a_1+a_2+\ldots +a_n=a_1\cdot{1-q^n\over 1-q} \quad \hbox{dla}\quad q\neq 1$$ Jeżeli $q=1$, to ciąg geometryczny jest stały ($a_n=a_1$). Wówczas $S_n=n\cdot a_1$.

Zasada indukcji matematycznej
Niech $T(n)$ będzie formą zdaniową określoną w zbiorze $\mathbb{N}$. Jeżeli

1. zdanie $T(n_0)$ jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej $n_0$ oraz
2. z założenia, że zdanie $T(k)$ jest prawdziwe, wynika prawdziwość zdania $T(k+1)$, gdzie $k\in \mathbb{N}$ oraz $k\geq n_0$,

to forma zdaniowa $T(n)$ jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej $n\geq n_0$.

Schemat dowodu indukcyjnego:

1. sprawdzamy prawdziwość zdania $T(n_0)$,
2. zapisujemy założenie indukcyjne $T(k)$ oraz tezę indukcyjną $T(k+1)$ i przeprowadzamy dowód $T(k+1)$, wykorzystując założenie indukcyjne.