Płaszczyzną \(\mathbb{R}^2\) nazywamy zbiór \[ \mathbb{R}^2=\{(x,y):\quad x,y\in \mathbb{R}\} \]

Każde dwa różne punkty \(A(x_a, y_a)\) oraz \(B(x_b, y_b)\) wyznaczają na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) dwa wektory przeciwne: \[ \overrightarrow{AB}=\left[x_b-x_a,y_b-y_a\right]\quad \hbox{i} \quad \overrightarrow{BA}=\left[x_a-x_b,y_a-y_b\right] \] Punkt \(A\) jest początkiem wektora \(\overrightarrow{AB}\), a punkt \(B\) jego końcem.

Współrzędne środka \(S\) odcinka \(AB\) to: \[x_S=\frac{x_a+x_b}{2}\quad \textrm{oraz}\quad y_S=\frac{y_a+y_b}{2}\]

Wektory \(\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\overrightarrow{v}=\left[v_1,v_2\right]\) są równe, jeżeli \[ u_1=v_1 \quad \wedge \quad u_2=v_2 \]

Działania na wektorach:

• dodawanie wektorów \(\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\overrightarrow{v}=\left[v_1,v_2\right]\) \[ \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left[u_1+v_1,u_2+v_2\right] \]
• mnożenie wektora \(\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\) przez liczbę \(\alpha\in\mathbb{R}\) \[ \alpha\overrightarrow{u}=\left[\alpha u_1,\alpha u_2\right] \]
• odejmowanie wektorów \(\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\overrightarrow{v}=\left[v_1,v_2\right]\) \[ \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left[u_1-v_1,u_2-v_2\right] \]

Długość wektora \(\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\) \[ \vert \overrightarrow{u} \vert=\sqrt{\left(u_1\right)^2+\left(u_2\right)^2} \]

Niezerowe wektory \(\overrightarrow{u}\) i \(\overrightarrow{v}\) są równoległe, jeżeli istnieje niezerowa liczba \(k\) taka, że \[ \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} \]

Iloczynem skalarnym wektorów \(\overrightarrow{u}\) i \(\overrightarrow{v}\) w \(\mathbb{R}^2\) jest liczba rzeczywista \[\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}=\vert\overrightarrow{u}\vert\cdot\vert\overrightarrow{v}\vert\cdot\cos\varphi,\] gdzie \(\varphi\) jest kątem między wektorami \(\overrightarrow{u}\) i \(\overrightarrow{v}\).
Jeżeli \(\overrightarrow{u} = \left[u_1,u_2\right]\) i \(\overrightarrow{v}= \left[v_1,v_2\right]\), to ich iloczyn skalarny wynosi \[\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}=u_1v_1+u_2v_2\] Jeżeli kąt między niezerowymi wektorami \(\overrightarrow{u} \) i \(\overrightarrow{v}\) wynosi \(\varphi \), to: \[ \cos\varphi ={u_1v_1+u_2v_2\over \vert\overrightarrow{u}\vert\cdot\vert\overrightarrow{v}\vert}\quad \textrm{oraz}\quad \sin\varphi ={\vert u_1v_2-u_2v_1\vert \over \vert\overrightarrow{u}\vert\cdot\vert\overrightarrow{v}\vert}\]

Warunek prostopadłości i równoległości wektorów \(\overrightarrow{u} = \left[u_1,u_2\right]\) i \(\overrightarrow{v}= \left[v_1,v_2\right]\): \[ \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u_1v_1+u_2v_2 = 0 \] \[ \overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u_1v_2-u_2v_1 = 0 \] Przy założeniu, że \(v_1\neq 0\) i \(v_2\neq 0\) warunek ten przyjmuje postać: \[ \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}\quad\Longleftrightarrow\quad {u_1\over v_2}=-{u_2\over v_1} \] \[ \overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{v}\quad\Longleftrightarrow\quad {u_1\over v_1}={u_2\over v_2} \]

Postacie równania prostej \(l\) na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\):

1. postać ogólna \[ l:\quad {\czerwony{\boldsymbol A}}x+{\czerwony{\boldsymbol B}}y+C=0,\] gdzie \(A^2+B^2\neq 0\). Wektor \(\overrightarrow{N}=\left[{\czerwony{\boldsymbol A}},{\czerwony{\boldsymbol B}}\right]\) to wektor normalny prostopadły do tej prostej.
2. postać kierunkowa \[l:\quad y=mx+k \] Liczba \(m\) jest współczynnikiem kierunkowym prostej, co więcej \(m=\hbox{tg}\: {\czerwony{\boldsymbol \alpha}}\), gdzie \({\czerwony{\boldsymbol \alpha}}\) oznacza kąt nachylenia prostej \(l\) do dodatniej półosi \(Ox\).
3. postać odcinkowa \[ l:\quad {x\over {\czerwony{\boldsymbol a}}}+{y\over {\czerwony{\boldsymbol b}}}=1,\] gdzie \(a,b\neq 0 \). Punkt \(A({\czerwony{\boldsymbol a}},0)\) jest punktem przecięcia prostej \(l\) z osią \(Ox\), a punkt \(B(0,{\czerwony{\boldsymbol b}})\) jest punktem jej przecięcia z osią \(Oy\).

Warunek równoległości i prostopadłości prostych \(l_1\) i \(l_2\) w \(\mathbb{R}^2\):

1. Jeżeli \( l_1:\ A_1x+B_1y+C_1=0,\quad l_2:\ A_2x+B_2y+C_2=0 \), to \[l_1\parallel l_2 \quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{N_1}\parallel \overrightarrow{N_2}\] \[\ l_1\perp l_2\quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{N_1}\perp \overrightarrow{N_2},\] gdzie \(\overrightarrow{N_1}=[A_1,B_1]\), \(\overrightarrow{N_2}=[A_2,B_2]\) są wektorami normalnymi prostych \(l_1\), \(l_2\).
2. Jeżeli \( l_1:\ y=m_1x+k_1,\quad l_2:\ y=m_2x+k_2 \), to \[\ l_1\parallel l_2 \quad\Longleftrightarrow\quad m_1=m_2 \] \[\quad \quad l_1\perp l_2\quad\Longleftrightarrow\quad m_1\cdot m_2=-1\]

Odległość punktu \(P_0(x_0,y_0)\) od prostej \(l:\ Ax+By+C=0\) na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) wynosi \[ d(P_0,l)={\vert Ax_0+By_0+C\vert\over \sqrt{A^2+B^2}} \] Odległość między prostymi równoległymi \[ l_1:\ Ax+By+C_1=0,\qquad l_2:\ Ax+By+C_2=0 \] w przestrzeni \(\mathbb{R}^2\) wynosi \[ d(l_1,l_2)={\vert C_1-C_2\vert\over \sqrt{A^2+B^2}} \]

Przez dwa różne punkty płaszczyzny \(\mathbb{R}^2\) można poprowadzić tylko jedną prostą:

1. Jeżeli punkty te mają jednakowe pierwsze współrzędne (\(a\)), to poprowadzona przez nie prosta jest równoległa do osi \(Oy\), a opisujące ją równanie ma postać \[x=a\]
2. Jeżeli punkty te mają jednakowe drugie współrzędne (\(b\)), to poprowadzona przez nie prosta jest równoległa do osi \(Ox\), a opisujące ją równanie ma postać \[y=b\]
3. W pozostałych przypadkach równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty \(P_1(x_1,y_1)\) i \(P_2(x_2,y_2)\), gdzie \(x_1\neq x_2\), ma postać \[ y={y_2-y_1\over x_2-x_1}\left(x-x_1\right)+y_1 \]

Wzajemne położenie dwóch prostych \(l_1:\ a_1x+b_1y=c_1\) i \(l_2:\ a_2x+b_2y=c_2\) zależy od liczby rozwiązań układu równań liniowych \[ \left\{\eqalign{a_1x+b_1y&=c_1\cr a_2x+b_2y&=c_2\cr}\right. \] Możliwe są trzy przypadki:

1. Proste \(l_1\) i \(l_2\) przecinają się w jednym punkcie \((x_0,y_0)\), gdy układ jest oznaczony, czyli ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci \[ \left\{\eqalign{x&=x_0\cr y&=y_0\cr}\right. \]
2. Proste \(l_1\) i \(l_2\) pokrywają się, gdy układ jest nieoznaczony, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci \[ \left\{\eqalign{&a_1x+b_1y=c_1\cr &x\in \mathbb{R}\cr}\right. \]
3. Proste \(l_1\) i \(l_2\) są równoległe, ale się nie pokrywają, gdy układ jest sprzeczny.

Okręgiem o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\), gdzie \(r\gt 0\) jest zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny, których odległość od punktu \(S\) wynosi \(r\).
Równanie okręgu o środku w punkcie \(S(0,0)\) i promieniu \(r\) (\(r\gt 0\)) ma postać \[ x^2+y^2=r^2 \] Po przesunięciu o wektor \(\vec{v}=\left[p,q\right]\) równanie okręgu będzie miało postać \[ \left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2 \] Okrąg \(\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2\) dzieli płaszczyznę na dwie części.
Punkty leżące wewnątrz okręgu spełniają nierówność \[ \left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2\ \czerwony{\boldsymbol {\lt}}\ r^2 \] Punkty leżące na zewnątrz okręgu spełniają nierówność \[ \left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2\ \czerwony{\boldsymbol {\gt}}\ r^2 \]

Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów \(F_1\) i \(F_2\), zwanych ogniskami elipsy, jest wielkością stałą i równą \(2a\), gdzie \(2a>\vert F_1F_2\vert\), tzn. \[\vert PF_1\vert +\vert PF_2\vert =2a\] Środek odcinka \(F_1F_2\) nazywamy środkiem elipsy, a jego długość – ogniskową. Jeżeli przez \(A_1\) i \(A_2\) oznaczymy punkty przecięcia elipsy z prostą przechodzącą przez jej ogniska, to odcinek \(A_1A_2\) nazywamy osią wielką elipsy. Jeżeli przez \(B_1\) i \(B_2\) oznaczymy punkty przecięcia elipsy z symetralną osi wielkiej, to odcinek \(B_1B_2\) nazywamy osią małą elipsy.
Równanie elipsy:

• o ogniskach w punktach \(F_1(-c,0)\) i \(F_2=(c,0)\) oraz długość osi wielkiej \(2a\), gdzie \(0\leq c<a\), ma postać \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1,\] gdzie \(b^2=\sqrt{a^2-c^2}\). Długość osi małej wynosi wtedy \(2b\), gdzie \(b\lt a\).
• o ogniskach w punktach \(F_1(0,-c)\) i \(F_2=(0,c)\) oraz długość osi wielkiej \(2b\), gdzie \(0\leq c<b\), ma postać \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1,\] gdzie \(a^2=\sqrt{b^2-c^2}\). Długość osi małej wynosi wtedy \(2a\), gdzie \(b\gt a\).

Po przesunięciu o wektor \(\vec{v}=\left[p,q\right]\) równanie elipsy będzie miało postać \[{\left(x-p\right)^2\over a^2}+{\left(y-q\right)^2\over b^2} = 1\] Elipsa \({\left(x-p\right)^2\over a^2}+{\left(y-q\right)^2\over b^2} = 1\) dzieli płaszczyznę na dwie części.
Punkty leżące wewnątrz elipsy spełniają nierówność \[ {\left(x-p\right)^2\over a^2}+{\left(y-q\right)^2\over b^2}\ \czerwony{\boldsymbol {\lt}}\ 1 \] Punkty leżące na zewnątrz elipsy spełniają nierówność \[ {\left(x-p\right)^2\over a^2}+{\left(y-q\right)^2\over b^2}\ \czerwony{\boldsymbol {\gt}}\ 1 \]

Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od dwóch różnych, ustalonych punktów \(F_1\) i \(F_2\), zwanych ogniskami, jest wielkością stałą i równą \(2a\), tzn. \[\big\vert \vert PF_1\vert - \vert PF_2\vert \big\vert=2a\] Wierzchołkami hiperboli nazywamy punkty \(A_1\) i \(A_2\), w których hiperbola przecina prostą przechodzącą przez jej ogniska. Jeżeli \(a=b\), to hiperbolę nazywamy równoosiową.
Równanie hiperboli o ogniskach w punktach \(F_1(-c,0)\) i \(F_2=(c,0)\) i wierzchołkach \(A_1(-a,0)\) i \(A_2(a,0)\), gdzie \(0<a<c\), ma postać \[{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2} = 1,\] gdzie \(b^2=c^2-a^2\). Hiperbola ta posiada dwie asymptoty o równaniach: \[y={b\over a}x, \qquad y=-{b\over a}x\] Po przesunięciu o wektor \(\vec{v}=\left[p,q\right]\) równanie hiperboli będzie miało postać \[{\left(x-p\right)^2\over a^2}-{\left(y-q\right)^2\over b^2} = 1\] Hiperbolę o równaniu \[{y^2\over b^2}-{x^2\over a^2} = 1\] nazywamy sprzężoną z hiperbolą opisaną równaniem \({x^2\over a^2}-{y^2\over b^2} = 1\). Jej wierzchołkami są punkty \(B_1(0,-b)\) i \(B_2(0,b)\), a ogniskami punkty \(F_1(0,-c)\) i \(F_2(0,c)\), gdzie \(c^2=a^2+b^2\).
Hiperbola \({\left(x-p\right)^2\over a^2}-{\left(y-q\right)^2\over b^2} = 1\) dzieli płaszczyznę na trzy części.
Punkty leżące pomiędzy gałęziami hiperboli spełniają nierówność \[ {\left(x-p\right)^2\over a^2}-{\left(y-q\right)^2\over b^2} \ \czerwony{\boldsymbol {\lt}}\ 1 \] Punkty leżące wpozostałych dwóch częściach płaszczyzny, czyli poza gałęziami hiperboli, spełniają nierówność \[ {\left(x-p\right)^2\over a^2}-{\left(y-q\right)^2\over b^2} \ \czerwony{\boldsymbol {\gt}}\ 1 \]

Parabolą nazywamy zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny równoodległych od ustalonego punktu \(F\), zwanego ogniskiem paraboli, i ustalonej prostej \(l\), zwanej kierownicą paraboli, tzn. \[\vert PF\vert =d(P,l)\] Punkt \(W\) przecięcia kierownicy oraz prostej przechodzącej przez ognisko i prostopadłej do kierownicy nazywamy wierzchołkiem paraboli.
Równanie paraboli o ognisku w punkcie \(F(\frac{1}{4a},0)\) i kierownicy o równaniu \(x=-\frac{1}{4a}\), gdzie \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\), ma postać \[x=ay^2\] Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W(0,0)\). Odległość ogniska od kierownicy paraboli o równaniu \(x=ay^2\) wynosi \(\frac{1}{2|a|}\). Po przesunięciu o wektor \(\vec{v}=\left[p,q\right]\) równanie paraboli będzie miało postać \[x-p=a(y-q)^2\] Parabola \(x-p=a(y-q)^2\) dzieli płaszczyznę na dwie części.
Punkty leżące na prawo od paraboli spełniają nierówność \[ a(y-q)^2 \ \czerwony{\boldsymbol {\lt}}\ x-p \] Punkty leżące na lewo od paraboli spełniają nierówność \[ a(y-q)^2 \ \czerwony{\boldsymbol {\gt}}\ x-p \]

Aby rozwiązać graficznie nierówność postaci: \[y\lt f(x),\qquad y\gt f(x),\qquad y\le f(x),\qquad y\ge f(x),\] gdzie \(f(x)\) jest dowolną funkcją elementarną, trzeba narysować pomocniczy wykres funkcji \(y=f(x)\), której równanie dostajemy po zastąpieniu znaku nierówności (\(\lt\), \(\gt\), \(\le\), \(\ge \)) znakiem równości (\(=\)). Wówczas:

• rozwiązaniami równania postaci \[y\ \czerwony{\boldsymbol {=}}\ f(x)\]są wszystkie punkty leżące na wykresie funkcji \(y=f(x)\),
• rozwiązaniami nierówności postaci \[y\ \czerwony{\boldsymbol {\lt}}\ f(x)\]są wszystkie punkty leżące pod wykresem funkcji \(y=f(x)\),
• rozwiązaniami nierówności postaci \[y\ \czerwony{\boldsymbol {\gt}}\ f(x)\]są wszystkie punkty leżące nad wykresem funkcji \(y=f(x)\).

Aby rozwiązać graficznie układ nierówności musimy zaznaczyć w jednym układzie współrzędnych zbiory rozwiązań poszczególnych nierówności danego układu. Z rysunku odczytujemy wówczas rozwiązania układu jako część wspólną zaznaczonych zbiorów.