Wektory

Rozpoczniemy od zdefiniowania płaszczyzny \(\mathbb{R}^2\) i układu współrzędnych na tej płaszczyźnie. Poznamy sposoby interpretowania płaszczyzny wykorzystujące punkty i wektory.
Definicja
Płaszczyzną \(\mathbb{R}^2\) nazywamy zbiór \[ \mathbb{R}^2=\{(x,y):\quad x,y\in \mathbb{R}\} \]
Definicja
Układem współrzędnych na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) nazywamy dwie ustalone proste \(x, y\) przecinające się w jednym punkcie \(O\), które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez \(Oxy\). Proste \(Ox\), \(Oy\) nazywamy osiami układu współrzędnych.
Płaszczyznę \(\mathbb{R}^2\) będziemy interpretować geometrycznie na trzy sposoby, tzn. jako:
  1. Zbiór wszystkich punktów \(P(x, y)\) na płaszczyźnie. Liczby \(x\), \(y\) nazywamy wtedy współrzędnymi punktu \(P\).
    Rysunek przedstawiający punkt P wraz z jego współrzędnymi w układzie współrzędnych.
    Punkt \(P(x,y)\) na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\)

  2. Zbiór wszystkich wektorów wodzących \(\vec{a} =\overrightarrow{OP}\) punktów leżących na płaszczyźnie. Wektory te mają wspólny początek \(O(0,0)\), a końce w punktach \(P(x, y)\). Liczby \(x, y\) nazywamy współrzędnymi wektora \(\vec{a} = \lbrack x, y\rbrack\).

    Dodatkowo przyjmujemy oznaczenia:
    • \(\vec{0}=\left[0,0\right]\) – wektor zerowy
    • \(-\vec{a}= \left[-x, -y\right]\) – wektor przeciwny do wektora \(\vec{a}\)
    Rysunek przedstawiający w układzie współrzędnych wektor wodzący punktu P i wektor do niego przeciwny wraz ze współrzędnymi.
    Wektor wodzący \( \vec{a}\) punktu \( P\) i wektor do niego przeciwny \( -\vec{a}\).
  3. Zbiór wszystkich wektorów swobodnych na płaszczyźnie. Przez wektor swobodny \(\vec{u}\) rozumiemy tutaj zbiór wszystkich wektorów, które mają ten sam kierunek, zwrot oraz długość, ale są zaczepione w różnych punktach.
    Rysunek przedstawiający wektory swobodne w układzie współrzędnych.
    Wektory swobodne na płaszczyźnie \( \mathbb{R}^2\)
    Każde dwa różne punkty \(A(x_a, y_a)\) oraz \(B(x_b, y_b)\) wyznaczają dwa wektory swobodne: \[ \overrightarrow{AB}=\left[x_b-x_a,y_b-y_a\right]\quad \hbox{i} \quad \overrightarrow{BA}=\left[x_a-x_b,y_a-y_b\right] \] Wektor \(\overrightarrow{BA}\) nazywamy wektorem przeciwnym do wektora \(\overrightarrow{AB}\). Punkt \(A\) nazywamy początkiem wektora \(\overrightarrow{AB}\), a punkt \(B\) jego końcem.
    Rysunek przedstawiający w układzie współrzędnych wektor o początku w punkcie A i końcu w punkcie B.
    Wektor \(\overrightarrow{AB}\)
Zadanie
Oblicz współrzędne wektora \(\overrightarrow{AB}\), jeżeli:
  1. \(A(1,-3)\) i \(B(2,6)\)
    \[ \overrightarrow{AB}=\left[2-1,6-(-3)\right]=\left[1,9\right] \]
  2. \(A(-4,2)\) i \(B(1,-5)\)
    \[ \overrightarrow{AB}=\left[1-(-4),-5-2\right]=\left[5,-7\right] \]
  3. \(A(-5,3)\) i \(B(-5,-3)\)
    \[ \overrightarrow{AB}=\left[-5+5,-3-3\right]=\lbrack 0,-6\rbrack \]
Rozpoczniemy od ustalenia, kiedy dwa wektory są sobie równe.
Definicja
Niech \(\vec{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\vec{v}=\left[v_1,v_2\right]\) będą dowolnymi wektorami w \(\mathbb{R}^2\). Mówimy, że wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równe, co zapisujemy \(\vec{u}=\vec{v}\), jeżeli \[ u_1=v_1 \quad \wedge \quad u_2=v_2 \]
Zadanie
Wyznacz współrzędne punktu \(B\), wiedząc, że:
  1. \(A(3,1)\) i \(\overrightarrow{AB}=\left[4,-2\right]\)
    Niech \(B(x_b,y_b)\). Wtedy \[ \overrightarrow{AB}=[x_b-3,y_b-1] \] Skoro \(\overrightarrow{AB}=\left[4,-2\right]\), to \[ {\left[x_b-3,y_b-1\right]=\left[4,-2\right]} \] Z definicji wektorów równych otrzymujemy układ równań \[ \left\{\eqalign{x_b-3&=4\cr y_b-1&=-2\cr}\right.\quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{x_b&=7\cr y_b&=-1\cr}\right. \] Zatem \(B(7,-1)\).
  2. \(A(-4,5)\) i \(\overrightarrow{AB}=\left[-2,3\right]\)
    Niech \(B(x_b,y_b)\). Wtedy \(\overrightarrow{AB}=\left[x_b+4,y_b-5\right]\). Ponieważ \(\overrightarrow{AB}=\left[-2,3\right]\), to \[ {\left[x_b+4,y_b-5\right]=\left[-2,3\right]} \] Z definicji wektorów równych otrzymujemy układ równań \[ \left\{\eqalign{x_b+4&=-2\cr y_b-5&=3\cr}\right.\quad \Longleftrightarrow\quad\left\{\eqalign{x_b&=-6\cr y_b&=8\cr}\right. \] Zatem \(B(-6,8)\).
Zadanie
Wyznacz współrzędne punktu \(A\), wiedząc, że:
  1. \(B(1,5)\) i \(\overrightarrow{AB}=\left[3,1\right]\)
    Niech \(A(x_a,y_a)\). Wtedy \[ \overrightarrow{AB}=\left[1-x_a,5-y_a\right] \] Skoro \(\overrightarrow{AB}=\left[3,1\right]\), to \[ {\left[1-x_a,5-y_a\right]=\left[3,1\right]} \] Z definicji wektorów równych otrzymujemy układ równań \[ \left\{\eqalign{1-x_a&=3\cr 5-y_a&=1\cr}\right.\quad \Longleftrightarrow\quad\left\{\eqalign{x_a&=-2\cr y_a&=4\cr}\right. \] Zatem \(A(-2,4)\).
  2. \(B(4,-2)\) i \(\overrightarrow{AB}=\left[-3,7\right]\)
    Niech \(A(x_a,y_a)\). Wtedy \[ \overrightarrow{AB}=\left[4-x_a,-2-y_a\right] \] Ponieważ \(\overrightarrow{AB}=\left[-3,7\right]\), to \[ {\left[4-x_a,-2-y_a\right]=\left[-3,7\right]} \] Z definicji wektorów równych otrzymujemy układ równań \[ \left\{\eqalign{4-x_a&=-3\cr -2-y_a&=7\cr}\right.\quad \Longleftrightarrow\quad\left\{\eqalign{x_a&=7\cr y_a&=-9\cr}\right. \] Zatem \(A(7,-9)\).
Potrafimy już wyznaczyć współrzędne wektorów i sprawdzić, czy są one sobie równe. Wykorzystamy teraz te umiejętności do obliczenia współrzędnych środka odcinka.
Przykład
Wyznaczymy współrzędne środka \(S\) odcinka \(AB\), gdzie \(A=(1,4)\) oraz \(B=(7,-2)\). Oznaczmy przez \(x_S\) i \(y_S\) współrzędne środka \(S\) i rozważmy wektory \( \overrightarrow{AS}\) i \( \overrightarrow{SB}\), jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający środek S odcinka AB.
Wektory \( \overrightarrow{AS}\) i \( \overrightarrow{SB}\) mają ten sam kierunek, długość i zwrot, więc są równe. \[\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{SB}\] Ponieważ \[\overrightarrow{AS}=\left[x_S-1,y_S-4\right]\quad \textrm{ oraz }\quad \overrightarrow{SB}=\left[7-x_S,-2-y_S\right],\] dlatego \[x_S-1=7-x_S\quad \textrm{ oraz }\quad y_S-4=-2-y_S\] \[2x_S=8\quad \textrm{ oraz }\quad 2y_S=2\] \[x_S=4\quad \textrm{ oraz }\quad y_S=1\] Zatem \(S(4,1)\).
W analogiczny sposób można udowodnić twierdzenie o współrzędnych środka odcinka:
Twierdzenie
Środkiem odcinka \(AB\), gdzie \(A(x_a,y_a),\) \(B(x_b,y_b),\) jest punkt \(S\) o współrzędnych: \[x_S=\frac{x_a+x_b}{2}\quad \textrm{oraz}\quad y_S=\frac{y_a+y_b}{2}\]
Zadanie
Wyznacz współrzędne środka odcinka \(AB\), wiedząc, że:
  1. \(A(3,-4)\) i \(B(1,5)\)
    Zgodnie z powyższym twierdzeniem współrzędne środka \(S\) odcinka \(AB\) wynoszą: \[x_S=\frac{x_a+x_b}{2}=\frac{3+1}{2}=2\] \[y_S=\frac{y_a+y_b}{2}=\frac{-4+5}{2}=\frac{1}{2}\] Zatem \(S(2,\frac{1}{2})\).
  2. \(A(7,-9)\) i \(\overrightarrow{AB}=\left[-3,7\right]\)
    Aby skorzystać ze wzoru na współrzędne środka odcinka, musimy najpierw wyznaczyć współrzędne punktu \(B\). Niech \(B(x_b,y_b)\). Wtedy \[ \overrightarrow{AB}=\left[x_b-7,y_b+9\right] \] Ponieważ \(\overrightarrow{AB}=\left[-3,7\right]\), to \[ {\left[x_b-7,y_b+9\right]=\left[-3,7\right]} \] Z definicji wektorów równych otrzymujemy układ równań \[ \left\{\eqalign{x_b-7&=-3\cr y_b+9&=7\cr}\right. \quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{x_b&=4\cr y_b&=-2\cr}\right. \quad \Longleftrightarrow\quad B(4,-2)\] Dla \(A(7,-9)\) i \(B(4,-2)\) korzystamy z twierdzenia o współrzędnych środka odcinka i otrzymujemy \[x_S=\frac{7+4}{2}\quad \textrm{oraz}\quad y_S=\frac{-9-2}{2}\] \[x_S=\frac{11}{2}\quad \textrm{oraz}\quad y_S=-\frac{11}{2}\] Stąd środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \[S\left(\frac{11}{2},-\frac{11}{2}\right)\]
  3. \(B(-4,5)\) i \(\overrightarrow{AB}=\left[-2,3\right]\)
    Aby skorzystać ze wzoru na współrzędne środka odcinka, musimy najpierw wyznaczyć współrzędne punktu \(A\). Niech \(A(x_a,y_a)\). Wtedy \[ \overrightarrow{AB}=\left[-4-x_a,5-y_a\right] \] Ponieważ \(\overrightarrow{AB}=\left[-2,3\right]\), to \[ {\left[-4-x_a,5-y_a\right]=\left[-2,3\right]} \] Z definicji wektorów równych otrzymujemy układ równań: \[ \left\{\eqalign{-4-x_a&=-2\cr 5-y_a&=7\cr}\right. \quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{x_a&=-2\cr y_a&=-2\cr}\right. \quad \Longleftrightarrow\quad A(-2,-2)\] Dla \(A(-2,-2)\) i \(B(-4,5)\), korzystamy z twierdzenia o współrzędnych środka odcinka i otrzymujemy: \[x_S=\frac{-2-4}{2}\quad \textrm{oraz}\quad y_S=\frac{-2+5}{2}\] \[x_S=\frac{-6}{2}\quad \textrm{oraz}\quad y_S=\frac{3}{2}\] Stąd środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \[S\left(-3,\frac{3}{2}\right)\]
W tej części kursu poznamy reguły działań na wektorach oraz wzory pozwalające na ich wykonywanie przy użyciu współrzędnych.
Definicja
Sumą wektorów \(\vec{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\vec{v}=\left[v_1,v_2\right]\) nazywamy wektor \[ \vec{u}+\vec{v}=\left[u_1+v_1,u_2+v_2\right] \]

Można zauważyć, że sumą wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) jest wektor przekątnej równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\). Poniższy aplet Geogebry ilustruje wpływ położenia wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) na wektor \(\vec{u}+\vec{v}\).

Ilustracja sumy wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\)
Definicja
Iloczynem wektora \(\vec{u}=\left[u_1,u_2\right]\) przez liczbę \(\alpha\in\mathbb{R}\) nazywamy wektor \[ \alpha\vec{u}=\left[\alpha u_1,\alpha u_2\right] \]
Definicja
Różnicą wektorów \(\vec{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\vec{v}=\left[v_1,v_2\right]\) nazywamy wektor \(\vec{u}-\vec{v}\) określony następująco \[ \vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+\left(-\vec{v}\right) \]

Zauważmy, że różnicą wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) jest wektor przekątnej równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\). Poniższy aplet Geogebry ilustruje wpływ położenia wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) na wektor \(\vec{u}-\vec{v}\).

Ilustracja różnicy wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\)
Zadanie
Wykonaj działania na wektorach \(\vec{u}=\left[2,4\right]\) i \(\vec{v}=\left[-1,0\right]\):
  1. \(\vec{u}+\vec{v}\)
    Zgodnie z definicją sumy wektorów otrzymujemy \[ \vec{u}+\vec{v}=\left[2+(-1),4+0\right]=\left[1,4\right] \]
  2. \(2\vec{u}+3\vec{v}\)
    Zgodnie z definicją sumy wektorów oraz definicją mnożenia wektora przez liczbę rzeczywistą otrzymujemy \[ 2\vec{u}+3\vec{v}=2\left[2,4\right]+3\left[-1,0\right]=\left[4,8\right]+\left[-3,0\right]=\left[1,8\right] \]
Twierdzenie
Długość dowolnego wektora \(\vec{u}=\left[u_1,u_2\right]\) w przestrzeni \(\mathbb{R}^2\) wynosi \[ \vert \vec{u} \vert=\sqrt{\left(u_1\right)^2+\left(u_2\right)^2} \]
Zadanie
Oblicz długość podanego wektora:
  1. \(\vec{u}=\left[4,-3\right]\)
    \[ \vert\vec{u}\vert=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \]
  2. \(\vec{u}=\left[-2,0\right]\)
    \[ \vert\vec{u}\vert=\sqrt{(-2)^2+0^2}=\sqrt{4}=2 \]
  3. \(\overrightarrow{OP}\), gdzie \(P(1,5)\)
    Ponieważ \(\overrightarrow{OP}\) jest wektorem wodzącym punktu \(P(1,5)\), dlatego \(\overrightarrow{OP}=\left[1,5\right]\). Zatem \[ \vert\overrightarrow{OP}\vert=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26} \]
  4. \(\overrightarrow{AB}\), gdzie \(A(1,2)\), \(B(-2,4)\)
    Obliczamy współrzędne wektora \(\overrightarrow{AB}\) \[ \overrightarrow{AB}=\left[-2-1,4-2\right]=\left[-3,2\right] \] Zatem \[ \vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13} \]
  5. \(-3\vec{u}\), gdzie \(\vec{u}=\left[2,1\right]\)
    Obliczymy współrzędne wektora \(-3\vec{u}\), korzystając z definicji iloczynu wektora przez liczbę \[-3\vec{u}=-3\left[2,1\right]=\left[-6,-3\right]\] Zatem \[ \vert-3\vec{u}\vert=\sqrt{(-6)^2+(-3)^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5} \] Zauważmy, że \[\vert \vec{u}\vert =\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\] oraz \[\vert-3\vec{u}\vert=\vert -3\vert \sqrt{5}=\vert -3\vert\cdot \vert \vec{u}\vert = 3\cdot \sqrt{5}\]
Z powyższych przykładów oraz twierdzenia o długości wektora możemy wyciągnąć następujące wnioski:
  1. Zgodnie z definicją pierwiastka kwadratowego długość wektora jest liczbą nieujemną i może być równa zero tylko wtedy, gdy wektor jest zerowy.
  2. Na podstawie definicji iloczynu wektora przez liczbę długość wektora \(\alpha \vec{u}\) jest nieujemną wielokrotnością długości wektora \(\vec{u}\).
  3. Z interpretacji sumy nierównoległych wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) jako przekątnej równoległoboku rozpiętego na tych wektorach wynika, że z wektorów \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) i \(\vec{u}+\vec{v}\) można utworzyć trójkąt. Wiemy, że w każdym trójkącie zachodzi nierówność trójkąta, tzn. suma długości dwóch dowolnych boków jest większa od długości trzeciego boku. Zatem suma długości dwóch nierównoległych wektorów jest większa od długości ich sumy.
Możemy zatem zapisać symbolicznie podstawowe własności długości wektorów, z których będziemy korzystać w dalszej części kursu.
Własność
Niech \(\vec{u},\vec{v}\) będą wektorami w \(\mathbb{R}^2\) oraz niech \(\alpha\in \mathbb{R}\). Wtedy:
  1. \(\vert\vec{u}\vert \geq 0\), przy czym \(\vert\vec{u}\vert=0 \Longleftrightarrow \vec{u}=\vec{0}\)
  2. \(\vert\alpha\vec{u}\vert =\vert\alpha\vert\cdot\vert\vec{u}\vert\)
  3. \(\vert\vec{u}+\vec{v}\vert \leq\vert\vec{u}\vert+\vert\vec{v}\vert\)
Definicja
Wersorem nazywamy każdy wektor o długości \(1\).
Definicja
Wektory \(\vec{i}= \left[1,0\right]\), \(\vec{j}= \left[0,1\right]\) nazywamy wersorami osi odpowiednio \(Ox\), \(Oy\).
Definicja
Niech \(\alpha\) i \(\beta\) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) dowolnymi wektorami. Wektor \[\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\] nazywamy kombinacją liniową wektorów \(\vec{u}\), \(\vec{v}\).
Uwaga
Każdy wektor \(\vec{u}=\left[u_1,u_2\right]\) w przestrzeni \(\mathbb{R}^2\) można zapisać jednoznacznie jako kombinację liniową wersorów osi \(Ox\) i \(Oy\). Mianowicie \[\vec{u}=u_1\vec{i}+u_2\vec{j}\]
Przykład
Przedstawimy wektor \(\vec{w}=\left[-10,-11\right]\) jako kombinację liniową wektorów \(\vec{u}=\left[1,-1\right]\) i \(\vec{v}=\left[4,3\right]\). Szukamy liczb \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) takich, że \[\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\] Zatem \[{\left[-10,-11\right]}=\alpha\left[1,-1\right]+\beta\left[4,3\right]\] Wykonujemy działania na wektorach po prawej stronie równania \[{\left[-10,-11\right]}=\left[\alpha,-\alpha\right]+\left[4\beta,3\beta\right]\] \[{\left[-10,-11\right]}=\left[\alpha + 4\beta,-\alpha+3\beta\right]\] Porównujemy odpowiednie współrzędne wektorów równych \[\left\{\eqalign{\alpha + 4\beta &=-10\cr -\alpha+3\beta &=-11 \cr}\right.\] Po rozwiązaniu tego układu równań, np. metodą przeciwnych współczynników, otrzymujemy \[\cases{\alpha=-3\cr \beta=2\cr}\] Zatem \[\vec{w}=2\vec{u}-3\vec{v}\]
Definicja
Wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli istnieją \(\alpha, \beta\in\mathbb{R}\) takie, że \(\alpha^2+\beta^2>0\) oraz \[\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0}\]
Definicja
Wektory \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli \[\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0} \quad \Longleftrightarrow\quad \alpha=\beta=0\]
Pojęcia: kombinacji liniowej wektorów, wektorów liniowo zależnych oraz wektorów liniowo niezależnych, można analogicznie zdefiniować również dla większej liczby wektorów.
Przykład
Sprawdź, czy podane wektory są liniowo zależne:
  1. \(\vec{u}=\left[2,3\right]\) i \(\vec{v}=\left[-1,2\right]\)
    Sprawdzimy, czy istnieje niezerowa kombinacja liniowa wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) dająca wektor zerowy, tzn. \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0}\). Po wstawieniu współrzędnych wektorów \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) i \(\vec{0}\) mamy \[\alpha\left[2,3\right]+\beta\left[-1,2\right]=\left[0,0\right]\] \[{\left[2\alpha-\beta,3\alpha+2\beta\right]}=\left[0,0\right]\] \[\left\{\eqalign{2\alpha-\beta &=0\cr 3\alpha+2\beta &=0 \cr}\right.\] Rozwiązanie tego układu równań to \[\left\{\eqalign{\alpha &=0\cr \beta &=0 \cr}\right.,\] co oznacza, że tylko dla \(\alpha=\beta=0\) kombinacja \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\) daje w wyniku wektor zerowy. Zatem wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są liniowo niezależne.
  2. \(\vec{u}=\left[-1,4\right]\), \(\vec{v}=\left[0,4\right]\) i \(\vec{w}=\left[3,-2\right]\)
    Sprawdzimy, czy istnieje niezerowa kombinacja liniowa wektorów \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) i \(\vec{w}\) dająca wektor zerowy, tzn. \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}\). Po wstawieniu współrzędnych wektorów \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) i \(\vec{0}\) mamy \[\alpha\left[-1,4\right]+\beta\left[0,4\right]+\gamma\left[3,-2\right]=\left[0,0\right]\] \[{\left[-\alpha+3\gamma,4\alpha+4\beta-2\gamma\right]}=\left[0,0\right]\] \[\left\{\eqalign{-\alpha+3\gamma &=0\cr 4\alpha+4\beta-2\gamma &=0 \cr}\right.\] Z pierwszego równania otrzymujemy \[\alpha=3\gamma\] Po wstawieniu do drugiego równania otrzymujemy \[10\gamma+4\beta=0\] Zauważmy, że \(\beta=-10\) i \(\gamma=4\) spełniają to równanie. Zatem \[\cases{\alpha=12\cr\beta=-10\cr\gamma=4}\] jest rozwiązaniem układu równań, co oznacza, że \[12\vec{u}-10\vec{v}+4\vec{w}=\vec{0},\] więc wektory \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) i \(\vec{w}\) są liniowo zależne. Oczywiście podana przez nas kombinacja liniowa wektorów \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) i \(\vec{w}\) dająca w wyniku wektor zerowy nie jest jedyna, gdyż układ równań \[\left\{\eqalign{-\alpha+3\gamma &=0\cr 4\alpha+4\beta-2\gamma &=0 \cr}\right.\] ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Definicja
Dwa niezerowe wektory liniowo zależne \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) nazywamy wektorami równoległymi, co zapisujemy symbolicznie \(\overrightarrow{u} \vert\vert \overrightarrow{v}\).
Warunek równoległości wektorów opisuje następujące twierdzenie.
Twierdzenie
Niezerowe wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe, jeżeli istnieje niezerowa liczba \(k\) taka, że \[ \vec{u}=k\vec{v} \]
Zadanie
Sprawdź, czy wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe, jeżeli:
  1. \(\vec{u}=\left[1,2\right]\), \(\vec{v}=\left[-2\sqrt{2},-4\sqrt{2}\right]\)
    Zauważmy, że \[\vec{v}=\left[-2\sqrt{2},-4\sqrt{2}\right]=-2\sqrt{2}\left[1,2\right]=-2\sqrt{2}\vec{u}\] Zatem wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe.
  2. \(\vec{u}=\left[0,-3\right]\), \(\vec{v}=\left[2,6\right]\)
    Ponieważ każdy wektor równoległy do wektora \(\vec{u}=\left[0,-3\right]\) musi mieć pierwszą współrzędną równą zero, dlatego wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) nie są równoległe.
  3. \(\vec{u}=\left[3,1\right]\), \(\vec{v}=\left[6,4\right]\)
    Sprawdzimy, czy istnieje niezerowa liczba \(k\) taka, że \(\vec{v} = k\vec{u}\). \[\left[6,4\right] = k\left[3,1\right]\] \[\left[6,4\right] = \left[3k,k\right]\] Otrzymujemy układ równań \[\cases{6 = 3k\cr 4 = k\cr}\quad \Longleftrightarrow \quad \cases{k=2\cr k=4\cr}\] Ponieważ układ ten jest sprzeczny, to nie istnieje niezerowa liczba \(k\) taka, że \(\vec{v} = k\vec{u}\). Zatem wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) nie są równoległe.
Zdefiniujemy jeszcze jedno działanie na wektorach (iloczyn skalarny), które wykorzystuje kąt między tymi wektorami.
Definicja
Niech \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) będą dowolnymi wektorami w \(\mathbb{R}^2\). Iloczynem skalarnym wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) nazywamy liczbę rzeczywistą \[\vec{u}\circ\vec{v}=\vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert\cdot\cos\varphi,\] gdzie \(\varphi\) jest kątem między wektorami \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\).
Zadanie
Oblicz iloczyn skalarny wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\), jeżeli:
  1. kąt między nimi wynosi \({\pi\over 3}\) oraz \(\vert\vec{u}\vert = 2\) i \(\vert\vec{u}\vert = 3\)
    Korzystamy z definicji iloczynu skalarnego, wiedząc, że \(\varphi={\pi\over 3}\) \[\vec{u}\circ\vec{v}=\vert\vec{u}\vert \cdot\vert\vec{v}\vert\cdot\cos\varphi=2\cdot 3\cdot \cos {\pi\over 3} = 6\cdot {1\over 2} = 3\]
  2. wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe
    Ponieważ wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe, to kąt między nimi wynosi \({\pi\over 2}\). Zatem \(\cos \varphi = \cos {\pi\over 2} =0\), co oznacza, że \(\vec{u}\circ\vec{v}=0\).
  3. \(\vert\vec{u}\vert = 4\) i \(\vec{v}\ =3\vec{u}\)
    Ponieważ wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe i mają ten sam zwrot, to kąt między nimi wynosi \(0\). Dodatkowo \(\vert\vec{v}\vert = 3\cdot \vert\vec{u}\vert = 12\). Zatem \[\vec{u}\circ\vec{v}=\vert\vec{u}\vert \cdot\vert\vec{v}\vert\cdot\cos\varphi=3\cdot 12\cdot \cos 0 = 36\cdot 1 = 36\]
  4. \(\vert\vec{u}\vert = 1\) i \(\vec{v}\ =-4\vec{u}\)
    Ponieważ wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) i mają przeciwny zwrot, to kąt między nimi wynosi \(\pi\). Dodatkowo \(\vert\vec{v}\vert = 4\cdot \vert\vec{u}\vert = 4\). Zatem \[\vec{u}\circ\vec{v}=\vert\vec{u}\vert \cdot\vert\vec{v}\vert\cdot\cos\varphi=1\cdot 4\cdot \cos \pi = 4\cdot (-1) = -4\]
Własność
Niech \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) będą dowolnymi wektorami w \(\mathbb{R}^2\) oraz niech \(\alpha\in \mathbb{R}\). Wtedy
  1. \(\vec{u}\circ\vec{v}=\vec{v}\circ\vec{u}\)
  2. \((\alpha\vec{u})\circ\vec{v}=\alpha(\vec{u}\circ\vec{v})\)
  3. \((\vec{u}+\vec{v})\circ\vec{w} = \vec{u}\circ\vec{w} +\vec{v}\circ\vec{w}\)
  4. \(\vec{u}\circ\vec{u}=\vert\vec{u}\vert^2\)
  5. \(\vec{u}\perp\vec{v}\ \Longleftrightarrow\ \vec{u}\circ\vec{v}=0\) dla niezerowych wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\)
Przykład

Korzystając z własności iloczynu skalarnego, obliczymy \[\left(4\vec{u}+3\vec{v}\right)\circ\left(3\vec{u}+2\vec{v}\right),\] wiedząc, że \(\vert\vec{u}\vert=1\), \(\vert\vec{v}\vert=3\) i \(\vec{u}\circ\vec{v}=2\).

Ponieważ iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodawania wektorów, to otrzymujemy \[ (4\vec{u} + 3\vec{v})\circ(3\vec{u} +2 \vec{v})=12\niebieski{\boldsymbol{\vec{u}\circ \vec{u}}}+8\czerwony{\boldsymbol{\vec{u}\circ\vec{v}}}+9\czerwony{\boldsymbol{\vec{v}\circ\vec{u}}}+6\niebieski{\boldsymbol{\vec{v}\circ\vec{v}}}\] Skoro iloczyn skalarny jest również przemienny (\(\czerwony{\boldsymbol{\vec{u}\circ\vec{v}=\vec{v}\circ\vec{u}}}\)) oraz \(\niebieski{\boldsymbol{\vec{u}\circ\vec{u}=\vert\vec{u}\vert^2}}\), to \[(4\vec{u} +3\vec{v})\circ(3\vec{u} +2 \vec{v})=12\niebieski{\boldsymbol{\vert\vec{u}\vert^2}}+17\czerwony{\boldsymbol{\vec{u}\circ\vec{v}}} +6\niebieski{\boldsymbol{\vert\vec{v}\vert^2}}\] Z treści zadania wiemy, że \(\vert\vec{u}\vert=1\), \(\vert\vec{v}\vert=3\) i \(\vec{u}\circ\vec{v}=2\), dlatego \[(4\vec{u} + 3\vec{v})\circ(3\vec{u} +2 \vec{v})=12\cdot 1^2+17\cdot 2+6\cdot 3^2=100\]

Przykład

Obliczymy iloczyn skalarny \(\vec{u}\circ\vec{v}\), wiedząc, że \[\vec{u}=7\vec{p}+8\vec{q},\quad \vec{v}=-4\vec{p}+4\vec{q},\] gdzie \(\vec{p}\) i \(\vec{q}\) są wersorami wzajemnie prostopadłymi.

Korzystamy z rozdzielności iloczynu skalarnego względem dodawania wektorów oraz jego przemienności \[\eqalign{ \vec{u}\circ\vec{v}&=(7\vec{p}+8\vec{q})\circ ({-4}\vec{p}+4\vec{q})=-28\vec{p}\circ\vec{p}+28\vec{p}\circ\vec{q}-32\vec{q}\circ\vec{p}+32\vec{q}\circ\vec{q}\cr &=-28\vec{p}\circ\vec{p}-4\vec{p}\circ\vec{q}+32\vec{q}\circ\vec{q}\cr }\] Ponieważ \(\vec{u}\circ\vec{u}=\vert\vec{u}\vert^2\), to otrzymujemy \[\eqalign{ \vec{u}\circ\vec{v}&={-28}\vert\vec{p}\vert^2 -{4}\vec{p}\circ\vec{q}+{32}\vert\vec{q}\vert^2\cr }\] Skoro wektory \(\vec{p}\) i \(\vec{q}\) są wersorami, więc ich długości są równe \(1\), czyli \[\vert \vec{p} \vert=\vert \vec{q} \vert= 1\] Dodatkowo wersory \(\vec{p}\) i \(\vec{q}\) są wzajemnie prostopadłe, dlatego ich iloczyn skalarny wynosi \(0\), więc \[\vec{p}\circ\vec{q}=0\] Zatem \[\vec{u}\circ\vec{v}={-28}\cdot 1^2-{4}\cdot 0 +{32}\cdot 1^2={4}\]

Zadanie
Wiedząc, że kąt między wektorami \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) wynosi \(\alpha={\frac{5\cdot \pi}{6}}\) oraz \(\vert\vec{u}\vert=6\) i \(\vert\vec{v}\vert=1\), wyznacz długość wektora \(2\vec{u}+6\vec{v}\).

Aby obliczyć długość zadanego wektora, skorzystamy z własności iloczynu skalarnego. Ponieważ \(\vert\vec{u}\vert^2=\vec{u}\circ\vec{u}\), to \[\vert{2}\vec{u}+{6}\vec{v}\vert^2=\left({2}\vec{u}+{6}\vec{v}\right)\circ \left({2}\vec{u}+{6}\vec{v}\right)\] Obliczymy więc najpierw iloczyn skalarny . Ponieważ iloczyn skalarny jest przemienny oraz rozdzielny względem dodawania wektorów, to otrzymujemy \[\eqalign{ (2\vec{u} + 6\vec{v})\circ(2\vec{u} +6 \vec{v})&=4\vec{u}\circ \vec{u}+12\vec{u}\circ\vec{v}+12\vec{v}\circ\vec{u}+{36}\vec{v}\circ\vec{v}=\cr & ={4}\vert\vec{u}\vert^2+{24}\vec{u}\circ\vec{v} +{36}\vert\vec{v}\vert^2\cr }\] Ponieważ \(\alpha={\frac{5\cdot \pi}{6}}\), \(\vert\vec{u}\vert=6\) i \(\vert\vec{v}\vert=1\), więc zgodnie z definicją iloczynu skalarnego \[\vec{u}\circ\vec{v}=\vert \vec{u} \vert \cdot\vert \vec{v} \vert \cdot\cos \alpha ={6}\cdot {1}\cdot \cos {\frac{5\cdot \pi}{6}}= 6\cdot \cos\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-6\cos\frac{\pi}{6}=-6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-3\sqrt{3}\] Stąd wynika, że \[(2\vec{u} + 6\vec{v})\circ(2\vec{u} +6 \vec{v})=4\cdot 6^2+24\cdot \left(-3\sqrt{3}\right)+36\cdot 1^2=180-72\cdot \sqrt{3}\] Zatem \[\vert 2\vec{u}+6\vec{v}\vert^2=180-72\sqrt{3}\] Ponieważ długość wektora jest liczbą nieujemną, to \[\vert 2\vec{u}+6\vec{v}\vert=\sqrt{180-72\sqrt{3}}\]

Zadanie
Wiedząc, że kąt między wektorami \(\overrightarrow{u}\) i \(\overrightarrow{v}\) wynosi \(\alpha={2\over 3}\pi\) oraz \(\vert\overrightarrow{u}\vert=2\) i \(\vert\overrightarrow{v}\vert=5\), wyznaczyć wartość parametru \(m\) tak, aby wektory \(\overrightarrow{q}=3\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\) i \(\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{u}+17\overrightarrow{v}\) były wzajemnie prostopadłe.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym prostopadłości niezerowych wektorów \(\overrightarrow{p}\) i \(\overrightarrow{q}\) jest \(\overrightarrow{p}\circ\overrightarrow{q}=0\). Obliczymy więc \(\overrightarrow{p}\circ\overrightarrow{q}\) \[\eqalign{\overrightarrow{p}\circ\overrightarrow{q} &=(m\overrightarrow{u}+17\overrightarrow{v})\circ(3\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=3m\overrightarrow{u}^2+(51-m)\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}-17\overrightarrow{v}^2=\cr &=3m\vert\overrightarrow{u}\vert^2+(51-m)\vert\overrightarrow{u}\vert\cdot\vert\overrightarrow{v}\vert\cos\alpha-17\vert\overrightarrow{v}\vert^2=\cr &=3m\cdot 2^2+(51-m)\cdot 2\cdot 5\cos{2\over 3}\pi + 17\cdot 5^2=\cr &=12m+10(51-m)\cos \left(\pi-{\pi\over 3}\right)+425=\cr &=12m+10(51-m)\left(-\cos {\pi\over 3}\right)+425=\cr &=12m+10(51-m)\left(-{1\over 2}\right)+425=\cr &=12m-255+5m+425=17m+170\cr }\] Rozwiązujemy równanie \[\overrightarrow{p}\circ\overrightarrow{q}=0\] \[17m+170=0\] \[m=-10\] Zatem wektory \(\overrightarrow{p}\) i \(\overrightarrow{q}\) są prostopadłe dla \(m=-10\).
Zadanie
Wyznaczyć kąt, jaki tworzą wersory \(\overrightarrow{u}\) i \(\overrightarrow{v}\), jeżeli wektory \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}\) i \(\overrightarrow{q}=5\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}\) są wzajemnie prostopadłe.
Obliczymy iloczyn skalarny wektorów \(\overrightarrow{p}\) i \(\overrightarrow{q}\) \[\eqalign{ \overrightarrow{p}\circ\overrightarrow{q}&=(\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v})\circ(5\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v})=5\overrightarrow{u}^2+6\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}-8\overrightarrow{v}^2=\cr &=5\vert\overrightarrow{u}\vert^2+6\vert\overrightarrow{u}\vert\cdot\vert\overrightarrow{v}\vert \cos \alpha-8\vert\overrightarrow{v}\vert^2=5+6\cdot 1\cdot 1\cdot \cos \alpha-8=-3+6\cos \alpha\cr }\] Ponieważ wektory \(\overrightarrow{p}\), \(\overrightarrow{q}\) są wzajemnie prostopadłe, to \[\overrightarrow{p}\circ\overrightarrow{q}=0\] Zatem \[-3+6\cos \alpha=0\] \[\cos \alpha={1\over 2}\] Kąt \(\alpha\) między wektorami powinien należeć do przedziału \(\left<0,\pi\right>\). Interesują nas zatem rozwiązania tego równania znajdujące się w I lub II ćwiartce. Ponieważ \({1\over 2}>0\), to szukany kąt \(\alpha\) należy do I ćwiartki. Zatem \(\alpha={\pi\over 3}\).
Znając współrzędne wektorów, możemy obliczyć ich iloczyn skalarny, korzystając z poniższego twierdzenia.
Twierdzenie
Niech \(\vec{u} = \left[u_1,u_2\right]\), \(\vec{v}= \left[v_1,v_2\right]\) będą wektorami w \(\mathbb{R}^2\). Wtedy \[\vec{u}\circ\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\]
Zadanie
Oblicz iloczyn skalarny wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\), jeżeli:
  1. \(\vec{u}\ = [2,3]\), \(\vec{v}\ = [-2,4]\)
    \[\vec{u}\circ\vec{v}\ =2\cdot (-2)+3\cdot 4 = 8\]
  2. \(\vec{u}\ = [-3,-2]\), \(\vec{v}\ = [1,5]\)
    \[\vec{u}\circ\vec{v}\ =-3\cdot 1+(-2)\cdot 5=-13\]
Z definicji iloczynu skalarnego możemy wyznaczyć cosinus kąta między niezerowymi wektorami \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) \[ \vec{u}\circ\vec{v}=\vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert\cdot\cos\varphi\] \[ {\vec{u}\circ\vec{v}\over \vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert}=\cos\varphi \] Korzystając z jedynki trygonometrycznej, możemy następnie wyliczyć sinus kąta między niezerowymi wektorami \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\).
Twierdzenie
Niech \(\vec{u} = \left[u_1,u_2\right]\), \(\vec{v}= \left[v_1,v_2\right]\) będą niezerowymi wektorami w \(\mathbb{R}^2\). Wtedy wektory \(\vec{u} \) i \(\vec{v}\) tworzą taki kąt \(\varphi \), że: \[ \cos\varphi ={u_1v_1+u_2v_2\over \vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert}\quad \textrm{oraz}\quad \sin\varphi ={\vert u_1v_2-u_2v_1\vert \over \vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert}\]
Zadanie
Oblicz cosinus i sinus kąta między wektorami \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\), jeżeli:
  1. \(\vec{u} = \left[1,-1\right]\), \(\vec{v}= \left[2,-3\right]\)
    Obliczamy długości wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\). \[ \eqalignno{\vert\vec{u}\vert&=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\cr \vert\vec{v}\vert&=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\cr } \] Wówczas: \[ \cos\varphi ={u_1v_1+u_2v_2\over \vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert} ={1\cdot 2 + (-1)\cdot (-3)\over \sqrt{2}\cdot\sqrt{13}}= {5\over \sqrt{26}}={5\sqrt{26}\over 26} \] oraz \[\sin\varphi ={\vert u_1v_2-u_2v_1\vert \over \vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert} ={\vert 1\cdot (-3)-(-1)\cdot 2\vert \over \sqrt{2}\cdot\sqrt{13}}= {\vert -1\vert \over \sqrt{26}}={1\over \sqrt{26}}={\sqrt{26}\over 26} \]
  2. \(\vec{u} = \left[-2,3\right]\), \(\vec{v}= \left[6,4\right]\)
    Obliczamy długości wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\). \[ \eqalignno{\vert\vec{u}\vert&=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}\cr \vert\vec{v}\vert&=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\cr } \] Wówczas: \[ \cos\varphi={u_1v_1+u_2v_2\over \vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert}= {-2\cdot 6 + 3\cdot 4\over \sqrt{13}\cdot 2 \sqrt{13}}= {0\over 26}=0 \] oraz \[\sin\varphi ={\vert u_1v_2-u_2v_1\vert \over \vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert} ={\vert -2\cdot 4-3\cdot 6\vert \over \sqrt{13}\cdot 2 \sqrt{13}}= {\vert -26\vert \over 26}={26\over 26}=1 \] Zauważmy, że skoro \( \cos\varphi=0 \) i \( \sin\varphi=1, \) to \(\varphi={\pi\over2},\) więc wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe.
  3. \(\vec{u} = \left[1,-2\right]\), \(\vec{v}= \left[4,-8\right]\)
    Obliczamy długości wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\). \[ \eqalignno{\vert\vec{u}\vert&=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}\cr \vert\vec{v}\vert&=\sqrt{4^2+(-8)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\cr } \] Wówczas: \[ \cos\varphi={u_1v_1+u_2v_2\over \vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert}= {1\cdot 4 + (-2)\cdot (-8)\over \sqrt{5}\cdot 4 \sqrt{5}}= {20\over 20}=1 \] oraz \[\sin\varphi ={\vert u_1v_2-u_2v_1\vert \over \vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert} ={\vert 1\cdot (-8)-(-2)\cdot 4\vert \over \sqrt{5}\cdot 4 \sqrt{5}}= {\vert 0\vert \over 20}=0 \] Zauważmy, że skoro \( \cos\varphi=1 \) i \( \sin\varphi=0, \) to \(\varphi=0,\) więc wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe.
Warunki prostopadłości i równoległości wektorów opisane były już wcześniej. Jednak znając związek iloczynu skalarnego z kątem między wektorami, możemy sformułować te warunki w innej postaci.
Twierdzenie
Niech \(\vec{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\vec{v}=\left[v_1,v_2\right]\) będą niezerowymi wektorami w \(\mathbb{R^2}\). Wówczas: \[ \vec{u} \perp \vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u_1v_1+u_2v_2 = 0 \] \[ \vec{u} \parallel \vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u_1v_2-u_2v_1 = 0 \]
Z powyższego twierdzenia wynika następujący fakt:
Fakt
Jeżeli wektory \(\vec{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\vec{v}=\left[v_1,v_2\right]\) są niezerowe oraz \(v_1\neq 0\) i \(v_2\neq 0\), to: \[ \vec{u} \perp \vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad {u_1\over v_2}=-{u_2\over v_1} \] \[ \vec{u} \parallel \vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad {u_1\over v_1}={u_2\over v_2} \]
Zadanie
Sprawdź, czy wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe albo równoległe, jeżeli:
  1. \(\vec{u} = \left[3,2\right]\), \(\vec{v}= \left[1,-3\right]\)
    Rozpoczniemy od sprawdzenia, czy wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe. Zgodnie z powyższym twierdzeniem wystarczy obliczyć wartość wyrażenia \[u_1v_1+u_2v_2 = 3\cdot1 + 2\cdot(-3)=-3\neq0,\] więc wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) nie są prostopadłe.
    Sprawdzimy teraz, czy wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe, obliczając wartość wyrażenia \[u_1v_2-u_2v_1 = 3\cdot(-3) + 2\cdot1=-7\neq0,\] więc wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) nie są także równoległe.
  2. \(\vec{u} = \left[4,-2\right]\), \(\vec{v}= \left[3,6\right]\)
    Rozpoczniemy od sprawdzenia, czy wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe. Zgodnie z powyższym twierdzeniem wystarczy obliczyć wartość wyrażenia \[u_1v_1+u_2v_2 = 4\cdot 3-2\cdot 6=0,\] więc wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe, co kończy zadanie.
  3. \(\vec{u} = \left[3,2\right]\), \(\vec{v}= \left[-6,-4\right]\)
    Rozpoczniemy od sprawdzenia, czy wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe. Zgodnie z powyższym twierdzeniem wystarczy obliczyć wartość wyrażenia \[u_1v_1+u_2v_2 = 3\cdot (-6)+2\cdot (-4)=-26\neq0,\] więc wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) nie są prostopadłe.
    Sprawdzimy teraz, czy wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe, obliczając wartość wyrażenia \[u_1v_2-u_2v_1 = 3\cdot(-4) - 2\cdot(-6)=0,\] więc wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe.
Zadanie
Wyznacz wartość parametru \(m\) tak, aby wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) były prostopadłe:
  1. \(\vec{u} = \left[m+2,-1\right]\), \(\vec{v}= \left[2,2m+3\right]\)
    Aby wektory były prostopadłe, wyrażenie \(u_1v_1+u_2v_2\) musi być równe \(0\). Zatem mamy do rozwiązania równanie \[ (m+2)\cdot 2-1(2m+3)=0 \] \[ 2m+4-2m-3=0\] \[1=0 \] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, co oznacza, że nie istnieje parametr \(m\) taki, żeby wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) były prostopadłe.
  2. \(\vec{u} = \left[3,m-1\right]\), \(\vec{v}= \left[2m-1,3\right]\)
    Aby wektory były prostopadłe, wyrażenie \(u_1v_1+u_2v_2\) musi być równe \(0\), więc: \[ 3\cdot (2m-1)+(m-1)3=0 \] \[ 6m-3+3m-3=0 \] \[ 9m=6 \] \[ m={2\over 3} \] Zatem wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe dla \(m={2\over 3}\).
  3. \(\vec{u} = \left[m-1,-1\right]\), \(\vec{v}= \left[2,2m-2\right]\)
    Aby wektory były prostopadłe, wyrażenie \(u_1v_1+u_2v_2\) musi być równe \(0\), więc: \[ (m-1)\cdot 2-1(2m-2)=0 \] \[ 2m-2-2m+2=0\] \[ 0=0 \] Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe, co oznacza, że dla dowolnej wartości parametru \(m\) wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe.
Zadanie
Wyznacz wartość parametru \(m\) tak, aby wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) były równoległe:
  1. \(\vec{u} = \left[-2m+2,-1\right]\), \(\vec{v}= \left[-8,m+3\right]\)
    Aby wektory były równoległe, wyrażenie \(u_1v_2-u_2v_1\) musi być równe \(0\). Zatem mamy do rozwiązania równanie: \[ (-2m+2)\cdot(m+3)-(-1)\cdot(-8)=0 \] \[ -2m^2-4m+6-8=0\] \[ -2m^2-4m-2=0\] \[ m^2+2m+1=0\] \[(m+1)^2=0\] \[ m=-1 \] Zatem wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe dla \(m=-1\).
  2. \(\vec{u} = \left[3m+1,m-2\right]\), \(\vec{v}= \left[-6m+1,-2m+5\right]\)
    Aby wektory były równoległe, wyrażenie \(u_1v_2-u_2v_1\) musi być równe \(0\), więc: \[ (3m+1)\cdot(-2m+5)-(m-2)\cdot(-6m+1)=0 \] \[ -6m^2+13m+5-(-6m^2+13m-2)=0 \] \[ -6m^2+13m+5+6m^2-13m+2=0 \] \[ 7=0 \] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, co oznacza, że nie istnieje parametr \(m\) taki, żeby wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) były równoległe.
  3. \(\vec{u} = \left[m-2,2\right]\), \(\vec{v}= \left[3m-6,6\right]\)
    Aby wektory były równoległe, wyrażenie \(u_1v_2-u_2v_1\) musi być równe \(0\), więc: \[ (m-2)\cdot6-2\cdot(3m-6)=0 \] \[6m-12-6m+12=0 \] \[ 0=0 \] Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe, co oznacza, że dla dowolnej wartości parametru \(m\) wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są równoległe.