matematyka : Elipsa

Definicja

Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów

$P$ płaszczyzny, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów

$F_1$ i

$F_2$ , zwanych ogniskami elipsy, jest wielkością stałą i równą

$2a$ , gdzie

$2a>\vert F_1F_2\vert$ , tzn.

$\czerwony{\boldsymbol{\vert PF_1\vert +\vert PF_2\vert =2a}}$ Środek odcinka

$F_1F_2$ nazywamy środkiem elipsy, a jego długość – ogniskową. Jeżeli przez

$A_1$ i

$A_2$ oznaczymy punkty przecięcia elipsy z prostą przechodzącą przez jej ogniska, to odcinek

$A_1A_2$ nazywamy osią wielką elipsy. Jeżeli przez

$B_1$ i

$B_2$ oznaczymy punkty przecięcia elipsy z symetralną osi wielkiej, to odcinek

$B_1B_2$ nazywamy osią małą elipsy.

Elipsa

Twierdzenie

Jeżeli ogniskami elipsy są punkty

$F_1(-c,0)$ i

$F_2=(c,0)$ oraz długość osi wielkiej jest równa

$2a$ , gdzie

$0\leq c<a$ , to równanie elipsy wyraża się wzorem

${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1,$ gdzie

$b^2=\sqrt{a^2-c^2}$ . Długość osi małej wynosi wtedy

$2b$ , gdzie

$b\leq a$ .

Elipsa o osi wielkiej 2a i osi małej 2b.

Elipsa o równaniu

${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1$ ,

$b<a$

Uwaga

Jeżeli w równaniu

${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1$

$a<b$ , to opisuje ono elipsę, której ogniska i oś wielka leżą na osi

$Oy$ .

Uwaga

Jeżeli

$a=b$ , to równanie elipsy

${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1$ opisuje okrąg o środku

$O(0,0)$ i promieniu

$r=a$ .

Twierdzenie

Jeżeli przesuniemy elipsę opisaną wzorem

${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1$ o wektor

$\vec{v}=\left[p,q\right]$ , to jej równanie będzie miało postać

${\left(x-p\right)^2\over a^2}+{\left(y-q\right)^2\over b^2} = 1$

Zadanie

Znajdź ogniska i długości osi wielkiej oraz osi małej elipsy o równaniu:

$\displaystyle {x^2\over 25}+{y^2\over 4} = 1$
Z równania elipsy odczytujemy, że $a=5$ i $b=2$ . Zatem dla $a>b$ długość osi wielkiej to $2a=10$ , a długość osi małej to $2b=4$ . Ponieważ $b^2=a^2-c^2$ , to $c^2=a^2-b^2=25-4=21$ Wynika stąd, że ogniskami elipsy są punkty $F_1\left(-\sqrt{21},0\right),\quad F_2\left(\sqrt{21},0\right)$
$\displaystyle {x^2\over 9}+{y^2\over 16} = 1$
Z równania elipsy odczytujemy, że $a=3$ i $b=4$ . Ponieważ $a<b$ , zatem długość osi wielkiej to $2b=8$ , a długość osi małej to $2a=6$ . Ponieważ $c^2=b^2-a^2=16-9=7,$ więc ogniskami elipsy są punkty $F_1\left(0,\sqrt{7}\right),\quad F_2\left(0,\sqrt{7}\right)$
$\displaystyle {x^2\over 2}+{y^2\over 3} = 7$
Ponieważ prawa strona tego równania nie jest równa $1$ , musimy je uporządkować, dzieląc stronami przez $7$ ${x^2\over 14}+{y^2\over 21} = 1$ Z równania elipsy odczytujemy, że $a=\sqrt{14}$ i $b=\sqrt{21}$ . Ponieważ $a<b$ , zatem długość osi wielkiej to $2b=2\sqrt{21}$ , a długość osi małej to $2a=2\sqrt{14}$ . Ponieważ $c^2=b^2-a^2=21-14=7,$ więc ogniskami elipsy są punkty $F_1\left(0,\sqrt{7}\right),\quad F_2\left(0,\sqrt{7}\right)$

Zadanie

Napisz równanie elipsy o ogniskach położonych na osi

$Ox$ symetrycznie względem początku układu współrzędnych, jeżeli dana jest długość osi wielkiej

$2a$ i osi małej

$2b$ , gdzie:

$2a=8$ i $2b=4$
Elipsę o ogniskach położonych na osi $Ox$ symetrycznie względem początku układu współrzędnych opisuje równanie ${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1,$ gdzie $a$ i $b$ to połowa długości, odpowiednio osi wielkiej i małej. Ponieważ $a=4$ i $b=2$ , to równanie danej elipsy wygląda następująco ${x^2\over 16}+{y^2\over 4} = 1$
$2a=10$ i $2b=6$
Ponieważ $a=5$ i $b=3$ , to dana elipsa opisana jest za pomocą wzoru ${x^2\over 25}+{y^2\over 9} = 1$

Zadanie

Napisz równanie elipsy o ogniskach położonych na osi

$Oy$ symetrycznie względem początku układu współrzędnych, jeżeli dana jest długość osi wielkiej

$2b$ i osi małej

$2a$ , gdzie:

$2a=2$ i $2b=12$
Elipsę o ogniskach położonych na osi $Oy$ symetrycznie względem początku układu współrzędnych opisuje równanie ${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1,$ gdzie $a$ i $b$ to połowa długości, odpowiednio osi małej i wielkiej. Ponieważ $a=1$ i $b=6$ , to równanie danej elipsy wygląda następująco $x^2+{y^2\over 36} = 1$
$2a=4$ i $2b=14$
Ponieważ $a=2$ i $b=7$ , to szukana elipsa opisana jest za pomocą wzoru ${x^2\over 4}+{y^2\over 49} = 1$

Zadanie

Narysuj elipsę o podanym równaniu:

$\displaystyle {x^2\over 9}+{y^2\over 4} = 1$
Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie $O(0,0)$ . Ponieważ $a=3$ , $b=2$ i $a>b$ , więc oś wielka o długości $6$ leży na osi $Ox$ . Długość osi małej, leżącej na osi $Oy$ , wynosi $2$ .
$5x^2+y^2 = 5$
Ponieważ prawa strona równania nie jest równa $1$ , więc dzielimy obustronnie to równanie przez $5$ i otrzymujemy $x^2+{y^2\over 5} = 1$ Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie $O(0,0)$ . Ponieważ $a=1$ , $b=\sqrt{5}$ i $a<b$ , więc oś wielka o długości $2\sqrt{5}$ leży na osi $Oy$ . Długość osi małej, leżącej na osi $Ox$ , wynosi $2$ .
$\displaystyle {\left(x-1\right)^2\over 16}+{\left(y+1\right)^2\over 9} = 1$
Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie $S(1,-1)$ . Ponieważ $a=4$ , $b=3$ i $a>b$ , więc długość jej osi wielkiej to $8$ , a osi małej to $6$ .
$x^2 + 4y^2 + 2x + 16y + 16 = 0$
Pogrupujemy wyrazy w równaniu elipsy $x^2+2x + 4\left(y^2+4y\right) +16=0$ Przekształcimy równanie elipsy, stosując wzory skróconego mnożenia. Ponieważ $x^2+2x+1=(x+1)^2$ , więc $x^2+2x=(x+1)^2-1$ . Analogicznie otrzymujemy $y^2+4y=(y+2)^2-4$ . Zatem równanie elipsy możemy przedstawić w postaci $(x+1)^2-1 + 4\left[(y+2)^2-4\right] +16=0$ $(x+1)^2-1 + 4(y+2)^2-16 +16=0$ $(x+1)^2 + 4(y+2)^2=1$ $(x+1)^2 + {(y+2)^2\over {1\over 4}}=1$ Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie $S(-1,-2)$ . Ponieważ $a=1$ , $b={1\over 2}$ i $a>b$ , więc długość jej osi wielkiej to $2$ , a osi małej to $1$ .
$2x^2 + 3y^2 -8x + 18y + 29 = 0$
Pogrupujemy wyrazy w równaniu elipsy $2\left(x^2-4x\right) + 3\left(y^2+6y\right) +29=0$ Przekształcimy równanie elipsy, stosując wzory skróconego mnożenia $2\left[(x-2)^2-4\right] + 3\left[(y+3)^2-9\right] +29=0$ $2(x-2)^2-8 + 3(y+3)^2-27 +29=0$ $2(x-2)^2 + 3(y+3)^2=6 /:6$ ${(x-2)^2\over 3} + {(y+3)^2\over 2}=1$ Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie $S(2,-3)$ . Ponieważ $a=\sqrt{3}$ , $b=\sqrt{2}$ i $a>b$ , więc długość jej osi wielkiej to $2\sqrt{3}$ , a osi małej to $2\sqrt{2}$ .
$4x^2+y^2-8x-2y+1=0$
Pogrupujemy wyrazy w równaniu elipsy $4\left(x^2-2x\right) + \left(y^2-2y\right) +1=0$ Przekształcamy równanie elipsy, stosując wzory skróconego mnożenia $4\left[(x-1)^2-1\right] + \left[(y-1)^2-1\right] +1=0$ $4(x-1)^2-4 + (y-1)^2-1 +1=0$ $4(x-1)^2 + (y-1)^2=4 /:4$ $(x-1)^2 + {(y-1)^2\over 4}=1$ Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie $O(1,1)$ . Ponieważ $a=1$ , $b=2$ i $a<b$ , więc oś wielka o długości $4$ jest równoległa do osi $Oy$ . Długość osi małej, równoległej do osi $Ox$ , wynosi $2$ .