Możliwości rozdzielenia czterech zaproszeń między dziesięć osób jest tyle, ile \(4\)-elementowych kombinacji \(10\)-elementowego zbioru osób. Oznacza to, że wszystkich możliwych sposobów podziału zaproszeń jest \[C_{10}^4={10 \choose 4}=\frac{10!}{4!\cdot\left(10-4\right)!}=\frac{10!}{4!\cdot6!}= \frac{\stackrel{{ \;\;\; }}{\ccancel{\fioletowy}{6!}}\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10} {4!\cdot\stackrel{{ \;\;\; }}{\ccancel{\fioletowy}{6!}}}=210\]

Do obliczenia liczby przekątnych w \(n\)-kącie wypukłym można użyć \(2\)-elementowych podzbiorów \(n\)-elementowego zbioru wierzchołków tego \(n\)-kąta. Jednak wśród nich są również pary sąsiednich wierzchołków, które odpowiadają bokom tego \(n\)-kąta, a nie przekątnym, i muszą zostać odjęte od liczby wszystkich \(2\)-elementowych kombinacji \(n\)-elementowego zbioru wierzchołków. Przekątnych w dowolnym \(n\)-kącie wypukłym jest zatem \[\eqalign{C_n^2-n&={n \choose 2}-n=\frac{n!}{2!\cdot\left(n-2\right)!}-n= \frac{\ccancel{\fioletowy}{\left(n-2\right)!}\cdot \left(n-1\right)\cdot n}{2!\cdot\ccancel{\fioletowy}{\left(n-2\right)!}}-n=\cr&= \frac{\left(n-1\right)\cdot n}{2!}-n= \frac{n\cdot\left(n-3\right)}{2}\cr}\]

Możliwości wyboru sześciu siatkarzy spośród dziesięciu osób jest tyle, ile istnieje \(6\)-elementowych kombinacji \(10\)-elementowego zbioru zawodników. Trener może więc stworzyć ich \[C_{10}^6={10 \choose 6}=\frac{10!}{6!\cdot\left(10-6\right)!}=\frac{10!}{6!\cdot4!}= \frac{\stackrel{{ \;\;\; }}{\ccancel{\fioletowy}{6!}}\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10} {\stackrel{{ \;\;\; }}{\ccancel{\fioletowy}{6!}}\cdot 4!}=210\]

Każdemu uściskowi dłoni odpowiada jeden podzbiór \(2\)-elementowy \(8\)-elementowego zbioru kolegów. Powitań nastąpi zatem \[C_8^2={8 \choose 2}=\frac{8!}{2!\cdot\left(8-2\right)!}=\frac{8!}{2!\cdot6!}= \frac{\ccancel{\fioletowy}{6!}\cdot 7\cdot 8}{2!\cdot\ccancel{\fioletowy}{6!}}=28\]

Każda prosta łączy tylko dwa z dziesięciu danych punktów, gdyż żadne trzy punkty nie są współliniowe. Zatem jednej prostej odpowiada jeden \(2\)-elementowy podzbiór \(10\)-elementowego zbioru punktów. Prostych wyznaczonych przez dziesięć punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe, jest zatem \[C_{10}^2={10 \choose 2}=\frac{10!}{2!\cdot\left(10-2\right)!}=\frac{10!}{2!\cdot8!}= \frac{\ccancel{\fioletowy}{8!}\cdot 9\cdot 10}{2!\cdot\ccancel{\fioletowy}{8!}}=45\]

W talii \(52\) kart są cztery asy i \(48\) innych kart. Losując pięć kart, chcemy, aby wśród nich były dwa asy i trzy inne karty. Dwa asy możemy wylosować na tyle sposobów, ile jest \(2\)-elementowych podzbiorów \(4\)-elementowego zbioru asów, czyli \[C_2^4={4 \choose 2}=\frac{4!}{2!\cdot\left(4-2\right)!}= \frac{4!}{2!\cdot2!}=\frac{\ccancel{\fioletowy}{2!}\cdot 3\cdot 4}{2!\cdot\ccancel{\fioletowy}{2!}}=6\] Pozostałe trzy karty możemy wylosować na tyle sposobów, ile jest \(3\)-elementowych kombinacji \(48\)-elementowego zbioru kart innych niż asy, więc możemy to zrobić na \[ C_{47}^3={47 \choose 3}=\frac{47!}{3!\cdot\left(47-3\right)!}= \frac{47!}{3!\cdot44!}=\frac{\ccancel{\fioletowy}{44!}\cdot45\cdot46\cdot47}{3!\cdot\ccancel{\fioletowy}{44!}}= 16\ 215\] sposobów. Zgodnie z regułą mnożenia z talii \(52\) kart możliwości wylosowania pięciu kart, wśród których będą dwa asy, jest \[C_4^2\cdot C_{47}^3={4 \choose 2}\cdot{47 \choose 3}=6\cdot 16\ 215=97\ 290\]

Skoro wśród wylosowanych żarówek ma być co najwyżej jedna wadliwa, to musimy rozważyć dwa przypadki:

1. wylosujemy jedną z dwóch wadliwych żarówek i dwie z ośmiu działających żarówek lub
2. wylosujemy same dobre żarówki.

W pierwszym przypadku zgodnie z regułą mnożenia mamy \[ C_2^1\cdot C_8^2={2 \choose 1}\cdot{8 \choose 2}=1\cdot\frac{8!}{2!\cdot\left(8-2\right)!}= \frac{8!}{2!\cdot6!}=\frac{\ccancel{\fioletowy}{6!}\cdot7\cdot8}{2!\cdot\ccancel{\fioletowy}{6!}}=28\] możliwości. W drugim przypadku możliwości jest \[C_8^3={8 \choose 3}=\frac{8!}{3!\cdot\left(8-3\right)!}= \frac{8!}{2!\cdot5!}=\frac{\ccancel{\fioletowy}{5!}}{2!\cdot\ccancel{\fioletowy}{5!}}=168\] Zgodnie z regułą dodawania sposobów wylosowania co najwyżej jednej wadliwej żarówki jest zatem \[28+168=196\]