Indeks pojęć
Szukaj: cała zawartość
Alternatywą (sumą logiczną) zdań \(p\) i \(q\) nazywamy zdanie \(p\:{ \vee}\: q\), co czytamy: \(p\) lub \(q\). Wartości logiczne alternatywy znajdują się w tabelce
| \( p\) | \( q\) | \( p\; { \vee}\: q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Cechą nazywamy wartość funkcji, która liczbie rzeczywistej \(x\) przyporządkowuje największą liczbę całkowitą nie większą od \(x\), i oznaczamy ją \([x]\). \[ \bigwedge_{x\in\mathbb{R}}\quad [x]=k \Longleftrightarrow k\in \mathbb{Z} \quad
\wedge \quad k\leq x< k+1 \] Funkcja \(y=[x]\) nazywana jest również częścią całkowitą liczby rzeczywistej lub entier i oznaczana przez \(E(x)\) lub \(\lfloor x \rfloor\).
Cecha
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy \(\left(a_n\right)\), jeżeli \[ \bigvee_{r\in \mathbb{R}}\quad \bigwedge_{{n\in \mathbb{N}_+}}\quad a_{n+1}=a_n+r \] Liczbę \(r\) nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy \(\left(a_n\right)\), jeżeli \[ \bigvee_{q\in \mathbb{R}} \quad\bigwedge_{{n\in \mathbb{N}_+}}\quad a_{n+1}=a_n\cdot q \] Liczbę \(q\) nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Ciągiem nieskończonym (krótko: ciągiem) nazywamy funkcję \[ f:\quad{\mathbb{N}_+}\longrightarrow \mathbb{R} \] Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej \({n\in \mathbb{N}_+}\) będziemy nazywać \(\boldsymbol n\)-tym wyrazem ciągu i oznaczać przez \(a_n\), tzn. \(f(n)=a_n\). Ciąg oznaczać będziemy symbolem \(\left(a_n\right)\).
Wykres ciągu \(\left(a_n\right)\)
Ciągiem malejącym nazywamy ciąg \(\left(a_n\right)\), jeżeli \[\bigwedge_{{n\in \mathbb{N}_+}}\quad a_n> a_{n+1}\] Warunek ten zachodzi, gdy każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.
Ciąg malejący
Ciągiem niemalejącym nazywamy ciąg \(\left(a_n\right)\), jeżeli \[\bigwedge_{n\in {n\in \mathbb{N}_+}}\quad a_n\leq a_{n+1}\] W tym przypadku każdy następny wyraz jest nie mniejszy od poprzedniego.
Ciąg niemalejący
Ciągiem nierosnącym nazywamy ciąg \(\left(a_n\right)\), jeżeli \[\bigwedge_{{n\in \mathbb{N}_+}}\quad a_n \geq a_{n+1}\] Wówczas każdy następny wyraz jest nie większy od poprzedniego.
Ciąg nierosnący
Ciągiem ograniczonym nazywamy ciąg \(\left(a_n\right)\), jeżeli \[\bigvee_{m,M\in R}\quad \bigwedge_{{n\in \mathbb{N}_+}}\quad m\leq a_n\leq M\]
Ciąg ograniczony
Ciągiem ograniczonym z dołu nazywamy ciąg \(\left(a_n\right)\), jeżeli \[\bigvee_{m\in R}\quad \bigwedge_{{n\in \mathbb{N}_+}}\quad a_n\geq m\]
Ciąg ograniczony z dołu
Ciągiem ograniczonym z góry nazywamy ciąg \(\left(a_n\right)\), jeżeli \[\bigvee_{M\in R}\quad \bigwedge_{n\in \mathbb{N}_+}\quad a_n\leq M\]
Ciąg ograniczony z góry
Ciągiem rosnącym nazywamy ciąg \(\left(a_n\right)\), jeżeli \[\bigwedge_{n\in \mathbb{N}_+}\quad a_n< a_{n+1}\] Innymi słowy, każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego.
Ciąg rosnący
Ciągiem rozbieżnym nazywamy ciag, który nie posiada granicy właściwej ani niewłaściwej.
Ciągiem stałym nazywamy ciąg \(\left(a_n\right)\), jeżeli \[\bigwedge_{n\in \mathbb{N}_+}\quad a_n=a_{n+1} \] Oznacza to, że każdy wyraz ciągu ma taką samą wartość.
Cosinusem kąta \(\alpha\) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(\alpha\) do długości przeciwprostokątnej, czyli \[ \cos \alpha ={\niebieski{\boldsymbol{b}}\over \zielony{\boldsymbol{c}}} \]
Trójkąt prostokątny
Cotangensem kąta \(\alpha\) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(\alpha\) do długości drugiej przyprostokątnej, czyli \[ \hbox{ctg}\: \alpha ={\niebieski{\boldsymbol{b}}\over \czerwony{\boldsymbol{a}}} \]
Trójkąt prostokątny
Długością wektora \(\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\) nazywamy liczbę \[ \vert \overrightarrow{u} \vert=\sqrt{\left(u_1\right)^2+\left(u_2\right)^2} \]
Niech \(A\) będzie dowolnym zbiorem w przestrzeni \(X\), tzn. \(A\subset X\).
Dopełnieniem zbioru \(\czerwony{\boldsymbol{A}}\) w przestrzeni \(\niebieski{\boldsymbol{X}}\) nazywamy zbiór oznaczany symbolem \(A'\), gdzie \[ A' = \{x\in X:\ x\notin A\}=X\backslash A \]
Dopełnieniem zbioru \(\czerwony{\boldsymbol{A}}\) w przestrzeni \(\niebieski{\boldsymbol{X}}\) nazywamy zbiór oznaczany symbolem \(A'\), gdzie \[ A' = \{x\in X:\ x\notin A\}=X\backslash A \]
Dopełnienie zbioru
Niech \(f:\ X\longrightarrow Y\). Zbiór \(X\) nazywamy dziedziną funkcji \(f\) i oznaczamy symbolem \(D_f\). Zbiór \(Y\) nazywamy przeciwdziedziną funkcji \(f\). Zbiór \[ W_f=\left\{y\in Y: \ \bigvee_{x\in D_f}\ y=f(x)\right\} \] nazywamy zbiorem wartości funkcji \(f\).
Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów \(F_1\) i \(F_2\), zwanych ogniskami elipsy, jest wielkością stałą i równą \(2a\), gdzie \(2a>\vert F_1F_2\vert\), tzn.
\[\vert PF_1\vert +\vert PF_2\vert =2a\]
Środek odcinka \(F_1F_2\) nazywamy środkiem elipsy, a jego długość – ogniskową.
Jeżeli przez \(A_1\) i \(A_2\) oznaczymy punkty przecięcia elipsy z prostą przechodzącą przez jej ogniska, to odcinek \(A_1A_2\) nazywamy osią wielką elipsy. Jeżeli przez \(B_1\) i \(B_2\) oznaczymy punkty
przecięcia elipsy z symetralną osi wielkiej, to odcinek \(B_1B_2\) nazywamy osią małą elipsy.
Elipsa
Formą zdaniową określoną w zbiorze \(X\) nazywamy wyrażenie \(\varphi (x)\), które staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennej \(x\) wstawimy dowolny element ze zbioru \(X\). Zbiór \(X\) nazywamy dziedziną formy zdaniowej. Mówimy, że element należący do dziedziny spełnia formę zdaniową, jeżeli podstawiony do niej daje zdanie prawdziwe.
Formy zdaniowe \(p(x)\) i \(q(x)\) nazywamy formami równoważnymi, jeżeli każdy element spełniający formę \(p(x)\) spełnia także formę \(q(x)\) i odwrotnie. Zapisujemy to symbolicznie \[ p(x)\Longleftrightarrow q(x) \]
Formą sprzeczną nazywamy formę, której nie spełnia żaden element jej dziedziny.
Formą tożsamościową nazywamy formę, którą spełnia każdy element jej dziedziny.
Niech \(X,Y\) będą niepustymi zbiorami. Funkcją określoną w zbiorze \(X\) o wartościach w zbiorze \(Y\) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi \(x\in X\) dokładnie jednego elementu \(y\in Y\) i oznaczamy przez \[ f:\quad X\longrightarrow Y \] Wartość \(y\) funkcji \(f\) w punkcie \(x\) oznaczamy przez \(f(x)\).
Funkcja \(f:\ X\longrightarrow Y\)
Funkcją arcus cosinus nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\cos\left\vert_{\left<0, \pi \right>}\right.\) i oznaczamy przez \(\arccos\). Zatem \[ \arccos :\ \left<-1,1\right> \longrightarrow \left<0, \pi \right> \quad
\text{oraz}\quad y=\arccos x \ \Longleftrightarrow\ x=\cos y \]
Wykres funkcji \(y=\arccos x\)
Funkcją arcus cotangens nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\mathrm{ctg}\, \left\vert_{\left(0, \pi\right)}\right.\) i oznaczamy przez \(\hbox{arcctg}\). Zatem \[ \mathrm{arcctg}\, :\ \mathbb{R} \longrightarrow \left(0, \pi\right)
\quad \text{oraz}\quad y=\mathrm{arcctg}\, x \ \Longleftrightarrow\ x=\mathrm{ctg}\, y \]
Wykres funkcji \(y=\mathrm{arcctg}\, x\)
Funkcją arcus sinus nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\sin\left\vert_{\left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>}\right.\) i oznaczamy przez \(\arcsin\). Zatem \[ \arcsin :\ \left<-1,1\right> \longrightarrow \left<-{\pi
\over 2},{\pi \over 2}\right> \quad \text{oraz} \quad y=\arcsin x \ \Longleftrightarrow\ x=\sin y \]
Wykres funkcji \(y=\arcsin x\)
Funkcją arcus tangens nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\mathrm{tg}\, \left\vert_{\left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right)}\right.\) i oznaczamy przez \(\hbox{arctg}\). Zatem \[ \mathrm{arctg}\, :\ \mathbb{R} \longrightarrow \left(-{\pi
\over 2},{\pi \over 2}\right) \quad \text{oraz}\quad y=\mathrm{arctg}\, x \ \Longleftrightarrow\ x=\mathrm{tg}\, y \]
Wykres funkcji \(y=\mathrm{arctg}\, x\)
Funkcją cosinus nazywamy funkcję \(\cos:\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) określoną jako \[ \cos x=\cos \alpha, \] gdzie \(x\) jest miarą łukową kąta skierowanego \(\alpha\).
Wykres funkcji \( y=\cos x\)
Funkcją cotangens nazywamy funkcję \(\hbox{ctg}\: :\: \mathbb{R}\backslash \{k\pi: \: k\in \mathbb{Z}\} \rightarrow \mathbb{R}\) określoną jako \[ \hbox{ctg}\: x=\hbox{ctg}\: \alpha, \] gdzie \(x\) jest miarą łukową kąta skierowanego \(\alpha\).
Wykres funkcji \(y=\hbox{ctg}\: x\)
Funkcją Dirichleta nazywamy funkcję \(D : \mathbb{R}\longrightarrow \{0,1\}\) określoną wzorem \[ D(x)=\cases{1 &dla \(\ x\in\mathbb{Q}\) \cr 0 &dla \(\ x\notin \mathbb{Q}\)\cr } \] Wykres funkcji Dirichleta jest przedstawiany
symbolicznie, gdyż niemożliwe jest dokładne oddzielenie liczb wymiernych od liczb niewymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych.
Funkcja Dirichleta
Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję \(f:\ \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) określoną wzorem \[f(x)=ax^2+bx+c,\] gdzie \(a,b,c\in \mathbb{R}\) i \(a\neq 0\).
Funkcją liniową nazywamy funkcję \(f:\ \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) określoną wzorem \[f(x)=ax+b,\] gdzie \(a,b\in \mathbb{R}\). Liczbę \(a\) nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a liczbę \(b\) wyrazem wolnym funkcji liniowej.
Niech \(a\) będzie liczbą rzeczywistą taką, że \(a\in(0,1)\cup (1,\infty)\). Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję \(f:\ \mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}\) określoną wzorem \[ f(x)=\log_a x \]
Wykresy funkcji \(y = \log_a x\)
Funkcją malejącą w zbiorze \(A\subset D_f\) nazywamy funkcję \(f:\ D_f \longrightarrow \mathbb{R}\), jeżeli \[ \bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1<x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)>f(x_2)\]
Funkcja malejąca
Funkcją monotoniczną w zbiorze \(A\subset D_f\) nazywamy funkcję \(f:\ D_f \longrightarrow \mathbb{R}\), która jest rosnąca albo malejąca, albo nierosnąca, albo niemalejąca w zbiorze \(A\).
Funkcją ściśle monotoniczną w zbiorze \(A\subset D_f\) nazywamy funkcję \(f:\ D_f \longrightarrow \mathbb{R}\), która jest rosnąca albo malejąca w zbiorze \(A\).
Funkcją niemalejącą w zbiorze \(A\subset D_f\) nazywamy funkcję \(f:\ D_f \longrightarrow \mathbb{R}\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1<x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)\leq f(x_2)\]
Funkcja niemalejąca
Funkcją nieparzystą nazywamy funkcję \(f:\ X\longrightarrow Y\), jeżeli \[\bigwedge_{x\in X}\quad -x\in X \quad \wedge\quad f(-x)=-f(x)\]
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu \((0,0)\).
Funkcja nieparzysta
Funkcją nierosnącą w zbiorze \(A\subset D_f\) nazywamy funkcję \(f:\ D_f \longrightarrow \mathbb{R}\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1<x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)\geq f(x_2)\]
Funkcja nierosnąca
Niech funkcja \(f:\ X \longrightarrow Y\) będzie wzajemnie jednoznaczna. Funkcją odwrotną do funkcji \(f\) nazywamy funkcję \(f^{-1}:\ Y\longrightarrow X\) spełniającą warunek \[ \bigwedge_{x\in X}\quad\bigwedge_{y\in Y}\quad f^{-1}(y)=x\quad \Longleftrightarrow\quad y=f(x) \]
Funkcje odwrotne
Funkcją ograniczoną z dołu w zbiorze \(A\subset D_f\) nazywamy funkcję \(f:\ D_f \longrightarrow \mathbb{R}\), jeżeli \[\bigvee_{m\in \mathbb{R}}\quad \bigwedge_{x\in A}\quad f(x)\geq m\]
Funkcja ograniczona z dołu
Funkcją ograniczoną z góry w zbiorze \(A\subset D_f\) nazywamy funkcję \(f:\ D_f \longrightarrow \mathbb{R}\), jeżeli \[\bigvee_{M\in \mathbb{R}}\quad \bigwedge_{x\in A}\quad f(x)\leq M\]
Funkcja ograniczona z góry
Funkcją ograniczoną w zbiorze \(A\subset D_f\) nazywamy funkcję \(f:\ D_f \longrightarrow \mathbb{R}\), jeżeli \[\bigvee_{m,M\in \mathbb{R}}\quad \bigwedge_{x\in A}\quad m\leq f(x)\leq M\]
Funkcja ograniczona
Funkcją okresową nazywamy funkcję \(f:\ X\longrightarrow Y\), jeżeli \[\bigvee_{T>0}\quad \bigwedge_{x\in X}\quad x+T\in X \quad \wedge\quad f(x+T)=f(x)\] Liczbę \(T\) nazywamy okresem funkcji \(f\). Jeżeli istnieje najmniejszy okres funkcji \(f\), to nazywamy go okresem podstawowym.
Funkcja okresowa
Funkcją parzystą nazywamy funkcję \(f:\ X\longrightarrow Y\), jeżeli \[\bigwedge_{x\in X}\quad -x\in X \quad \wedge\quad f(-x)=f(x)\]
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \(Oy\).
Funkcja parzysta
Funkcją potęgową nazywamy funkcję \(f\) wyrażoną wzorem \[ f(x)=x^\alpha, \] gdzie \(\alpha\) jest liczbą rzeczywistą.
Funkcją rosnącą w zbiorze \(A\subset D_f\) nazywamy funkcję \(f:\ D_f \longrightarrow \mathbb{R}\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1 <x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)<f(x_2)\]
Funkcja rosnąca
Funkcjami równymi nazywamy funkcje \(f:\ D_f \longrightarrow Y\) oraz \(g:\ D_g\longrightarrow Y\), jeżeli \[ D_f=D_g\quad\wedge\quad\bigwedge_{x\in D_f}\ f(x)=g(x) \]
Funkcją różnowartościową w zbiorze \(A\subset D_f\) nazywamy funkcję \(f:\ D_f \longrightarrow \mathbb{R}\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1\not= x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)\not= f(x_2)\]
Funkcją sinus nazywamy funkcję \(\sin:\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) określoną jako \[ \sin x=\sin \alpha, \] gdzie \(x\) jest miarą łukową kąta skierowanego \(\alpha\).
Wykres funkcji \( y=\sin x\)
Funkcją stałą w zbiorze \(A\subset D_f\) nazywamy funkcję \(f:\ D_f \longrightarrow \mathbb{R}\), jeżeli \[ \bigvee _{c\in \mathbb{R}}\quad\bigwedge_{x\in A}\quad f(x)=c \]
Funkcją tangens nazywamy funkcję \({\hbox{tg}\::\: \mathbb{R}\backslash \{{\pi\over 2}+k\pi:\: k\in \mathbb{Z}\} \rightarrow \mathbb{R}}\) określoną jako \[ \hbox{tg}\: x=\hbox{tg}\: \alpha, \] gdzie \(x\) jest miarą łukową kąta skierowanego \(\alpha\).
Wykres funkcji \( y=\hbox{tg}\: x\)
Niech \(a\) będzie liczbą rzeczywistą taką, że \(a\in(0,1)\cup (1,\infty)\). Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję \(f:\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}_+\) określoną wzorem \[f(x)=a^x\]
Wykresy funkcji \(y=a^x\)
Funkcją wymierną nazywamy funkcję \(f\), która ma postać \[ f(x)={W(x)\over Q(x)}, \] gdzie \(W(x)\), \(Q(x)\) są wielomianami, przy czym wielomian \(Q(x)\) nie jest wielomianem zerowym.
Funkcją wzajemnie jednoznaczną nazywamy funkcję \(f:\ X\longrightarrow Y\), jeżeli jest ona jednocześnie różnowartościowa i \(Y\) jest zbiorem jej wartości.
Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od dwóch różnych, ustalonych punktów \(F_1\) i \(F_2\), zwanych ogniskami, jest wielkością stałą i równą \(2a\), tzn.
\[\big\vert \vert PF_1\vert - \vert PF_2\vert \big\vert=2a\]
Wierzchołkami hiperboli nazywamy punkty \(A_1\) i \(A_2\), w których hiperbola przecina prostą przechodzącą przez jej ogniska.
Hiperbola
Iloczynem kartezjańskim zbiorów \(\czerwony{\boldsymbol{A}}\) i \(\zielony{\boldsymbol{B}}\) nazywamy zbiór oznaczany symbolem \(A\times B\), gdzie \[ A\times B =\{(a,b):\ a\in A\ \wedge\ b\in B\} \]
Jeżeli \(A=B\), to zamiast \(A\times A\) będziemy pisać \(A^2\).
Iloczyn kartezjański zbiorów
Niech \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) będą dowolnymi wektorami w \(\mathbb{R}^2\). Iloczynem skalarnym wektorów \(\overrightarrow{u}\) i \(\overrightarrow{v}\) nazywamy liczbę rzeczywistą \[\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}=\vert\overrightarrow{u}\vert\cdot\vert\overrightarrow{v}\vert\cdot\cos\varphi,\] gdzie \(\varphi\) jest kątem między wektorami \(\overrightarrow{u}\) i \(\overrightarrow{v}\).
Iloczynem wektora \(\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\) przez liczbę \(\alpha\in\mathbb{R}\) nazywamy wektor \[ \alpha\overrightarrow{u}=\left[\alpha u_1,\alpha u_2\right] \]
Iloczynem zbiorów (częścią wspólną) \(\czerwony{\boldsymbol{A}}\) i \(\zielony{\boldsymbol{B}}\) nazywamy zbiór oznaczany symbolem \(A\cap B\), gdzie \[ A\cap B= \{x:\ x\in A\ \wedge\ x\in B\} \]
Iloczyn zbiorów
Mówimy, że wielomian \(I(x)\) jest ilorazem, a wielomian \(R(x)\) resztą z dzielenia wielomianu \(L(x)\) przez wielomian \(M(x)\), jeżeli dla każdego \(x\in \mathbb{R}\) spełniony jest warunek \[ L(x) = M(x) \cdot I(x) + R(x) \] oraz stopień reszty \(R(x)\) jest mniejszy od stopnia dzielnika \(M(x)\). Jeżeli \(R(x)\equiv 0\), to mówimy, że wielomian \(L(x)\) jest podzielny przez wielomian \(M(x)\). Powyższy warunek przy założeniu, że \(M(x)\neq 0\), można też zapisać w postaci \[ {L(x) \over M(x)} = I(x) + {R(x) \over M(x)} \]
Implikacją zdań \(p\) i \(q\) nazywamy zdanie \(p\Rightarrow q\), co czytamy: \(p\) implikuje \(q\). Zdanie \(p\) nazywamy poprzednikiem implikacji, a zdanie \(q\) jej następnikiem. Wartości logiczne implikacji znajdują się w tabelce
| \( p\) | \( q\) | \( p\;\Rightarrow\; q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Kątem skierowanym nazywamy uporządkowaną parę półprostych o wspólnym początku. Pierwszą z półprostych nazywamy ramieniem początkowym, a drugą – ramieniem końcowym kąta.
Kąt skierowany \(\alpha\)
Kombinacją \(k\)-elementową utworzoną ze zbioru \(n\)-elementowego \((k\le n)\) nazywamy każdy \(k\)-elementowy podzbiór tego zbioru.
Koniunkcją (iloczynem logicznym) zdań \(p\) i \(q\) nazywamy zdanie \(p\:{ \wedge}\: q\), co czytamy: \(p\) i \(q\). Wartości logiczne koniunkcji znajdują się w tabelce
| \( p\) | \( q\) | \( p\;{ \wedge}\; q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Wyrażenie „dla każdego \(x\)” nazywamy kwantyfikatorem ogólnym i oznaczamy symbolem \[ \bigwedge_{x} \quad \hbox{lub} \quad \forall_{x} \]
Wyrażenie „istnieje \(x\) takie, że” nazywamy kwantyfikatorem szczególnym i oznaczamy symbolem \[ \bigvee_{x} \quad \hbox{lub} \quad \exists_{x} \]
Niech \(a\) będzie liczbą rzeczywistą taką, że \(a\in (0,1)\cup (1,\infty)\). Logarytmem liczby dodatniej \(x\) przy podstawie \(a\) nazywamy liczbę \(y\) taką, że \(a^y=x\), i oznaczamy symbolem \(\log_ax\).
Powyższą definicję można zapisać symbolicznie \[ \bigwedge_{a\in \mathbb{R}_+\backslash\{1\}}\quad \log_ax=y\quad \Longleftrightarrow\quad a^y=x \] Logarytm \(\log_{10}x\) nazywamy logarytmem dziesiętnym i oznaczamy \(\log x\).
Powyższą definicję można zapisać symbolicznie \[ \bigwedge_{a\in \mathbb{R}_+\backslash\{1\}}\quad \log_ax=y\quad \Longleftrightarrow\quad a^y=x \] Logarytm \(\log_{10}x\) nazywamy logarytmem dziesiętnym i oznaczamy \(\log x\).
Mantysą nazywamy wartość funkcji, oznaczanej symbolem \(\{x\}\), taką, że \[ \bigwedge_{x\in\mathbb{R}}\quad \{x\}=x-[x] \] Funkcja \(y=\{x\}\) nazywana jest również częścią ułamkową liczby rzeczywistej.
Mantysa
Niech \(\alpha\) będzie kątem środkowym okręgu o promieniu \(r\). Miarą łukową kąta \(\alpha\) nazywamy stosunek długości łuku \(l\), na którym oparty jest ten kąt, do długości promienia okręgu, tzn. \[\niebieski{\boldsymbol{\alpha}} = {\zielony{\boldsymbol{l}}\over \czerwony{\boldsymbol{r}}}\]
Jednostką miary łukowej kąta jest \(1\) radian.
Kąt środkowy okręgu
Miejscem zerowym funkcji \(f\) nazywamy każdy argument \(x_0\in D_f\), dla którego \(f(x_0)=0\).
Geometrycznie miejsce zerowe funkcji \(f\) to odcięta punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią \(Ox\).
Miejsca zerowe funkcji
Mocą zbioru skończonego \(A\) nazywamy liczbę jego elementów i oznaczamy symbolem \(\overset{=}{A}\).
Okręgiem o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\), gdzie \(r>0\), nazywamy zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny, których odległość od punktu \(S\) wynosi \(r\), tzn. \[ \vert SP\vert =r, \] gdzie \(\vert SP\vert\) oznacza długość odcinka \(SP\).
Okrąg
Parabolą nazywamy zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny równoodległych od ustalonego punktu \(F\), zwanego ogniskiem paraboli, i ustalonej prostej \(l\), zwanej kierownicą paraboli, tzn.
\[\vert PF\vert =d(P,l)\]
Punkt \(W\) przecięcia kierownicy oraz prostej przechodzącej przez ognisko i prostopadłej do kierownicy nazywamy wierzchołkiem paraboli.
Parabola
Permutacją zbioru \(n\)-elementowego nazywamy każdy \(n\)-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.
Liczbę \(x_0\in \mathbb{R}\) nazywamy pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), jeżeli \[ W(x_0)=0 \]
Liczbę \(x_0\) nazywamy \(k\)-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), jeżeli wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez wielomian \((x-x_0)^k\) i nie jest podzielny przez wielomian \((x-x_0)^{k+1}\).
Płaszczyzną \(\mathbb{R}^2\) nazywamy zbiór \[ \mathbb{R}^2=\{(x,y):\ x,y\in \mathbb{R}\} \]
Niech \(\left(a_n\right)\) będzie dowolnym ciągiem liczbowym, a \(\left(k_n\right)\) rosnącym ciągiem liczb naturalnych.
Podciągiem ciągu \(\left(a_n\right)\) nazywamy ciąg \(\left(b_n\right)\), w którym \[b_n=a_{k_n},\quad\textrm{gdzie}\quad n\in\mathbb{N}\]
Podciągiem ciągu \(\left(a_n\right)\) nazywamy ciąg \(\left(b_n\right)\), w którym \[b_n=a_{k_n},\quad\textrm{gdzie}\quad n\in\mathbb{N}\]
Funkcję wymierną, która ma postać \[ f(x)={a\over x}, \] gdzie \(a\neq 0\), nazywamy proporcjonalnością odwrotną.
Hiperbola \(y={a\over x}\)
Równaniem dwukwadratowym nazywamy równanie postaci \[ ax^4+bx^2+c=0, \] gdzie \(a\neq 0\).
Równaniem kierunkowym prostej \(l\) na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) nazywamy równanie postaci \[ l:\quad y=mx+k \] Liczbę \(m\) nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, co więcej \(m=\hbox{tg}\: \czerwony{\boldsymbol{\alpha}}\), gdzie \(\czerwony{\boldsymbol{\alpha}}\) oznacza kąt nachylenia prostej \(l\) do dodatniej półosi \(Ox\).
Kąt nachylenia prostej \(l\)
Równaniem odcinkowym prostej \(l\) na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) nazywamy równanie postaci \[ l:\quad {x\over \czerwony{\boldsymbol{a}}}+{y\over \czerwony{\boldsymbol{b}}}=1, \quad \hbox{gdzie}\quad ab\neq 0 \] Punkt \(A(\czerwony{\boldsymbol{a}},0)\) jest punktem przecięcia prostej \(l\) z osią \(Ox\), a punkt \(B(0,\czerwony{\boldsymbol{b}})\) jest punktem jej przecięcia z osią \(Oy\).
Punkty przecięcia prostej \(l\) z osiami układu współrzędnych
Równaniem ogólnym prostej \(l\) na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) nazywamy równanie postaci \[ l:\quad \czerwony{\boldsymbol{A}}x+\czerwony{\boldsymbol{B}}y+C=0, \] gdzie \(A^2+B^2\neq 0\). Wektor \(\overrightarrow{N}=\left[\czerwony{\boldsymbol{A}},\czerwony{\boldsymbol{B}}\right]\), zwany wektorem normalnym, jest do niej prostopadły.
Wektor normalny prostej \(l\)
Równoważnością zdań \(p\) i \(q\) nazywamy zdanie \(p\Longleftrightarrow q\), co czytamy: \(p\) jest równoważne \(q\). Wartości logiczne równoważności znajdują się w tabelce
| \( p\) | \( q\) | \( p\;\Longleftrightarrow\; q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Różnicą wektorów \(\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\overrightarrow{v}=\left[v_1,v_2\right]\) nazywamy wektor \(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\) określony następująco \[ \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+\left(-\overrightarrow{v}\right) \]
Różnicą zbiorów \(\czerwony{\boldsymbol{A}}\) i \(\zielony{\boldsymbol{B}}\) nazywamy zbiór oznaczany symbolem \(A \backslash B\), gdzie \[ A \backslash B= \{x:\ x\in A\ \wedge\ x\notin B\} \]
Różnica zbiorów
Signum nazywamy funkcję \(\hbox{sgn}\: : \mathbb{R} \longrightarrow \{-1,0,1\}\) określoną wzorem \[ \hbox{sgn}\: (x)=\cases{-1 &dla \(\ x<0\) \cr 0 &dla \(\ x=0\)\cr 1 &dla \(\ x>0\)\cr} \]
Signum
Silnią liczby naturalnej \(n\) nazywamy liczbę określoną wzorem \[ n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n \] Dodatkowo definiuje się \(0!=1\).
Sinusem kąta \(\alpha\) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) do długości przeciwprostokątnej, czyli \[ \sin \alpha ={\czerwony{\boldsymbol{a}}\over \zielony{\boldsymbol{c}}} \]
Trójkąt prostokątny
Spójniki logiczne (funktory) to:
- nie (\(\sim \))
- lub (\(\vee \))
- i (\(\wedge \))
- implikuje (\(\Rightarrow \))
- jest równoważne (\(\Longleftrightarrow\)).
Sumą wektorów \(\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\overrightarrow{v}=\left[v_1,v_2\right]\) nazywamy wektor \[ \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left[u_1+v_1,u_2+v_2\right] \]
Sumą zbiorów \(\czerwony{\boldsymbol{A}}\) i \(\zielony{\boldsymbol{B}}\) nazywamy zbiór oznaczany symbolem \(A\cup B\), gdzie \[ A\cup B= \{x:\ x\in A\ \vee\ x\in B\} \]
Suma zbiorów
Symbolem Newtona nazywamy liczbę \({n \choose k}\) określoną za pomocą wzoru \[ {n \choose k}={n!\over k!(n-k)!}, \] gdzie \(n,k \in \mathbb{N}\cup\{0\}\) oraz \(k\leq n\).
Tangensem kąta \(\alpha\) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) do długości drugiej przyprostokątnej, czyli \[ \hbox{tg}\: \alpha ={\czerwony{\boldsymbol{a}}\over \niebieski{\boldsymbol{b}}} \]
Trójkąt prostokątny
Twierdzeniem nazywamy zdanie mające postać implikacji \[ Z \Rightarrow T \] Poprzednik implikacji \(Z\) nazywamy założeniem, następnik \(T\) – tezą twierdzenia.
Twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia \(Z \Rightarrow T\) jest twierdzenie \[ T \Rightarrow Z \]
Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy układ mający postać \[ \left\{\eqalign{a_1 x + b_1y&=c_1\cr a_2 x + b_2 y&=c_2\cr}\right., \quad \hbox{gdzie} \quad a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in\mathbb{R}\] Liczby \(a_1,a_2,b_1,b_2\) nazywamy współczynnikami przy niewiadomych, a liczby \(c_1,c_2\) – wyrazami wolnymi.
Parę liczb \(\left( d_1,d_2\right)\) nazywamy rozwiązaniem układu równań liniowych , jeżeli zachodzą równości \[ \left\{\eqalign{a_1 d_1 + b_1d_2&=c_1\cr a_2 d_1 + b_2 d_2&=c_2\cr}\right. \] Układ równań, który posiada dokładnie jedno rozwiązanie, nazywamy układem oznaczonym.
Układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, jest układem nieoznaczonym.
Układ równań, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecznym.
Układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, jest układem nieoznaczonym.
Układ równań, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecznym.
Układem współrzędnych na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) nazywamy dwie ustalone proste \(x, y\) przecinające się w jednym punkcie \(O\), które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez \(Oxy\). Proste \(Ox\), \(Oy\) nazywamy osiami układu współrzędnych.
Wariacją \(k\)-elementową bez powtórzeń utworzoną ze zbioru \(n\)-elementowego \((k\le n)\) nazywamy każdy \(k\)-wyrazowy ciąg różnych elementów z tego zbioru.
Wariacją \(k\)-elementową z powtórzeniami utworzoną ze zbioru \(n\)-elementowego nazywamy każdy \(k\)-wyrazowy ciąg niekoniecznie różnych elementów z tego zbioru.
Wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej \(a\) nazywamy liczbę nieujemną \(\vert a \vert\) określoną następująco \[ \vert a \vert = \left\{\eqalign{a \quad &\hbox{dla} \quad a\geq 0 \cr -a \quad &\hbox{dla} \quad a < 0 \cr} \right. \]
Jeżeli ze zdania \(p\) wynika zdanie \(q\) (\(p\Rightarrow q\)), to mówimy, że \(p\) jest warunkiem wystarczającym (dostatecznym) dla \(q\), a \(q\) jest warunkiem koniecznym dla \(p\).
Niech \(\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\overrightarrow{v}=\left[v_1,v_2\right]\) będą dowolnymi wektorami w \(\mathbb{R}^2\). Wektory \(\overrightarrow{u}\) i \(\overrightarrow{v}\) są wektorami równymi, co zapisujemy \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\), jeżeli \[ u_1=v_1 \quad \wedge \quad u_2=v_2 \]
Wielomianem rzeczywistym stopnia \(n\in \mathbb{N}\cup \{0\}\) nazywamy funkcję \(W:\ \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) określoną za pomocą wzoru \[W(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0,\] gdzie \(a_k \in R\) dla \(0\leq k \leq n\) oraz \(a_n\not=0\).
Liczby \(a_k\) nazywamy współczynnikami wielomianu \(W(x)\), przy czym \(a_0\) nazywamy również wyrazem wolnym wielomianu.
Liczby \(a_k\) nazywamy współczynnikami wielomianu \(W(x)\), przy czym \(a_0\) nazywamy również wyrazem wolnym wielomianu.
Wykresem funkcji \(f:\ X\longrightarrow Y\) nazywamy zbiór \[\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\in X \ \wedge\ y=f(x)\right\}\]
Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego \(y=ax^2+bx+c\) nazywamy liczbę \(\Delta\) określoną wzorem \[\Delta=b^2-4ac\]
Zaprzeczeniem (negacją) zdania \(p\) nazywamy zdanie \(\sim\! p\), co czytamy: nieprawda, że \(p\).
Wartości logiczne negacji znajdują są w tabelce
Wartości logiczne negacji znajdują są w tabelce
| \( p\) | \( \sim p\) |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Zbiorami rozłącznymi nazywamy zbiory \(A\) i \(B\), jeżeli \[A\cap B=\emptyset\]
Zbiory \(A\) i \(B\) nazywamy zbiorami równymi i piszemy \[ A=B, \] gdy \(A\subset B\) i \(B\subset A\).
Zdaniem w logice nazywamy wypowiedź oznajmującą i sensowną, tj. taką, której w ramach danej nauki można przypisać ocenę prawdziwości albo fałszu i tylko jedną z tych dwóch ocen.
Ocenę prawdziwości oznaczamy cyfrą \(1\), ocenę fałszu cyfrą \(0\).
Zdania oznaczamy małymi literami alfabetu, np. \(p\), \(q\), \(r\).
Ocenę prawdziwości oznaczamy cyfrą \(1\), ocenę fałszu cyfrą \(0\).
Zdania oznaczamy małymi literami alfabetu, np. \(p\), \(q\), \(r\).
Zbiór \(A\) zawiera się w zbiorze \(B\), co zapisujemy symbolicznie \[ A\subset B, \] jeżeli każdy element zbioru \(A\) jest elementem zbioru \(B\).
Jeżeli \(A\subset B\), to zbiór \(A\) nazywamy podzbiorem zbioru \(B\).
Jeżeli \(A\subset B\), to zbiór \(A\) nazywamy podzbiorem zbioru \(B\).
Niech \(f:X\longrightarrow Y\) oraz \(g:Z\longrightarrow W\), gdzie \(Y\subseteq Z\). Złożeniem funkcji \(f\) z funkcją \(g\) nazywamy funkcję \(g\circ f: X\longrightarrow W\) określoną wzorem \[(g\circ f)(x)=g(f(x))\]
Funkcję \(f\) nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję \(g\) – funkcją zewnętrzną złożenia \(g\circ f\).
Złożenie funkcji
Literę, która może oznaczać dowolne zdanie (z zakresu danej nauki), nazywamy zmienną zdaniową.