Granica ciągu stałego
Jeżeli ciąg \(\left(a_n\right)\) jest stały i \(a_n=a\), to \(\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=a\).
Granica ciągu \(\boldsymbol{\left(\frac{1}{n^k}\right)}\) \[\bigwedge_{k\gt 0}\quad \lim\limits_{n\to\infty}{1\over n^k}=0\]
Granica ciągu geometrycznego \[\bigwedge_{|q|\lt 1}\quad \lim\limits_{n\to\infty}{q^n}=0\]
Własność logarytmów \[\log_ax={\log_bx\over \log_ba}\]
Funkcję \(f:X\longrightarrow Y\) nazywamy nieparzystą, jeżeli \[\bigwedge_{x\in X}\quad -x\in X \quad \wedge\quad f(-x)=-f(x)\] Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu \((0,0)\).

Twierdzenia o arytmetyce granic ciągów

Znajdowanie granic ciągów w oparciu o samą definicję granicy właściwej lub niewłaściwej jest bardzo trudne. Znane są jednak twierdzenia, które ułatwiają obliczanie granic ciągów np. twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych lub rozbieżnych. Rozpoczniemy od twierdzenia o arytmetyce granic właściwych ciągów.
Twierdzenie (o arytmetyce granic właściwych ciągów)

Jeżeli ciągi \(\left(a_n\right)\), \(\left(b_n\right)\) są zbieżne, to prawdziwe są następujące równości:

  1. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n+b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}+\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
  2. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(c\cdot a_n)}=c\cdot \lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\quad\) dla każdego \(c\in \mathbb{R}\)
  3. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n-b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}-\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
  4. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n\cdot b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\cdot \lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
  5. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{\frac {a_n}{b_n}}=\frac {\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}}{\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}},\quad \textrm{o ile } \lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\neq 0\textrm{ i } b_n\neq 0\)  dla każdego \(n\in\mathbb{N}\)
Przykład

Skorzystamy z twierdzenia o arytmetyce granic właściwych ciągów, aby obliczyć granicę ciągu \(\displaystyle c_n=\frac{2+\frac{1}{2n}}{\frac{4}{n^2}-3}\).

Zauważmy, że ciąg \((c_n)\) jest ilorazem ciągów zbieżnych: \[a_n=2+\frac{1}{2n}\quad \textrm {oraz}\quad b_n=\frac{4}{n^2}-3\] Ponieważ zgodnie z faktem o granicy ciągu stałego oraz uwagą o granicy ciągu \(\left(\frac{1}{n^k}\right)\): \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}&=\lim\limits_{n\to\infty}{\left (2+\frac{1}{2n}\right )}\overset{(1)}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{2}+\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{1}{2n}}\overset{(2)}{=}\lim\limits_{n\to\infty}{2}+\frac{1}{2}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}{\gcancelto{\czerwony}{0}{{\frac{1}{n}}}}=\cr &=2+\frac{1}{2}\cdot \czerwony{\boldsymbol 0}=2\cr}\] \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}&=\lim\limits_{n\to\infty}{\left (\frac{4}{n^2}-3\right )}\overset{(3)}{=}\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{4}{n^2}}-\lim\limits_{n\to\infty}{3}\overset{(2)}{=} 4\cdot \lim\limits_{n\to\infty}{\gcancelto{\czerwony}{0}{{\frac{1}{n^2}}}}-\lim\limits_{n\to\infty}{3}=\cr &=4\cdot\czerwony{\boldsymbol 0}-3=-3,\cr}\] to na podstawie twierdzenia o arytmetyce granic właściwych ciągów \[\lim\limits_{n\to\infty}{c_n}=\lim\limits_{n\to\infty}{\frac {a_n}{b_n}}\overset{(5)}{=} \frac {\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}}{\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}}=-\frac {2}{3}\]

Przykład

Skorzystamy z twierdzenia o arytmetyce granic właściwych ciągów, aby obliczyć granicę ciągu \(\displaystyle c_n=\left (1-2^{-n}\right )\cdot \left (4+\frac{3}{\sqrt n}\right)\).

Widzimy, że ciąg \((c_n)\) jest iloczynem ciągów zbieżnych: \[a_n=1-2^{-n}\quad \textrm {oraz}\quad b_n=4+\frac{3}{\sqrt n}\] przy czym zgodnie z faktem o granicy ciągu stałego, uwagami o granicy ciągu geometrycznego \(\left(q^n\right)\) oraz granicy ciągu \(\left(\frac{1}{n^k}\right)\): \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}&=\lim\limits_{n\to\infty}{\left (1-2^{-n}\right )}\overset{(3)}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{1}-\lim\limits_{n\to\infty}{2^{-n}}= 1-\lim\limits_{n\to\infty}{{\gcancelto {\czerwony}{0}{{\left (\frac{1}{2}\right )}^{n}}}}=\cr&= 1-\czerwony{\boldsymbol{0}}=1\cr \lim\limits_{n\to\infty}{b_n}&=\lim\limits_{n\to\infty}{\left (4+\frac{3}{\sqrt n}\right )}\overset{(3)}{=}\lim\limits_{n\to\infty}{4}+\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{3}{\sqrt n}}\overset{(2)}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{4}+3\cdot\lim\limits_{n\to\infty}{\gcancelto{\czerwony}{0}{{\frac{1}{\sqrt n}}}}=\cr&= 4+3\cdot\czerwony{\boldsymbol{0}}=4\cr}\] Dlatego zgodnie z twierdzeniem o arytmetyce granic właściwych ciągów otrzymujemy\[\lim\limits_{n\to\infty}{c_n}=\lim\limits_{n\to\infty}{\left(a_n\cdot b_n\right)}\overset{(4)}{=} \left(\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\right)\cdot\left(\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\right)=1\cdot 4=4\]

Z definicji granicy właściwej ciągu wynika następujący fakt.
Fakt
Jeżeli ciąg \(\left(a_n\right)\) jest zbieżny do liczby \(g\) i funkcja \(f\) jest funkcją elementarną taką, że \(a_n\in D_f\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), to \[\lim\limits_{n\to\infty}f({a_n})=f(g)\]
Przykład

Korzystając z powyższego faktu, obliczymy granicę ciągu \(\displaystyle c_n=\frac{\log_3 \left(16-\frac{1}{5^n}\right)}{\log_3 4}\).

Przekształcamy najpierw wyrazy ciągu \(\left(c_n\right)\), korzystając z własności logartmów i zamieniając iloraz logarytmów o tej samej podstawie na odpowiedni logarytm \[c_n=\frac{\log_3 \left(16-\frac{1}{5^n}\right)}{\log_3 4}=\log_4 \left(16-\frac{1}{5^n}\right)= f\left(a_n\right),\] gdzie funkcja \(f\) jest funkcją logarytmiczną \(f(x)=\log_4 x\) (więc elementarną) i \(a_n=\left(16-\frac{1}{5^n}\right)\in D_f\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\). Zgodnie z twierdzeniem o arytmetyce granic właściwych ciągów \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(16-\frac{1}{5^n}\right)\overset{(3)}{=} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(16-{\gcancelto{\czerwony}{0}{\left(\frac{1}{5}\right)^n}}\right)= 16-\czerwony{\boldsymbol 0}=16=g\] Zatem granica ciągu \(\left(c_n\right)\) wynosi \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} c_n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} f(a_n)= f(g)=\log_4 16=2\]

Zadanie
Korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic właściwych ciągów, oblicz:
  1. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{5-2n^3}{n^3}\)
    Aby skorzystać z twierdzenia o arytmetyce granic właściwych ciągów, rozbijemy najpierw podane wyrażenie na dwa ułamki. W ten sposób uzyskamy różnicę ciągów zbieżnych. \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty} \frac{5-2n^3}{n^3}&= \lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{5}{n^3}-\frac{2n^3}{n^3}\right) = \lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{5}{n^3}-2\right) \overset{(3,2)}{=}\cr&\overset{(3,2)}{=} \lim\limits_{n\to\infty} \left({\gcancelto{\czerwony}{0}{{\frac{5}{n^3}}}}-2\right) = \czerwony{\boldsymbol{0}}-2=-2\cr}\]
  2. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{2^n+3^n}{7^n+2^n}\)
    Aby skorzystać z twierdzenia o arytmetyce granic właściwych ciągów, podzielimy najpierw licznik i mianownik przez \(7^n\). W ten sposób uzyskamy iloraz sum zbieżnych ciągów geometrycznych. \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2^n-3^n}{7^n+2^n}&= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\frac{2^n}{7^n}+\frac{3^n}{7^n}}{\frac{7^n}{7^n}+\frac{2^n}{7^n}} \overset{(1,5)}{=} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{{\gcancelto{\czerwony}{0}{\left(\frac{2}{7}\right)^n}}+{\gcancelto{\czerwony}{0}{\left(\frac{3}{7}\right)^n}}}{1+{\dcancelto{\czerwony}{0}{\left(\frac{2}{7}\right)^n}}} =\cr&= \frac{\czerwony{\boldsymbol{0}}+\czerwony{\boldsymbol{0}}}{1+\czerwony{\boldsymbol{0}}}=\frac{0}{1}=0\cr}\]
  3. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2n^2-3}}{n}\)
    Aby skorzystać z twierdzenia o arytmetyce granic właściwych ciągów, zapiszemy \(n\) w postaci \(\sqrt {n^2}\), a następnie wykonamy dzielenie pod współnym pierwiastkiem. W ten sposób pod pierwiastkiem uzyskamy różnicę ciągów zbieżnych. \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2n^2-3}}{n}&= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2n^2-3}}{\sqrt{n^2}} = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2n^2-3}{n^2}} \overset{(3,2)}{=}\cr& \overset{(3,2)}{=} \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{2-{\gcancelto{\czerwony}{0}{\frac{3}{n^2}}}} = \sqrt{2-\czerwony{\boldsymbol{0}}} = \sqrt 2\cr}\]
  4. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \arcsin\frac{2-\sqrt 3\cdot 2^n}{2^{n+1}}\)
    Aby skorzystać z twierdzenia o arytmetyce granic właściwych ciągów, zapiszemy najpierw argument funkcji \(\arcsin\) w postaci różnicy dwóch ułamków. W ten sposób uzyskamy różnicę ciągów zbieżnych. \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty} \arcsin\frac{2-\sqrt 3\cdot 2^n}{2^{n+1}}&= \lim\limits_{n\to\infty} \arcsin\left(\frac{2}{2^{n+1}}-\frac{\sqrt 3\cdot 2^n}{2^{n+1}}\right) \overset{(3)}{=} \cr&\overset{(3)}{=} \lim\limits_{n\to\infty} \arcsin\left({\gcancelto{\czerwony}{0}{\left(\frac{1}{2}\right)^n}}-\frac{\sqrt 3}{2}\right) =\cr&= \arcsin\left(\czerwony{\boldsymbol{0}}-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=} -\arcsin \frac{\sqrt 3}{2}=-\frac{\pi}{3}\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z nieparzystości funkcji \(y=\arcsin x\).
Używając symbolicznego zapisu wyrażenia, którego granicę mamy policzyć, zapiszemy teraz twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych ciągów.
Twierdzenie (o arytmetyce granic niewłaściwych ciągów)

Niech \(a\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas:

  1. \(\displaystyle\left[\infty + \infty \right]=+\infty\)
  2. \(\displaystyle\left[-\infty - \infty \right]=-\infty\)
  3. \(\displaystyle\left[a + \infty \right]=+\infty\)
  4. \(\displaystyle\left[a - \infty \right]=-\infty\)
  5. \(\displaystyle\left[{1\over \pm \infty }\right]=0\)
  6. \(\displaystyle\left[{1\over {0^+}}\right] =+\infty \quad \wedge \quad \left[{1\over {0^-}}\right] =-\infty\)
  7. \(\displaystyle\left[a\cdot \infty \right]= \left\{\begin{matrix} +\infty & \textrm{dla} & a\gt 0 \\ -\infty & \textrm{dla} & a\lt 0 \end{matrix}\right.\)
Uwaga
Powyższe równości są symboliczną formą zapisu odpowiednich twierdzeń. Na przykład równość \(\displaystyle\left[{1\over {0^+}}\right] =+\infty\) jest skróconą postacią twierdzenia: \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=0\quad \wedge \quad \bigwedge_{n\in \mathbb{N}} a_n>0\quad \Longrightarrow \quad \lim\limits_{n\to\infty}{1\over {a_n}}=+\infty\]
Zadanie
Korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic niewłaściwych ciągów, oblicz:
  1. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(5n^6+2^n-1\right)\)
    \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty} \left(5n^6+2^n-1\right)&=\lim\limits_{n\to\infty} \left(5{\gcancelto{\niebieski}{\infty}{n^6}}+{\gcancelto{\niebieski}{\infty}{2^n}}-1\right)= \zielony{\left[5\cdot\infty+\infty-1\right]}\overset{(7)}{=}\cr &\overset{(7)}{=} \zielony{\left[\infty+\infty-1\right]} \overset{(1)}{=} \zielony{\left[\infty-1\right]}\overset{(3)}{=} \infty\cr}\]
  2. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(\frac{1}{\sin\frac{2}{n}}-\mathrm{arcctg}\,\frac{1}{n^2}\right)\)
    \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{1}{\sin\frac{2}{n}}-\mathrm{arcctg}\,\frac{1}{n^2}\right)& =\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sin\gcancelto{\czerwony}{0}{\frac{2}{n}}}-\mathrm{arcctg}\,\gcancelto{\czerwony}{0}{\frac{1}{n^2}}\right) = \zielony{\left[\frac{1}{\sin 0^+}-\mathrm{arcctg}\,0\right]} \overset{\czerwony{\boldsymbol{*}}}{=}\cr &\overset{\czerwony{\boldsymbol{*}}}{=}\zielony{\left[\frac{1}{0^+}-\frac{\pi}{2}\right]}\overset{(6)}{=} \zielony{\left[\infty-\frac{\pi}{2}\right]}\overset{(3)}{=} \infty \cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z faktu, że dla \(n\in\mathbb{N}\) wyrażenia \(\frac{2}{n}\) i \(\sin\frac{2}{n}\) są dodatnie, więc \(\sin 0^+=0^+\).
  3. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(3-\frac{1}{n+2\sqrt n}\right)\)
    \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty} \left(3-\frac{1}{n+2\sqrt n}\right)&= \lim\limits_{n\to\infty} \left(3-\frac{1}{{\gcancelto{\niebieski}{\infty}{n}}+2{\gcancelto{\niebieski}{\infty}{\sqrt n}}}\right) = \zielony{\left[3-\frac{1}{\infty + 2\cdot\infty}\right]} \overset{(7)}{=}\cr&\overset{(7)}{=} \zielony{\left[3-\frac{1}{\infty + \infty}\right]} \overset{(1)}{=} \zielony{\left[3-\frac{1}{\infty} \right]} \overset{(5)}{=} \zielony{\left[3-0 \right]} =3\cr}\]