Jeżeli ciągi \(\left(a_n\right)\), \(\left(b_n\right)\) są zbieżne, to prawdziwe są następujące równości:
- \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n+b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}+\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
- \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(c\cdot a_n)}=c\cdot \lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\quad\) dla każdego \(c\in \mathbb{R}\)
- \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n-b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}-\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
- \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n\cdot b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\cdot \lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
- \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{\frac {a_n}{b_n}}=\frac {\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}}{\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}},\quad \textrm{o ile } \lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\neq 0\textrm{ i } b_n\neq 0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\)
Niech \(a\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas:
- \(\displaystyle\left[\infty + \infty \right]=+\infty\)
- \(\displaystyle\left[-\infty - \infty \right]=-\infty\)
- \(\displaystyle\left[a + \infty \right]=+\infty\)
- \(\displaystyle\left[a - \infty \right]=-\infty\)
- \(\displaystyle\left[{1\over \pm \infty }\right]=0\)
- \(\displaystyle\left[{1\over {0^+}}\right] =+\infty \quad \wedge \quad \left[{1\over {0^-}}\right] =-\infty\)
- \(\displaystyle\left[a\cdot \infty \right]= \left\{\begin{matrix} +\infty & \textrm{dla} & a\gt 0 \\ -\infty & \textrm{dla} & a\lt 0 \end{matrix}\right.\)
Symbole oznaczone i nieoznaczone
Pokażemy, że iloraz ciągów rozbieżnych do nieskończoności, co możemy zapisać symbolicznie \(\displaystyle \left[\infty \over \infty \right]\), może mieć różne granice.
Weźmy trzy ciągi geometryczne: \[a_n={2^n},\quad b_n= {3^n}, \quad c_n={5^n}\] Wiemy, że są to ciągi rozbieżne do \(\infty\) \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_n=\infty\] Obliczymy granice ilorazów tych ciągów: \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{a_n}{b_n}}&= \lim\limits_{n\to\infty}{2^n\over 3^n}= \lim\limits_{n\to\infty}{\left(2\over 3\right)^n}=0\cr \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{c_n}{a_n}}&= \lim\limits_{n\to\infty}{5^n\over 2^n}= \lim\limits_{n\to\infty}{\left(5\over 2\right)^n}= \infty\cr}\] Widzimy, że mimo jednakowego symbolu \(\displaystyle \left[\infty \over \infty \right]\), granice ilorazów tych ciągów są różne.
Pokażemy, że iloraz ciągów zbieżnych do \(0\), co możemy zapisać symbolicznie \(\displaystyle \left[0 \over 0\right]\), może mieć różne granice.
Weźmy trzy ciągi potęgowe: \[\displaystyle a_n=\frac{1}{n},\quad b_n= \frac{2}{n}, \quad c_n=\frac{3}{n} \] Wiemy, że są to ciągi zbieżne do zera \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_n=\infty\] Obliczymy granice ilorazów tych ciągów: \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{a_n}{b_n}}&= \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}}= \lim\limits_{n\to\infty}{1\over2}={1\over2}\cr \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{c_n}{a_n}}&= \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{\frac{3}{n}}{\frac{1}{n}}}= \lim\limits_{n\to\infty}{3}=3\cr}\] Widzimy, że mimo jednakowego symbolu \(\displaystyle \left[0 \over 0 \right]\), granice ilorazów tych ciągów są różne.
Pokażemy, że różnica ciągów rozbieżnych do \(\infty\), co możemy zapisać symbolicznie \(\displaystyle \left[\infty - \infty \right]\), może mieć różne granice.
Weźmy trzy ciągi wielomianowe: \[\displaystyle a_n=n^2+3,\quad b_n=n^2+5,\quad c_n=n^2+8\] Wiemy, że są to ciągi rozbieżne do \(\infty\) \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_n=\infty\] Obliczymy granice różnic tych ciągów: \[\eqalign{\lim\limits_{n\rightarrow \infty} (a_n-b_n)&= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left[ \left(n^2+3\right)-\left(n^2+5\right)\right]= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(-2)= -2\cr \lim\limits_{n\rightarrow \infty} (c_n-b_n)&= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left[ \left(n^2+8\right)-\left(n^2+5\right)\right]= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}3=3\cr}\] Widzimy, że mimo jednakowego symbolu \(\displaystyle \left[\infty - \infty \right]\), granice różnic tych ciągów są różne.
Pokażemy, że iloczyn ciągu zbieżnego do \(0\) i ciągu rozbieżnego do \(\infty\), co możemy zapisać symbolicznie \(\displaystyle \left[0 \cdot \infty \right]\), może mieć różne granice.
Weźmy dwa ciągi geometryczne: \[\displaystyle a_n=\left(1\over2\right)^n,\quad b_n= {2^n}, \quad c_n={3^n}\] Wiemy, że \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=0,\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty} b_n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} c_n=\infty\] Obliczymy granice iloczynów tych ciągów: \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}\left({a_n}\cdot {b_n}\right)&= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1\over2\right)^n\cdot 2^n\right]= \lim\limits_{n\to\infty}{1}=1\cr \lim\limits_{n\to\infty}\left({a_n}\cdot {c_n}\right)&= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1\over2\right)^n\cdot 3^n\right]= \lim\limits_{n\to\infty}\left(3\over2\right)^n= \infty \cr}\] Widzimy, że mimo jednakowego symbolu \(\displaystyle \left[0 \cdot \infty \right]\), granice iloczynów tych ciągów są różne.