Twierdzenie o arytmetyce granic właściwych ciągów

Jeżeli ciągi \(\left(a_n\right)\), \(\left(b_n\right)\) są zbieżne, to prawdziwe są następujące równości:

  1. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n+b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}+\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
  2. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(c\cdot a_n)}=c\cdot \lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\quad\) dla każdego \(c\in \mathbb{R}\)
  3. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n-b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}-\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
  4. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n\cdot b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\cdot \lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
  5. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{\frac {a_n}{b_n}}=\frac {\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}}{\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}},\quad \textrm{o ile } \lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\neq 0\textrm{ i } b_n\neq 0\)  dla każdego \(n\in\mathbb{N}\)
Twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych ciągów

Niech \(a\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas:

  1. \(\displaystyle\left[\infty + \infty \right]=+\infty\)
  2. \(\displaystyle\left[-\infty - \infty \right]=-\infty\)
  3. \(\displaystyle\left[a + \infty \right]=+\infty\)
  4. \(\displaystyle\left[a - \infty \right]=-\infty\)
  5. \(\displaystyle\left[{1\over \pm \infty }\right]=0\)
  6. \(\displaystyle\left[{1\over {0^+}}\right] =+\infty \quad \wedge \quad \left[{1\over {0^-}}\right] =-\infty\)
  7. \(\displaystyle\left[a\cdot \infty \right]= \left\{\begin{matrix} +\infty & \textrm{dla} & a\gt 0 \\ -\infty & \textrm{dla} & a\lt 0 \end{matrix}\right.\)

Symbole oznaczone i nieoznaczone

Widzimy, że w twierdzeniach o arytmetyce granic właściwych i niewłaściwych ciągów brakuje kilku opcji. Nie ma w nich na przykład ilorazu ciągów zbieżnych do zera albo rozbieżnych do nieskończoności. Nie jest to przypadek, ponieważ wtedy możemy otrzymać różne granice, co ilustrują poniższe przykłady.
Przykład

Pokażemy, że iloraz ciągów rozbieżnych do nieskończoności, co możemy zapisać symbolicznie \(\displaystyle \left[\infty \over \infty \right]\), może mieć różne granice.

Weźmy trzy ciągi geometryczne: \[a_n={2^n},\quad b_n= {3^n}, \quad c_n={5^n}\] Wiemy, że są to ciągi rozbieżne do \(\infty\) \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_n=\infty\] Obliczymy granice ilorazów tych ciągów: \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{a_n}{b_n}}&= \lim\limits_{n\to\infty}{2^n\over 3^n}= \lim\limits_{n\to\infty}{\left(2\over 3\right)^n}=0\cr \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{c_n}{a_n}}&= \lim\limits_{n\to\infty}{5^n\over 2^n}= \lim\limits_{n\to\infty}{\left(5\over 2\right)^n}= \infty\cr}\] Widzimy, że mimo jednakowego symbolu \(\displaystyle \left[\infty \over \infty \right]\), granice ilorazów tych ciągów są różne.

Przykład

Pokażemy, że iloraz ciągów zbieżnych do \(0\), co możemy zapisać symbolicznie \(\displaystyle \left[0 \over 0\right]\), może mieć różne granice.

Weźmy trzy ciągi potęgowe: \[\displaystyle a_n=\frac{1}{n},\quad b_n= \frac{2}{n}, \quad c_n=\frac{3}{n} \] Wiemy, że są to ciągi zbieżne do zera \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_n=\infty\] Obliczymy granice ilorazów tych ciągów: \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{a_n}{b_n}}&= \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}}= \lim\limits_{n\to\infty}{1\over2}={1\over2}\cr \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{c_n}{a_n}}&= \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{\frac{3}{n}}{\frac{1}{n}}}= \lim\limits_{n\to\infty}{3}=3\cr}\] Widzimy, że mimo jednakowego symbolu \(\displaystyle \left[0 \over 0 \right]\), granice ilorazów tych ciągów są różne.

Przykład

Pokażemy, że różnica ciągów rozbieżnych do \(\infty\), co możemy zapisać symbolicznie \(\displaystyle \left[\infty - \infty \right]\), może mieć różne granice.

Weźmy trzy ciągi wielomianowe: \[\displaystyle a_n=n^2+3,\quad b_n=n^2+5,\quad c_n=n^2+8\] Wiemy, że są to ciągi rozbieżne do \(\infty\) \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_n= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_n=\infty\] Obliczymy granice różnic tych ciągów: \[\eqalign{\lim\limits_{n\rightarrow \infty} (a_n-b_n)&= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left[ \left(n^2+3\right)-\left(n^2+5\right)\right]= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(-2)= -2\cr \lim\limits_{n\rightarrow \infty} (c_n-b_n)&= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left[ \left(n^2+8\right)-\left(n^2+5\right)\right]= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}3=3\cr}\] Widzimy, że mimo jednakowego symbolu \(\displaystyle \left[\infty - \infty \right]\), granice różnic tych ciągów są różne.

Przykład

Pokażemy, że iloczyn ciągu zbieżnego do \(0\) i ciągu rozbieżnego do \(\infty\), co możemy zapisać symbolicznie \(\displaystyle \left[0 \cdot \infty \right]\), może mieć różne granice.

Weźmy dwa ciągi geometryczne: \[\displaystyle a_n=\left(1\over2\right)^n,\quad b_n= {2^n}, \quad c_n={3^n}\] Wiemy, że \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=0,\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty} b_n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} c_n=\infty\] Obliczymy granice iloczynów tych ciągów: \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}\left({a_n}\cdot {b_n}\right)&= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1\over2\right)^n\cdot 2^n\right]= \lim\limits_{n\to\infty}{1}=1\cr \lim\limits_{n\to\infty}\left({a_n}\cdot {c_n}\right)&= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1\over2\right)^n\cdot 3^n\right]= \lim\limits_{n\to\infty}\left(3\over2\right)^n= \infty \cr}\] Widzimy, że mimo jednakowego symbolu \(\displaystyle \left[0 \cdot \infty \right]\), granice iloczynów tych ciągów są różne.

Z powyższych przykładów wynika, że w niektórych przypadkach granicę ciągu liczy się szybko, można powiedzieć „w pamięci”, a w innych trzeba najpierw wykonać równoważne przekształcenia. Zależy to od wyrażenia określającego \(n\)-ty wyraz ciągu, którego granicę mamy policzyć. Warto zatem rozpocząć liczenie granicy od ustalenia symbolu tego wyrażenia. Jeżeli otrzymamy jedno z siedmiu tzw. wyrażeń nieoznaczonych: \[\left[\frac {\infty}{\infty}\right], \quad \left[\frac {0}{0}\right], \quad \left[\infty - \infty\right], \quad \left[0\cdot \infty\right], \quad \left[1^{\infty}\right], \quad \left[0^0\right], \quad \left[\infty^0\right],\] to będziemy musieli wykonać odpowiednie przekształcenia. W przeciwnym razie (jeżeli otrzymamy jakikolwiek inny symbol, tzw. wyrażenie oznaczone), obliczymy granicę bez większych trudności, korzystając ewentualnie z odpowiedniego twierdzenia lub faktu.