Twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych ciągów

Niech \(a\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas:

  1. \(\displaystyle\left[\infty + \infty \right]=+\infty\)
  2. \(\displaystyle\left[-\infty - \infty \right]=-\infty\)
  3. \(\displaystyle\left[a + \infty \right]=+\infty\)
  4. \(\displaystyle\left[a - \infty \right]=-\infty\)
  5. \(\displaystyle\left[{1\over \pm \infty }\right]=0\)
  6. \(\displaystyle\left[{1\over {0^+}}\right] =+\infty \quad \wedge \quad \left[{1\over {0^-}}\right] =-\infty\)
  7. \(\displaystyle\left[a\cdot \infty \right]= \left\{\begin{matrix} +\infty & \textrm{dla} & a\gt 0 \\ -\infty & \textrm{dla} & a\lt 0 \end{matrix}\right.\)

Granice wielomianów i wyrażeń wymiernych

Obliczymy kilka granic ciągów wielomianowych i sformułujemy wynikające z nich wnioski.
Przykład
Korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic niewłaściwych ciągów, obliczymy granice ciągów wielomianowych. W każdym przypadku rozpoczniemy od ustalenia symbolu wyrażenia i umieszczenia go w nawiasach kwadratowych za znakiem równości.
  • \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(4n^7+7n^4-6\right)\) \[\eqalign{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}& \left(4n^7+7n^4-6\right)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(4\gcancelto{\niebieski}{+\infty}{n^7}+7\gcancelto{\niebieski}{+\infty}{n^4}-6\right)=\cr &= \zielony{\left[4\cdot\infty + 7\cdot\infty - 6\right]}\overset{(7)}{=} \zielony{\left[\infty + \infty - 6\right]} \overset{(1)}{=} \zielony{\left[\infty - 6\right]} \overset{(3)}{=} \infty\cr}\]
  • \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(-5n^6-9n^3+8\right)\) \[\eqalign{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} & \left(-5n^6-9n^3+8\right)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(-5\gcancelto{\niebieski}{+\infty}{n^6}-9\gcancelto{\niebieski}{+\infty}{n^3}+8\right)=\cr&= \zielony {\left[-5\cdot\infty - 9\cdot\infty + 8\right]} \overset{(7)}{=} {\zielony{\left[-\infty - \infty + 8\right]}} \overset{(2)}{=} {\zielony{\left[-\infty + 8\right]}} \overset{(4)}{=}-\infty\cr}\]
Zadanie
Oblicz granice:
  1. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(2n^3-5n^2+1\right)\)
    Rozpoczynamy od ustalenia symbolu wyrażenia \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(2n^3-5n^2+1\right)=\zielony{\left[\infty-\infty\right]}\] Skoro otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\infty - \infty \right]\), to musimy wykonać odpowiednie przekształcenie. Ponieważ \(2n^3-5n^2+1\) jest wielomianem stopnia \(3\), dlatego wystarczy wyłączyć przed nawias \(n^3\) \(\left(n^3\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} &\left(2n^3-5n^2+1\right) \overset{\zielony{\left[\infty-\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left[n^{3}\left({2n^3\over n^3}-{5n^2\over n^3}+{1\over n^3}\right)\right]= \cr&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left[\gcancelto{\niebieski}{+\infty}{n^{3}}\left(2-\gcancelto{\czerwony}{0}{\frac{5}{n}}+\gcancelto{\czerwony}{0}{\frac{1}{n^3}}\right)\right]= \zielony{\left[\infty\cdot 2\right]}=\infty\cr}\]
  2. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(-3n^6+2n^3+n\right)\)
    Rozpoczynamy od ustalenia symbolu wyrażenia \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left({-3n^6+2n^3+n}\right)=\zielony{\left[\infty-\infty\right]}\] Skoro otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\infty - \infty \right]\), to musimy wykonać odpowiednie przekształcenie. Ponieważ \(-3n^6+2n^3+n\) jest wielomianem stopnia \(6\), dlatego wystarczy wyłączyć przed nawias \(n^6\) \(\left(n^6\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}& \left(-3n^6+2n^3+n\right)\overset{\zielony{\left[\infty-\infty\right]}}{=}\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left[n^{6}\left({-3n^6\over n^6}+{2n^3\over n^6}+{n\over n^6}\right)\right]=\cr&= \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left[\gcancelto{\niebieski}{+\infty}{n^{6}} \left(-3+\gcancelto{\czerwony}{0}{\frac{2}{n^3}}+ \gcancelto{\czerwony}{0}{\frac{1}{n^5}}\right)\right]= \zielony{\left[\infty\cdot (-3)\right]}=-\infty\cr}\]
  3. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(4n^9-3n^3-n^2\right)\)
    Rozpoczynamy od ustalenia symbolu wyrażenia \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(4n^9-3n^3-n^2\right)={\zielony{\left[\infty-\infty\right]}}\] Skoro otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\infty - \infty \right]\), to musimy wykonać odpowiednie przekształcenie. Ponieważ \(4n^9-3n^3-n^2\) jest wielomianem stopnia \(9\), dlatego wystarczy wyłączyć przed nawias, a następnie skrócić \(n^9\) \(\left(n^9\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}& \left(4n^9-3n^3-n^2\right)\overset{\zielony{\left[\infty-\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left[n^9\left(4-\frac{3}{n^6}-\frac{1}{n^7}\right)\right]= \cr&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left[\gcancelto{\niebieski}{+\infty}{n^{9}} \left(4-\gcancelto{\czerwony}{0}{\frac{3}{n^6}}-\gcancelto{\czerwony}{0}{\frac{1}{n^7}}\right)\right]=\zielony{\left[\infty\cdot 4\right]}=\infty\cr}\]
Wniosek

Z powyższego zadania wynika, że ciąg będący wielomianem stopnia większego lub równego \(1\) ma granicę niewłaściwą równą:

  • \(\niebieski{\boldsymbol {\infty}}\), jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze tego wielomianu jest dodatni,
  • \(\czerwony{\boldsymbol{-\infty}}\), jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze tego wielomianu jest ujemny.

Znając tę zależność, możemy podać granicę ciągu bez wykonywania przekształceń. Na przykład:

  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(\niebieski{\boldsymbol 6}n^4-8n^2+3\right)=\niebieski{\boldsymbol \infty}\)
  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(\czerwony{\boldsymbol {-7}}n^8+5n^7+3n^2\right)=\czerwony{\boldsymbol{-\infty}}\)
Obliczymy teraz kilka granic ciągów wymiernych, w których stopień licznika jest równy stopniowi mianownika i sformułujemy wynikające z nich wnioski.
Zadanie
Oblicz granice:
  1. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {2n^2+n+4\over 4n^2+7n-3}\)
    Rozpoczynamy od ustalenia symbolu wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{2n^2+n+4\over 4n^2+7n-3}=\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}\] Skoro otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {\infty}{\infty} \right]\), to musimy wykonać odpowiednie przekształcenie. Ponieważ mianownik funkcji wymiernej \(2n^2+n+4\over 4n^2+7n-3\) jest wielomianem stopnia \(2\), dlatego w liczniku i mianowniku wyłączymy przed nawias, a następnie skrócimy \(n^2\) \(\left(n^2\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{2n^2+n+4\over 4n^2+7n-3}\overset{\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{{\ccancel{\fioletowy}{n^2}}\left({2n^2\over n^2}+{n\over n^2}+{4\over n^2}\right)\over {\ccancel{\fioletowy}{n^2}}\left({4n^2\over n^2}+{7n\over n^2}-{3\over n^2}\right)}= \cr&=\lim\limits_{n\to\infty}{2+\gcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n}}+\gcancelto{\czerwony}{0}{{4\over n^2}}\over 4+\dcancelto{\czerwony}{0}{{7\over n}}-\dcancelto{\czerwony}{0}{{3\over n^2}}}= \frac {2}{4}=\frac{1}{2}\cr}\]
  2. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {-3n^4+2n^3+4\over 5n^4+3n-1}\)
    Rozpoczynamy od ustalenia symbolu wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{-3n^4+2n^3+4\over 5n^4+3n-1}={\zielony{\left[-\infty\over\infty\right]}}\] Skoro otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {-\infty}{\infty} \right]\), to musimy wykonać odpowiednie przekształcenie. Ponieważ mianownik funkcji wymiernej \({-3n^4+2n^3+4\over 5n^4+3n-1}\) jest wielomianem stopnia \(4\), dlatego w liczniku i mianowniku wyłączymy przed nawias, a następnie skrócimy \(n^4\) \(\left(n^4\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{-3n^4+2n^3+4\over 5n^4+3n-1}\overset{\zielony{\left[-\infty\over\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{\ccancel{\fioletowy}{n^4}\left(-{3n^4\over n^4}+{2n^3\over n^4}+{4\over n^4}\right) \over \ccancel{\fioletowy}{n^4}\left({5n^4\over n^4}+{3n\over n^4}-{1\over n^4}\right)}= \cr&= \lim\limits_{n\to\infty}{-3+\gcancelto{\czerwony}{0}{{2\over n}}+\gcancelto{\czerwony}{0}{{4\over n^4}}\over 5+\dcancelto{\czerwony}{0}{{3\over n^3}}-\dcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^4}}}= \frac {-3}{5}\cr}\]
  3. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {3n^5-2n^3+5\over 7n^5+n^2-n}\)
    Rozpoczynamy od ustalenia symbolu wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{3n^5-2n^3+5\over 7n^5+n^2-n}={\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}\] Skoro otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {\infty}{\infty} \right]\), to musimy wykonać odpowiednie przekształcenie. Ponieważ mianownik funkcji wymiernej \({3n^5-2n^3+5\over 7n^5+n^2-n}\) jest wielomianem stopnia \(5\), dlatego w liczniku i mianowniku wyłączymy przed nawias, a następnie skrócimy \(n^5\) \(\left(n^5\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&\frac{3n^5-2n^3+5}{7n^5+n^2-n} \overset{\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty} {\ccancel{\fioletowy}{n^5}\left(3-{2\over n^2}+ {5\over n^5}\right)\over \ccancel{\fioletowy}{n^5}\left(7+{1\over n^3}-{1\over n^4}\right)}=\cr&= \lim\limits_{n\to\infty} {3-\gcancelto{\czerwony}{0}{{2\over n^2}}+ \gcancelto{\czerwony}{0}{{5\over n^5}}\over 7+\dcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^3}}- \dcancelto{\czerwony}{0}{1\over n^4}}= \frac {3}{7}\cr}\]
  4. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {-6n^3+2n^2+6\over -4n^3+2n+5}\)
    Rozpoczynamy od ustalenia symbolu wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{-6n^3+2n^2+6\over -4n^3+2n+5}={\zielony{\left[-\infty\over -\infty\right]}}\] Skoro otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {-\infty}{-\infty} \right]\), to musimy wykonać odpowiednie przekształcenie. W liczniku i mianowniku wyłączamy przed nawias, a następnie skracamy \(n^3\) \(\left(n^3\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{-6n^3+2n^2+6\over -4n^3+2n+5}\overset{\zielony{\left[-\infty\over -\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{{\ccancel{\fioletowy}{n^3}}\left(-6+{\gcancelto{\czerwony}{0}{{2\over n}}}+ {\gcancelto{\czerwony}{0}{{6\over n^3}}}\right)\over {\ccancel{\fioletowy}{n^3}}\left(-4+{\dcancelto{\czerwony}{0}{{2\over n^2}}}+ {\dcancelto{\czerwony}{0}{{5\over n^3}}}\right)}= \frac {-6}{-4}={3\over 2}\cr}\]
Wniosek

Z powyższego zadania wynika, że ciąg będący funkcją wymierną, której stopień licznika jest równy stopniowi mianownika, ma granicę właściwą. Co więcej, granica ta jest równa ilorazowi współczynników przy najwyższej potędze wielomianów stojących w liczniku i mianowniku.

Znając tę zależność, możemy podać granicę ciągu bez wykonywania przekształceń. Na przykład:

  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {{\czerwony{\boldsymbol 7}}n^8-3n^6+4n^3 \over {\niebieski{\boldsymbol 6}}n^8+5}={{\czerwony{\boldsymbol 7}}\over {\niebieski{\boldsymbol 6}}}\)
  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {{\czerwony{\boldsymbol {-4}}}n^5+2n^2+4n \over {\niebieski{\boldsymbol 3}}n^5+n^3+n^2-1}={{\czerwony{\boldsymbol {-4}}}\over {\niebieski{\boldsymbol 3}}}\)
  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {{\czerwony{\boldsymbol 5}}n^3+2n+4 \over {\niebieski{\boldsymbol {-9}}}n^3+n^2-n-2}={{\czerwony{\boldsymbol 5}}\over {\niebieski{\boldsymbol {-9}}}}\)
Obliczymy teraz kilka granic ciągów wymiernych, w których stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika i sformułujemy wynikające z nich wnioski.
Zadanie
Oblicz granice:
  1. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {3n^2+2n+4\over 5n^4+2n-1}\)
    Rozpoczynamy od ustalenia symbolu wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{3n^2+2n+4\over 5n^4+2n-1}={\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}\] Otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {\infty}{\infty} \right]\). Ponieważ stopień mianownika funkcji wymiernej \({3n^2+2n+4\over 5n^4+2n-1}\) jest równy \(4\), dlatego z licznika i mianownika wyłączymy przed nawias, a następnie skrócimy \(n^4\) \(\left(n^4\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Otrzymamy wtedy \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{3n^2+2n+4\over 5n^4+2n-1}\overset{\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{{\ccancel{\fioletowy}{n^4}}\left({3n^2\over n^4}+{2n\over n^4}+{4\over n^4}\right) \over {\ccancel{\fioletowy}{n^4}}\left({5n^4\over n^4}+{2n\over n^4}-{1\over n^4}\right)}=\cr&= \lim\limits_{n\to\infty}{{\gcancelto{\czerwony}{0}{{3\over n^2}}}+{\gcancelto{\czerwony}{0}{{2\over n^3}}}+ {\gcancelto{\czerwony}{0}{{4\over n^4}}} \over 5+{\dcancelto{\czerwony}{0}{{2\over n^3}}}-{\dcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^4}}}}= \frac {0}{5}=0\cr}\]
  2. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {4n^4+3n^3+n^2\over -2n^7-n^5+6}\)
    Rozpoczynamy od ustalenia symbolu wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{4n^4+3n^3+n^2\over -2n^7-n^5+6}={\zielony{\left[\infty\over-\infty\right]}}\] Otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {\infty}{-\infty} \right]\). Ponieważ stopień mianownika funkcji wymiernej \({4n^4+3n^3+n^2\over -2n^7-n^5+6}\) jest równy \(7\), dlatego z licznika i mianownika wyłączymy przed nawias, a następnie skrócimy \(n^7\) \(\left(n^7\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Otrzymamy wtedy \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{4n^4+3n^3+n^2\over -2n^7-n^5+6}\overset{\zielony{\left[\infty\over-\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{{\ccancel{\fioletowy}{n^7}}\left({4n^4\over n^7}+{3n^3\over n^7}+{n^2\over n^7}\right) \over {\ccancel{\fioletowy}{n^7}}\left(-{2n^7\over n^7}-{n^5\over n^7}+{6\over n^7}\right)}=\cr&= \lim\limits_{n\to\infty}{{\gcancelto{\czerwony}{0}{{4\over n^3}}}+{\gcancelto{\czerwony}{0}{{3\over n^4}}}+ {\gcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^5}}}\over -2-{\dcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^2}}}+{\dcancelto{\czerwony}{0}{{6\over n^7}}}}= \frac {0}{-2}=0\cr}\]
  3. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {-n^3+n^2+4\over 4n^5+2n^4-1}\)
    Rozpoczynamy od ustalenia symbolu wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{-n^3+n^2+4\over 4n^5+2n^4-1}={\zielony{\left[-\infty\over \infty\right]}}\] Otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {-\infty}{\infty} \right]\). Ponieważ stopień mianownika funkcji wymiernej \({-n^3+n^2+4\over 4n^5+2n^4-1}\) jest równy \(5\), dlatego z licznika i mianownika wyłączymy przed nawias, a następnie skrócimy \(n^5\) \(\left(n^5\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&\frac{n^3+n^2+4}{4n^5+2n^4-1} \overset{\zielony{\left[-\infty\over \infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty} {{\ccancel{\fioletowy}{n^5}}\left(-{\gcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^2}}}+{\gcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^3}}}+ {\gcancelto{\czerwony}{0}{{4\over n^5}}}\right) \over {\ccancel{\fioletowy}{n^5}}\left( 4+{\dcancelto{\czerwony}{0}{{2\over n}}}-{\dcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^5}}}\right)}= \frac {0}{4}=0\cr}\]
Wniosek

Z powyższego zadania wynika, że ciąg będący funkcją wymierną, której stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, ma granicę właściwą równą zero.

Znając tę zależność, możemy podać granicę ciągu bez wykonywania przekształceń. Na przykład:

  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {4n^{\niebieski{\boldsymbol 5}}-2n^3+4n \over 2n^{\czerwony{\boldsymbol 6}}+3}=0,\quad \) gdyż \(\quad {\niebieski{\boldsymbol 5}}\boldsymbol {\lt} {\czerwony{\boldsymbol 6}}\)
  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {n^{\niebieski{\boldsymbol 4}}+2n^2+4n \over n^{\czerwony{\boldsymbol 8}}-n^2+n}=0,\quad \) gdyż \(\quad {\niebieski{\boldsymbol 4}}\boldsymbol {\lt}{\czerwony{\boldsymbol 8}}\)
  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {2n^{\niebieski{\boldsymbol 3}}-n+4 \over 3n^{\czerwony{\boldsymbol 4}}+n^2-n-2}=0,\quad \) gdyż \(\quad {\niebieski{\boldsymbol 3}}\boldsymbol {\lt}{\czerwony{\boldsymbol 4}}\)
Obliczymy teraz kilka granic ciągów wymiernych, w których stopień licznika jest większy niż stopień mianownika i sformułujemy wynikające z nich wnioski.
Zadanie
Oblicz granice:
  1. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {3n^5-n+1\over n^2+3n}\)
    Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{3n^5-n+1\over n^2+3n}={\zielony{\left[{\infty\over\infty}\right]}}\] Otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {\infty}{\infty} \right]\), musimy więc przekształcić podany ciąg. Ponieważ mianownik jest wielomianem stopnia \(2\), dlatego w liczniku i mianowniku wyłączamy przed nawias, a następnie skracamy \(n^2\) \(\left(n^2\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{3n^5-n+1\over n^2+3n}\overset{\zielony{\left[{\infty\over\infty}\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{{\ccancel{\fioletowy}{n^2}}\left({3n^5\over n^2}-{n\over n^2}+{1\over n^2}\right) \over {\ccancel{\fioletowy}{n^2}}\left({n^2\over n^2}+{3n\over n^2}\right)}=\cr&= \lim\limits_{n\to\infty}{{\gcancelto{\niebieski}{\infty}{3n^3}}-{\gcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n}}}+ {\gcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^2}}}\over 1+{\dcancelto{\czerwony}{0}{{3\over n}}}}= {\zielony{\left[{\infty\over 1}\right]}}=\infty\cr}\]
  2. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {-5n^6+2n^3-n\over 8n^3+2n^2+2}\)
    Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{-5n^6+2n^3-n\over 8n^3+2n^2+2}={\zielony{\left[{-\infty\over\infty}\right]}}\] Otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {-\infty}{\infty} \right]\), musimy więc przekształcić podany ciąg. Ponieważ mianownik jest wielomianem stopnia \(3\), dlatego w liczniku i mianowniku wyłączamy przed nawias, a następnie skracamy \(n^3\) \(\left(n^3\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{-5n^6+2n^3-n\over 8n^3+2n^2+2}\overset{\zielony{\left[{-\infty\over\infty}\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{{\ccancel{\fioletowy}{n^3}}\left(-{5n^6\over n^3}+{2n^3\over n^3}-{n\over n^3}\right) \over {\ccancel{\fioletowy}{n^3}}\left({8n^3\over n^3}+{2n^2\over n^3}+{2\over n^3}\right)}=\cr&= \lim\limits_{n\to\infty}{{\gcancelto{\niebieski}{-\infty}{-5n^3}}+2- {\gcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^2}}}\over 8+{\dcancelto{\czerwony}{0}{{2\over n}}}+{\dcancelto{\czerwony}{0}{{2\over n^3}}}} = {\zielony{\left[-\infty\over 8\right]}}=-\infty\cr}\]
  3. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {3n^3-n+3\over -2n^2+n}\)
    Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{3n^3-n+3\over -2n^2+n}={\zielony{\left[\infty\over -\infty\right]}}\] Otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {\infty}{-\infty} \right]\), musimy więc przekształcić podany ciąg. Ponieważ mianownik jest wielomianem stopnia \(2\), dlatego w liczniku i mianowniku wyłączamy przed nawias, a następnie skracamy \(n^2\) \(\left(n^2\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{3n^3-n+3\over -2n^2+n}\overset{\zielony{\left[\infty\over -\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{{\ccancel{\fioletowy}{n^2}}\left({\gcancelto{\niebieski}{\infty}{{3n}}}-{\gcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n}}}+ {\gcancelto{\czerwony}{0}{{3\over n^2}}}\right)\over {\ccancel{\fioletowy}{n^2}}\left(-2+{\dcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n}}}\right)}= {\zielony{\left[\infty\over -2\right]}}=-\infty\cr}\]
  4. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {-n^4+2n\over -4n^3+n+3}\)
    Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{-n^4+2n\over -4n^3+n+3}={\zielony{\left[-\infty\over -\infty\right]}}\] Otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {-\infty}{-\infty} \right]\), musimy więc przekształcić podany ciąg. Ponieważ mianownik jest wielomianem stopnia \(2\), dlatego w liczniku i mianowniku wyłączamy przed nawias, a następnie skracamy \(n^2\) \(\left(n^2\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\). Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{-n^4+2n\over -4n^3+n+3}\overset{\zielony{\left[-\infty\over -\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{{\ccancel{\fioletowy}{n^3}}\left({\gcancelto{\niebieski}{-\infty}{{-n^2}}}+{\gcancelto{\czerwony}{0}{{2\over n}}}\right)\over {\ccancel{\fioletowy}{n^3}}\left(-4+{\dcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^2}}}+{\dcancelto{\czerwony}{0}{{1\over n^3}}}\right)}= {\zielony{\left[-\infty\over -4\right]}}=\infty\cr}\]
Wniosek

Z powyższego zadania wynika, że ciąg będący funkcją wymierną, której stopień licznika jest większy niż stopień mianownika, ma granicę niewłaściwą. Co więcej, jest to plus nieskończoność, jeżeli iloraz współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika jest dodatni, albo minus nieskończoność, jeżeli ten iloraz jest ujemny.

Znając tę zależność, możemy podać granicę ciągu bez wykonywania przekształceń. Na przykład:

  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {2n^{\niebieski{\boldsymbol 5}}+n^2-3 \over 7n^{\czerwony{\boldsymbol 3}}+n^2-1}=\infty,\quad \) gdyż \(\quad {\niebieski{\boldsymbol 5}}\boldsymbol{\gt}{\czerwony{\boldsymbol 3}}\quad\) oraz \(\quad {2\over 7}\gt 0\)
  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {-5n^{\niebieski{\boldsymbol 4}}-3n^3+2 \over 6n^{\czerwony{\boldsymbol 2}}+2n}=-\infty,\quad \) gdyż \(\quad {\niebieski{\boldsymbol 4}}\boldsymbol{\gt}{\czerwony{\boldsymbol 2}}\quad\) oraz \(\quad {-5\over 6} \lt 0\)
  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {7n^{\niebieski{\boldsymbol 3}}-2n+1 \over -5n^{\czerwony{\boldsymbol 2}}+n^2-1}=-\infty,\quad \) gdyż \(\quad {\niebieski{\boldsymbol 3}}\boldsymbol {\gt}{\czerwony{\boldsymbol 2}}\quad\) oraz \(\quad {7\over -5} \lt 0\)
  • \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} {-4n^{\niebieski{\boldsymbol 5}}+3n^3+n-3 \over -3n^{\czerwony{\boldsymbol 4}}+3}=\infty,\quad \) gdyż \(\quad {\niebieski{\boldsymbol 5}}\boldsymbol {\gt}{\czerwony{\boldsymbol 4}}\quad\) oraz \(\quad {-4\over -3} \gt 0\)
Zadanie
Nie wykonując przekształceń, podaj granice ciągów:
  1. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \left({2n+1\over 3n-4}\right)^3\)
    Ponieważ stopień licznika \(2n+1\) jest równy stopniowi mianownika \(3n-4\), to granica ilorazu jest równa ilorazowi współczynników stojących przy najwyższych potęgach licznika \(2\) i mianownika \(3\), czyli \[\lim_{n\rightarrow \infty} \left({2n+1\over 3n-4}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}\]
  2. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{(3n+2)(2n-1)\over 5n^2+1}\)
    Ponieważ stopień licznika \((3n+2)(2n-1)\) jest równy stopniowi mianownika \(5n^2+1\), to granica ilorazu jest równa ilorazowi współczynników stojących przy najwyższych potęgach licznika \(3\cdot 2=6\) i mianownika \(5\), czyli \[\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{(3n+2)(2n-1)\over 5n^2+1}=\sqrt{\frac{6}{5}}\]
  3. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[3]{(n+1)^2\over (n+3)^3(n+2)^4}\)
    Ponieważ stopień licznika \((n+1)^2\) jest mniejszy niż stopień mianownika \((n+3)^3(n+2)^4\), to granica ilorazu jest równa \(0\), czyli \[\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[3]{(n+1)^2\over (n+3)^3(n+2)^4}=\sqrt[3]{0}=0\]
  4. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \log_2 {(1+n^2)^{15}\over (2+n)^{10}(1+n)^{20}}\)
    Ponieważ stopień licznika \((1+n^2)^{15}\) jest równy stopniowi mianownika \((2+n)^{10}(1+n)^{20}\), to granica ilorazu jest równa ilorazowi współczynników stojących przy najwyższych potęgach licznika \(1\) i mianownika \(1\), czyli \[\lim_{n\rightarrow \infty} \log_2 {(1+n^2)^{15}\over (2+n)^{10}(1+n)^{20}}=\log_2 {\frac{1}{1}}=\log_2 1=0\]
  5. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \left({-n^4+1\over n^2+n+1}\right)^5\)
    Ponieważ stopień licznika \(-n^4+1\) jest większy niż stopień mianownika \(n^2+n+1\), to granica ilorazu jest niewłaściwa. Iloraz współczynników przy najwyższej potędze wielomianów stojących w liczniku i mianowniku jest równy \(\frac{-1}{1}=-1\) i jest liczbą ujemną, więc granicą ilorazu jest \(-\infty\), czyli \[\lim_{n\rightarrow \infty} \left({-n^4+1\over n^2+n+1}\right)^5=\left(-\infty\right)^5=-\infty\]