Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim_{n\rightarrow \infty}\left({\sqrt{n^2+9}-\sqrt{n^2+2}}\right)= \zielony{[\infty-\infty]}\] Otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[ \infty-\infty \right]\), więc musimy wykonać odpowiednie przekształcenie. W przypadku ciągu, który jest różnicą pierwiastków stopnia drugiego, należy pomnożyć i podzielić jego \(n\)-ty wyraz przez czynnik \(\czerwony{\boldsymbol{\sqrt{n^2+9}+\sqrt{n^2+2}}}\) (różny od zera), brakujący do wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)=a^2-b^2\). Wówczas \[\eqalign{\lim_{n\rightarrow \infty}&\left(\sqrt{n^2+9}-\sqrt{n^2+2}\right)\overset {\zielony{[\infty-\infty]}}{=}\cr&\overset {\zielony{[\infty-\infty]}}{=} \lim_{n\rightarrow \infty}{\left(\sqrt{n^2+9}-\sqrt{n^2+2}\right)\czerwony{\boldsymbol{\left(\sqrt{n^2+9}+ \sqrt{n^2+2}\right)}} \over \czerwony{\boldsymbol{\sqrt{n^2+9}+\sqrt{n^2+2}}}}=\cr &= \lim_{n\rightarrow \infty}{\left(n^2+9\right)-\left(n^2+2\right) \over \sqrt{n^2+9}+\sqrt{n^2+2}}= \cr &= \lim_{n\rightarrow \infty}{7\over {\dcancelto{\niebieski}{\infty}{\sqrt{n^2+9}}}+{\dcancelto{\niebieski}{\infty}{\sqrt{n^2+2}}}}= {\zielony{\left[{7\over \infty}\right]}}=0\cr}\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{\left(n-\sqrt[3]{n^3+1}\right)}= {\zielony{\left[\infty-\infty\right]}}\] Przekształcimy \(n\)-ty wyraz tego ciągu, mnożąc go i dzieląc przez dodatni czynnik \[\czerwony{\boldsymbol{n^2+n\cdot \sqrt[3]{n^3+1}+{\left(\sqrt[3]{n^3+1}\right)}^2}}\] brakujący do wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów \(\left(a-b\right)\cdot\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3\). Wówczas \[\eqalign{ \lim\limits_{n\to\infty}&\left(n-\sqrt[3]{n^3+1}\right) \overset{\zielony{\left[\infty-\infty\right]}}{=}\cr& \overset{\zielony{\left[\infty-\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}\frac {\left(n-\sqrt[3]{n^3+1}\right)\cdot \czerwony{\boldsymbol{\left(n^2+n\cdot \sqrt[3]{n^3+1}+\left(\sqrt[3]{n^3+1}\right)^2\right)}}} {\czerwony{\boldsymbol{n^2+n\cdot \sqrt[3]{n^3+1}+{\left(\sqrt[3]{n^3+1}\right)}^2}}}=\cr &= \lim\limits_{n\to\infty}{{\frac {{n}^3-{\left(\sqrt[3]{n^3+1}\right)}^3} {n^2+n\cdot \sqrt[3]{n^3+1}+{\left(\sqrt[3]{n^3+1}\right)}^2}}}=\cr &= \lim\limits_{n\to\infty}\frac {-1} {{\dcancelto{\niebieski}{+\infty}{n^2}}+{\dcancelto{\niebieski}{+\infty}{n}}\cdot {\dcancelto{\niebieski}{+\infty}{\sqrt[3]{n^3+1}}}+ {\dcancelto{\niebieski}{+\infty}{\left(\sqrt[3]{n^3+1}\right)^2}}}= \zielony{\left[{-1\over \infty}\right]}=0 \cr }\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{\sqrt{9n^2+3}-3n}}= {\zielony{\frac {1}{[\infty-\infty]}}}\] Ponieważ w mianowniku otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[ {\infty}-{\infty} \right]\), to musimy wykonać odpowiednie przekształcenie. Z uwagi na występujący w mianowniku pierwiastek stopnia drugiego, pomnożymy licznik i mianownik przez czynnik \(\czerwony{\boldsymbol{\sqrt{9n^2+3}+3n}}\) (różny od zera), brakujący do wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)=a^2-b^2\). Wówczas \[\eqalign{\lim_{n\rightarrow \infty}&\frac{1}{\sqrt{9n^2+3}-3n} \overset{\zielony{\frac {1}{[\infty-\infty]}}}{=} \lim_{n\rightarrow \infty}{\czerwony{\boldsymbol{\sqrt{9n^2+3}+3n}}\over \left(\sqrt{9n^2+3}- 3n\right)\czerwony{\boldsymbol{\left(\sqrt{9n^2+3}+3n\right)}}}= \cr &= \lim_{n\rightarrow \infty}{\sqrt{9n^2+3}+3n\over 9n^2+3-9n^2}= \lim_{n\rightarrow \infty}{{\gcancelto{\niebieski}{\infty}{\sqrt{9n^2+3}}}+{\gcancelto{\niebieski}{\infty}{3n}}\over 3}={\zielony{{\left[\infty\over 3\right]}}}=\infty\cr}\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{\left(2n-\sqrt{4n^2+3n}\right)}= {\zielony{[\infty-\infty]}}\] Otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[ {\infty}-{\infty} \right]\), w którym występuje pierwiastek stopnia drugiego, dlatego pomnożymy i podzielimy \(n\)-ty wyraz ciągu przez czynnik \(\czerwony{\boldsymbol{2n+\sqrt{4n^2+3n}}}\) (różny od zera), brakujący do wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)=a^2-b^2\). Wtedy \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}& {\left(2n-\sqrt{4n^2+3n}\right)} \overset{\zielony{[\infty-\infty]}}{=}\cr &\overset{\zielony{[\infty-\infty]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{{\frac {\left(2n-\sqrt{4n^2+3n}\right)\czerwony{\boldsymbol{\left(2n+\sqrt{4n^2+3n}\right)}}}{\czerwony{\boldsymbol{2n+\sqrt{4n^2+3n}}}}}}=\cr &= \lim\limits_{n\to\infty}{{\frac {{\left(2n\right)}^2-{\left(\sqrt{4n^2+3n}\right)}^2}{2n+\sqrt{4n^2+3n}}}}= \lim\limits_{n\to\infty}{{\frac {4{n}^2-\left(4n^2+3n\right)}{2n+\sqrt{4n^2+3n}}}}=\cr &= \lim\limits_{n\to\infty}{{\frac {4{n}^2-4n^2-3n}{2n+\sqrt{4n^2+3n}}}}= \lim\limits_{n\to\infty}{{\frac {{\gcancelto{\niebieski}{-\infty}{-3n}}} {{\dcancelto{\niebieski}{\infty}{2n}}+{\dcancelto{\niebieski}{\infty}{\sqrt{4n^2+3n}}}}}}= {\zielony{\left[-\infty\over \infty\right]}}\overset{\boldsymbol *}{=}\cr }\] Ponieważ ponownie otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[-\infty\over \infty\right]\), więc musimy wykonać kolejne przekształcenia zmierzające do skrócenia czynnika \(n\) \(\left(n\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\), który wyłączymy przed nawias z licznika i mianownika. Najpierw jednak wyłączymy ten czynnik spod pierwiastka stopnia drugiego \[\eqalign{\overset{\boldsymbol *}{=}\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}&{-3n\over 2n+\sqrt{n^2\left(4+{3\over n}\right)}} = \lim\limits_{n\to\infty}{-3n\over 2n+n\sqrt{4+{3\over n}}}=\cr &= \lim\limits_{n\to\infty}{-3{\ccancel{\fioletowy}{n}}\over {\ccancel{\fioletowy}{n}}\left(2+\sqrt{4+{3\over n}}\right)}= \lim\limits_{n\to\infty}{-3\over 2+\sqrt{4+{\dcancelto{\czerwony}{0}{3\over n}}}}=\frac {-3}{2+{\sqrt{4}}}= -\frac {3}{4}\cr}\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{n}{\sqrt{n^2+3n}-2n}}= {\zielony{\left[\frac{\infty}{\infty-\infty}\right]}}\] Z uwagi na pierwiastek stopnia drugiego występujący w mianowniku, pomnożymy i podzielimy \(n\)-ty wyraz ciągu przez czynnik \(\czerwony{\boldsymbol{\sqrt{n^2+3n}+2n}}\) (różny od zera), brakujący do wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)=a^2-b^2\). Wtedy \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{\frac{n}{\sqrt{n^2+3n}-2n}} \overset{\zielony{\left[\frac{\infty}{\infty-\infty}\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{{\frac{n\cdot \czerwony{\boldsymbol{\left(\sqrt{n^2+3n}+2n\right)}}}{\left(\sqrt{n^2+3n}-2n\right)\cdot \czerwony{\boldsymbol{\left(\sqrt{n^2+3n}+2n\right)}}}}}= \cr &= \lim\limits_{n\to\infty}{{\frac{n\cdot \left(\sqrt{n^2+3n}+2n\right)}{{\left(\sqrt{n^2+3n}\right)}^2-4n^2}}}=\lim\limits_{n\to\infty}{{\frac{n\cdot \left(\sqrt{n^2+3n}+2n\right)}{n^2+3n-4n^2}}}= \cr &= \lim\limits_{n\to\infty}{{\frac{n\cdot \left(\sqrt{n^2+3n}+2n\right)}{3n-3n^2}}}= \lim\limits_{n\to\infty}{{\frac{{\ccancel{\fioletowy}{n}}\cdot \left({\gcancelto{\niebieski}{\infty}{\sqrt{n^2+3n}}}+{\gcancelto{\niebieski}{\infty}{2n}}\right)} {{\ccancel{\fioletowy}{n}}\cdot\left(3-{\dcancelto{\niebieski}{\infty}{3n}}\right)}}}= {\zielony{\left[\infty\over -\infty\right]}}\cr }\] Ponieważ ponownie otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\infty\over -\infty\right]\), więc musimy wykonać kolejne przekształcenia, zmierzające do skrócenia czynnika \(n\) \(\left(n\neq 0\textrm{ dla }n\in \mathbb{N}\right)\), który wyłączymy przed nawias w liczniku i mianowniku. Najpierw jednak wyłączymy ten czynnik spod pierwiastka stopnia drugiego \[\eqalign{\overset{\zielony{\left[\frac{\infty}{-\infty}\right]}}{=}& \lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt{n^2\left(1+{3\over n}\right)}+2n\over 3-3n} = \lim\limits_{n\to\infty}{n\sqrt{1+{3\over n}}+2n\over 3-3n}= \cr &=\lim\limits_{n\to\infty}{{\ccancel{\fioletowy}{n}}\left(\sqrt{1+{\gcancelto{\czerwony}{0}{3\over n}}}+2\right) \over {\ccancel{\fioletowy}{n}}\left({\dcancelto{\czerwony}{0}{3\over n}}-3\right)}= -{3\over 3}=-1\cr}\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{\sqrt{n^6+8\cdot n^3+2}-n^3}}=\zielony{\left[\frac{1}{\infty-\infty}\right]}\] Przekształcimy \(n\)-ty wyraz tego ciągu, mnożąc go i dzieląc przez dodatni czynnik \(\czerwony{\boldsymbol{\sqrt{n^6+8n^3+2}+n^3}}\) brakujący do wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2\). Wówczas \[\eqalign{\lim_{n\rightarrow \infty}&{\frac{1}{\sqrt{n^6+8n^3+2}-n^3}}\overset{\zielony{\left[\frac{1}{\infty-\infty}\right]}}{=}\cr &\overset{\zielony{\left[\frac{1}{\infty-\infty}\right]}}{=}\lim_{n\rightarrow \infty}{\czerwony{\boldsymbol{\sqrt{n^6+8 n^3+2}+n^{3}}}\over \left({\sqrt{n^6+8n^3+2}-n^3}\right)\czerwony{\boldsymbol{\left({\sqrt{n^6+8n^3+2}+n^3}\right)}}}=\cr &= \lim_{n\rightarrow \infty}{{\sqrt{n^6+8n^3+2}+n^3}\over {n^6+8n^3+2}-n^{6}} =\zielony{\left[{\infty\over \infty}\right]}\buildrel{\boldsymbol *}\over{=} \cr}\] Pod pierwiastkiem wyłączamy przed nawias \(n^6\), a następnie wyłączamy je spod pierwiastka \[\buildrel{\boldsymbol *}\over{=}\lim_{n\rightarrow \infty}{\sqrt{{n^6}\left(1+{\frac{8}{n^3}}+{\frac{2}{n^6}}\right)}+n^{3}\over {8n^3+2}}=\lim_{n\rightarrow \infty}{n^{3}\sqrt{1+{\frac{8}{n^3}}+{\frac{2}{n^6}}}+n^{3}\over {8n^3+2}}\buildrel{\boldsymbol {**}}\over{=}\] Dzielimy licznik i mianownik przez \(n^3\) (\(n^3\neq 0\)) i otrzymujemy\[\buildrel{\boldsymbol {**}}\over{=}\lim_{n\rightarrow \infty}{\sqrt{1+\gcancelto{\czerwony}{0}{\frac{8}{n^3}}+\gcancelto{\czerwony}{0}{\frac{2}{n^6}}}+1\over {8}+\dcancelto{\czerwony}{0}{\frac{2}{n^3}}}={1+1\over {8}}={\frac{1}{4}}\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{2^n+3^n+4^n\over 3^n+5^n}= {\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}\] Skoro otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\infty\over\infty\right]\), to musimy wykonać odpowiednie przekształcenie. Ponieważ mianownik tego ciągu tworzą funkcje wykładnicze \(3^n\) oraz \(5^n\), to wystarczy w liczniku i w mianowniku wyłączyć przed nawias czynnik \(5^n\) \(\left(5^n\neq 0\right)\), gdyż taka jest funkcja wykładnicza o największej podstawie, stojąca w mianowniku tego ciągu. Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}& {2^n+3^n+4^n\over 3^n+5^n}\overset {\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{{\ccancel{\fioletowy}{5^n}}\left({2^n\over 5^n}+{3^n\over 5^n}+{4^n\over 5^n}\right)} {{\ccancel{\fioletowy}{5^n}}\left({3^n\over 5^n}+{5^n\over 5^n}\right)}}= \cr&= \lim\limits_{n\to\infty}{{\gcancelto{\czerwony}{0}{\left({2\over 5}\right)^n}}+ {\gcancelto{\czerwony}{0}{\left({3\over 5}\right)^n}}+{\gcancelto{\czerwony}{0}{\left({4\over 5}\right)^n}}\over {\dcancelto{\czerwony}{0}{\left({3\over 5}\right)^n}}+1}={0\over 1}=0\cr}\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{2\cdot 3^n+5\cdot 4^n+4\cdot 6^n\over 2^n+5\cdot 7^n}= {\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}\] Skoro otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\infty\over\infty\right]\), to musimy wykonać odpowiednie przekształcenie. Ponieważ mianownik tego ciągu tworzą funkcje wykładnicze \(2^n\) oraz \(7^n\), to wystarczy w liczniku i w mianowniku wyłączyć przed nawias czynnik \(7^n\) \(\left(7^n\neq 0\right)\), gdyż taka jest funkcja wykładnicza o największej podstawie, stojąca w mianowniku tego ciągu. Wówczas \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{2\cdot 3^n+5\cdot 4^n+4\cdot 7^n\over 2^n+5\cdot 7^n} \overset{\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{{\ccancel{\fioletowy}{7^n}}\left(2\cdot {3^n\over 7^n}+5\cdot {4^n\over 7^n} +4\cdot {7^n\over 7^n}\right) \over {\ccancel{\fioletowy}{7^n}}\left({2^n\over 7^n}+5\cdot {7^n\over 7^n}\right)}= \cr&= \lim\limits_{n\to\infty}{2\cdot {\gcancelto{\czerwony}{0}{\left({3\over 7}\right)^n}}+ 5\cdot {\gcancelto{\czerwony}{0}{\left({4\over 7}\right)^n}}+4 \over {\dcancelto{\czerwony}{0}{\left({2\over 7}\right)^n}}+5}={4\over 5}\cr}\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{4^{n+1}+2\cdot 3^{n-1}\over 2^{n+2}+2\cdot 3^n}={\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}\] Ponieważ otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\infty\over\infty\right]\), to przekształcamy ciąg, wyłączając przed nawias w liczniku i w mianowniku czynnik \(3^n\) \(\left(3^n\neq 0\right)\), gdyż taka jest funkcja wykładnicza o największej podstawie, stojąca w mianowniku tego ciągu. Wówczas \[\eqalignno{\lim\limits_{n\to\infty}&{4^{n+1}+2\cdot 3^{n-1}\over 2^{n+2}+2\cdot 3^n} \overset{\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{4^n\cdot 4+2\cdot 3^n\cdot {1\over 3}\over 2^n\cdot 4+2\cdot 3^n}= \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{{\ccancel{\fioletowy}{3^n}}\left(4\cdot {4^n\over 3^n}+ {2\over 3}\cdot {3^n\over 3^n}\right)} {{\ccancel{\fioletowy}{3^n}}\left(4\cdot {2^n\over 3^n}+2\cdot {3^n\over 3^n}\right)}}=\cr &= \lim\limits_{n\to\infty}{4\cdot {\gcancelto{\niebieski}{\infty}{\left({4\over 3}\right)^n}} +{2\over 3}\over 4\cdot{\dcancelto{\czerwony}{0}{\left({2\over 3}\right)^n}}+2}= {\zielony{\left[\infty\over 2\right]}}=\infty\cr}\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{5\cdot4^{n+1}-1\over 3^{n+1}+4^n}={\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}\] Otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\infty\over\infty\right]\), więc przekształcamy ciąg, wyłączając przed nawias w liczniku i w mianowniku czynnik \(4^n\) \(\left(4^n\neq 0\right)\). Wtedy \[\eqalign{\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}&{5\cdot4^{n+1}-1\over 3^{n+1}+4^n} \overset{\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{5\cdot 4^n\cdot 4-1\over 3^n\cdot 3+4^n}= \lim\limits_{n\to\infty}{{{\ccancel{\fioletowy}{4^n}}\left(20\cdot{{4^n}\over 4^{n}}- {1\over 4^{n}}\right)} \over {{\ccancel{\fioletowy}{4^n}}\left(3\cdot {{{3}^n}\over {4^{n}}}+{{4^{n}}\over {4^{n}}}\right)}}=\cr&= \lim\limits_{n\to\infty}{{{20-{\gcancelto{\czerwony}{0}{{\left(1\over 4\right)}^{n}}}}} \over {{{3\cdot{\dcancelto{\czerwony}{0}{{\left(3\over 4\right)}^{n}}}}}+{{1}}}}={{20}\over {1}}={20}\cr}\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{3\cdot4^{n+1}-5\over 3^{n-1}-2^n}= {\zielony{\left[\frac {\infty }{\infty - \infty}\right]}}\] Otrzymaliśmy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac {\infty }{\infty - \infty}\right]\), więc przekształcamy ciąg, wyłączając przed nawias w liczniku i w mianowniku czynnik \(3^n\) \(\left(3^n\neq 0\right)\). Wtedy \[\eqalign{ \lim\limits_{n\to\infty}&{3\cdot4^{n+1}-5\over 3^{n-1}-2^n} \overset{\zielony{\left[\frac {\infty }{\infty - \infty}\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{3\cdot4^n\cdot 4-5 \over 3^n\cdot {1\over 3}-2^n}= \lim\limits_{n\to\infty}{{\ccancel{\fioletowy}{3^n}}\left(12\cdot {4^n\over 3^n}-{5\over 3^n}\right) \over {\ccancel{\fioletowy}{3^n}}\left({1\over 3}\cdot {3^n\over 3^n} -{2^n\over 3^n}\right)}=\cr&= \lim\limits_{n\to\infty}{12\cdot {\gcancelto{\niebieski}{\infty}{\left({4\over 3}\right)^n}}- 5\cdot{\gcancelto{\czerwony}{0}{\left({1\over 3}\right)^n}} \over {1\over 3} -{\dcancelto{\czerwony}{0}{\left({2\over 3}\right)^n}}}= {\zielony{\left[\infty\over 1\right]}}=\infty\cr }\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{n!-\left(n+2\right)!}{\left(n+1\right)!}}= {\zielony{\left[\infty-\infty\over\infty\right]}}\] Ponieważ otrzymaliśmy symbol nieoznaczony \(\left[\infty-\infty\over\infty\right]\), to przekształcamy \(n\)-ty wyraz ciągu, rozbijając go na dwa ułamki i korzystając z własności silni. Wtedy \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&{\frac{n!-\left(n+2\right)!}{\left(n+1\right)!}} \overset{\zielony{\left[\infty-\infty\over\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{\left[{{n!}\over {\left(n+1\right)!}}-{{\left(n+2\right)!}\over {\left(n+1\right)!}}\right]}= \cr &= \lim\limits_{n\to\infty}{\left[{{\cancel{n!}}\over {{\cancel{n!}}\cdot \left(n+1\right)}}- {{{\ccancel{\fioletowy}{\left(n+1\right)!}}\cdot {\left(n+2\right)}}\over {\ccancel{\fioletowy}{\left(n+1\right)!}}}\right]}=\cr &= \lim\limits_{n\to\infty}{\left({\gcancelto{\czerwony}{0}{{\frac {1}{n+1}}}}-{\gcancelto{\niebieski}{+\infty}{{{n+2}\over {1}}}}\right)}= {\zielony{\left[0-\infty\right]}}=-\infty\cr }\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1+2+3+\ldots +({n+2})}{\sqrt{4n^4+3}}= {\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}\] Ponieważ otrzymaliśmy symbol nieoznaczony \(\left[\infty\over\infty\right]\), to musimy przekształcić \(n\)-ty wyraz ciągu. Widzimy, że w jego liczniku znajduje się suma \(n+2\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, którą możemy zapisać w postaci \[1+2+3+\ldots +({n+2})={1+({n+2})\over 2}\cdot ({n+2})={({n+3}) ({n+2})\over 2}\] Zatem \[\eqalign{\lim_{n\rightarrow \infty}&\frac{1+2+3+\ldots +({n+2})}{\sqrt{4n^4+3}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{({n+3}) ({n+2})}{2\sqrt{4n^4+3}}\overset{\textstyle \zielony{\left[\frac{\infty}{\infty}\right]}}{=}\cr &=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{({n+3}) ({n+2})}{2\sqrt{{n^4}\left({4}+{\frac{3}{n^4}}\right)}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{({n+3}) ({n+2})}{2n^2\sqrt{{4}+{\frac{3}{n^4}}}}=\cr &\overset{\czerwony{\boldsymbol{*}}}{=}\lim_{n\rightarrow \infty}\left[\gcancelto{\czerwony}{\frac{1}{2}}{\frac{{n^2+5n+6}}{ {2n^2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{{4}+\dcancelto{\czerwony}{0}{\frac{3}{n^4}}}}\right]=\frac{1}{2\sqrt{4}}={\frac{1}{4}}\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol{*}}\) skorzystaliśmy z faktu, że stopień licznika jest równy stopniowi mianownika.

Ustalamy symbol wyrażenia \[\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{1+2+3+\dots +({n+1})\over \left(n+2\right)!}= {\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}\] Ponieważ otrzymaliśmy symbol nieoznaczony \(\left[\infty\over\infty\right]\), to musimy przekształcić \(n\)-ty wyraz ciągu. Widzimy, że w jego liczniku znajduje się suma \(n+1\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, którą możemy zapisać w postaci \[1+2+3+\dots +{\left(n+1\right)}={{\left(1+n+1\right)}\over 2}\cdot \left(n+1\right)={({n+2}) ({n+1})\over 2}\] Zatem \[\eqalignno{\lim_{n\rightarrow \infty}&{1+2+3+\ldots +({n+1})\over \left(n+2\right)!} \overset{\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}{=} \lim_{n\rightarrow \infty}{({n+2}) ({n+1})\over 2\left(n+2\right)!}= \cr &= \lim_{n\rightarrow \infty}{({n+2}) ({n+1})\over 2\cdot n!\cdot \left(n+1\right)\cdot \left(n+2\right)}=\cr &= \lim_{n\rightarrow \infty}{{\ccancel{\fioletowy}{({n+2})}} \cancel{({n+1})}\over 2\cdot n!\cdot \cancel{\left(n+1\right)}\cdot {\ccancel{\fioletowy}{\left(n+2\right)}}}= \lim_{n\rightarrow \infty}{\gcancelto{\czerwony}{0}{1\over 2\cdot n!}}=0\cr}\]

Ustalamy symbol wyrażenia \[\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{1+2+3+\dots +n}{3+2n}}={\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}\] Ponieważ otrzymaliśmy symbol nieoznaczony \(\left[\infty\over\infty\right]\), to musimy przekształcić \(n\)-ty wyraz ciągu. Widzimy, że w jego liczniku znajduje się suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, którą możemy zapisać w postaci \[1+2+3+\dots +n=\frac{\left(1+n\right)}{2}\cdot n=\frac{\left(1+n\right)\cdot n}{2}\] Zatem \[\eqalign{\lim_{n\rightarrow \infty}&{1+2+3+\ldots +n\over 3+2n} \overset{\zielony{\left[\infty\over\infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{\left(1+n\right)\cdot n}{2\left(3+2n\right)}}= \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{n+n^2}{6+4n}}\overset{\czerwony{\boldsymbol{*}}}{=}\infty\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol{*}}\) skorzystaliśmy z faktu, że stopień licznika jest większy niż stopień mianownika.

Zanim ustalimy symbol wyrażenia, zauważmy, że w jego liczniku znajduje się suma \(n+1\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego \[\frac{1}{2}+\frac{1}{ 4}+\frac{1}{8}+\dots +\frac{1}{2^n}={\ccancel{\fioletowy}{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{1-\left(1\over 2\right)^{n}}{\ccancel{\fioletowy}{1-{1\over 2}}}= 1-\left(1\over 2\right)^{n},\] a w mianowniku – suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \[1+3+5+\dots +(2n-1)=\frac{1+ (2n-1)}{2}\cdot n=n^2\] Zatem \[\eqalign{\lim_{n\rightarrow \infty}& \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{ 4}+\frac{1}{8}+\dots +\frac{1}{2^n}}{1+3+5+\cdots +(2n-1)}= \lim_{n\rightarrow \infty}{1-\gcancelto{\czerwony}{0}{\left({\frac{1}{2}}\right)^{n}} \over \dcancelto{\niebieski}{\infty}{n^2}}=\zielony{\left[{{1}\over \infty}\right]}=0 \cr}\]

Zanim ustalimy symbol wyrażenia, zauważmy, że w jego mianowniku znajduje się suma \(n+1\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, którą możemy zapisać w postaci \[1+2+4+8+\dots +2^n=1\cdot\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1\] Zatem \[\eqalign{\lim\limits_{n\to\infty}&\frac{2^n-3^n}{1+2+4+8+\dots +2^n}= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2^n-3^n}{2^{n+1}-1} \overset{\zielony{\left[\infty-\infty\over \infty\right]}}{=} \cr& \overset{\zielony{\left[\infty-\infty\over \infty\right]}}{=} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\ccancel{\fioletowy}{2^n}\left({2^n\over 2^n}-{3^n\over 2^n}\right)} {\ccancel{\fioletowy}{2^n}\left({2^{n+1}\over 2^n}-{1\over 2^n}\right)} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1-{\gcancelto{\niebieski}{\infty}{\left({3\over 2}\right)^n}}}{2-{\gcancelto{\czerwony}{0}{\left({1\over 2}\right)^n}}} \overset {\zielony{\left[{1-\infty}\over 2\right]}}{=}-\infty\cr }\]