Ciąg \(\left(a_n\right)\) może być:

• zbieżny, gdy posiada granicę właściwą \(g\in\mathbb{R}\) \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=g\quad\overset{\textrm{def}}{\Longleftrightarrow}\quad \bigwedge_{\varepsilon \gt 0}\quad \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\quad \bigwedge_{n\gt n_0}\quad \left|a_n-g\right| \lt \varepsilon\]
• rozbieżny do \(\boldsymbol{\pm\infty}\), gdy posiada granicę niewłaściwą \(+\infty\) albo \(-\infty\) \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=+\infty\quad\overset{\textrm{def}}{\Longleftrightarrow}\quad \bigwedge_{E\in \mathbb{R}}\ \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\quad \bigwedge_{n\gt n_0}\quad a_n \gt E\] \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=-\infty\quad\overset{\textrm{def}}{\Longleftrightarrow}\quad \bigwedge_{E\in \mathbb{R}}\quad \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\ \bigwedge_{n>n_0}\quad a_n \lt E\]
• rozbieżny, gdy nie posiada ani granicy właściwej ani niewłaściwej.

Symbole wyrażeń nieoznaczonych \[\left[\frac {\infty}{\infty}\right], \quad \left[\frac {0}{0}\right], \quad \left[\infty - \infty\right], \quad \left[0\cdot \infty\right], \quad \left[1^{\infty}\right], \quad \left[0^0\right], \quad \left[\infty^0\right]\]

Granice podstawowych ciągów

• \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}\overset{\zielony{\left[\infty^0\right]}}{=}1\),
• \(\displaystyle \bigwedge\limits_{a\gt 0}\quad \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a}\overset{\zielony{\left[a^0\right]}}{=}1\),
• \(\lim\limits_{n\to\infty}{q^n}= \left\{\begin{array}{lll} 0 & \textrm{dla} & \left|q\right| \lt 1 \\ 1 & \textrm{dla} & q=1 \\ \infty & \textrm{dla} & q\gt 1 \\ \textrm{nie istnieje} & \textrm{dla} & q\le -1 \end{array}\right.\)
• \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\overset{\zielony{\left[1^{\infty}\right]}}{=}e\), gdzie \(e\approx 2,718281828459045...\),
• \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\pm\infty\ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\overset{\zielony{\left[1^{\pm\infty}\right]}}{=}e\),
• \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+a_n\right)^{\frac{1}{a_n}}\overset{\zielony{\left[1^{\pm\infty}\right]}}{=}e\).

Granice wyrażeń wymiernych

• Jeżeli stopnie wielomianów stojących w liczniku i mianowniku są równe, to granica ilorazu jest niezerową liczbą rzeczywistą równą ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika.
• Jeżeli stopień wielomianu stojącego w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu stojącego w mianowniku, to granica ilorazu jest równa \(0\).
• Jeżeli stopień wielomianu stojącego w liczniku jest większy niż stopień wielomianu stojącego w mianowniku, to granica ilorazu jest niewłaściwa, a jej znak zależy od znaków współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika.

Podstawowe twierdzenia dotyczące granic ciągów

• Twierdzenie o arytmetyce granic właściwych ciągów
  Jeżeli ciągi \(\left(a_n\right)\), \(\left(b_n\right)\) są zbieżne, to prawdziwe są następujące równości:
  1. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n+b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}+\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
  2. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(c\cdot a_n)}=c\cdot \lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\quad\) dla każdego \(c\in \mathbb{R}\)
  3. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n-b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}-\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
  4. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{(a_n\cdot b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\cdot \lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\)
  5. \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{\frac {a_n}{b_n}}=\frac {\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}}{\lim\limits_{n\to\infty}{b_n}},\quad \textrm{o ile } \lim\limits_{n\to\infty}{b_n}\neq 0\textrm{ i } b_n\neq 0\)  dla każdego \(n\in\mathbb{N}\)
• Twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych ciągów
  Niech \(a\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas:
  1. \(\displaystyle\left[\infty + \infty \right]=+\infty\)
  2. \(\displaystyle\left[-\infty - \infty \right]=-\infty\)
  3. \(\displaystyle\left[a + \infty \right]=+\infty\)
  4. \(\displaystyle\left[a - \infty \right]=-\infty\)
  5. \(\displaystyle\left[{1\over \pm \infty }\right]=0\)
  6. \(\displaystyle\left[{1\over {0^+}}\right] =+\infty \quad \wedge \quad \left[{1\over {0^-}}\right] =-\infty\)
  7. \(\displaystyle\left[a\cdot \infty \right]= \left\{\begin{matrix} +\infty & \textrm{dla} & a\gt 0 \\ -\infty & \textrm{dla} & a\lt 0 \end{matrix}\right.\)
• Twierdzenie o granicy podciągu ciągu zbieżnego
  Jeżeli ciąg \(\left(a_n\right)\) jest zbieżny (do granicy właściwej albo niewłaściwej), to każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy.
• Twierdzenie o ograniczoności ciągu zbieżnego
  Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy właściwej, to jest ograniczony.
• Twierdzenie o równoważności granic \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \vert a_n\vert =0\]
• Twierdzenie o granicy iloczynu ciągu zbieżnego do zera i ciągu ograniczonego
  Jeżeli \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=0\) oraz ciąg \((b_n)\) jest ograniczony, to \[ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} (a_n\cdot b_n)=0 \]
• Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego
  Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny.
• Twierdzenie o trzech ciągach
  Jeżeli ciągi \(\left(a_n\right)\), \(\left(b_n\right)\) i \(\left(c_n\right)\) spełniają warunki:
  1. \(\bigvee\limits_{n_0\in\mathbb{N}}\ \bigwedge\limits_{n\gt n_0}\ a_n\leq b_n\leq c_n\ \) oraz
  2. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{c_n}=g,\ \) gdzie \(g\in\mathbb{R}\),
  to \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{b_n}=g\).
• Twierdzenie o dwóch ciągach
  Niech \((a_n)\), \((b_n)\) będą ciągami spełniającymi warunek \[\bigvee_{n_0\in \mathbb{N}}\quad \bigwedge_{n\geq n_0}\quad a_n\leq b_n\] Wówczas:
  1. Jeżeli \(\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=\infty\), to \(\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow \infty} b_n=\infty\).
  2. Jeżeli \(\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow \infty} b_n=-\infty\), to \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=-\infty\).

Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm przy podstawie \(e\) i oznaczamy \(\ln\), tzn. \[\bigwedge_{x\in (0,\infty)}\quad y=\ln x\quad\Longleftrightarrow\quad x=e^y\]