Funkcją liniową nazywamy funkcję \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) określoną wzorem \[f(x)=ax+b,\] gdzie \(a,b\in \mathbb{R}\).
Wzory skróconego mnożenia \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
Wzory skróconego mnożenia \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]
Koniunkcją (iloczynem logicznym) zdań \(p\) i \(q\) nazywamy zdanie \(p\:{ \wedge}\: q\), co czytamy: \(p\) i \(q\).
Wartości logiczne koniunkcji znajdują się w tabelce
\( p\) \( q\) \( p\;{ \wedge}\; q\)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Równania i nierówności liniowe

Z definicji funkcji liniowej wynika, że dziedziną naturalną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Zatem dziedziną równania liniowego jest zbiór \(D=\mathbb{R}\), o ile w treści zadania nie podano inaczej. Aby rozwiązać równanie liniowe trzeba je najpierw uporządkować. W poniższym zadaniu pokazane są różne sposoby porządkowania równań. Wśród nich znajdują się także równania sprzeczne i tożsamościowe.
Zadanie
Rozwiąż równanie:
  1. \(2(x-1)+4x=5(x+2)-2\)
    Opuszczamy nawiasy i porządkujemy równanie \[ 2(x-1)+4x=5(x+2)-2\ \] \[ 2x-2+4x=5x+10-2 \] \[ 6x-2=5x+8 \] \[ \ x=10 \]
  2. \(2(x-2)^2+4=(x+2)^2+(x-1)^2\)
    Stosujemy wzory skróconego mnożenia i porządkujemy równanie \[ 2(x-2)^2+4=(x+2)^2+(x-1)^2 \] \[ 2\left(x^2-4x+4\right)+4=\left(x^2+4x+4\right) +\left(x^2-2x+1\right) \] \[ \ccancel{\czerwony}{2x^2}-8x+8+4=\ccancel{\czerwony}{2x^2}+2x+5 \] \[-10x=-7 \ /:(-10)\] \[x={7\over 10}\]
  3. \(\displaystyle {5(x-1)\over 3}-{3(2x-3)\over 2}={5\over 2}x\)
    Mnożymy obie strony równania przez \(6\) \(\left(6=\hbox{NWW}(2,3)\right)\), aby pozbyć się wyrażeń ułamkowych \[ \quad\ {5(x-1)\over 3}-{3(2x-3)\over 2}={5\over 2} - x \ /\cdot 6 \] \[ \: 10(x-1)-9(2x-3)=15 -6x \] \[ \quad10x-10-18x+27=15- 6x \] \[ \quad\ \; - 2x=-2 \ /:2 \] \[ x=1 \]
  4. \(\displaystyle 2(x-2)=\sqrt{3}(1+x)\)
    Opuszczamy nawiasy i porządkujemy równanie \[ 2x-4=\sqrt 3+x\sqrt 3 \] \[2x-x\sqrt 3=4+\sqrt 3\] Wyłączamy niewiadomą \(x\) przed nawias \[x(2-\sqrt 3)=4+\sqrt 3 \ /:(2-\sqrt 3) \] \[x=\frac{4+\sqrt 3}{2-\sqrt 3}\] Aby uwolnić mianownik od niewymierności, wymnażamy licznik i mianownik ułamka przez czynnik \(2+\sqrt 3\) i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) \[x=\frac{(4+\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}{(2-\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}\] \[x=\frac{8+4\sqrt 3+2\sqrt 3+3}{2^2-\sqrt 3^2}\] \[x=\frac{11+6\sqrt 3}{4-3}\] \[x=11+6\sqrt 3\]
  5. \((2x+1)^2+x-1=(3-x)(x+3)+5x^2+5x\)
    Stosujemy wzory skróconego mnożenia i porządkujemy równanie \[ (2x+1)^2+x-1=(3-x)(x+3)+5x^2+5x \] \[ 4x^2+4x+1+x-1=9-x^2+5x^2+5x \] \[ 4x^2+5x=4x^2+5x+9 \ /-(4x^2+5x)\] \[0=9\] Zatem równanie jest sprzeczne i nie posiada rozwiązań.
  6. \(\displaystyle {1-3x\over 10}={1+x\over 5}-{1\over 2}x-0,1\)
    Mnożymy obie strony równania przez \(10\) \(\left(10=\hbox{NWW}(2,5,10)\right)\), aby pozbyć się wyrażeń ułamkowych \[ {1-3x\over 10}={1+x\over 5}-{1\over 2}x-0,1 \ /\cdot 10 \] \[ 1-3x=2(1+x)-5x-1 \] \[ 1-3x=2+2x-5x-1 \] \[1-3x=1-3x \ /-(1-3x)\] \[ 0=0 \] Zatem równanie jest tożsamościowe i każda liczba rzeczywista \(x\) jest rozwiązaniem tego równania.
W przypadku nierówności liniowych musimy dodatkowo pamiętać, że dzielenie nierówności stronami przez liczbę ujemną powoduje zmianę kierunku tej nierówności.
Zadanie
Rozwiąż nierówność:
  1. \(5(2x-3)-6x<3(4x-3)\)
    Opuszczamy nawiasy i porządkujemy nierówność \[ 5(2x-3)-6x<3(4x-3) \] \[ 10x-15-6x<12x-9 \ \] \[ \quad -8x<6 \ /:(-8) \] Dzielenie nierówności przez liczbę ujemną powoduje zmianę kierunku nierówności, dlatego otrzymujemy \[ x>-{3\over 4} \]
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania na osi liczbowej.
    Zatem \(x\in \left(-{3\over 4}, \infty\right)\).
  2. \((2x+1)^2-3x(x+5)+2x\ge (x-3)^2-5x-20\)
    Stosujemy wzory skróconego mnożenia i porządkujemy nierówność \[ (2x+1)^2-3x(x+5)+2x\ge (x-3)^2-5x-20 \] \[ \left(4x^2+4x+1\right)-3x^2-15x+2x\ge \left(x^2-6x+9\right)-5x-20\] \[ \ccancel{\czerwony}{x^2}-9x+1\ge\ccancel{\czerwony}{x^2}-11x-11 \] \[\ \ 2x\ge -12 \ /:2\] \[x\ge -6\]
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania na osi liczbowej.
    Zatem \(x\in \left\lt -6, \infty\right)\).
  3. \(\displaystyle {1\over 4}x+4\leq {x-1\over 6}-{2\over 3}(x-2)\)
    Obie strony nierówności mnożymy przez \(12\), gdyż \(\hbox{NWW}(3,4,6)=12\) \[ \qquad {1\over 4}x+4\leq {x-1\over 6}-{2\over 3}(x-2) \ /\cdot 12 \] \[ 3x+48 \leq 2(x-1)-8(x-2) \] Opuszczamy nawiasy i porządkujemy nierówność \[ 3x+48\leq 2x-2-8x+16\] \[ \quad 9x\leq -34 \ /:9 \] \[ x\leq -{34\over 9} \]
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania na osi liczbowej.
    Zatem \(x\in \left(-\infty,-{34\over 9}\right>\).
  4. \((x+1)^2+x+\sqrt{2} \lt (1+x)(2+x)\)
    Stosujemy wzór skróconego mnożenia i porządkujemy nierówność \[ (x+1)^2+x+\sqrt{2} \lt (1+x)(2+x) \] \[ x^2+2x+1+x+\sqrt{2} \lt 2+x+2x+x^2 \] \[ \ccancel{\czerwony}{x^2+3x}+1+\sqrt{2} \lt \ccancel{\czerwony}{x^2+3x}+2 \] \[\ \ 1+\sqrt{2} \lt 2 \ /-2\] \[-1+\sqrt{2} \lt 0\] Ponieważ \(\sqrt{2}\gt 1\), to liczba \(-1+\sqrt{2}\) jest dodatnia. Zatem nierówność jest sprzeczna.
  5. \(x^2+(2+x)(2-x)+x ≤ x+4\)
    Opuszczamy nawiasy i porządkujemy nierówność \[ x^2+(2+x)(2-x)+x ≤ x+4 \] \[ \ccancel{\czerwony}{x^2}+4-\ccancel{\czerwony}{x^2}+x ≤ x+4 \] \[ \quad 4+x ≤ x+4 \ /-(4+x) \] \[0 ≤ 0 \] Ponieważ nierówność jest nieostra, to każda liczba \(x\in\mathbb{R}\) jest jej rozwiązaniem.
Rozwiązując podwójną nierówność liniową, musimy pamiętać, że jest ona równoważna z koniunkcją dwóch pojedynczych nierówności liniowych. Każdą z nich rozwiązujemy więc osobno, a zbiór rozwiązań podwójnej nierówności jest częścią wspólną otrzymanych zbiorów rozwiązań pojedynczych nierówności liniowych.
Zadanie
Rozwiąż podwójną nierówność:
  1. \(3x+2\le 4x-1\lt 5x-6\)
    Podwójną nierówność \[3x+2\le 4x-1\lt 5x-6\] można równoważnie zapisać w postaci dwóch nierówności, które muszą być spełnione jednocześnie, tzn. \[3x+2\le 4x-1 \quad \wedge\quad 4x-1\lt 5x-6\] Po równoczesnym uporządkowaniu obu nierówności otrzymujemy \[ -x\le -3 \ /:(-1) \quad \wedge\quad -x\lt -5 \ /:(-1) \] \[ x\ge 3 \quad \wedge\quad x\gt 5\]
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania na osi liczbowej.
    Zatem \(x\in \left(5, \infty\right)\).
  2. \(\displaystyle 2\lt {3\over 2}x-{1\over 4}\lt 3\)
    Podwójną nierówność można rozwiązywać jak w poprzednim przykładzie albo (krócej) wykonując przekształcenia obydwu nierówności jednocześnie: \[ 2\lt {3\over 2}x-{1\over 4}\lt 3 \] \[ 2+{1\over 4}\lt {3\over 2}x \lt 3+{1\over 4} \ \] \[ \ \ {9\over 4}\lt {3\over 2}x \lt {13\over 4} \ /\cdot {2\over 3}\] \[{\gcancel{\czerwony}{3}{9}\over \dcancel{\niebieski}{2}{4}}\cdot {\ccancel{\niebieski}{2}\over \ccancel{\czerwony}{3}}\lt x\lt {13\over \dcancel{\zielony}{2}{4}}\cdot {\ccancel{\zielony}{2}\over 3}\] \[{3\over 2}\lt x\lt {13\over 6}\]
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania na osi liczbowej.
    Zatem \(x\in \left({3\over 2}, {13\over 6}\right)\).