matematyka : Równania i nierówności liniowe

Funkcją liniową nazywamy funkcję

$f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ określoną wzorem

$f(x)=ax+b,$ gdzie

$a,b\in \mathbb{R}$ .

Wzory skróconego mnożenia

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Wzory skróconego mnożenia

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Koniunkcją (iloczynem logicznym) zdań

$p$ i

$q$ nazywamy zdanie

$p\:{ \wedge}\: q$ , co czytamy:

$p$ i

$q$ .
Wartości logiczne koniunkcji znajdują się w tabelce

$p$	$q$	$p\;{ \wedge}\; q$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Równania i nierówności liniowe

Z definicji funkcji liniowej wynika, że dziedziną naturalną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Zatem dziedziną równania liniowego jest zbiór

$D=\mathbb{R}$ , o ile w treści zadania nie podano inaczej. Aby rozwiązać równanie liniowe trzeba je najpierw uporządkować. W poniższym zadaniu pokazane są różne sposoby porządkowania równań. Wśród nich znajdują się także równania sprzeczne i tożsamościowe.

Zadanie

Rozwiąż równanie:

$2(x-1)+4x=5(x+2)-2$
Opuszczamy nawiasy i porządkujemy równanie $2(x-1)+4x=5(x+2)-2\$ $2x-2+4x=5x+10-2$ $6x-2=5x+8$ $\ x=10$
$2(x-2)^2+4=(x+2)^2+(x-1)^2$
Stosujemy wzory skróconego mnożenia i porządkujemy równanie $2(x-2)^2+4=(x+2)^2+(x-1)^2$ $2\left(x^2-4x+4\right)+4=\left(x^2+4x+4\right) +\left(x^2-2x+1\right)$ $\ccancel{\czerwony}{2x^2}-8x+8+4=\ccancel{\czerwony}{2x^2}+2x+5$ $-10x=-7 \ /:(-10)$ $x={7\over 10}$
$\displaystyle {5(x-1)\over 3}-{3(2x-3)\over 2}={5\over 2}x$
Mnożymy obie strony równania przez $6$ $\left(6=\hbox{NWW}(2,3)\right)$ , aby pozbyć się wyrażeń ułamkowych $\quad\ {5(x-1)\over 3}-{3(2x-3)\over 2}={5\over 2} - x \ /\cdot 6$ $\: 10(x-1)-9(2x-3)=15 -6x$ $\quad10x-10-18x+27=15- 6x$ $\quad\ \; - 2x=-2 \ /:2$ $x=1$
$\displaystyle 2(x-2)=\sqrt{3}(1+x)$
Opuszczamy nawiasy i porządkujemy równanie $2x-4=\sqrt 3+x\sqrt 3$ $2x-x\sqrt 3=4+\sqrt 3$ Wyłączamy niewiadomą $x$ przed nawias $x(2-\sqrt 3)=4+\sqrt 3 \ /:(2-\sqrt 3)$ $x=\frac{4+\sqrt 3}{2-\sqrt 3}$ Aby uwolnić mianownik od niewymierności, wymnażamy licznik i mianownik ułamka przez czynnik $2+\sqrt 3$ i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ $x=\frac{(4+\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}{(2-\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}$ $x=\frac{8+4\sqrt 3+2\sqrt 3+3}{2^2-\sqrt 3^2}$ $x=\frac{11+6\sqrt 3}{4-3}$ $x=11+6\sqrt 3$
$(2x+1)^2+x-1=(3-x)(x+3)+5x^2+5x$
Stosujemy wzory skróconego mnożenia i porządkujemy równanie $(2x+1)^2+x-1=(3-x)(x+3)+5x^2+5x$ $4x^2+4x+1+x-1=9-x^2+5x^2+5x$ $4x^2+5x=4x^2+5x+9 \ /-(4x^2+5x)$ $0=9$ Zatem równanie jest sprzeczne i nie posiada rozwiązań.
$\displaystyle {1-3x\over 10}={1+x\over 5}-{1\over 2}x-0,1$
Mnożymy obie strony równania przez $10$ $\left(10=\hbox{NWW}(2,5,10)\right)$ , aby pozbyć się wyrażeń ułamkowych ${1-3x\over 10}={1+x\over 5}-{1\over 2}x-0,1 \ /\cdot 10$ $1-3x=2(1+x)-5x-1$ $1-3x=2+2x-5x-1$ $1-3x=1-3x \ /-(1-3x)$ $0=0$ Zatem równanie jest tożsamościowe i każda liczba rzeczywista $x$ jest rozwiązaniem tego równania.

W przypadku nierówności liniowych musimy dodatkowo pamiętać, że dzielenie nierówności stronami przez liczbę ujemną powoduje zmianę kierunku tej nierówności.

Zadanie

Rozwiąż nierówność:

$5(2x-3)-6x<3(4x-3)$
Opuszczamy nawiasy i porządkujemy nierówność $5(2x-3)-6x<3(4x-3)$ $10x-15-6x<12x-9 \$ $\quad -8x<6 \ /:(-8)$ Dzielenie nierówności przez liczbę ujemną powoduje zmianę kierunku nierówności, dlatego otrzymujemy $x>-{3\over 4}$

Zatem $x\in \left(-{3\over 4}, \infty\right)$ .
$(2x+1)^2-3x(x+5)+2x\ge (x-3)^2-5x-20$
Stosujemy wzory skróconego mnożenia i porządkujemy nierówność $(2x+1)^2-3x(x+5)+2x\ge (x-3)^2-5x-20$ $\left(4x^2+4x+1\right)-3x^2-15x+2x\ge \left(x^2-6x+9\right)-5x-20$ $\ccancel{\czerwony}{x^2}-9x+1\ge\ccancel{\czerwony}{x^2}-11x-11$ $\ \ 2x\ge -12 \ /:2$ $x\ge -6$

Zatem $x\in \left\lt -6, \infty\right)$ .
$\displaystyle {1\over 4}x+4\leq {x-1\over 6}-{2\over 3}(x-2)$
Obie strony nierówności mnożymy przez $12$ , gdyż $\hbox{NWW}(3,4,6)=12$ $\qquad {1\over 4}x+4\leq {x-1\over 6}-{2\over 3}(x-2) \ /\cdot 12$ $3x+48 \leq 2(x-1)-8(x-2)$ Opuszczamy nawiasy i porządkujemy nierówność $3x+48\leq 2x-2-8x+16$ $\quad 9x\leq -34 \ /:9$ $x\leq -{34\over 9}$

Zatem $x\in \left(-\infty,-{34\over 9}\right>$ .
$(x+1)^2+x+\sqrt{2} \lt (1+x)(2+x)$
Stosujemy wzór skróconego mnożenia i porządkujemy nierówność $(x+1)^2+x+\sqrt{2} \lt (1+x)(2+x)$ $x^2+2x+1+x+\sqrt{2} \lt 2+x+2x+x^2$ $\ccancel{\czerwony}{x^2+3x}+1+\sqrt{2} \lt \ccancel{\czerwony}{x^2+3x}+2$ $\ \ 1+\sqrt{2} \lt 2 \ /-2$ $-1+\sqrt{2} \lt 0$ Ponieważ $\sqrt{2}\gt 1$ , to liczba $-1+\sqrt{2}$ jest dodatnia. Zatem nierówność jest sprzeczna.
$x^2+(2+x)(2-x)+x ≤ x+4$
Opuszczamy nawiasy i porządkujemy nierówność $x^2+(2+x)(2-x)+x ≤ x+4$ $\ccancel{\czerwony}{x^2}+4-\ccancel{\czerwony}{x^2}+x ≤ x+4$ $\quad 4+x ≤ x+4 \ /-(4+x)$ $0 ≤ 0$ Ponieważ nierówność jest nieostra, to każda liczba $x\in\mathbb{R}$ jest jej rozwiązaniem.

Rozwiązując podwójną nierówność liniową, musimy pamiętać, że jest ona równoważna z koniunkcją dwóch pojedynczych nierówności liniowych. Każdą z nich rozwiązujemy więc osobno, a zbiór rozwiązań podwójnej nierówności jest częścią wspólną otrzymanych zbiorów rozwiązań pojedynczych nierówności liniowych.

Zadanie

Rozwiąż podwójną nierówność:

$3x+2\le 4x-1\lt 5x-6$
Podwójną nierówność $3x+2\le 4x-1\lt 5x-6$ można równoważnie zapisać w postaci dwóch nierówności, które muszą być spełnione jednocześnie, tzn. $3x+2\le 4x-1 \quad \wedge\quad 4x-1\lt 5x-6$ Po równoczesnym uporządkowaniu obu nierówności otrzymujemy $-x\le -3 \ /:(-1) \quad \wedge\quad -x\lt -5 \ /:(-1)$ $x\ge 3 \quad \wedge\quad x\gt 5$

Zatem $x\in \left(5, \infty\right)$ .
$\displaystyle 2\lt {3\over 2}x-{1\over 4}\lt 3$
Podwójną nierówność można rozwiązywać jak w poprzednim przykładzie albo (krócej) wykonując przekształcenia obydwu nierówności jednocześnie: $2\lt {3\over 2}x-{1\over 4}\lt 3$ $2+{1\over 4}\lt {3\over 2}x \lt 3+{1\over 4} \$ $\ \ {9\over 4}\lt {3\over 2}x \lt {13\over 4} \ /\cdot {2\over 3}$ ${\gcancel{\czerwony}{3}{9}\over \dcancel{\niebieski}{2}{4}}\cdot {\ccancel{\niebieski}{2}\over \ccancel{\czerwony}{3}}\lt x\lt {13\over \dcancel{\zielony}{2}{4}}\cdot {\ccancel{\zielony}{2}\over 3}$ ${3\over 2}\lt x\lt {13\over 6}$

Zatem $x\in \left({3\over 2}, {13\over 6}\right)$ .