Układy równań liniowych
Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy układ mający postać {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2,gdziea1,a2,b1,b2,c1,c2∈R Liczby a1,a2,b1,b2
nazywamy współczynnikami przy niewiadomych, a liczby c1,c2 – wyrazami wolnymi.
Parę liczb (d1,d2) nazywamy rozwiązaniem układu równań, jeżeli zachodzą równości {a1d1+b1d2=c1a2d1+b2d2=c2 Układ równań, który posiada dokładnie jedno rozwiązanie, nazywamy układem oznaczonym.
Układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, jest układem nieoznaczonym.
Układ równań, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecznym.
Układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, jest układem nieoznaczonym.
Układ równań, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecznym.
Układ równań liniowych można rozwiązać kilkoma sposobami. Przedstawimy metodę podstawiania oraz metodę przeciwnych współczynników. Nie są to jednak jedyne metody rozwiązywania układów równań liniowych. Inną metodę opiszemy w części poświęconej wzajemnemu położeniu prostych. Poniżej znajdują się przykłady, w których układ równań jest sprzeczny lub nieoznaczony. Układom oznaczonym poświęcone są kolejne jednostki.
Zadanie
Rozwiąż układ równań liniowych:
-
{3x+y=19x+3y=6Przekształcamy drugie równanie układu, dzieląc obie jego strony przez 3 {3x+y=19x+3y=6/:3⟺{3x+y=13x+y=2 Ponieważ lewe strony otrzymanych równań są sobie równe, a prawe nie są, to układ jest sprzeczny.
-
{x−2y=22x−4y=4Przekształcamy drugie równanie układu, dzieląc obie jego strony przez 2 {x−2y=22x−4y=4/:2⟺{x−2y=2x−2y=2 Oba otrzymane równania mają identyczną postać, którą można przedstawić jako x=2y+2 Rozwiązaniem układu są więc wszystkie pary liczb mające postać (2a+2,a),gdzie a∈R Fakt ten można zapisać w równoważnej postaci {x=2a+2y=aa∈R Zatem podany układ równań jest nieoznaczony.
Zajmiemy się teraz metodą podstawiania, którą można rozwiązać układ równań liniowych. Metoda ta polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z dowolnego równania układu i na podstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania tego układu. W ten sposób
otrzymujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą, które potrafimy już rozwiązywać. Po znalezieniu rozwiązania tego równania wstawiamy je do otrzymanego wcześniej wyrażenia, aby obliczyć drugą niewiadomą.
Zadanie
Rozwiąż układ równań liniowych metodą podstawiania:
-
{2x−5y=4−x+3y=−1Z drugiego równania układu wyznaczamy niewiadomą x −x+3y=−1 −x=−1−3y /:(−1) x=1+3y Taką postać niewiadomej x wstawiamy do pierwszego równania i wyznaczamy niewiadomą y 2(1+3y)−5y=4 2+6y−5y=4 2+y=4 y=2 Stąd otrzymujemy {x=1+3yy=2 Zatem rozwiązaniem układu równań jest {x=7y=2
-
{6x+3y=3−4x+7y=5Z pierwszego równania układu wyznaczamy niewiadomą y 6x+3y=3 3y=3−6x /:3 y=1−2x Taką postać niewiadomej y wstawiamy do drugiego równania i wyznaczamy niewiadomą x −4x+7(1−2x)=5 −4x+7−14x=5 18x=−2 /:(−18) x=19 Stąd otrzymujemy {x=19y=1−2x Zatem rozwiązaniem układu równań jest {x=19y=79
Omówimy teraz metodę przeciwnych współczynników, którą można rozwiązać układ równań liniowych. Metoda ta polega na równoważnym przekształceniu równań danego układu tak, aby otrzymać przeciwne współczynniki przy jednej z niewiadomych. Najczęściej stosowanym
w tym celu przekształceniem jest mnożenie równań stronami przez odpowiednie liczby niezerowe. Następnie dodajemy równania stronami, dzięki czemu pozbywamy się niewiadomej, przy której uzyskaliśmy przeciwne współczynniki. Z otrzymanego w ten sposób
równania wyliczamy pierwszą niewiadomą. Obliczoną wartość pierwszej niewiadomej wstawiamy do dowolnego równania układu i wyliczamy drugą niewiadomą.
Zadanie
Rozwiąż układ równań liniowych metodą przeciwnych współczynników:
-
{3x−2y=1−x+4y=2Aby otrzymać przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, mnożymy drugie równanie przez 3 {3x−2y=1−x+4y=2 /⋅3⟺{3x−2y=1−3x+12y=6 Dodajmy stronami oba równania 3x+(−3x)−2y+12y=1+6 Redukujemy wyrazy podobne 10y=7 /:10 y=710 Tak obliczoną wartość y wstawiamy na przykład do pierwszego równania i wyznaczamy niewiadomą x 3x−2⋅710=1 3x=1+75 3x=125 /:3 x=45 Zatem rozwiązaniem układu równań jest {x=45y=710
-
{5x+2y=−32x+3y=1Aby otrzymać przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, mnożymy pierwsze równanie przez 3 oraz drugie równanie przez −2 {5x+2y=−3 /⋅32x+3y=1 /⋅(−2)⟺{15x+6y=−9−4x−6y=−2 i dodajmy stronami oba równania 15x−4x=−9−2 11x=−11 /:11 x=−1 Obliczoną wartość niewiadomej x wstawiamy na przykład do drugiego równania i wyznaczamy niewiadomą y −2+3y=1 3y=3 /:3 y=1 Zatem rozwiązaniem układu równań jest {x=−1y=1