Układy równań liniowych

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy układ mający postać \[ \left\{\eqalign{a_1 x + b_1y&=c_1\cr a_2 x + b_2 y&=c_2\cr}\right., \quad \hbox{gdzie} \quad a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in\mathbb{R}\] Liczby \(a_1,a_2,b_1,b_2\) nazywamy współczynnikami przy niewiadomych, a liczby \(c_1,c_2\) – wyrazami wolnymi.

Definicja

Parę liczb \(\left( d_1,d_2\right)\) nazywamy rozwiązaniem układu równań, jeżeli zachodzą równości \[ \left\{\eqalign{a_1 d_1 + b_1d_2&=c_1\cr a_2 d_1 + b_2 d_2&=c_2\cr}\right. \] Układ równań, który posiada dokładnie jedno rozwiązanie, nazywamy układem oznaczonym.
Układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, jest układem nieoznaczonym.
Układ równań, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecznym.

Układ równań liniowych można rozwiązać kilkoma sposobami. Przedstawimy metodę podstawiania oraz metodę przeciwnych współczynników. Nie są to jednak jedyne metody rozwiązywania układów równań liniowych. Inną metodę opiszemy w części poświęconej wzajemnemu położeniu prostych. Poniżej znajdują się przykłady, w których układ równań jest sprzeczny lub nieoznaczony. Układom oznaczonym poświęcone są kolejne jednostki.

Zadanie

Rozwiąż układ równań liniowych:

\(\left\{\eqalign{3x+y&=1\cr 9x+3y&=6\cr}\right.\)
Przekształcamy drugie równanie układu, dzieląc obie jego strony przez \(3\) \[ \qquad\quad\left\{\eqalign{3x+y&=1\cr 9x+3y&=6/: 3\cr}\right.\quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{3x+y&=1\cr 3x+y&=2\cr}\right. \] Ponieważ lewe strony otrzymanych równań są sobie równe, a prawe nie są, to układ jest sprzeczny.
\(\left\{\eqalign{x-2y&=2\cr 2x-4y&=4\cr}\right.\)
Przekształcamy drugie równanie układu, dzieląc obie jego strony przez \(2\) \[ \left\{\eqalign{x-2y&=2\cr 2x-4y&=4/:2\cr}\right.\quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{x-2y&=2\cr x-2y&=2\cr}\right. \] Oba otrzymane równania mają identyczną postać, którą można przedstawić jako \[x=2y+2\] Rozwiązaniem układu są więc wszystkie pary liczb mające postać \[(2a+2, a), \quad \hbox{gdzie }a\in \mathbb{R}\] Fakt ten można zapisać w równoważnej postaci \[ \left\{\eqalign{&x=2a+2\cr &y=a\cr &a\in\mathbb{R} \cr}\right. \] Zatem podany układ równań jest nieoznaczony.

Zajmiemy się teraz metodą podstawiania, którą można rozwiązać układ równań liniowych. Metoda ta polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z dowolnego równania układu i na podstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania tego układu. W ten sposób otrzymujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą, które potrafimy już rozwiązywać. Po znalezieniu rozwiązania tego równania wstawiamy je do otrzymanego wcześniej wyrażenia, aby obliczyć drugą niewiadomą.

Zadanie

Rozwiąż układ równań liniowych metodą podstawiania:

\(\left\{\eqalign{2x-5y&=4\cr -x+3y&=-1\cr}\right.\)
Z drugiego równania układu wyznaczamy niewiadomą \(x\) \[ -x+3y=-1 \] \[ \qquad\quad -x=-1-3y \ /:(-1) \] \[ x=1+3y \] Taką postać niewiadomej \(x\) wstawiamy do pierwszego równania i wyznaczamy niewiadomą \(y\) \[ 2(1+3y)-5y=4 \] \[ 2+6y-5y=4 \] \[ 2+y=4\] \[ y=2 \] Stąd otrzymujemy \[ \left\{\eqalign{x&=1+3y\cr y&=2\cr}\right. \] Zatem rozwiązaniem układu równań jest \[ \left\{\eqalign{x&=7\cr y&=2\cr}\right. \]
\(\left\{\eqalign{6x+3y&=3\cr -4x+7y&=5\cr}\right.\)
Z pierwszego równania układu wyznaczamy niewiadomą \(y\) \[ 6x+3y=3 \] \[ 3y=3-6x \ /:3 \] \[ y=1-2x \] Taką postać niewiadomej \(y\) wstawiamy do drugiego równania i wyznaczamy niewiadomą \(x\) \[ -4x+7(1-2x)=5 \] \[ -4x+7-14x=5 \] \[ \qquad 18x=-2 \ /:(-18) \] \[ x={1\over 9} \] Stąd otrzymujemy \[ \left\{\eqalign{x&={1\over 9}\cr y&=1-2x\cr}\right. \] Zatem rozwiązaniem układu równań jest \[ \left\{\eqalign{x&={1\over 9}\cr y&={7\over 9}\cr}\right. \]

Omówimy teraz metodę przeciwnych współczynników, którą można rozwiązać układ równań liniowych. Metoda ta polega na równoważnym przekształceniu równań danego układu tak, aby otrzymać przeciwne współczynniki przy jednej z niewiadomych. Najczęściej stosowanym w tym celu przekształceniem jest mnożenie równań stronami przez odpowiednie liczby niezerowe. Następnie dodajemy równania stronami, dzięki czemu pozbywamy się niewiadomej, przy której uzyskaliśmy przeciwne współczynniki. Z otrzymanego w ten sposób równania wyliczamy pierwszą niewiadomą. Obliczoną wartość pierwszej niewiadomej wstawiamy do dowolnego równania układu i wyliczamy drugą niewiadomą.

Zadanie

Rozwiąż układ równań liniowych metodą przeciwnych współczynników:

\(\left\{\eqalign{3x-2y&=1\cr -x+4y&=2\cr}\right.\)
Aby otrzymać przeciwne współczynniki przy niewiadomej \(x\), mnożymy drugie równanie przez \(3\) \[ \ \left\{\eqalign{3x-2y&=1\cr -x+4y&=2\ /\cdot 3\cr}\right. \quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{3x-2y&=1\cr -3x+12y&=6\cr}\right.\] Dodajmy stronami oba równania \[ 3x+(-3x) -2y+12y=1+6 \] Redukujemy wyrazy podobne \[ \ \; 10y=7 \ /:10 \] \[ y={7 \over 10} \] Tak obliczoną wartość \(y\) wstawiamy na przykład do pierwszego równania i wyznaczamy niewiadomą \(x\) \[ \quad 3x-2\cdot {7 \over 10}=1 \] \[ \quad 3x=1+{7 \over 5} \] \[ \qquad\quad 3x={12 \over 5}\quad\ /:3 \] \[ x={4 \over 5} \] Zatem rozwiązaniem układu równań jest \[ \left\{\eqalign{x&={4 \over 5}\cr y&={7 \over 10}\cr}\right. \]
\(\left\{\eqalign{5x+2y&=-3\cr 2x+3y&=1\cr}\right.\)
Aby otrzymać przeciwne współczynniki przy niewiadomej \(y\), mnożymy pierwsze równanie przez \(3\) oraz drugie równanie przez \(-2\) \[ \quad \left\{\eqalign{5x+2y&=-3\ /\cdot 3\cr 2x+3y&=1\ /\cdot (-2)\cr}\right.\quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{15x+6y&=-9\cr -4x-6y&=-2\cr}\right. \] i dodajmy stronami oba równania \[ 15x-4x=-9-2 \] \[ 11x=-11\ /:11 \] \[ x=-1 \] Obliczoną wartość niewiadomej \(x\) wstawiamy na przykład do drugiego równania i wyznaczamy niewiadomą \(y\) \[ -2+3y=1 \] \[ 3y=3\ /:3 \] \[ y=1 \] Zatem rozwiązaniem układu równań jest \[ \left\{\eqalign{x&=-1\cr y&=1\cr}\right. \]