Twierdzenie o wektorach prostopadłych
Niech \(\vec{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\vec{v}=\left[v_1,v_2\right]\) będą niezerowymi wektorami w \(\mathbb{R^2}\).
Wówczas: \[ \vec{u} \perp \vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u_1v_1+u_2v_2 = 0 \]
Twierdzenie o wektorach równoległych
Niech \(\vec{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\vec{v}=\left[v_1,v_2\right]\) będą niezerowymi wektorami w \(\mathbb{R^2}\).
Wówczas: \[ \vec{u} \parallel \vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u_1v_2-u_2v_1 = 0 \]
Równoległość wektorów
Jeżeli wektory \(\vec{u}=\left[u_1,u_2\right]\) i \(\vec{v}=\left[v_1,v_2\right]\) są niezerowe
oraz \(v_1\neq 0\) i \(v_2\neq 0\), to: \[ \vec{u} \parallel \vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad {u_1\over v_1}={u_2\over v_2} \]

Prosta

Prosta to pojęcie pierwotne w geometrii, co oznacza, że nie ma formalnej definicji prostej. Prostą wyobrażamy sobie jako nieskończenie długą i nieskończenie cienką linię. Prosta jest zbiorem nieskończenie wielu punktów. Jeżeli punkt \(A\) należy do prostej \(l\), to mówimy, że prosta \(l\) przechodzi przez punkt \(A\) i zapisujemy \(A\in l\). Równanie prostej w przestrzeni \(\mathbb{R}^2\) można zapisać w postaci ogólnej, kierunkowej lub odcinkowej, w zależności od informacji, jakimi dysponujemy na temat danej prostej.
Definicja
Równaniem ogólnym prostej \(l\) na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) nazywamy równanie postaci \[ l:\quad {\czerwony{\boldsymbol A}}x+{\czerwony{\boldsymbol B}}y+C=0, \] gdzie \(A^2+B^2\neq 0\). Wektor \(\overrightarrow{N}=\left[{\czerwony{\boldsymbol A}},{\czerwony{\boldsymbol B}}\right]\), zwany wektorem normalnym, jest do niej prostopadły, jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający w układzie współrzędnych prostą l wraz z jej wektorem normalnym.
Wektor normalny prostej \(l\)
Przykład
Napiszemy równanie ogólne prostej \(l\), wiedząc, że punkt \(A(1,-2)\) należy do tej prostej oraz wektor \(\czerwony{\boldsymbol{\overrightarrow{N} \ =\left[-4,3\right]}}\) jest do niej prostopadły. Wektor \(\overrightarrow{N}\) jest wektorem normalnym prostej \(l\), więc prostą \(l\) można zapisać w postaci \[ l:\quad \czerwony{\boldsymbol{-4}}x+ \czerwony{\boldsymbol{3}}y+C=0 \] Dodatkowo punkt \(A(1,-2)\) leży na prostej \(l\), więc spełnia jej równanie \[ -4\cdot 1+ 3\cdot (-2)+C=0 \] \[ C=10 \] Zatem równanie ogólne prostej \(l\) to \[ l:\quad -4x+ 3y+10=0 \]
Znając punkt leżący na prostej oraz wektor do niej równoległy, możemy zapisać równanie tej prostej w postaci parametrycznej.
Definicja
Równaniem parametrycznym prostej \(l\) na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) nazywamy równanie postaci \[l:\quad \cases{x=x_0+\czerwony{\boldsymbol{v_1}}t\cr y=y_0+\czerwony{\boldsymbol{v_2}}t\cr}, \quad \text{gdzie}\quad t\in\mathbb{R}\] Wektor \(\vec{v}=\left[\czerwony{\boldsymbol{v_1}},\czerwony{\boldsymbol{v_2}}\right]\), zwany wektorem kierunkowym prostej \(l\), jest do niej równoległy. Punkt \(P(x_0,y_0)\) leży na prostej \(l\), jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający w układzie współrzędnych prostą l wraz z jej wektorem kierunkowym.
Wektor kierunkowy prostej \(l\)
Przykład
Napiszemy równanie parametryczne prostej \(l\), wiedząc, że punkt \( \niebieski{\boldsymbol{A(2,1)}}\) należy do tej prostej oraz wektor \( \czerwony{\boldsymbol{\vec{v} \ =\left[-1,3\right]}}\) jest do niej równoległy. Wektor \(\vec{v}\) jest wektorem kierunkowym prostej \(l\), więc prostą \(l\) można zapisać w postaci \[ l:\quad\cases{x= \niebieski{\boldsymbol{2}}+ \czerwony{\boldsymbol{(-1)}}t\cr y= \niebieski{\boldsymbol{1}}+ \czerwony{\boldsymbol{3}}t\cr}, \quad \text{gdzie}\quad t\in\mathbb{R} \] Zatem równanie parametryczne prostej \(l\) to \[l:\quad\cases{x=2-t\cr y=1+3t\cr}, \quad t\in\mathbb{R}\]
Równanie każdej prostej w przestrzeni \(\mathbb{R}^2\) można również zapisać w postaci kierunkowej.
Definicja
Równaniem kierunkowym prostej \(l\) na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) nazywamy równanie postaci \[ l:\quad y=mx+k \] Liczbę \(m\) nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, co więcej \(m=\hbox{tg}\: {\czerwony{\boldsymbol \alpha}}\), gdzie \({\czerwony{\boldsymbol \alpha}}\) oznacza kąt nachylenia prostej \(l\) do dodatniej półosi \(Ox\), jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający w układzie współrzędnych prostą l wraz z jej kątem nachylenia do dodatniej półosi Ox.
Kąt nachylenia prostej \(l\)
Przykład
Napiszemy równanie kierunkowe prostej \(l\), wiedząc, że punkt \(A(-1,2)\) należy do tej prostej oraz prosta \(l\) jest nachylona pod kątem \( \czerwony{\boldsymbol{{\pi\over 4}}}\) do dodatniej półosi \(Ox\). Współczynnik kierunkowy \(m\) prostej \(l\) wynosi \(m=\mathrm{tg}\, \czerwony{\boldsymbol{\pi\over 4}}=1\), więc prostą \(l\) można opisać równaniem \[ l:\quad y=1\cdot x +k \] Dodatkowo punkt \(A(-1,2)\) leży na prostej \(l\), więc spełnia jej równanie \[ 2=1\cdot (-1) +k \] \[ k=3 \] Zatem równanie kierunkowe prostej \(l\) to \[ l:\quad y=x +3 \]
Równanie prostej, która przecina obie osie układu współrzędnych w punktach różnych od punktu \((0,0)\), można zapisać także w postaci odcinkowej.
Definicja
Równaniem odcinkowym prostej \(l\) na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) nazywamy równanie postaci \[ l:\quad {x\over {\czerwony{\boldsymbol a}}}+{y\over {\czerwony{\boldsymbol b}}}=1, \quad \hbox{gdzie}\quad a,b\neq 0 \] Punkt \(A({\czerwony{\boldsymbol a}},0)\) jest punktem przecięcia prostej \(l\) z osią \(Ox\), a punkt \(B(0,{\czerwony{\boldsymbol b}})\) jest punktem jej przecięcia z osią \(Oy\), jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający prostą l wraz z jej punktami przecięcia z osimi układu współrzędnych.
Punkty przecięcia prostej \(l\) z osiami układu współrzędnych
Przykład
Napiszemy równanie odcinkowe prostej, wiedząc, że punkty \(A( \czerwony{\boldsymbol{2}},0)\) oraz \(B(0, \czerwony{\boldsymbol{3}})\) należą na prostej \(l\). Ponieważ punkt \(A(2,0)\) leży na osi \(Ox\), punkt \(B(0,3)\) leży na osi \(Oy\), to równanie odcinkowe prostej \(l\) ma postać \[ l:\quad {x\over \czerwony{\boldsymbol{2}}}+{y\over \czerwony{\boldsymbol{3}}}=1 \]
Oczywiście wszystkie postaci prostej: ogólna, parametryczna, kierunkowa i odcinkowa (o ile istnieje) są sobie równoważne i w łatwy sposób można je przekształcać tak, aby otrzymać inną postać.
Zadanie
Przekształć równanie prostej \(l\) do pozostałych postaci oraz odczytaj zawarte w nich informacje, jeżeli prosta \(l\) dana jest równaniem:
  1. \(l:\ {x\over 5}+{y\over 2}=1\)
    Prosta \(l\) przedstawiona jest za pomocą równania odcinkowego. Zatem przechodzi przez punkty \(A(5,0)\) oraz \(B(0,2)\). Aby otrzymać postać ogólną prostej \(l\), powyższe równanie mnożymy stronami przez \(10\) i przenosimy na lewą stronę wyraz wolny. \[ l:\quad 2x+5y-10=0 \] Z równania ogólnego prostej odczytujemy, że wektor \(\overrightarrow{N}=[2,5]\) jest wektorem normalnym. Przekształcając powyższe równanie, możemy otrzymać postać kierunkową prostej \(l\). \[ \qquad\quad l:\quad 5y=-2x+10\ /:5 \] \[ l:\quad y=-{2\over 5}x+2 \] Widzimy wtedy, że \(\hbox{tg}\: \alpha=-{2\over 5}\), gdzie \(\alpha\) oznacza kąt nachylenia prostej \(l\) do dodatniej półosi \(Ox\). Przyjmując \(x=t\), gdzie \(t\in\mathbb{R}\), i podstawiając do równania kierunkowego prostej \(l\), możemy otrzymać jej równanie parametryczne \[l:\quad \cases{x=t\cr y=2-{2\over 5}t\cr}, \quad t\in\mathbb{R}\] Z równania parametrycznego prostej \(l\) możemy odczytać, że punkt \(P(0,2)\) należy do tej prostej oraz wektor \(\vec{v}=\left[1,-{2\over 5}\right]\) jest jej wektorem kierunkowym.
  2. \(l:\ 3x+4y-2=0\)
    Prosta \(l\) przedstawiona jest za pomocą równania ogólnego. Zatem wektor \(\overrightarrow{N}=[3,4]\) jest jej wektorem normalnym. Po przeniesieniu wyrazu wolnego na prawą stronę równania i podzieleniu stronami przez \(2\) otrzymujemy postać odcinkową prostej \(l\). \[{3\over 2} x+2y=1\] \[{x\over {2\over 3}}+{y\over{1\over 2}}=1\] Zatem prosta \(l\) przecina osie \(Ox\) i \(Oy\) odpowiednio w punktach \(A\left({2\over 3},0\right)\) oraz \(B\left(0,{1\over 2}\right)\). Aby otrzymać równanie kierunkowe prostej \(l\), wyznaczamy \(y\) z równania ogólnego: \[3x+4y-2=0\] \[4y=2-3x\ /:4\] \[y={1\over 2}-{3\over 4}x\] Z powyższego równania możemy odczytać, że tangens kąta nachylenia prostej \(l\) do dodatniej półosi \(Ox\) wynosi \(-{3\over 4}\). Przyjmując \(x=t\), gdzie \(t\in\mathbb{R}\), i podstawiając do równania kierunkowego prostej \(l\), możemy otrzymać jej równanie parametryczne \[l:\quad \cases{x=t\cr y={1\over 2}-{3\over 4}t\cr}, \quad t\in\mathbb{R}\] Z równania parametrycznego prostej \(l\) możemy odczytać, że punkt \(P\left(0,\frac{1}{2}\right)\) należy do tej prostej oraz wektor \(\vec{v}=\left[1,-{3\over 4}\right]\) jest jej wektorem kierunkowym.
  3. \(l:\ y=2x+5\)
    Prosta \(l\) przedstawiona jest za pomocą równania kierunkowego. Zatem tangens kąta nachylenia prostej \(l\) do dodatniej półosi \(Ox\) wynosi \(2\). Po przeniesieniu na lewą stronę wyrażenia \(2x+5\) otrzymujemy postać ogólną prostej \(l\). \[-2x+y-5=0\] Zatem wektor \(\overrightarrow{N}=[-2,1]\) jest jej wektorem normalnym. Po przeniesieniu wyrazu wolnego na prawą stronę równania i podzieleniu stronami przez \(5\) otrzymujemy postać odcinkową prostej \(l\). \[-\frac{2}{5} x+\frac{y}{5}=1\] \[\frac{x}{-\frac{5}{2}}+\frac{y}{5}=1\] Zatem prosta \(l\) przecina osie \(Ox\) i \(Oy\) odpowiednio w punktach \(A\left(-\frac{5}{2},0\right)\) oraz \(B\left(0,5\right)\). Przyjmując \(x=t\), gdzie \(t\in\mathbb{R}\), i podstawiając do równania kierunkowego prostej \(l\), możemy otrzymać jej równanie parametryczne \[l:\quad \cases{x=t\cr y=5+2t\cr}, \quad t\in\mathbb{R}\] Z równania parametrycznego prostej \(l\) możemy odczytać, że punkt \(P(0,5)\) należy do tej prostej oraz wektor \(\vec{v}=\left[1,2\right]\) jest jej wektorem kierunkowym.
  4. \(l:\ \cases{x=3-2t\cr y=1+3t\cr}\), gdzie \(t\in\mathbb{R}\)
    Prosta \(l\) przedstawiona jest za pomocą równania parametrycznego. Zatem punkt \(P(3,1)\) należy do prostej \(l\) oraz wektor \(\vec{v}=\left[-2,3\right]\) jest jej wektorem kierunkowym. Aby otrzymać postać ogólną prostej \(l\), wyznaczmy z obu równań parametr \(t\) \[\cases{2t=3-x /:2\cr -3t=1-y/:(-3)\cr}\quad \Longleftrightarrow\quad\cases{t={3\over 2}-{1\over 2}x \cr t=-{1\over 3}+{1\over 3}y\cr}\] Ponieważ lewe strony obu równań są równe, więc ich prawe strony też są równe, tzn. \[{3\over 2}-{1\over 2}x=-{1\over 3}+{1\over 3}y\] Mnożymy obie strony powyższego równania przez \(6\) \[9-3x=-2+2y \] Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie ogólne prostej \(l\) \[l:\quad 3x+2y-11=0,\] z którego możemy odczytać, że wektorem normalnym prostej \(l\) jest \(\overrightarrow{N}=\left[3,2\right]\). Po wyliczeniu z tego równania zmiennej \(y\) otrzymujemy równanie kierunkowe prostej \(l\) \[\quad l:\quad 3x+2y-11=0\] \[\qquad l:\quad 2y=-3x+11\ /:2\] \[l:\quad y=-{3\over 2} x+{11\over 2} \] Z powyższego równania możemy odczytać, że tangens kąta nachylenia prostej \(l\) do dodatniej półosi \(Ox\) wynosi \(-{3\over 2}\).
Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) ustalamy na podstawie równań opisujących te proste. Jeżeli mamy dane równania prostych w postaci ogólnej, to warunek równoległości i prostopadłości tych prostych można wyrazić za pomocą ich wektorów normalnych, jak w poniższym twierdzeniu.
Twierdzenie
Niech \( l_1:\ A_1x+B_1y+C_1=0,\quad l_2:\ A_2x+B_2y+C_2=0 \) będą prostymi w \(\mathbb{R}^2\). Wtedy: \[l_1\: \vert\vert \: l_2 \quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{N_1}\: \vert\vert \: \overrightarrow{N_2}\] \[\ l_1\: \bot \: l_2\quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{N_1}\: \bot \: \overrightarrow{N_2},\] gdzie \(\overrightarrow{N_1}=[A_1,B_1]\), \(\overrightarrow{N_2}=[A_2,B_2]\) są wektorami normalnymi prostych \(l_1\), \(l_2\).
Zadanie
Dobierz wartość parametru \(p\in\mathbb{R}\) tak, aby proste \(l_1:\ 2x+(p-4)y+3=0\) oraz \(l_2:\ px-3y-2=0\) były:
  1. prostopadłe
    Zgodnie z powyższym twierdzeniem wektory normalne prostych \(l_1\) i \(l_2\) muszą być prostopadłe. Ponieważ \(N_1=\left[2,p-4\right]\) i \(N_2=\left[p,-3\right]\), to zgodnie z twierdzeniem o wektorach prostopadłych ich współrzędne powinny spełniać warunek \[2\cdot p+(p-4)\cdot (-3)=0\] Rozwiązujemy powyższe równanie i otrzymujemy, że jest ono spełnione tylko dla \[ p=12 \] Oznacza to, że proste \(l_1\) i \(l_2\) są prostopadłe, jeśli \(p=12\).
  2. równoległe
    Zgodnie z powyższym twierdzeniem wektory normalne prostych \(l_1\) i \(l_2\) muszą być równoległe. Ponieważ \(N_1=\left[2,p-4\right]\) i \(N_2=\left[p,-3\right]\), to, zgodnie z twierdzeniem o wektorach równoległych ich współrzędne powinny spełniać warunek \[2\cdot(-3)-(p-4)\cdot p=0\] Przekształcamy powyższe równanie i otrzymujemy, że jest ono równoważne z równaniem \[ p^2-4p+6=0 \] Ponieważ \(\Delta<0\), więc równanie to jest sprzeczne, co oznacza, że nie istnieje wartość parametru \(p\), dla której proste \(l_1\) i \(l_2\) są równoległe.
Jeżeli mamy dane równania prostych w postaci kierunkowej, to warunek równoległości i prostopadłości tych prostych można wyrazić za pomocą ich współczynników kierunkowych, jak w poniższym twierdzeniu.
Twierdzenie
Niech \( l_1:\ y=m_1x+k_1,\quad l_2:\ y=m_2x+k_2 \) będą prostymi w \(\mathbb{R}^2\). Wtedy: \[\ l_1\: \parallel \: l_2 \quad\Longleftrightarrow\quad m_1=m_2 \] \[\quad \quad l_1\: \perp \: l_2\quad\Longleftrightarrow\quad m_1\cdot m_2=-1\]
Zadanie
Napisz równanie prostej \(l\) przechodzącej przez punkt \(A(1,2)\) oraz:
  1. równoległej do prostej \(l_1:\ y=4x-3\)
    Niech szukana prosta \(l\) ma równanie kierunkowe \[ l:\quad y=mx+k \] Zgodnie z powyższym twierdzeniem proste \(l\) i \(l_1\) będą równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe będą równe. Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej \(l_1\) wynosi \(4\), to \(m=4\) oraz \(l:\ y=4x+k\). Co więcej punkt \(A\) leży na prostej \(l\), więc spełnia jej równanie. Stąd \[ 2=4\cdot 1 +k\quad \Longleftrightarrow\quad k=-2 \] Zatem równanie prostej \(l\) to \[ l:\quad y=4x-2\]
  2. prostopadłej do prostej \(l_2:\ y=-2x+3\)
    Niech szukana prosta \(l\) ma równanie kierunkowe \(l:\ y=mx+k\). Z równania prostej \(l_2\) odczytujemy, że jej współczynnik kierunkowy wynosi \(m_2=-2\). Zgodnie z powyższym twierdzeniem proste \(l\) i \(l_2\) będą prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełnią warunek \[ m\cdot m_2=-1 \] Zatem \(m={1\over 2}\) oraz \(l:\ y={1\over 2}x+k\). Dodatkowo punkt \(A\) leży na prostej \(l\), więc spełnia jej równanie. Stąd \[ 2={1\over 2}\cdot 1 +k\quad \Longleftrightarrow\quad k={3\over 2} \] Zatem równanie prostej \(l\) to \[ l:\quad y={1\over 2}x+{3\over 2} \]
Poniższe twierdzenie podaje wzór na odległość punktu od prostej na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\).
Twierdzenie
Odległość punktu \(P_0(x_0,y_0)\) od prostej \(l:\ Ax+By+C=0\) na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) określona jest wzorem \[ d(P_0,l)={\vert Ax_0+By_0+C\vert\over \sqrt{A^2+B^2}} \]
Rysunek przedstawiający w układzie współrzędnych odległość punktu P od prostej l.
Odleglość \( d(P,l)\) punktu \( P\) od prostej \( l\)
Przykład
Obliczymy odległość punktu \(P(-1,5)\) od prostej \[l:\ -4x+3y-4=0\] Z równania prostej \(l\) odczytujemy współrzędne wektora normalnego prostej \(l\): \[ \eqalignno{A&=-4\cr B&=3\cr C&=-4\cr } \] i wstawiamy do wzoru na odległość punktu od prostej \[ d(P,l)={\vert -4\cdot (-1)+3\cdot 5-4\vert\over \sqrt{(-4)^2+3^2}}={\vert 15\vert\over \sqrt{16+9}}={15\over 5}=3 \]
Poniższe twierdzenie podaje wzór na odległość pomiędzy dwiema prostymi równoległymi na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\).
Twierdzenie
Odległość między prostymi równoległymi \[ l_1:\ Ax+By+C_1=0,\qquad l_2:\ Ax+By+C_2=0 \] w przestrzeni \(\mathbb{R}^2\) określona jest wzorem \[ d(l_1,l_2)={\vert C_1-C_2\vert\over \sqrt{A^2+B^2}} \]
Rysunek przedstawiający w układzie współrzędnych odległość między prostymi równoległymi.
Odległość \( d(l_1,l_2)\) między prostymi równoległymi \( l_1\), \( l_2\)
Przykład
Obliczymy odległość między prostymi \(l_1:\ -4x+3y-4=0\) oraz \(l_2:\ 2x-{3\over 2}y+1=0\).
Aby można było skorzystać ze wzoru podanego w powyższym twierdzeniu, proste \(l_1\) i \(l_2\) muszą być równoległe, a ich równania ogólne powinny być zapisane przy pomocy tego samego wektora normalnego. Rzeczywiście, proste \(l_1\) i \(l_2\) są równoległe, gdyż ich wektory normalne \[\overrightarrow{N_1}=\left[-4,3\right],\quad \overrightarrow{N_2}=\left[2,-{3\over 2}\right]\] są równoległe (spełniają równość gwarantującą równoległość wektorów). Równania prostych \(l_1\) i \(l_2\) nie są jednak zapisane przy pomocy tego samego wektora normalnego. Przekształcimy zatem równanie prostej \(l_2\). \[ 2x-{3\over 2}y+1=0 /\cdot (-2) \] \[ -4x+3y-2=0 \] Zatem odległość między prostymi \[ l_1:\ -4x+3y-4=0\quad\hbox{i}\quad l_2:\ -4x+3y-2=0 \] wynosi \[ d(l_1,l_2)={\vert -4-(-2)\vert\over \sqrt{(-4)^2+3^2}}={\vert -2\vert \over \sqrt{25}}={2\over 5} \]
Przez dwa różne punkty płaszczyzny \(\mathbb{R}^2\) można poprowadzić tylko jedną prostą.
Jeżeli punkty te mają jednakowe pierwsze współrzędne \((a)\), to poprowadzona przez nie prosta jest równoległa do osi \(Oy\) i opisujące ją równanie ma postać \[x=a\] Jeżeli punkty te mają jednakowe drugie współrzędne \((b)\), to poprowadzona przez nie prosta jest równoległa do osi \(Ox\) i opisujące ją równanie ma postać \[y=b\] W pozostałych przypadkach równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty płaszczyzny \(\mathbb{R}^2\) można napisać, korzystając ze wzoru podanego w poniższym twierdzeniu.
Twierdzenie
Równanie prostej w \(\mathbb{R}^2\) przechodzącej przez dwa różne punkty \(P_1(x_1,y_1)\) i \(P_2(x_2,y_2)\), gdzie \(x_1\neq x_2\), ma postać \[ y={y_2-y_1\over x_2-x_1}\left(x-x_1\right)+y_1 \]
Rysunek przedstawiający prostą l przechodzącą przez dwa ustalone punkty układu współrzędnych.
Prosta przechodząca przez punkty \(P_1\) i \(P_2\)
Zadanie
Napisz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:
  1. \(P_1(0,0)\) i \(P_2(1,2)\)
    Zgodnie z powyższym twierdzeniem otrzymujemy następujące równanie prostej przechodzącej przez punkty \(P_1\) i \(P_2\) \[ y={2-0\over 1-0}\left(x-0\right)+0 \quad \Longleftrightarrow\quad y=2x \] Aby rozwiązać to zadanie, możemy również wykorzystać fakt, że punkty \(P_1(0,0)\) i \(P_2(1,2)\) spełniają równanie szukanej prostej \(y=mx+k\). Otrzymujemy wtedy układ równań \[\cases{0=m\cdot 0 +k\cr 2=m\cdot 1 +k\cr},\] którego rozwiązaniem jest \(m=2\) i \(k=0\), czyli szukana prosta ma równanie \(y=2x\).
  2. \(P_1(1,2)\) i \(P_2(3,4)\)
    Zgodnie z powyższym twierdzeniem otrzymujemy następujące równanie prostej przechodzącej przez punkty \(P_1\) i \(P_2\) \[ y={4-2\over 3-1}\left(x-1\right)+2 \quad \Longleftrightarrow\quad y=x+1 \]
  3. \(P_1(-2,1)\) i \(P_2(4,-3)\)
    Zgodnie z powyższym twierdzeniem otrzymujemy następujące równanie prostej przechodzącej przez punkty \(P_1\) i \(P_2\) \[ y={-3-1\over 4-(-2)}\left[x-(-2)\right]+1 \] \[ y={-4\over 6}\left(x+ 2\right)+1 \] \[ y=-{2\over 3}\left(x+ 2\right)+1\] \[ y=-{2\over 3}x -{4\over 3}+1 \] \[ y=-{2\over 3}x -{1\over 3} \]
  4. \(P_1(2,1)\) i \(P_2(4,1)\)
    Zgodnie z powyższym twierdzeniem otrzymujemy \[ y={1-1\over 4-2}\left(x-2\right)+1 \quad \Longleftrightarrow\quad y=1 \] W tym przykładzie nie trzeba korzystać ze wzoru zawartego w powyższym twierdzeniu. Wystarczy bowiem zauważyć, że punkty \(P_1\) i \(P_2\) mają taką samą drugą współrzędną równą \(1\). Zatem prosta, która przez nie przechodzi, jest równoległa do osi \(Ox\), a jej równanie to \(y=1\).
  5. \(P_1(2,5)\) i \(P_2(2,-1)\)
    W tym przykładzie nie możemy skorzystać z powyższego twierdzenia, ponieważ punkty \(P_1\) i \(P_2\) mają taką samą pierwszą współrzędną. Oznacza to jednak, że prosta, która przez nie przechodzi, jest równoległa do osi \(Oy\), a jej równanie to \(x=2\).
Znalezienie punktów wspólnych prostych \(l_1:\ a_1x+b_1y=c_1\) i \(l_2:\ a_2x+b_2y=c_2\) można sprowadzić do rozwiązania układu równań liniowych \[ \left\{\eqalign{a_1x+b_1y&=c_1\cr a_2x+b_2y&=c_2\cr}\right. \] Możliwe są trzy przypadki:
  1. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie \[ \left\{\eqalign{x&=x_0\cr y&=y_0\cr}\right. \] Wówczas proste \(l_1\) i \(l_2\) przecinają się w jednym punkcie \((x_0,y_0)\), jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie oznaczonego układu równań liniowych.
  2. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które mają postać \[ \left\{\eqalign{&a_1x+b_1y=c_1\cr &x\in \mathbb{R}\cr}\right. \] W tym przypadku proste \(l_1\) i \(l_2\) pokrywają się, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie nieoznaczonego układu równań liniowych.
  3. Układ nie ma rozwiązań. Wtedy proste \(l_1\) i \(l_2\) są równoległe, ale się nie pokrywają, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie sprzecznego układu równań liniowych.
Przyklad
Zbadamy wzajemne położenie prostych \(l_1:\ 2x-y-4=0\) i \(l_2:\ 4x-2y+4=0\).
Rozwiązujemy układ równań liniowych \[\left\{\eqalign{2x-y&=4\cr 4x-2y&=-4\cr}\right.\] Przekształcamy drugie równanie układu, dzieląc obie jego strony przez \(2\) \[\left\{\eqalign{2x-y&=4\cr 4x-2y&=-4 \quad /\: : 2\cr}\right.\quad \Longleftrightarrow \quad\left\{\eqalign{2x-y&=4\cr 2x-y&=-2\cr}\right. \] Odejmujemy stronami oba równania i otrzymujemy \[0=6\] Zatem układ równań jest sprzeczny. Oznacza to, że proste \(l_1\) i \(l_2\) są równoległe i nie pokrywają się, jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie układu równań liniowych.
Przykład
Zbadamy wzajemne położenie prostych \(l_1:\ 3x+y-1=0\) i \(l_2:\ 6x+2y-2=0\).
Rozwiązujemy układ równań liniowych \[\left\{\eqalign{3x+y&=1\cr 6x+2y&=2\cr}\right.\] Przekształcamy drugie równanie układu, dzieląc obie jego strony przez \(2\) \[ \left\{\eqalign{3x+y&=1\cr 6x+2y&=2/:2\cr}\right.\quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{3x+y&=1\cr 3x+y&=1\cr}\right. \] Odejmujemy stronami oba równania i otrzymujemy \[0=0\] Zatem układ równań jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci \[ \left\{\eqalign{&y=-3x+1\cr &x\in\mathbb{R} \cr}\right. \] Oznacza to, że proste \(l_1\) i \(l_2\) pokrywają się, jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie układu równań liniowych.
Zadanie
Znajdź punkt przecięcia podanych prostych:
  1. \(l_1:\ 2x+3y=-1\), \(l_2:\ 4x-y=3\)
    Aby znaleźć punkt przecięcia prostych \(l_1\) i \(l_2\), musimy rozwiązać układ równań liniowych \[ \left\{\eqalign{2x+3y&=-1\cr 4x-y&=3\cr}\right. \] Rozwiążemy go metodą podstawiania, wyznaczając z drugiego równania niewiadomą \(y\) \[ 4x-y=3 \quad \Longleftrightarrow \quad y=4x-3 \] Taką postać niewiadomej \(y\) wstawiamy do pierwszego równania i wyznaczamy niewiadomą \(x\) \[ 2x+3(4x-3)=-1 \] \[ 2x+12x-9=-1 \] \[ 14x=8 /:14 \] \[ x={4\over 7} \] Stąd otrzymujemy \[ \left\{\eqalign{x&={4\over 7}\cr y&=4x-3\cr}\right. \] Zatem rozwiązaniem układu równań jest \[ \left\{\eqalign{x&={4\over 7}\cr y&=-{5\over 7}\cr}\right. \] Oznacza to, że proste \(l_1\) i \(l_2\) przecinają się w punkcie \(\left({4\over 7},-{5\over 7}\right)\).
  2. \(l_1:\ y=2x+2\), \(l_2:\ y=-x+5\)
    Aby znaleźć punkt przecięcia prostych \(l_1\) i \(l_2\), musimy rozwiązać układ równań liniowych \[ \left\{\eqalign{y&=2x+2\cr y&=-x+5\cr}\right. \] Ponieważ lewe strony obu równań są równe i wynoszą \(y\), więc ich prawe strony także powinny być równe \[ 2x+2=-x+5 \quad \Longleftrightarrow \quad x=1 \] Stąd otrzymujemy \[ \left\{\eqalign{x&=1\cr y&=-x+5\cr}\right. \] Zatem rozwiązaniem układu równań jest \[ \left\{\eqalign{x&=1\cr y&=4\cr}\right. \] Oznacza to, że proste \(l_1\) i \(l_2\) przecinają się w punkcie \((1,4)\).
  3. \(l_1:\ {x\over 2}+{y\over 3}=2\), \(l_2:y=-{3\over 2}x+1\)
    Aby znaleźć punkt przecięcia prostych \(l_1\) i \(l_2\), musimy rozwiązać układ równań liniowych \[ \left\{\eqalign{&{x\over 2}+{y\over 3}=2\cr &y=-{3\over 2}x+1\cr}\right. \] Wstawiamy do pierwszego równania \(y=-{3\over 2}x+1\) \[{x\over 2}+{-{3\over 2}x+1\over 3}=2\] \[{x\over 2}+-{1\over 2}x+{1\over 3}=2\] \[{1\over 3}=2\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, więc powyższy układ równań nie ma rozwiązań. Oznacza to, że proste \(l_1\) i \(l_2\) nie mają punktu przecięcia, czyli są prostymi równoległymi niepokrywającymi się.