Postacie funkcji kwadratowej

Ponieważ $\Delta = -16$ i $a=1$, to współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $y=x^2-2x+5$ są: $$p=-{b\over 2a}=1, \qquad q=-{\Delta\over 4a}=4$$ Zatem postać kanoniczna tej funkcji kwadratowej to $$y=(x-1)^2+4$$ Zauważmy, że postać kanoniczną można otrzymać, wykorzystując wzór skróconego mnożenia $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ Biorąc w tym wzorze za $a$ niewiadomą $x$, odpowiednio dobieramy $b$ tak, aby $2xb=2x$, czyli bierzemy $b=1$. Wyrażenie $(x-1)^2=x^2-2x+1$ różni się od $x^2-2x+5$ o $4$. Dlatego otrzymujemy $$y=x^2-2x+5=(x-1)^2+4,$$ co daje nam uzyskaną wcześniej postać kanoniczną.

Ponieważ $\Delta = 5$ i $a=1$, to współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $y=x^2+3x+1$ są: $$p= -{3\over 2}, \qquad q= -{5\over 4}$$ Wobec tego postać kanoniczna tej funkcji to $$y=\left(x+{3\over 2}\right)^2-{5\over 4}$$ Podobnie jak w poprzednim przykładzie możemy zastosować wzór skróconego mnożenia $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$ przyjmując $a=x$ i dobierając $b$ tak, aby $2xb= 3x$, czyli $b={3\over 2}$. Zatem $\left(x+{3\over 2}\right)^2=x^2+3x+{9\over 4}$, stąd $$y=x^2+3x+1=\left(x+{3\over 2}\right)^2-{5\over 4},$$ co daje nam wcześniej otrzymaną postać kanoniczną.

Ponieważ $\Delta = 4$ i $a=3$, to współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $y=3x^2+4x+1$ są: $$p=-{b\over 2a}=-{2\over 3}, \qquad q=-{\Delta\over 4a}=-{1\over 3}$$ Wobec tego postać kanoniczna tej funkcji to $$y=3\left(x+{2\over 3}\right)^2-{1\over 3}$$ Możemy też wyznaczyć postać kanoniczną, wyciągając najpierw $3$ przed nawias, a następnie podobnie jak w poprzednim przykładzie stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy. $$\eqalign{ y=3x^2+4x+1&=3\left(x^2+{4\over 3}x+{1\over 3}\right)=3\left[\left(x+{2\over 3}\right)^2-{1\over 9}\right]=\cr &=3\left(x+{2\over 3}\right)^2-{1\over 3}\cr }$$

Ponieważ $\Delta = 0$ i $a=2$, to współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $y=2x^2-8x+8$ są: $$p= 2, \qquad q= 0$$ Wobec tego postać kanoniczna tej funkcji to $$y=2\left(x-2\right)^2$$

Ponieważ w postaci ogólnej funkcji $y=-3x^2+4$ współczynnik $b$ jest równy zero, to współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji są: $$p=0,\quad q=4$$ W takim przypadku postać ogólna funkcji jest jednocześnie jej postacią kanoniczną.

Ponieważ $\Delta = 2^2-4\cdot 2\cdot (-12)=4+96=100$, to $\sqrt{\Delta}=10$. Zatem miejsca zerowe to: $$x_1= {-2-10 \over 4 } =-3, \qquad x_2= {-2+10 \over 4 } = 2$$ Wobec tego postać iloczynowa funkcji kwadratowej $y=2x^2+2x-12$ to $$y=2(x+3)(x-2)$$

Ponieważ $\Delta = 4$, zatem miejsca zerowe to: $$x_1= -1, \qquad x_2= -{1\over 3}$$ Wobec tego postać iloczynowa funkcji kwadratowej $y=3x^2+4x+1$ to $$y=3\left(x+1\right)\left(x+{1\over 3}\right)$$ Po pomnożeniu drugiego nawiasu przez $3$ otrzymujemy postać $$y=\left(x+1\right)\left(3x+1\right)$$ wygodniejszą w niektórych zadaniach.

Ponieważ $\Delta = 5$, zatem miejsca zerowe to: $$x_1= {3-\sqrt{5}\over 2}, \qquad x_2= {3+\sqrt{5}\over 2}$$ Wobec tego postać iloczynowa funkcji kwadratowej $y=x^2-3x+1$ to $$y=\left(x-{3-\sqrt{5}\over 2}\right)\left(x-{3+\sqrt{5}\over 2}\right)$$

Ponieważ $\Delta = 0$, to jedynym miejscem zerowym jest $x_0= 1$. Wobec tego postać iloczynowa funkcji kwadratowej $y=4x^2-8x+4$ to $$y=4\left(x-1\right)^2$$ Możemy też wyznaczyć postać iloczynową, wyciągając najpierw $4$ przed nawias, a następnie stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. $$y=4\left(x^2-2x+1\right)=4\left(x-1\right)^2$$

Aby zapisać trójmian kwadratowy $2x^2+12x+18$ w postaci iloczynowej, wyciągniemy najpierw $2$ przed nawias, a następnie skorzystamy ze wzoru skróconego możenia na kwadrat sumy. $$y=2x^2+12x+18=2(x^2+6x+9)=2\left(x+3\right)^2$$

Aby zapisać trójmian kwadratowy $9x^2-2$ w postaci iloczynowej, wyciągniemy najpierw $9$ przed nawias, a następnie skorzystamy ze wzoru skróconego możenia na różnicę kwadratów. $$\eqalign{y=9x^2-2&=9\left(x^2-\frac{2}{9}\right)=9\left[\left(x\right)^2-\left(\frac{\sqrt 2}{3}\right)^2\right]=\cr &=9\left(x-\frac{\sqrt 2}{3}\right)\left(x+\frac{\sqrt 2}{3}\right)\cr}$$

Ponieważ $\Delta = 1-24=-23$, to funkcja kwadratowa $y=x^2-x+6$ nie ma miejsc zerowych, więc jej postać iloczynowa nie istnieje.