Ponieważ lewa strona równania jest niepełnym trójmianem kwadratowym, więc równanie to rozwiązujemy bez liczenia wyróżnika \(\Delta\), przekształcając je w następujący sposób: \[ x(x+5)=0 \] Ponieważ iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero, dlatego otrzymujemy \[ \quad x=0 \quad \vee \quad x+5=0 \] \[ x=0 \quad \vee \quad x=-5 \]

Po wyciągnięciu \(x\) przed nawias otrzymujemy równanie równoważne \[ x(8-x)=0 \] Zatem \[ x=0 \quad \vee \quad x=8 \]

Ponieważ trójmian kwadratowy po lewej stronie równania jest niepełny, równanie to rozwiązujemy, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \[ 4x^2-25=0 \] \[ (2x)^2-5^2=0 \] \[ (2x-5)(2x+5)=0 \] \[ x={5\over 2} \quad \vee \quad x=-{5\over 2} \]

Po przekształceniu równania otrzymujemy \[ x^2=-{3\over 2} \] Ponieważ lewa strona równania jest nieujemna, a prawa ujemna, więc równanie jest sprzeczne.

Ponieważ lewa strona równania jest pełnym trójmianem kwadratowym, posłużymy się wzorami na miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Obliczamy \(\Delta=49\). Zatem rozwiązaniami równania są: \[ x=-3 \quad \vee \quad x=4 \]

Aby ułatwić rachunki, dzielimy obie strony równania przez \(2\) i otrzymujemy równanie równoważne \[ x^2-6x+8=0 \] Ponieważ \(\Delta=4\), więc rozwiązania równania to \[ x=2 \quad \vee \quad x=4 \]

Uporządkujmy najpierw równanie i przenieśmy wszystkie wyrażenia na lewą stronę. Otrzymujemy wtedy równanie równoważne \[ 3x^2-5x+1=0 \] Ponieważ \(\Delta=13\), więc rozwiązania równania to \[ x={5-\sqrt{13}\over 6} \quad \vee \quad x={5+\sqrt{13}\over 6} \]

Ponieważ \(\Delta=0\), więc rozwiązaniem tego równania jest \(x=3\).

Ponieważ \(\Delta=-19<0\), więc równanie nie posiada rozwiązań.

Aby równanie było niesprzeczne, jego prawa strona musi być nieujemna, czyli \(x\geq 0\). Opuszczamy wartość bezwzględną \[ 2x^2-2x+1=-x \quad \vee \quad 2x^2-2x+1=x \] \[ \ \quad 2x^2-x+1=0 \quad \vee \quad 2x^2-3x+1=0 \] Wyróżnik pierwszego trójmianu kwadratowego jest ujemny (równanie sprzeczne), więc do rozwiązania pozostaje tylko drugie równanie. Ponieważ \(\Delta= 1\), zatem rozwiązaniami są \[ x={1\over 2} \quad \vee \quad x=1, \] gdyż spełniają warunek \(x\geq 0\).

Dana nierówność jest równoważna z nierównością \[ x(x-2)>0 \] Zatem miejsca zerowe trójmianu kwadratowego to: \[ x_1=0, \qquad x_2=2 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=x^2-2x\) (pamiętając, że jej ramiona skierowane są w górę, ponieważ \(a=1>0\)). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(x^2-2x>0\) \[ x\in (-\infty, 0)\cup(2,\infty) \]

Dana nierówność jest równoważna nierówności \[ 2x(3-x)\geq0 \] Zatem miejsca zerowe trójmianu kwadratowego to: \[ x_1=0, \qquad x_2=3 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=6x-2x^2\) (pamiętając, że jej ramiona skierowane są w dół, ponieważ \(a=-2<0\)). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(6x-2x^2\geq0\) \[ x\in \left<0,3\right> \]

Ponieważ \(\Delta=1\), więc miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są: \[ x_1={-3-1\over 2}, \qquad x_2={-3+1\over 2} \] \[ x_1=-2, \qquad x_2=-1 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=x^2+3x+2\). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(x^2+3x+2>0\) \[ x\in (-\infty, -2)\cup(-1,\infty) \]

Ponieważ \(\Delta=9\), więc miejsca zerowe funkcji kwadratowej to: \[ x_1=2, \qquad x_2=-1 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=-x^2+x+2\). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \[ x\in \langle -1, 2 \rangle \]

Ponieważ \(\Delta=64\), więc miejsca zerowe funkcji kwadratowej to: \[ x_1={1\over 2}, \qquad x_2=-{3\over 2} \] Rysujemy parabolę będącej wykresem funkcji \(y=4x^2+4x-3\). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(4x^2+4x-3<0\) \[ x\in \left( -{3\over 2}, {1\over 2} \right) \]

Ponieważ \(\Delta=5\), więc miejsca zerowe funkcji kwadratowej to: \[ x_1={-1-\sqrt{5}\over -2}, \qquad x_2={-1+\sqrt{5}\over -2} \] \[ x_1={1+\sqrt{5}\over 2}, \qquad x_2={1-\sqrt{5}\over 2} \] Rysujemy parabolę o równaniu \(y=-x^2+x+1\). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(-x^2+x+1\leq 0\) \[ x\in \left( -\infty,{1-\sqrt{5}\over 2}\right> \cup \left< {1+\sqrt{5}\over 2}, \infty \right) \]

Ponieważ \(\Delta=0\), dlatego miejscem zerowym trójmianu kwadratowego jest \(x_0=-2\). Rysujemy parabolę o równaniu \(y=(x+2)^2\). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(x^2+4x+4>0\) \[ x\in \mathbb{R} \backslash \{-2\} \]

Ponieważ \(\Delta=0\), dlatego miejscem zerowym funkcji kwadratowej jest \(x_0=1\). Rysujemy parabolę o równaniu \(y=(x-1)^2\). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(x^2-2x+1\geq 0\) \[ x\in \mathbb{R} \] Powyższe rozwiązanie możemy też uzyskać po przekształceniu funkcji kwadratowej do postaci iloczynowej i po otrzymaniu nierówności w postaci \[ (x-1)^2 \geq 0 \] Ponieważ lewa strona jako kwadrat pewnej liczby jest zawsze nieujemna, więc nierówność jest spełniona dla każdego \(x\in \mathbb{R}\).

Ponieważ \(\Delta=0\), dlatego miejscem zerowym trójmianu kwadratowego jest \(x_0=-4\). Rysujemy parabolę o równaniu \(y=-(x+4)^2\). Z rysunku odczytujemy, że nierówność \(-x^2-8x-16 > 0\) jest sprzeczna.

Ponieważ \(\Delta=0\), dlatego miejscem zerowym funkcji kwadratowej jest \(x_0=3\). Rysujemy parabolę o równaniu \(y=-(x-3)^2\). Z rysunku odczytujemy, że jedynym rozwiązaniem nierówności jest \(x=3\).

Ponieważ \(\Delta=-16\), to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. Rysujemy parabolę o równaniu \(y=-x^2-2x-5\). Z rysunku odczytujemy, że nierówność \(-x^2-2x-5<0\) jest spełniona dla każdego \(x\in \mathbb{R}\).

Ponieważ \(\Delta=-15\), to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. Rysujemy parabolę o równaniu \(y=x^2+x+4\). Z rysunku odczytujemy, że nierówność \(x^2+x+4\leq 0\) jest sprzeczna.

Aby równanie nie było sprzeczne, prawa strona nierówności musi być nieujemna, dlatego trzeba założyć, że \[x^2-3x+5\geq 0\] Wyróżnik trójmianu kwadratowego \(x^2-3x+5\) jest ujemny, czyli parabola będąca wykresem funkcji \(y=x^2-3x+5\) leży nad osią \(Ox\), więc nierówność \(x^2-3x+5\geq 0\) jest zawsze spełniona. Opuszczamy wartość bezwzględną w nierówności \(\vert x^2-5x+1\vert < x^2-3x+5\) i otrzymujemy \[x^2-5x+1 > -x^2+3x-5 \quad \wedge \quad x^2-5x+1 < x^2-3x+5\] Rozwiążemy najpierw pierwszą nierówność \[x^2-5x+1 > -x^2+3x-5\] \[\quad\ 2x^2-8x+6>0 \ /:2\] \[x^2-4x+3>0\] Wyróżnik \(\Delta=4\), dlatego miejscami zerowymi trójmianu kwadratowego są \(x_1=1\), \(x_2=3\). Rysujemy parabolę o równaniu \(y=x^2-4x+3\). Z rysunku odczytujemy, że rozwiązanie pierwszej nierówności to \[x\in\left(-\infty,1\right)\cup\left(3,\infty\right)\] Rozwiążemy teraz drugą nierówność \[x^2-5x+1 < x^2-3x+5\] \[\qquad -2x <4 \ /:(-2)\] \[\ x > -2\] Ponieważ obie nierówności muszą być spełnione jednocześnie, zatem rozwiązaniem będzie część wspólna zbiorów \(\left(-\infty,1\right)\cup\left(3,\infty\right)\) i \(\left(-2,\infty\right)\), które są rozwiązaniami odpowiednio pierwszej i drugiej nierówności Ostatecznie rozwiązanie nierówności \(\vert x^2-5x+1\vert < x^2-3x+5\) to \[x\in \left(-2,1\right)\cup\left(3,\infty\right)\]