Suma logarytmów o tej samej podstawie \[\log_ax+\log_ay=\log_a(x\cdot y)\]
Różnica logarytmów o tej samej podstawie \[\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}\]
Własności potęg i pierwiastków \[a^{-x}={1\over a^x},\quad a^{m\over n}=\root n \of {a^m}\]
Własność logarytmów \[a^{\log_ax}=x\]
Własności logarytmów \[\log_ax^p=p\cdot\log_ax,\quad a^{\log_ax}=x\]
Własność potęg \[a^x\cdot a^y=a^{x+y}\]
Własności potęg i pierwiastków
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,a,b\), gdzie \(a,b>0\),
oraz dla liczb naturalnych \(m,n\) większych od \(1\) zachodzą wzory:

  1. \(\displaystyle a^x\cdot a^y=a^{x+y}\)

  2. \(\displaystyle{a^x\over a^y}=a^{x-y}\)

  3. \(\displaystyle\left(a^x\right)^y=a^{x\cdot y}\)

  4. \(\displaystyle(a\cdot b)^x = a^x\cdot b^x\)

  5. \(\displaystyle\left({a\over b}\right)^x = {a^x\over b^x}\)

  6. \(\displaystyle a^{-x}={1\over a^x}\)

  7. \(\displaystyle a^{m\over n}=\root n \of {a^m}\)

  8. \(\displaystyle\root n \of {a\cdot b}=\root n \of {a} \cdot \root n \of {b}\)

  9. \(\displaystyle\root n \of {a \over b}={\root n \of {a} \over \root n \of {b} }\)

  10. \(\displaystyle\root m \of {\root n \of {a}}= \root {m\cdot n} \of {a}\)

  11. \(\displaystyle\root m \of {a^n}= (\root m \of {a})^n\)

Definicja i własności logarytmu

Definicja
Niech \(a\) będzie liczbą rzeczywistą taką, że \(a\in (0,1)\cup (1,\infty)\). Logarytmem liczby dodatniej \(x\) przy podstawie \(a\) nazywamy liczbę \(y\) taką, że \(a^y=x\), i oznaczamy symbolem \(\log_ax\).
Powyższą definicję można zapisać symbolicznie \[ \bigwedge_{a\in \mathbb{R}_+\backslash\{1\}}\quad \log_ax=y\quad \Longleftrightarrow\quad a^y=x \] Logarytm \(\log_{10}x\) nazywamy logarytmem dziesiętnym i oznaczamy \(\log x\).
Przykład

Obliczymy podane logarytmy:

  • \(\log_2 8=3,\) ponieważ \(2^3=8\)

  • \(\log_3 {1\over 9}= -2,\) ponieważ \(3^{-2}={1\over 3^2}={1\over 9}\)

  • \(\log_{\sqrt{5}} 5=2,\) ponieważ \(\sqrt{5}^2=5\)

  • \(\log_{1\over 4} 4=-1,\) ponieważ \(\left({1\over 4}\right)^{-1}=4\)

  • \(\log_{1\over 3} {1\over 81}=4,\) ponieważ \(\left({1\over 3}\right)^{4}={1\over 81}\)

  • \(\log_4 2={1\over 2},\) ponieważ \(4^{1\over 2}=\sqrt{4}=2\)

  • \(\log_8 2={1\over 3},\) ponieważ \(8^{1\over 3}=\root 3 \of {8}=2\)

  • \(\log_{27} {1\over 3}=-{1\over 3},\) ponieważ \(27^{-{1\over 3}}={1\over \root 3 \of {27}}={1\over 3}\)

  • \(\log {1\over 100}=-2,\) ponieważ \(10^{-2}={1\over 100}\)

  • \(\log_7 1=0,\) ponieważ \(7^0=1\)

  • \(\log_6 6=1,\) ponieważ \(6^1=6 \)

Z definicji logarytmu wynikają następujące własności:
Własność
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,a,b>0\), takich, że \(a\neq 1\) i \(b\neq 1\), oraz dla \(p\in\mathbb{R}\) zachodzą wzory:

  1. \(\displaystyle \log_a1=0\)

  2. \(\displaystyle \log_aa=1\)

  3. \(\displaystyle \log_aa^p=p\)

  4. \(\displaystyle a^{\log_ax}=x\)

  5. \(\displaystyle \log_ax+\log_ay=\log_a(x\cdot y)\)

  6. \(\displaystyle \log_ax-\log_ay=\log_a{x\over y}\)

  7. \(\displaystyle \log_ax^p=p\cdot\log_ax\)

  8. \(\displaystyle \log_ax={\log_bx\over \log_ba}\)

  9. \(\displaystyle \log_ab={1 \over \log_ba}\)

Zadanie
Korzystając z własności potęg i pierwiastków oraz logarytmów, oblicz wartości podanych wyrażeń:
  1. \(\displaystyle \log_2 {4\over 3}+\log_2 3\)
    Stosujemy wzór na sumę logarytmów o tej samej podstawie i otrzymujemy \[ \log_2 {4\over 3}+\log_2 3= \log_2 \left({4\over 3}\cdot 3\right)=\log_24=2 \]
  2. \(\displaystyle \log_3 {5\over 81}-\log_3 {5\over 3}\)
    Po wykorzystaniu wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie otrzymujemy \[ \log_3 {5\over 81}-\log_3 {5\over 3}=\log_3{{5\over 81}\over {5\over 3}}=\log_3{1\over 27}=-3 \]
  3. \(\displaystyle \log_{1\over 2} 2\root 5 \of {2}\)
    Logarytm iloczynu zamieniamy na sumę logarytmów, korzystamy z własności potęg i pierwiastków i otrzymujemy \[ \eqalign{ \log_{1\over 2} 2\root 5 \of {2}&=\log_{1\over 2} 2 + \log_{1\over 2}\root 5 \of {2}=\log_{1\over 2}\left({1\over 2}\right)^{-1} + \log_{1\over 2}2^{1\over 5}=-1 + \log_{1\over 2}\left({1\over 2}\right)^{-{1\over 5}}=\cr &=-1 - {1\over 5}=-{6\over 5}\cr }\]
  4. \(\displaystyle \log_{1\over 3}{3\over \root 3 \of {9}}\)
    Logarytm ilorazu zamieniamy na różnicę logarytmów i korzystamy z własności potęg i pierwiastków \[ \log_{1\over 3}{3\over \root 3 \of {9}}=\log_{1\over 3}3 - \log_{1\over 3} \root 3 \of {9}= -1-\log_{1\over 3}3^{2\over 3}=-1+{2\over 3}=-{1\over 3} \]
  5. \(\displaystyle \log_{\sqrt{5}}{\root 4 \of {5}\over 125}\)
    Postępujemy jak poprzednio i otrzymujemy \[ \eqalign{ \log_{\sqrt{5}}{\root 4 \of {5}\over 125}&=\log_{\sqrt{5}}\root 4 \of {5} - \log_{\sqrt{5}}125 =\log_{\sqrt{5}}\sqrt{\sqrt{5}}-\log_{\sqrt{5}}5^3=\cr &= \log_{\sqrt{5}}\left(\sqrt{5}\right)^{1\over 2} - \log_{\sqrt{5}}\left(\sqrt{5}\right)^6 = {1\over 2} -6 = -{11\over 2}\cr } \]
  6. \(\displaystyle 5^{\log_57}\)
    Zgodnie z własnością logarytmów mamy \[ 5^{\log_57}=7 \]
  7. \(\displaystyle 4^{3\log_43}\)
    Korzystamy z własności logarytmów i otrzymujemy \[ 4^{3\log_43}=4^{\log_43^3}=4^{\log_427}=27 \]
  8. \(\displaystyle 7^{1+2\log_7 5}\)
    Korzystamy z własności potęg , a także z własności logarytmów i otrzymujemy \[ 7^{1+2\log_7 5}=7^1\cdot 7^{2\log_7 5}=7\cdot 7^{\log_7 5^2}=7\cdot 7^{\log_7 25}=7\cdot 25=175 \]
  9. \(\displaystyle 9^{\log_3 4}\)
    \[ 9^{\log_3 4}=\left(3^2\right)^{\log_3 4}=3^{2\cdot \log_3 4}=3^{\log_3 4^2}=3^{\log_3 16}=16 \]
  10. \(\displaystyle 64^{1-\log_4 3}\)
    \[ 64^{1-\log_4 3}={64^1 \over 64^{\log_4 3}}={64 \over \left(4^3\right)^{\log_4 3}}={64 \over 4^{3\log_4 3}}={64 \over 4^{\log_4 3^3}}={64 \over 27} \]
Z własności logarytmu \[\displaystyle b=a^{\log_ab}\quad \text{dla}\quad b\gt 0\quad \wedge \quad 0\lt a\neq 1\] wynika, że może on być stosowany jako sposób na zapisanie jednej liczby dodatniej \((b)\) za pomocą potęgi innej liczby dodatniej i różnej od jedynki \((a)\). W poniższych zadaniach znajdują się przykłady zastosowania tego faktu przy rozwiązywaniu równań i nierówności wykładniczych.
Zadanie
Wykorzystując własności logarytmów, rozwiąż równanie wykładnicze:
  1. \(\displaystyle 2^x=5\)
    Z własności logarytmów wynika, że \(5=2^{\log_2 5}\). Zatem równanie możemy zapisać w postaci \[ 2^x=2^{\log_2 5} \] Ponieważ funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, dlatego opuszczamy podstawę \(2\) i otrzymujemy rozwiązanie równania \[ x=\log_25 \]
  2. \(\displaystyle 3^x-7=1\)
    Uporządkujmy najpierw równanie \[ 3^x=8 \] Z własności logarytmów wynika, że \(8=3^{\log_3 8}\). Zatem równanie możemy zapisać w postaci \[ \qquad 3^x=3^{\log_3 8} \] Opuszczamy podstawę \(3\) i otrzymujemy rozwiązanie równania \(x=\log_38\).
  3. \(\displaystyle \left({1\over 2}\right)^{x-3}=5\)
    Ponieważ \(5=\left({1\over 2}\right)^{\log_{1\over 2} 5}\), więc \[ \left({1\over 2}\right)^{x-3}=\left({1\over 2}\right)^{\log_{1\over 2} 5} \] Po opuszczeniu podstawy \({1\over 2}\) otrzymujemy \[ x-3=\log_{1\over 2}5 \] Zatem rozwiązaniem równania jest \(x=3+\log_{1\over 2}5\).
  4. \(\displaystyle 3^{x+2}=2\cdot 4^{x-1}\)
    Korzystając z własności potęgowania, przekształcamy równanie: \[ \qquad\qquad 3^x\cdot3^2=2\cdot 4^x\cdot 4^{-1} \] \[ \qquad 9\cdot 3^x={1\over 2}\cdot 4^x \ /:9 \] Ponieważ funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych, więc możemy obie strony równania podzielić przez \(4^x\): \[ \qquad\qquad\qquad 3^x={1\over 18}\cdot 4^x \ /:4^x \] \[ \quad\ {3^x\over 4^x} ={1\over 18} \] \[ \left({3\over 4}\right)^x ={1\over 18} \] Wykorzystujemy funkcję logarytmiczną, aby zapisać \({1\over 18}\) w postaci potęgi o podstawie \({3\over 4}\) \[ \qquad\qquad\left({3\over 4}\right)^x =\left({3\over 4}\right)^{\log_{3\over 4}{1\over 18}} \] Zatem rozwiązaniem równania jest \[ \qquad\qquad x =\log_{3\over 4}{1\over 18} \]
Zadanie
Wykorzystując własności logarytmów, rozwiąż nierówność wykładniczą:
  1. \(\displaystyle 4^x>3\)
    Ponieważ \(3=4^{\log_4 3}\), to \[ 4^x>4^{\log_4 3} \] Funkcja \(y=4^x\) jest rosnąca, więc opuszczając podstawę \(4\), nie zmieniamy kierunku nierówności \[ x>\log_4 3 \] Zatem nierówność jest spełniona dla \(x\in \left(\log_4 3,\infty\right)\).
  2. \(\displaystyle 3^{x-1}\leq 2\)
    Ponieważ \(2=3^{\log_3 2}\), więc \[ 3^{x-1}\leq 3^{\log_3 2} \] Funkcja \(y=3^x\) jest rosnąca, więc opuszczając podstawę \(3\), nie zmieniamy kierunku nierówności \[ x-1\leq\log_32 \] \[ x\leq 1+\log_32 \] Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział \(\left(-\infty, 1+\log_32\right>\).
  3. \(\displaystyle \left({1\over 7}\right)^x < 2\)
    Ponieważ \(2=\left({1\over 7}\right)^{\log_{1\over 7} 2}\), więc \[ \left({1\over 7}\right)^x < \left({1\over 7}\right)^{\log_{1\over 7} 2} \] Funkcja \(y=\left({1\over 7}\right)^x\) jest malejąca, więc opuszczając podstawę \({1\over 7}\), zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny \[ x > \log_{1\over 7} 2 \] Zatem nierówność jest spełniona dla \(x\in \left( \log_{1\over 7} 2,\infty\right)\).
  4. \(\displaystyle \left({1\over 4}\right)^{x+2}\geq 5\)
    Ponieważ \(5=\left({1\over 4}\right)^{\log_{1\over 4} 5}\), więc \[ \left({1\over 4}\right)^{x+2}\geq \left({1\over 4}\right)^{\log_{1\over 4} 5} \] Funkcja \(y=\left({1\over 4}\right)^x\) jest malejąca, więc opuszczając podstawę \({1\over 4}\), zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny \[ x+2\leq \log_{1\over 4}5 \] \[ x\leq -2+ \log_{1\over 4}5 \] Zatem nierówność jest spełniona dla \(x\in \left(-\infty, -2+ \log_{1\over 4}5\right>\).
  5. \(\displaystyle 2^{\vert x\vert}\leq 3\)
    Ponieważ \(3=2^{\log_2 3}\), więc \[ 2^{\vert x\vert}\leq 2^{\log_2 3}\] Funkcja \(y=2^x\) jest rosnąca, więc opuszczając podstawę \(2\), nie zmieniamy kierunku nierówności \[ \vert x\vert\leq \log_2 3 \] \[ -\log_2 3 \leq x\leq \log_2 3\] Zatem nierówność jest spełniona dla \(x\in \left(-\log_2 3, \log_2 3\right)\).
  6. \(\displaystyle 4^{x+1}>3\cdot 5^{x}\)
    Korzystając z własności potęgowania, przekształcamy nierówność \[ 4^x\cdot 4^1>3\cdot 5^x \] Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc możemy podzielić nierówność stronami przez \(5^x\) bez zmiany kierunku nierówności: \[ \qquad\qquad\ \: 4\cdot 4^x>3\cdot 5^x \ /: 5^x \] \[ \qquad\ \! 4\cdot{4^x\over 5^x}>3\ /:4 \] \[ \left({4\over 5}\right)^x >{3\over 4} \] \[ \qquad\qquad \left({4\over 5}\right)^x >\left({4\over 5}\right)^{\log_{4\over 5}{3\over 4}} \] Funkcja wykładnicza \(y=\left({4\over 5}\right)^x\) jest malejąca, więc przy opuszczaniu podstawy \({4\over 5}\) zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny \[ x <\log_{4\over 5}{3\over 4} \] Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział \(\left(-\infty, \log_{4\over 5}{3\over 4}\right)\).