matematyka : Definicja i własności logarytmu

Suma logarytmów o tej samej podstawie

$\log_ax+\log_ay=\log_a(x\cdot y)$

Różnica logarytmów o tej samej podstawie

$\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}$

Własności potęg i pierwiastków

$a^{-x}={1\over a^x},\quad a^{m\over n}=\root n \of {a^m}$

Własność logarytmów

$a^{\log_ax}=x$

Własności logarytmów

$\log_ax^p=p\cdot\log_ax,\quad a^{\log_ax}=x$

Własność potęg

$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$

Własności potęg i pierwiastków
Dla dowolnych liczb rzeczywistych

$x,y,a,b$ , gdzie

$a,b>0$ ,
oraz dla liczb naturalnych

$m,n$ większych od

$1$ zachodzą wzory:

$\displaystyle a^x\cdot a^y=a^{x+y}$
$\displaystyle{a^x\over a^y}=a^{x-y}$
$\displaystyle\left(a^x\right)^y=a^{x\cdot y}$
$\displaystyle(a\cdot b)^x = a^x\cdot b^x$
$\displaystyle\left({a\over b}\right)^x = {a^x\over b^x}$
$\displaystyle a^{-x}={1\over a^x}$
$\displaystyle a^{m\over n}=\root n \of {a^m}$
$\displaystyle\root n \of {a\cdot b}=\root n \of {a} \cdot \root n \of {b}$
$\displaystyle\root n \of {a \over b}={\root n \of {a} \over \root n \of {b} }$
$\displaystyle\root m \of {\root n \of {a}}= \root {m\cdot n} \of {a}$
$\displaystyle\root m \of {a^n}= (\root m \of {a})^n$

Definicja i własności logarytmu

Definicja

Niech

$a$ będzie liczbą rzeczywistą taką, że

$a\in (0,1)\cup (1,\infty)$ . Logarytmem liczby dodatniej

$x$ przy podstawie

$a$ nazywamy liczbę

$y$ taką, że

$a^y=x$ , i oznaczamy symbolem

$\log_ax$ .
Powyższą definicję można zapisać symbolicznie

$\bigwedge_{a\in \mathbb{R}_+\backslash\{1\}}\quad \log_ax=y\quad \Longleftrightarrow\quad a^y=x$ Logarytm

$\log_{10}x$ nazywamy logarytmem dziesiętnym i oznaczamy

$\log x$ .

Przykład

Obliczymy podane logarytmy:

$\log_2 8=3,$ ponieważ $2^3=8$
$\log_3 {1\over 9}= -2,$ ponieważ $3^{-2}={1\over 3^2}={1\over 9}$
$\log_{\sqrt{5}} 5=2,$ ponieważ $\sqrt{5}^2=5$
$\log_{1\over 4} 4=-1,$ ponieważ $\left({1\over 4}\right)^{-1}=4$
$\log_{1\over 3} {1\over 81}=4,$ ponieważ $\left({1\over 3}\right)^{4}={1\over 81}$
$\log_4 2={1\over 2},$ ponieważ $4^{1\over 2}=\sqrt{4}=2$
$\log_8 2={1\over 3},$ ponieważ $8^{1\over 3}=\root 3 \of {8}=2$
$\log_{27} {1\over 3}=-{1\over 3},$ ponieważ $27^{-{1\over 3}}={1\over \root 3 \of {27}}={1\over 3}$
$\log {1\over 100}=-2,$ ponieważ $10^{-2}={1\over 100}$
$\log_7 1=0,$ ponieważ $7^0=1$
$\log_6 6=1,$ ponieważ $6^1=6$

Z definicji logarytmu wynikają następujące własności:

Własność

Dla dowolnych liczb rzeczywistych

$x,y,a,b>0$ , takich, że

$a\neq 1$ i

$b\neq 1$ , oraz dla

$p\in\mathbb{R}$ zachodzą wzory:

$\displaystyle \log_a1=0$
$\displaystyle \log_aa=1$
$\displaystyle \log_aa^p=p$
$\displaystyle a^{\log_ax}=x$
$\displaystyle \log_ax+\log_ay=\log_a(x\cdot y)$
$\displaystyle \log_ax-\log_ay=\log_a{x\over y}$
$\displaystyle \log_ax^p=p\cdot\log_ax$
$\displaystyle \log_ax={\log_bx\over \log_ba}$
$\displaystyle \log_ab={1 \over \log_ba}$

Zadanie

Korzystając z własności potęg i pierwiastków oraz logarytmów, oblicz wartości podanych wyrażeń:

$\displaystyle \log_2 {4\over 3}+\log_2 3$
Stosujemy wzór na sumę logarytmów o tej samej podstawie i otrzymujemy $\log_2 {4\over 3}+\log_2 3= \log_2 \left({4\over 3}\cdot 3\right)=\log_24=2$
$\displaystyle \log_3 {5\over 81}-\log_3 {5\over 3}$
Po wykorzystaniu wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie otrzymujemy $\log_3 {5\over 81}-\log_3 {5\over 3}=\log_3{{5\over 81}\over {5\over 3}}=\log_3{1\over 27}=-3$
$\displaystyle \log_{1\over 2} 2\root 5 \of {2}$
Logarytm iloczynu zamieniamy na sumę logarytmów, korzystamy z własności potęg i pierwiastków i otrzymujemy $\eqalign{ \log_{1\over 2} 2\root 5 \of {2}&=\log_{1\over 2} 2 + \log_{1\over 2}\root 5 \of {2}=\log_{1\over 2}\left({1\over 2}\right)^{-1} + \log_{1\over 2}2^{1\over 5}=-1 + \log_{1\over 2}\left({1\over 2}\right)^{-{1\over 5}}=\cr &=-1 - {1\over 5}=-{6\over 5}\cr }$
$\displaystyle \log_{1\over 3}{3\over \root 3 \of {9}}$
Logarytm ilorazu zamieniamy na różnicę logarytmów i korzystamy z własności potęg i pierwiastków $\log_{1\over 3}{3\over \root 3 \of {9}}=\log_{1\over 3}3 - \log_{1\over 3} \root 3 \of {9}= -1-\log_{1\over 3}3^{2\over 3}=-1+{2\over 3}=-{1\over 3}$
$\displaystyle \log_{\sqrt{5}}{\root 4 \of {5}\over 125}$
Postępujemy jak poprzednio i otrzymujemy $\eqalign{ \log_{\sqrt{5}}{\root 4 \of {5}\over 125}&=\log_{\sqrt{5}}\root 4 \of {5} - \log_{\sqrt{5}}125 =\log_{\sqrt{5}}\sqrt{\sqrt{5}}-\log_{\sqrt{5}}5^3=\cr &= \log_{\sqrt{5}}\left(\sqrt{5}\right)^{1\over 2} - \log_{\sqrt{5}}\left(\sqrt{5}\right)^6 = {1\over 2} -6 = -{11\over 2}\cr }$
$\displaystyle 5^{\log_57}$
Zgodnie z własnością logarytmów mamy $5^{\log_57}=7$
$\displaystyle 4^{3\log_43}$
Korzystamy z własności logarytmów i otrzymujemy $4^{3\log_43}=4^{\log_43^3}=4^{\log_427}=27$
$\displaystyle 7^{1+2\log_7 5}$
Korzystamy z własności potęg , a także z własności logarytmów i otrzymujemy $7^{1+2\log_7 5}=7^1\cdot 7^{2\log_7 5}=7\cdot 7^{\log_7 5^2}=7\cdot 7^{\log_7 25}=7\cdot 25=175$
$\displaystyle 9^{\log_3 4}$
$9^{\log_3 4}=\left(3^2\right)^{\log_3 4}=3^{2\cdot \log_3 4}=3^{\log_3 4^2}=3^{\log_3 16}=16$
$\displaystyle 64^{1-\log_4 3}$
$64^{1-\log_4 3}={64^1 \over 64^{\log_4 3}}={64 \over \left(4^3\right)^{\log_4 3}}={64 \over 4^{3\log_4 3}}={64 \over 4^{\log_4 3^3}}={64 \over 27}$

Z własności logarytmu

$\displaystyle b=a^{\log_ab}\quad \text{dla}\quad b\gt 0\quad \wedge \quad 0\lt a\neq 1$ wynika, że może on być stosowany jako sposób na zapisanie jednej liczby dodatniej

$(b)$ za pomocą potęgi innej liczby dodatniej i różnej od jedynki

$(a)$ . W poniższych zadaniach znajdują się przykłady zastosowania tego faktu przy rozwiązywaniu równań i nierówności wykładniczych.

Zadanie

Wykorzystując własności logarytmów, rozwiąż równanie wykładnicze:

$\displaystyle 2^x=5$
Z własności logarytmów wynika, że $5=2^{\log_2 5}$ . Zatem równanie możemy zapisać w postaci $2^x=2^{\log_2 5}$ Ponieważ funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, dlatego opuszczamy podstawę $2$ i otrzymujemy rozwiązanie równania $x=\log_25$
$\displaystyle 3^x-7=1$
Uporządkujmy najpierw równanie $3^x=8$ Z własności logarytmów wynika, że $8=3^{\log_3 8}$ . Zatem równanie możemy zapisać w postaci $\qquad 3^x=3^{\log_3 8}$ Opuszczamy podstawę $3$ i otrzymujemy rozwiązanie równania $x=\log_38$ .
$\displaystyle \left({1\over 2}\right)^{x-3}=5$
Ponieważ $5=\left({1\over 2}\right)^{\log_{1\over 2} 5}$ , więc $\left({1\over 2}\right)^{x-3}=\left({1\over 2}\right)^{\log_{1\over 2} 5}$ Po opuszczeniu podstawy ${1\over 2}$ otrzymujemy $x-3=\log_{1\over 2}5$ Zatem rozwiązaniem równania jest $x=3+\log_{1\over 2}5$ .
$\displaystyle 3^{x+2}=2\cdot 4^{x-1}$
Korzystając z własności potęgowania, przekształcamy równanie: $\qquad\qquad 3^x\cdot3^2=2\cdot 4^x\cdot 4^{-1}$ $\qquad 9\cdot 3^x={1\over 2}\cdot 4^x \ /:9$ Ponieważ funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych, więc możemy obie strony równania podzielić przez $4^x$ : $\qquad\qquad\qquad 3^x={1\over 18}\cdot 4^x \ /:4^x$ $\quad\ {3^x\over 4^x} ={1\over 18}$ $\left({3\over 4}\right)^x ={1\over 18}$ Wykorzystujemy funkcję logarytmiczną, aby zapisać ${1\over 18}$ w postaci potęgi o podstawie ${3\over 4}$ $\qquad\qquad\left({3\over 4}\right)^x =\left({3\over 4}\right)^{\log_{3\over 4}{1\over 18}}$ Zatem rozwiązaniem równania jest $\qquad\qquad x =\log_{3\over 4}{1\over 18}$

Zadanie

Wykorzystując własności logarytmów, rozwiąż nierówność wykładniczą:

$\displaystyle 4^x>3$
Ponieważ $3=4^{\log_4 3}$ , to $4^x>4^{\log_4 3}$ Funkcja $y=4^x$ jest rosnąca, więc opuszczając podstawę $4$ , nie zmieniamy kierunku nierówności $x>\log_4 3$ Zatem nierówność jest spełniona dla $x\in \left(\log_4 3,\infty\right)$ .
$\displaystyle 3^{x-1}\leq 2$
Ponieważ $2=3^{\log_3 2}$ , więc $3^{x-1}\leq 3^{\log_3 2}$ Funkcja $y=3^x$ jest rosnąca, więc opuszczając podstawę $3$ , nie zmieniamy kierunku nierówności $x-1\leq\log_32$ $x\leq 1+\log_32$ Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział $\left(-\infty, 1+\log_32\right>$ .
$\displaystyle \left({1\over 7}\right)^x < 2$
Ponieważ $2=\left({1\over 7}\right)^{\log_{1\over 7} 2}$ , więc $\left({1\over 7}\right)^x < \left({1\over 7}\right)^{\log_{1\over 7} 2}$ Funkcja $y=\left({1\over 7}\right)^x$ jest malejąca, więc opuszczając podstawę ${1\over 7}$ , zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny $x > \log_{1\over 7} 2$ Zatem nierówność jest spełniona dla $x\in \left( \log_{1\over 7} 2,\infty\right)$ .
$\displaystyle \left({1\over 4}\right)^{x+2}\geq 5$
Ponieważ $5=\left({1\over 4}\right)^{\log_{1\over 4} 5}$ , więc $\left({1\over 4}\right)^{x+2}\geq \left({1\over 4}\right)^{\log_{1\over 4} 5}$ Funkcja $y=\left({1\over 4}\right)^x$ jest malejąca, więc opuszczając podstawę ${1\over 4}$ , zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny $x+2\leq \log_{1\over 4}5$ $x\leq -2+ \log_{1\over 4}5$ Zatem nierówność jest spełniona dla $x\in \left(-\infty, -2+ \log_{1\over 4}5\right>$ .
$\displaystyle 2^{\vert x\vert}\leq 3$
Ponieważ $3=2^{\log_2 3}$ , więc $2^{\vert x\vert}\leq 2^{\log_2 3}$ Funkcja $y=2^x$ jest rosnąca, więc opuszczając podstawę $2$ , nie zmieniamy kierunku nierówności $\vert x\vert\leq \log_2 3$ $-\log_2 3 \leq x\leq \log_2 3$ Zatem nierówność jest spełniona dla $x\in \left(-\log_2 3, \log_2 3\right)$ .
$\displaystyle 4^{x+1}>3\cdot 5^{x}$
Korzystając z własności potęgowania, przekształcamy nierówność $4^x\cdot 4^1>3\cdot 5^x$ Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc możemy podzielić nierówność stronami przez $5^x$ bez zmiany kierunku nierówności: $\qquad\qquad\ \: 4\cdot 4^x>3\cdot 5^x \ /: 5^x$ $\qquad\ \! 4\cdot{4^x\over 5^x}>3\ /:4$ $\left({4\over 5}\right)^x >{3\over 4}$ $\qquad\qquad \left({4\over 5}\right)^x >\left({4\over 5}\right)^{\log_{4\over 5}{3\over 4}}$ Funkcja wykładnicza $y=\left({4\over 5}\right)^x$ jest malejąca, więc przy opuszczaniu podstawy ${4\over 5}$ zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny $x <\log_{4\over 5}{3\over 4}$ Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział $\left(-\infty, \log_{4\over 5}{3\over 4}\right)$ .