Definicja i wykresy funkcji potęgowej

Własności potęg i pierwiastków \[a^{-x}={1\over a^x},\quad a^{m\over n}=\root n \of {a^m}, \quad \sqrt{x^2}=\vert x\vert\]

Własność wartości bezwzględnej
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\) oraz \(a>0\) mamy: \[\vert x \vert \geq a \quad \Longleftrightarrow \quad x\leq -a\ \vee\ x\geq a\]

Definicja i wykresy funkcji potęgowej

Definicja

Funkcją potęgową nazywamy funkcję \(f\) wyrażoną wzorem \[ f(x)=x^\alpha, \] gdzie \(\alpha\) jest liczbą rzeczywistą.

Zauważmy, że dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika \(\alpha\in\mathbb{R}\). Rozważmy podstawowe przypadki:

\(\alpha=2\) lub \(\alpha=4\)

Dziedziną funkcji \(y=x^{\alpha}\) jest w tym przypadku zbiór \(D_f=\mathbb{R}\), a zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór \(W_f=\left< 0, \infty\right)\).
Funkcja jest malejąca w przedziale \(\left(-\infty, 0\right>\), a rosnąca w przedziale \(\left<0,\infty\right)\). Jest również ograniczona z dołu oraz parzysta.
\(\alpha=1\) lub \(\alpha=3\) lub \(\alpha=5\)

Dziedziną i zbiorem wartości funkcji \(y=x^{\alpha}\) jest w tym przypadku zbiór \(\mathbb{R}\).
Funkcja jest rosnąca w \(\mathbb{R}\), nieparzysta i różnowartościowa, ale nie jest funkcją ograniczoną.
\(\alpha=-2\) lub \(\alpha=-4\)

Dziedziną funkcji \(y=x^{\alpha}\) jest w tym przypadku zbiór \(D_f=\mathbb{R}\backslash \{0\}\), a zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór \(W_f=\mathbb{R}_+\).
Funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\infty, 0)\), a malejąca w przedziale \((0,\infty)\). Jest też ograniczona z dołu oraz parzysta.
\(\alpha=-3\) lub \(\alpha=-5\)

Dziedziną i zbiorem wartości funkcji \(y=x^{\alpha}\) jest w tym przypadku zbiór \(\mathbb{R}\backslash \{0\}\).
Funkcja jest malejąca w przedziałach \((-\infty, 0)\) i \((0,\infty)\). Jest też nieparzysta i różnowartościowa, ale nie jest funkcją ograniczoną.
\(\alpha={1\over 2}\) lub \(\alpha={1\over 4}\)

Dziedziną i zbiorem wartości funkcji \(y=x^{\alpha}\) jest w tym przypadku zbiór \(\left<0,\infty \right)\).
Funkcja jest rosnąca w \(\mathbb{R}_+\). Jest też ograniczona z dołu i różnowartościowa. Nie jest funkcją parzystą ani nieparzystą, gdyż jej dziedzina nie jest symetryczna względem zera.
\(\alpha={1\over 3}\) lub \(\alpha={1\over 5}\)

Dziedziną i zbiorem wartości funkcji \(y=x^{\alpha}\) jest w tym przypadku zbiór \(\mathbb{R}\).
Funkcja jest rosnąca w \(\mathbb{R}\). Jest też nieparzysta i różnowartościowa, ale nie jest funkcją ograniczoną.

Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, jak zmieniają się wykresy funkcji potęgowych: \[y=x^n,\quad y=x^{-n},\quad y=x^{n\over m},\quad y=x^{-n\over m} \] w zależności od wartości parametrów \(m\) oraz \(n\) \(\left(m,n\in \mathbb{N}\right)\).

Ilustracja zmienności wykresu funkcji potęgowej

Wiemy już, że dziedzina naturalna funkcji potęgowej zależy od liczby stojącej w jej wykładniku. W poniższym zadaniu skorzystamy z tego faktu oraz z własności potęg i pierwiastków.

Zadanie

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\) określonej wzorem:

\(\displaystyle f(x)=(x-2)^{-3}\)
Wzór funkcji \(f\) możemy zapisać w postaci \[ f(x)={1\over (x-2)^3} \] Mianownik nie może się zerować, więc dziedzinę funkcji wyznaczymy z warunku \[ D_f:\quad x-2 \neq 0 \] Zatem dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{2\}\).
\(\displaystyle f(x)=(3x+1)^{1\over 2}\)
Wzór funkcji \(f\) możemy zapisać w postaci \[ f(x)=\sqrt{3x+1} \] Ponieważ wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne, więc dziedzinę funkcji wyznaczymy z warunku \[ D_f:\quad 3x+1 \geq 0 \] \[ \qquad\ x \geq -{1\over 3}, \] stąd \(D_f=\left<-{1\over 3}, \infty\right)\).
\(\displaystyle f(x)=(3x-7)^{-4} +(2x-4)^{3\over 4}\)
Wzór funkcji \(f\) możemy zapisać w postaci \[ f(x)={1\over (3x-7)^4}+\root 4 \of {(2x-4)^3} \] Zatem \[ D_f:\quad\cases{ 3x-7 \neq 0\cr 2x-4\geq 0\cr} \] Po przekształceniu obu warunków otrzymujemy \[ x\neq {7\over 3} \quad \wedge \quad x\geq 2, \] stąd \(D_f=\left<2, {7\over 3}\right)\cup \left( {7\over 3},\infty\right)\).
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{1-{1\over x}}\)
Ponieważ wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego musi być nieujemne oraz wyrażenie w mianowniku powinno być różne od zera, więc \[ D_f:\quad \cases{1-{1\over x}\geq 0\cr x\neq 0 \cr} \] Rozwiążemy nierówność wymierną \[ 1-{1\over x}\geq 0\quad \hbox{dla}\quad x\neq 0 \] \[ {x-1\over x}\geq 0 \] Ponieważ znak ilorazu \({x-1\over x}\) jest taki sam, jak znak iloczynu \((x-1)x\), więc rozwiązujemy nierówność kwadratową \[ (x-1)x\geq 0 \quad \hbox{dla}\quad x\neq 0 \] Rysujemy parabolę, uwzględniając założenie \(x\neq 0\)

Z rysunku odczytujemy dziedzinę funkcji \(D_f= \left(-\infty, 0\right)\cup \left< 1, \infty\right)\).
\(\displaystyle f(x)={1\over \root 3 \of {x^2-2x-3}}\)
Wyrażenie w mianowniku powinno być różne od zera, więc dziedzinę funkcji wyznaczamy z warunku \[ D_f:\quad \root 3 \of {x^2-2x-3}\neq 0 \] Oznacza to, że \[ x^2-2x-3\neq 0 \] Wyróżnik tego trójmianu kwadratowego \(\Delta=16\), a jego pierwiastkami są \(-1\) i \(3\). Zatem \[ x\neq -1 \quad\wedge\quad x\neq 3, \] czyli \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{-1,3\}\).
\(\displaystyle f(x)={1\over \sqrt{x^2+4x+4}}\)
Wyrażenie w mianowniku powinno być różne od zera, a wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia powinno być nieujemne, więc: \[ D_f:\quad\cases{ \sqrt{x^2+4x+4} \neq 0\cr x^2+4x+4\geq 0\cr} \] Ponieważ wyrażenie \(x^2+4x+4=(x+2)^2\) jest zawsze dodatnie, to pozostaje do sprawdzenia tylko warunek: \[ D_f:\quad\sqrt{x^2+4x+4} \neq 0 \] \[ \quad\ \; \sqrt{(x+2)^2} \neq 0 \] Wiemy, że \(\sqrt{x^2}=\vert x\vert\) dla każdego \(x\in \mathbb{R}\), więc: \[ \vert x+2 \vert \neq 0 \] \[ x+2\neq 0 \] \[x\neq -2\] Zatem \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{-2\}\).
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{\vert x-6\vert -6}\)
Wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego powinno być nieujemne, więc musi być spełniony warunek: \[ D_f:\quad\vert x-6\vert -6\geq 0 \] \[ \quad\ \vert x-6\vert \geq 6 \] Z uwagi na własności wartości bezwzględnej otrzymujemy: \[ x-6\leq -6 \quad \vee \quad x-6\geq 6 \] \[ \ \quad x\leq 0 \quad \vee \quad x\geq 12 \]

Zatem dziedziną funkcji jest zbiór \(D_f=\left(-\infty,0\right>\cup\left<12,\infty\right)\).