Dziedzina i wykres funkcji wykładniczej

Przesunięcie wykresu funkcji \(\boldsymbol{y=f(x)}\) o wektor \(\boldsymbol{\vec v=[p,q]}\)

Rysunek przedstawiający przesunięcie wykresu funkcji f o wektor v.

Wykresy funkcji \(y=f(x)\) i \(y=f(x-p)+q\)

Odbicie symetryczne względem osi \(\boldsymbol{Oy}\) fragmentu wykresu funkcji \(\boldsymbol{y=f(x)}\) dla \(\boldsymbol{x>0}\)

Wykres otrzymany w wyniku symetrii względem osi Oy części wykresu funkcji f znajdującej się po prawej stronie osi Ox.

Wykresy funkcji \(y=f(x)\) i \(y=f(\vert x\vert )\)

Dziedzina i wykres funkcji wykładniczej

Definicja

Niech \(a\) będzie liczbą rzeczywistą taką, że \(a\in(0,1)\cup (1,\infty)\). Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}_+\) określoną wzorem \[f(x)=a^x\]

Kształt wykresu funkcji wykładniczej zależy od wartości jej podstawy \(a\).

Rysunek przedstawiający wykres funkcji wykładniczej, gdy jej podstawa a jest liczbą dodatnią mniejszą niż 1.

Rysunek przedstawiający wykres funkcji wykładniczej, gdy podstawa a jest większa niż 1.

Wykresy funkcji \(y=a^x\)

Dziedziną funkcji wykładniczej \(y=a^x\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\). Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór \(W_f=\mathbb{R}_+\), co oznacza, że nie ma ona miejsc zerowych. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa i ograniczona z dołu. Dla \(a\in (0,1)\) jest to funkcja malejąca, natomiast dla \(a>1\) jest to funkcja rosnąca.

Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, jak zmienia się wykres funkcji wykładniczej \(y=a^x\) w zależności od wartości podstawy \(a\).

Ilustracja zmienności wykresu funkcji wykładniczej

Znamy już wykresy podstawowych funkcji wykładniczych. Wiemy też, jak zmienia się wzór funkcji w zależności od tego, jakiemu przekształceniu uległ jej wykres. Możemy zatem narysować wykresy różnych funkcji wykładniczych, jak w poniższym zadaniu.

Zadanie

Narysuj wykres funkcji \(f\) określonej wzorem:

\(\displaystyle y=3^{x-1}\)
Zaczynamy od narysowania pomocniczego wykresu funkcji \(y=3^x\). Wykres funkcji \(y=3^{x-1}\) otrzymujemy po przesunięciu wykresu funkcji \(y=3^x\) o wektor \(\overrightarrow{v}=[1,0]\).
\(\displaystyle y=\left({1\over 4}\right)^x -2\)
Zaczynamy od narysowania pomocniczego wykresu funkcji \(y=\left({1\over 4}\right)^x\). Wykres funkcji \(y=\left({1\over 4}\right)^x-2\) otrzymujemy po przesunięciu wykresu funkcji \(y=\left({1\over 4}\right)^x\) o wektor \(\overrightarrow{v}=[0,-2]\).
\(\displaystyle y=2^{\vert x\vert}\)
Zadanie to rozwiążemy w kilku etapach. Najpierw narysujemy pomocniczy wykres funkcji \(y=2^x\). Wykres funkcji \(y=2^{\vert x\vert}\) otrzymujemy z wykresu funkcji \(y=2^x\) przez odbicie symetryczne względem osi \(Oy\) fragmentu jej wykresu dla \(x\geq 0\).