Wyznaczamy dziedzinę równania, pamiętając, że liczba logarytmowana powinna być liczbą dodatnią, tzn. \(x-3>0\). Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=\left(3,\infty\right)\). Doprowadzamy równanie do postaci \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\), wykorzystując fakt, że \(4=\log_2 2^4=\log_2 16\). Stąd otrzymujemy \[ \log_2(x-3)=\log_2 16 \] Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa, więc opuszczamy logarytmy \[ x-3=16 \] \[ x=19 \] Na koniec zauważamy, że \(x=19\) należy do dziedziny równania, więc jest jego rozwiązaniem.

Wyznaczamy dziedzinę równania z warunku \(2-x>0\). Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=\left(-\infty,2\right)\). Ponieważ \(2=\log_{2\over 3} \left({2\over 3}\right)^2=\log_{2\over 3} {4\over 9}\), to otrzymujemy równanie \[ \log_{2\over 3}(2-x)=\log_{2\over 3} {4\over 9} \] Opuszczamy logarytmy \[ 2-x={4\over 9}\quad \Longleftrightarrow\quad x={14\over 9} \] Ponieważ \(x={14\over 9}\in D\), to jest rozwiązaniem równania.

Wyznaczamy dziedzinę równania \[ D:\quad\left\{\eqalign{x\neq 0 \cr 4- {3\over x} >0 \cr}\right. \] Sprowadzamy do wspólnego mianownika \[ {4x-3\over x} >0 \quad \wedge \quad x\neq 0 \] Rozwiązujemy nierówność wymierną \[ (4x-3) x >0 \quad \wedge \quad x\neq 0 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(4x-3) x\) dla \(x\neq 0\). Z rysunku odczytujemy dziedzinę równania \(D=\left(-\infty, 0\right)\cup \left({3\over 4}, \infty\right)\). Ponieważ \(3=\log_2 2^3=\log_2 8\), więc otrzymujemy równanie \[ \log_2 \left( 4- {3\over x} \right) =\log_2 8 \] Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa, dlatego opuszczamy logarytmy: \[ \qquad\quad 4- {3\over x} = 8 \quad \hbox{dla}\quad x\in D \] \[ {-3\over x} = 4 \ /\cdot x \] \[ \quad\ 4x=-3 \ /: 4 \] \[ x=-{3\over 4} \] Ponieważ \(D=\left(-\infty, 0\right)\cup \left({3\over 4}, \infty\right)\), więc \(x=-{3\over 4}\) jest rozwiązaniem równania.

Wyznaczamy dziedzinę równania \[ D:\quad\left\{\eqalign{ x-\sqrt{7}>0\cr x+\sqrt{7}>0\cr }\right. \quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{ x>\sqrt{7}\cr x>-\sqrt{7}\cr }\right. \] Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=\left(\sqrt{7},\infty\right)\). Ponieważ \(1=\log_2 2^1=\log_2 2\), więc otrzymujemy równanie \[ \log_2(x-\sqrt{7})+\log_2(x+\sqrt{7})=\log_2 2 \quad \hbox{dla}\quad x\in D \] Korzystając z własności logarytmów , zastępujemy sumę logarytmów logarytmem iloczynu \[ \log_2(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})=\log_2 2 \] Opuszczamy logarytmy \[ (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})= 2 \] \[ x^2-7=2 \] \[ x^2-9=0 \] \[ (x+3)(x-3)=0 \] \[ x=-3 \quad \vee \quad x=3 \] Ponieważ \(x=-3\notin D\), to jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=3\).

Wyznaczamy dziedzinę równania \[ D:\quad\left\{\eqalign{ x>0\cr 4-x>0\cr }\right. \quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{ x>0\cr x<4\cr }\right. \] Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=\left(0,4\right)\). Ponieważ \(1=\log_3 3^1=\log_3 3\), zatem otrzymujemy równanie \[ \log_3 x+\log_3(4-x)=\log_3 3 \quad \hbox{dla}\quad x\in D \] Dodajemy logarytmy \[ \log_3x(4-x)=\log_3 3 \] Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa, więc możemy porównać argumenty logarytmów: \[ x(4-x)=3 \] \[ -x^2+4x-3=0 \] \[ x=1\quad \vee \quad x=3 \] Skoro \(1\in D\) oraz \(3\in D\), to mamy dwa rozwiązania równania \(x=1\) i \(x=3\).

Wyznaczamy dziedzinę równania \[ D:\quad\left\{\eqalign{ x+2>0\cr 3-x>0\cr }\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{ x>-2\cr x<3\cr }\right. \] Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=\left(-2,3\right)\). Ponieważ \(-2=\log_{1\over 2} \left({1\over 2}\right)^{-2}=\log_{1\over 2} 4\), więc otrzymujemy równanie \[ \log_{1\over 2} (x+2)-\log_{1\over 2}(3-x)=\log_{1\over 2} 4 \quad \hbox{dla}\quad x\in D \] Korzystając z własności logarytmów, zastępujemy różnicę logarytmów logarytmem ilorazu \[ \log_{1\over 2} {x+2\over 3-x}=\log_{1\over 2} 4 \] Opuszczamy logarytmy i rozwiązujemy równanie wymierne: \[ {x+2\over 3-x}=4 \] \[ x+2=4(3-x) \] \[ x+2=12-4x \] \[ 5x=10 \] \[ x=2 \quad \wedge \quad x\in D \]

Wyznaczamy dziedzinę równania \[ D:\quad\left\{\eqalign{ 3-x>0\cr 4-x>0\cr } \quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{ x<3\cr x<4\cr }\right.\right. \] Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=\left(-\infty,3\right)\). Przenosimy wyrażenie \(-2\log \sqrt{4-x}\) na prawą stronę równania i otrzymujemy \[ \log (3-x) = 2\log \sqrt{4-x} \quad \hbox{dla}\quad x\in D \] Ponieważ \(\log_ax^p=p\cdot\log_ax\), to: \[ \log (3-x) = \log \left(\sqrt{4-x}\right)^2 \] \[ \log (3-x) = \log (4-x) \] Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa, więc możemy porównać argumenty logarytmów \[ 3-x = 4-x \] \[ 3=4 \] Otrzymaliśmy zdanie fałszywe, więc równanie jest sprzeczne.

Wyznaczamy najpierw dziedzinę zadanego równania \[D:\ \left\{\eqalign{ x>0\cr 10x>0\cr }\right. \quad \Longleftrightarrow\quad x>0\] Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=(0,\infty) \). Jak wynika z własności logarytmów \[\log (10x)=\log 10 +\log x=1+\log x,\], więc dla \(x\in D \) równanie możemy zapisać w postaci \[\log^2 x +2\left(1+ \log x\right)=17\] \[\log^2 x +2+ 2\log x=17\] \[\log^2 x + 2\log x-15=0\] Po podstawieniu \(t=\log x \), gdzie \(t\in \mathbb{R} \), otrzymujemy równanie kwadratowe \[t^2+2t-15=0\] Ponieważ \(\Delta=64 \),to pierwiastkami tego równania są \[t=-5\quad \vee\quad t=3\] Skoro \(t=\log x \), to mamy jeszcze do rozwiązania dwa równania \[\log x=-5 \quad \hbox{oraz} \quad \log x=3\] Korzystamy z definicji logarytmu i otrzymujemy rozwiązania zadanego równania logarytmicznego \[x=10^{-5}\in D \quad \vee \quad x=10^3\in D\]

Wyznaczamy najpierw dziedzinę równania \[\matrix{ D:\ \left\{\eqalign{ &x>0\cr &5-\log_2 x\neq 0\cr &\log_2 x+1 \neq 0 }\right.& \Longleftrightarrow & \left\{\eqalign{ &x>0\cr &\log_2 x\neq 5\cr &\log_2 x \neq -1 }\right.& \Longleftrightarrow & \left\{\eqalign{ &x>0\cr &\log_2 x\neq \log_2 2^5\cr &\log_2 x \neq \log_2 2^{-1} }\right.\cr }\] Zatem dziedzinę równania określa warunek \[D:\ \left\{\eqalign{ &x>0\cr &x\neq 2^5=32\cr &x \neq 2^{-1}={1\over 2} }\right.,\] co oznacza, że dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}_+\backslash \left\{{1\over 2},32\right\} \). Dla \(x\in D \) obie strony równania możemy pomnożyć przez wyrażenie \(\left(5-\log_2 x\right)\left(\log_2 x +1\right) \) \[{1\over 5-\log_2 x}+{2\over \log_2 x+1}=1 \ /\cdot \left(5-\log_2 x\right)\left(\log_2 x +1\right)\] \[\log_2 x +1+2\left(5-\log_2 x\right)=\left(5-\log_2 x\right)\left(\log_2 x +1\right)\] Opuszczamy nawiasy i porządkujemy równanie \[\log_2 x +1+10-2\log_2 x= 5\log_2 x +5- \left(\log_2 x\right)^2 - \log_2 x\] \[\left(\log_2 x\right)^2 - 5\log_2 x +6=0\] Po podstawieniu \(t=\log_2 x \), gdzie \(t\in\mathbb{R} \), otrzymujemy równanie kwadratowe \[t^2-5t+6=0\] Ponieważ \(\Delta=1 \), to pierwiastkami tego równania są \[t=2\quad \vee\quad t=3\] Skoro \(t=\log_2 x \), to mamy jeszcze do rozwiązania dwa równania \[\log_2 x=2 \quad \hbox{oraz} \quad \log_2 x=3\] Korzystamy z definicji logarytmu i otrzymujemy rozwiązania zadanego równania logarytmicznego \[x=4\in D \quad \vee \quad x=8\in D\]

Wyznaczamy dziedzinę nierówności z warunku \(x-3>0\). Dziedziną nierówności jest więc zbiór \(D=\left( 3,\infty\right)\). Prawą stronę nierówności można przekształcić do postaci \(3=\log_22^3=\log_28\), zatem dla \(x\in D\) mamy \[ \log_2(x-3)>\log_28 \] Funkcja \(y=\log_2x\) jest rosnąca, więc opuszczając logarytmy, nie zmieniamy kierunku nierówności \[ x-3>8\quad \Longleftrightarrow\quad x>11 \] Po uwzględnieniu dziedziny nierówności widzimy, że rozwiązaniem zadanej nierówności jest \(x\in \left( 11,\infty\right)\).

Wyznaczamy dziedzinę równania z warunku \(-x-2>0\), zatem dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left( -\infty, -2\right)\). Prawą stronę nierówności można przekształcić do postaci \(4=\log_{1\over 2}\left({1\over 2}\right)^4=\log_{1\over 2}{1\over 16}\), zatem dla \(x\in D\) mamy \[ \log_{1\over 2}(-x-2)\geq\log_{1\over 2}{1\over 16} \] Funkcja \(y=\log_{1\over 2}x\) jest malejąca, więc opuszczając logarytmy, zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny: \[ -x-2\leq {1\over 16} \] \[\qquad\quad\ -x\leq {1\over 16} +2\] \[\qquad\qquad\qquad -x\leq {33\over 16} \ \bigg/:(-1)\] \[\qquad\quad\ x\geq -{33\over 16} \] Po uwzględnieniu dziedziny nierówności widzimy, że rozwiązaniem zadanej nierówności jest \(x\in \left< -{33\over 16},-2\right)\).

Wyznaczamy dziedzinę nierówności \[ D:\quad\left\{\eqalign{ x>0\cr 12-2x>0\cr }\right. \quad \Longleftrightarrow\quad \left\{\eqalign{ x>0\cr x<6\cr }\right. \] Zatem dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left( 0, 6\right)\). Prawą stronę nierówności można przekształcić do postaci \(2=\log_4 4^2=\log_4 16\), zatem dla \(x\in D\) mamy \[ \log_4x +\log_4(12-2x)\leq\log_4 16 \] Dodajemy logarytmy \[ \log_4\left[x(12-2x)\right]\leq\log_4 16 \] Funkcja \(y=\log_4x\) jest rosnąca, więc opuszczając logarytmy, nie zmieniamy kierunku nierówności: \[ x(12-2x)\leq 16 \] \[ 12x-2x^2\leq16 \] \[ -2x^2+12x -16\leq0 \ /:(-2) \] \[ x^2-6x +8\geq 0 \] Ponieważ \(\Delta = 4\), więc miejscami zerowymi funkcji \(y=x^2-6x +8\) są: \[ x_1=2, \quad x_2=4 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem tej funkcji. Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności kwadratowej \(x^2-6x +8\geq 0\) \[ x\in \left(-\infty,2\right>\cup\left<4, \infty\right) \] Po uwzględnieniu dziedziny nierówności logarytmicznej otrzymujemy rozwiązanie zadanej nierówności \[ x\in \left(0,2\right>\cup\left<4, 6\right) \]