Podstawowe równania trygonometryczne

Rozwiązując równania trygonometryczne, ustalamy ich dziedzinę, a następnie wykorzystujemy znane wzory i tożsamości trygonometryczne, aby doprowadzić równanie do postaci \[ f(x)=a, \] gdzie \(f\) jest funkcją trygonometryczną, \(a\in\mathbb{R}\).
Najczęściej liczba \(a\) stojąca po prawej stronie takiego równania jest znaną nam wartością funkcji trygonometrycznej \(f\) lub liczbą do niej przeciwną. Wówczas dzięki znajomości znaków wartości funkcji trygonometrycznej \(f\) w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych możemy podać podstawowe rozwiązania równania \(f(x)=a\) należące do odpowiedniej ćwiartki układu współrzędnych. Pozostałe rozwiązania tego równania wyznaczamy po uwzględnieniu okresowości funkcji trygonometrycznej \(f\). Jeżeli liczba a stojąca po prawej stronie takiego równania należy do zbioru wartości funkcji trygonometrycznej f, ale nie jest znaną nam wartością tej funkcji, to musimy posłużyć się funkcją cyklometryczną odwrotną do funkcji f. Funkcje cyklometryczne zostaną zdefiniowane w następnym rozdziale, dlatego zajmiemy się teraz tylko równaniami, do rozwiązania których nie będą one niezbędne. Jeżeli liczba a stojąca po prawej stronie takiego równania nie należy do zbioru wartości funkcji trygonometrycznej f, to takie równanie jest sprzeczne.
Rozważmy równanie \[\sin x = a\]

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponieważ zbiorem wartości funkcji \(y=\sin x\) jest zbiór \(W_f=\left<-1,1\right>\), więc dla \(\vert a\vert >1\) równanie jest sprzeczne. Jeżeli \(\vert a \vert \leq 1\), to rozwiązywanie równania zaczynamy od narysowania wykresów funkcji \(y=\sin x\) i \(y=a\). Rozważmy przypadki:

  1. \(0\lt a\lt 1\)
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\sin x = a\) dla \(0\lt a\lt 1\)
    Znajdujemy kąt \(\zielony{\boldsymbol \alpha}\) z przedziału \(\left(0,{\pi\over 2}\right)\), dla którego \(\sin {\zielony{\boldsymbol \alpha}} = a\). Z powyższego rysunku wynika, że rozwiązaniami równania \(\sin x = a\) są kąty leżące w ćwiartce I lub II układu współrzędnych. Biorąc pod uwagę okresowość funkcji sinus \((T=2\pi)\), zapisujemy je w postaci \[ x={\zielony{\boldsymbol \alpha}} + 2k\pi \quad \vee \quad x=\pi- {\zielony{\boldsymbol \alpha}} +2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]
  2. \(-1\lt a\lt 0\)
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\sin x = a\) dla \(-1\lt a\lt 0\)
    Znajdujemy kąt \({\zielony{\boldsymbol\alpha}}\) z przedziału \(\left(0,{\pi\over 2}\right)\), dla którego \(\sin {\zielony{\boldsymbol\alpha}} = \vert a\vert\). Z powyższego rysunku wynika, że rozwiązaniami równania \(\sin x = a\) są kąty leżące w ćwiartce III lub IV układu współrzędnych. Biorąc pod uwagę okresowość funkcji sinus \((T=2\pi)\), zapisujemy je w postaci \[ x=\pi+{\zielony{\boldsymbol\alpha}} + 2k\pi \quad \vee \quad x=2\pi- {\zielony{\boldsymbol\alpha}} +2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]
  3. \(a=0\)

    Rozwiązaniem równania \(\sin x=0\) są miejsca zerowe funkcji \(y=\sin x,\) więc \[ x=k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]

    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\sin x = 0\)
  4. \(a=1\)

    Rozwiązanie równania \(\sin x=1\) to \[ x={\pi\over 2}+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]

    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\sin x = 1\)
  5. \(a=-1\)

    Rozwiązania równania \(\sin x=-1\) mają postać \[ x={3\over 2}\pi+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]

    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\sin x = -1\)
Zadanie
Rozwiąż równanie trygonometryczne:
  1. \(\displaystyle \sin x= \sqrt{5}\)
    Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponieważ funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału \(\left<-1, 1\right>\), a \(\sqrt{5}>1\), więc równanie jest sprzeczne.
  2. \(\displaystyle \sin x= {1\over 2}\)
    Ponieważ dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\) i liczba \(\frac{1}{2}\) należy do zbioru wartości funkcji \(y=\sin x\), to równanie nie jest sprzeczne. Rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \sin x}} \) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=\frac{1}{2}}}\).
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Ponieważ podstawowe rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\sin x}}=\czerwony{\boldsymbol{\frac{1}{2}}}\) leżą w ćwiartce \(\zielony{\bf{I}}\) lub \(\niebieski{\bf{II}}\), a \(\frac{1}{2}=\sin\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{6}}}\), więc z uwagi na \(2\pi\)-okresowość funkcji \(y=\sin x\) wszystkie rozwiązania tego równania mają postać \[ x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{6}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{II}}}{=}\pi - \zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{6}}}+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \] Zatem \[ x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{6}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{II}}}{=}\niebieski{\boldsymbol{\frac{5}{6}\pi}}+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]
  3. \(\displaystyle \sin x= -{\sqrt{3}\over 2}\)
    Ponieważ dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\) i liczba \(-{\sqrt{3}\over 2}\) należy do zbioru wartości funkcji \(y=\sin x\), to równanie nie jest sprzeczne. Rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \sin x}} \) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=-{\sqrt{3}\over 2}}}\).
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Ponieważ podstawowe rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\sin x}}=\czerwony{\boldsymbol{-{\sqrt{3}\over 2}}}\) leżą w ćwiartce \(\fioletowy{\bf{III}}\) lub \(\niebieski{\bf{IV}}\), a \({\sqrt{3}\over 2}=\sin\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}}\), więc z uwagi na \(2\pi\)-okresowość funkcji \(y={\sin x}\) wszystkie rozwiązania tego równania mają postać \[x\overset{\fioletowy{\bf{III}}}{=}\pi+\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{IV}}}{=}2\pi - \zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}}+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Zatem \[x\overset{\fioletowy{\bf{III}}}{=}\fioletowy{\boldsymbol{\frac{4\cdot \pi}{3}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{IV}}}{=}\niebieski{\boldsymbol{\frac{5\cdot \pi}{3}}}+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]
Rozważmy równanie \[\cos x = a\]

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponieważ zbiorem wartości funkcji \(y=\cos x\) jest zbiór \(W_f=\left<-1,1\right>\), więc dla \(\vert a\vert >1\) równanie jest sprzeczne. Jeżeli \(\vert a \vert \leq 1\), to rozwiązywanie równania zaczynamy od narysowania wykresów funkcji \(y=\cos x\) i \(y=a\). Rozważmy przypadki:

  1. \(0\lt a\lt 1\)
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\cos x = a\) dla \(0\lt a\lt 1\)
    Znajdujemy kąt \({\zielony{\boldsymbol\alpha}}\) z przedziału \(\left(0,{\pi\over 2}\right)\), dla którego \(\cos {\zielony{\boldsymbol\alpha}} = a\). Z powyższego ysunku wynika, że rozwiązaniami równania \(\cos x = a\) są kąty leżące w ćwiartce I lub IV układu współrzędnych. Biorąc pod uwagę okresowość funkcji cosinus \((T=2\pi)\), zapisujemy je w postaci \[ x={\zielony{\boldsymbol\alpha}} + 2k\pi \quad \vee \quad x=2\pi- {\zielony{\boldsymbol\alpha}} +2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]
  2. \(-1\lt a\lt 0\)
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\cos x = a\) dla \(-1\lt a\lt 0\)
    Znajdujemy kąt \({\zielony{\boldsymbol\alpha}}\) z przedziału \(\left(0,{\pi\over 2}\right)\), dla którego \(\cos {\zielony{\boldsymbol\alpha}} = \vert a\vert\). Z powyższego rysunku wynika, że rozwiązaniami równania \(\cos x = a\) są kąty leżące w ćwiartce II lub III układu współrzędnych. Biorąc pod uwagę okresowość funkcji cosinus \((T=2\pi)\), zapisujemy je w postaci \[ x=\pi-{\zielony{\boldsymbol\alpha}} + 2k\pi \quad \vee \quad x=\pi+ {\zielony{\boldsymbol\alpha}} +2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]
  3. \(a=0\)

    Rozwiązaniem równania \(\cos x=0\) są miejsca zerowe funkcji \(y=\cos x\) \[ x={\pi\over 2} + k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]

    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\cos x = 0\)
  4. \(a=1\)

    Rozwiązanie równania \(\cos x=1\) to \[ x=2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]

    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\cos x = 1\)
  5. \(a=-1\)

    Rozwiązania równania \(\cos x=-1\) mają postać \[ x=\pi+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]

    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\cos x = -1\)
Zadanie
Rozwiąż równanie trygonometryczne:
  1. \(\displaystyle \cos x= \frac{\sqrt{2}}{2}\)
    Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Rysujemy wykresy funkcji \(y=\cos x\) oraz \(y=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Ponieważ dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\) i liczba \({\sqrt{2}\over 2}\) należy do zbioru wartości funkcji \(y=\cos x\), to równanie nie jest sprzeczne. Rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \cos x}} \) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}}\).
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Ponieważ podstawowe rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\cos x}}=\czerwony{\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}}}\) leżą w ćwiartce \(\zielony{\bf{I}}\) lub \(\niebieski{\bf{IV}}\), a \(\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}}\), więc z uwagi na \(2\pi\)-okresowość funkcji \(y=\cos x\) wszystkie rozwiązania tego równania mają postać \[ x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{IV}}}{=}2\pi - \zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}}+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \] Zatem \[ x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{IV}}}{=}\niebieski{\boldsymbol{\frac{7}{4}\pi}}+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]
  2. \(\displaystyle \cos x = -\frac{1}{2}\)
    Ponieważ dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\) i liczba \(-\frac{1}{2}\) należy do zbioru wartości funkcji \(y=\cos x\), to równanie nie jest sprzeczne. Rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \cos x}} \) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}}}\).
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Ponieważ podstawowe rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y=\cos x}}=\czerwony{\boldsymbol{-\frac{1}{2}}}\) leżą w ćwiartce \(\fioletowy{\bf{II}}\) lub \(\niebieski{\bf{III}}\), a \(\frac{1}{2}=\cos \zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}}\), więc z uwagi na \(2\pi\)-okresowość funkcji \(y=\cos x\) wszystkie rozwiązania tego równania mają postać \[x\overset{\fioletowy{\bf{II}}}{=}\pi-\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{III}}}{=}\pi + \zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}}+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Zatem \[x\overset{\fioletowy{\bf{II}}}{=}\fioletowy{\boldsymbol{\frac{2\cdot \pi}{3}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{III}}}{=}\niebieski{\boldsymbol{\frac{4\cdot \pi}{3}}}+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]
Rozważmy równanie \[\mathrm{tg}\, x = a\]

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{{\pi\over 2}+k\pi:\ k\in\mathbb{Z} \} \). Rysujemy wykresy funkcji \(y=\mathrm{tg}\, x\) i \(y=a\). Rozważmy przypadki:

  1. \(a\ge 0\)
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\:\mathrm{tg}\, x = a\) dla \(a\ge 0\)
    Znajdujemy kąt \({\zielony{\boldsymbol\alpha}}\) z przedziału \(\left<0,{\pi\over 2}\right)\), dla którego \(\mathrm{tg}\, {\zielony{\boldsymbol\alpha}} = a\). Biorąc pod uwagę okresowość funkcji tangens \((T=\pi)\), rozwiązania równania \(\mathrm{tg}\, x = a\) zapisujemy w postaci \[ x={\zielony{\boldsymbol\alpha}} + k\pi,\quad \text{gdzie} \quad x\neq {\pi\over 2}+k\pi\quad \text{oraz} \quad k\in\mathbb{Z} \]
  2. \(a\lt 0\)
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\:\mathrm{tg}\, x = a\) dla \(a< 0\)
    Znajdujemy kąt \({\zielony{\boldsymbol\alpha}}\) z przedziału \(\left(0,{\pi\over 2}\right)\), dla którego \(\mathrm{tg}\, {\zielony{\boldsymbol\alpha}} = \vert a\vert\). Biorąc pod uwagę okresowość funkcji tangens \((T=\pi)\), rozwiązania równania \(\mathrm{tg}\, x = a\) zapisujemy w postaci \[ x=\pi - {\zielony{\boldsymbol\alpha}} + k\pi, \quad \text{gdzie} \quad x\neq {\pi\over 2}+k\pi\quad \text{oraz} \quad k\in\mathbb{Z} \]
Zadanie
Rozwiąż równanie trygonometryczne:
  1. \(\displaystyle \mathrm{tg}\, x= \sqrt{3}\)
    Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{{\pi\over 2}+k\pi:\ k\in\mathbb{Z} \}\). Rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \mathrm{tg}\, x}}\) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=\sqrt{3}}}\).
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Ponieważ \(\czerwony{\boldsymbol{\sqrt{3}}}=\mathrm{tg}\,\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}}\), więc z uwagi na \(\pi\)-okresowość funkcji \(y=\mathrm{tg}\,x\) wszystkie rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\mathrm{tg}\, x}}=\czerwony{\boldsymbol{\sqrt{3}}}\) mają postać \[x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}} +k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]
  2. \(\displaystyle \mathrm{tg}\, x= -\frac{\sqrt{3}}{3}\)
    Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{{\pi\over 2}+k\pi:\ k\in\mathbb{Z} \}\). Rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \mathrm{tg}\, x}}\) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=\frac{\sqrt{3}}{3}}}\).
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Ponieważ \(\czerwony{\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{3}}}=\mathrm{tg}\,\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{6}}}\), a funkcja tangens przyjmuje wartości ujemne w \(\niebieski{\bf{II}}\) ćwiartce, więc z uwagi na \(\pi\)-okresowość funkcji \(y=\mathrm{tg}\, x\) wszystkie rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\mathrm{tg}\, x}}=\czerwony{\boldsymbol{-\frac{\sqrt{3}}{3}}}\) mają postać \[x\overset{\niebieski{\bf{II}}}{=}\pi -\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{6}}} +k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] \[x\overset{\niebieski{\bf{II}}}{=}\niebieski{\boldsymbol{\frac{5\cdot \pi}{6}}} +k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]
Rozważmy równanie \[\mathrm{ctg}\, x = a\]

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{k\pi:\ k\in\mathbb{Z}\}\). Rysujemy wykresy funkcji \(y=\mathrm{ctg}\, x\) i \(y=a\). Rozważmy przypadki:

  1. \(a\ge 0\)
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\:\mathrm{ctg}\, x = a\) dla \(a\ge 0\)
    Znajdujemy kąt \({\zielony{\boldsymbol\alpha}}\) z przedziału \(\left(0,{\pi\over 2}\right>\), dla którego \(\mathrm{ctg}\, \alpha = a\). Biorąc pod uwagę okresowość funkcji cotangens \((T=\pi)\), rozwiązania równania \(\mathrm{ctg}\, x = a\) zapisujemy w postaci \[ x=\alpha + k\pi, \quad \text{gdzie} \quad x\neq k\pi\quad \text{oraz} \quad k\in\mathbb{Z} \]
  2. \(a\lt 0\)
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Graficzne rozwiązanie równania \(\:\mathrm{ctg}\, x = a\) dla \(a< 0\)
    Znajdujemy kąt \({\zielony{\boldsymbol\alpha}}\) z predziału \(\left(0,{\pi\over 2}\right)\), dla którego \(\mathrm{ctg}\, {\zielony{\boldsymbol\alpha}} = \vert a\vert\). Biorąc pod uwagę okresowość funkcji cotangens \((T=\pi)\), rozwiązania równania \(\mathrm{ctg}\, x = a\) zapisujemy w postaci \[ x=\pi - {\zielony{\boldsymbol\alpha}} + k\pi,\quad \text{gdzie} \quad x\neq {\pi\over 2}+k\pi\quad \text{oraz} \quad k\in\mathbb{Z} \]
Zadanie
Rozwiąż równanie trygonometryczne:
  1. \(\displaystyle \mathrm{ctg}\, x= 1\)
    Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{k\pi:\ k\in\mathbb{Z} \}\). Rysujemy wykresy funkcji Rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \mathrm{ctg}\, x}}\) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=1}}\).
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Ponieważ \(\czerwony{\boldsymbol{1}}=\mathrm{ctg}\,\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}}\), więc z uwagi na \(\pi\)-okresowość funkcji \(y=\mathrm{ctg}\,x\) wszystkie rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\mathrm{ctg}\, x}}=\czerwony{\boldsymbol{1}}\) mają postać \[x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}} +k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]
  2. \(\displaystyle \mathrm{ctg}\, x= -\sqrt{3}\)
    Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{k\pi:\ k\in\mathbb{Z} \}\). Rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \mathrm{ctg}\, x}}\) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=-\sqrt{3}}}\).
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Ponieważ \(\czerwony{\boldsymbol{\sqrt{3}}}=\mathrm{ctg}\, \zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{6}}}\), a funkcja cotangens przyjmuje wartości ujemne w \(\niebieski{\bf{II}}\) ćwiartce, więc z uwagi na \(\pi\)-okresowość funkcji \(y=\mathrm{ctg}\, x\) wszystkie rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\mathrm{ctg}\, x}}=\czerwony{\boldsymbol{-\sqrt{3}}}\) mają postać \[x\overset{\niebieski{\bf{II}}}{=}\pi -\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{6}}} +k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] \[x\overset{\niebieski{\bf{II}}}{=}\niebieski{\boldsymbol{\frac{5\cdot \pi}{6}}} +k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów
\(\alpha\) \(0\) \({\pi\over 6}\) \({\pi\over 4}\) \({\pi\over 3}\) \({\pi\over 2}\) \(\pi\) \({3\over 2}\pi\)
\(\sin\alpha\) \(0\) \({1\over 2}\) \({\sqrt{2}\over 2}\) \({\sqrt{3}\over 2}\) \(1\) \(0\) \(-1\)
\(\cos\alpha\) \(1\) \({\sqrt{3}\over 2}\) \({\sqrt{2}\over 2}\) \({1\over 2}\) \(0\) \(-1\) \(0\)
\(\text{tg}\, \alpha\) \(0\) \({\sqrt{3}\over 3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) \(\bigtimes\) \(0\) \(\bigtimes\)
\(\text{ctg}\, \alpha\) \(\bigtimes\) \(\sqrt{3}\) \(1\) \({\sqrt{3}\over 3}\) \(0\) \(\bigtimes\) \(0\)
Tabela znaków wartości funkcji trygonometrycznych
\(\alpha\) ćw. I ćw. II ćw. III ćw. IV
\(\sin\alpha\) \(+\) \(+\) \(-\) \(-\)
\(\cos\alpha\) \(+\) \(-\) \(-\) \(+\)
\(\mathrm{tg}\, \alpha\) \(+\) \(-\) \(+\) \(-\)
\(\mathrm{ctg}\, \alpha\) \(+\) \(-\) \(+\) \(-\)