Definicja ciągu liczbowego

Na początek zdefiniujemy specjalny rodzaj funkcji, czyli ciąg liczbowy. Poznamy różne sposoby określania takich ciągów.
Definicja
Ciągiem nieskończonym (krótko: ciągiem) nazywamy funkcję \[ f:\quad\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{R} \] Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej \(n\in \mathbb{N}\) będziemy nazywać \(\boldsymbol n\)-tym wyrazem ciągu i oznaczać przez \(a_n\), tzn. \(f(n)=a_n\). Ciąg oznaczać będziemy symbolem \(\left(a_n\right)\).
Rysunek przedstawiający wykres ciągu w układzie współrzędnych
Wykres ciągu \(\left(a_n\right)\)
Ciąg liczbowy można określić:
  1. podając wzór na jego \(n\)-ty wyraz, np. \[a_n=4n-1\]
  2. rekurencyjnie, tj. za pomocą kilku wcześniejszych wyrazów określone zostają wszystkie późniejsze wyrazy, np. \[ \cases{a_1=3\cr a_2=7\cr a_{n+2}=2\cdot a_{n+1}-a_n, \quad n\in\mathbb{N}\cr} \]
  3. podając kilka jego początkowych wyrazów, np. \[a_1=3,\ a_2=7,\ a_3=11,\ a_4=15,\ a_5=19,\ \ldots\]
  4. słownie, np. pierwszym wyrazem ciągu jest liczba \(3\), a każdy następny jest o \(4\) większy od poprzedniego.
Przykład
Podamy sześć początkowych wyrazów ciągu określonego rekurencyjnie \(a_1=3\), \(a_{n+1}=2a_n+4\). Skoro \(a_1=3\), to: \[ \eqalign{ a_2&=2a_1+4=10\cr a_3&=2a_2+4=24\cr a_4&=2a_3+4=52\cr a_5&=2a_4+4=108\cr a_6&=2a_5+4=220\cr } \]
Znając wzór opisujący \(n\)-ty wyraz ciągu, możemy wyznaczać wartość dowolnego wyrazu tego ciągu tak, jak wyznaczaliśmy wartość funkcji dla dowolnego argumentu.
Zadanie
Wyznacz wskazany wyraz ciągu \(\left(a_n\right)\):
  1. \(a_{n+2}\),  jeżeli  \(a_n=(2n+3)!\)
    Wyraz \(a_{n+2}\) ciągu \(\left(a_n\right)\) otrzymujemy po wstawieniu do wzoru na \(n\)-ty wyraz tego ciągu liczby \(n+2\). Zatem\[ a_{n+2}=\left[2(n+2)+3\right]!=(2n +4 +3)!=(2n+7)! \]
  2. \(a_{2n+1}\),  jeżeli  \(a_n={n\over 3n+5}\)
    Wyraz \(a_{2n+1}\) ciągu \(\left(a_n\right)\) otrzymujemy po wstawieniu do wzoru na \(n\)-ty wyraz tego ciągu liczby \(2n+1\). Zatem \[ a_{2n+1}={2n+1\over 3(2n+1)+5}={2n+1\over 6n+3+5}={2n+1\over 6n+8} \]
  3. \(a_{n+3}\),  jeżeli   \(a_n={1\over n}+{1\over n+1}+{1\over n+2}+\ldots+{1\over 2n}\)
    Wyraz \(a_{n+3}\) ciągu \(\left(a_n\right)\) otrzymujemy po wstawieniu do wzoru na \(n\)-ty wyraz tego ciągu liczby \(n+3\). Zatem \[ \eqalign{ a_{n+3}&={1\over n+3}+{1\over (n+3)+1}+{1\over (n+3)+2}+\ldots+{1\over 2(n+3)}=\cr &={1\over n+3}+{1\over n+4}+{1\over n+5}+\ldots+{1\over 2n+6}\cr } \]
Zadanie
Napisz wzór na wyraz ogólny ciągu \(\left(a_n\right)\), znając jego pięć początkowych wyrazów, a następnie oblicz \(a_{10}\), jeżeli:
  1. \(\displaystyle \left(a_n\right)=\left( {1\over 2\sqrt{3}},{1\over 6}, {1\over 4\sqrt{5}}, {1\over 5\sqrt{6}}, {1\over 6\sqrt{7}}, \:\ldots\right)\)
    Aby napisać wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \(\left(a_n\right)\), musimy zauważyć regułę, według której zmieniają się mianowniki kolejnych wyrazów: \[ \eqalign{ a_1&={1\over 2\sqrt{3}}={1\over (1+1)\sqrt{1+2}}\cr a_2&={1\over 6}={1\over 3\sqrt{4}}={1\over (2+1)\sqrt{2+2}}\cr a_3&={1\over 4\sqrt{5}}={1\over (3+1)\sqrt{3+2}}\cr a_4&={1\over 5\sqrt{6}}={1\over (4+1)\sqrt{4+2}}\cr a_5&={1\over 6\sqrt{7}}={1\over (5+1)\sqrt{5+2}}\cr } \] Zakładając, że reguła obowiązuje we wszystkich wyrazach ciągu, możemy zapisać, że \[ a_n={1\over (n+1)\sqrt{n+2}} \] Wstawiamy \(n=10\) i otrzymujemy \[ a_{10}={1\over 11\sqrt{12}}={1\over 22\sqrt{3}} \]
  2. \(\displaystyle \left(a_n\right)=\left({1\over 1\cdot 2},{1\over 2\cdot 3}, {1\over 3\cdot 4}, {1\over 4\cdot 5}, {1\over 5\cdot 6},\: \ldots\right)\)
    Zauważmy, że: \[ \eqalign{ a_1&={1\over 1\cdot 2}={1\over 1\cdot (1+1)}\cr a_2&={1\over 2\cdot 3}={1\over 2\cdot (2+1)}\cr a_3&={1\over 3\cdot 4}={1\over 3\cdot (3+1)}\cr a_4&={1\over 4\cdot 5}={1\over 4\cdot (4+1)}\cr a_5&={1\over 5\cdot 6}={1\over 5\cdot (5+1)}\cr } \] Zatem \[ a_n={1\over n\cdot(n+1)} \] Dla \(n=10\) mamy \[ a_{10}={1\over 10\cdot 11}={1\over 110} \]
  3. \(\displaystyle \left(a_n\right)= \left({1\over 3}, 1, 3, 9, 27,\: \ldots\right)\)
    Zauważmy, że: \[ \eqalign{ a_1&={1\over 3}=3^{-1}=3^{1-2}\cr a_2&=1=3^0=3^{2-2}\cr a_3&=3=3^1=3^{3-2}\cr a_4&=9=3^2=3^{4-2}\cr a_5&=27=3^3=3^{5-2}\cr } \] Zatem \[ a_n=3^{n-2} \] Dla \(n=10\) mamy \[ a_{10}=3^{8}=6561 \]
  4. \(\displaystyle \left(a_n\right)=\left( -{1\over 4}, {1\over 8}, -{1\over 16}, {1\over 32}, -{1\over 64},\: \ldots\right)\)
    Zauważmy, że: \[ \eqalign{ a_1&=-{1\over 4}={(-1)^1\over 2^2}={(-1)^1\over 2^{1+1}}\cr a_2&={1\over 8}={(-1)^2\over 2^3}={(-1)^2\over 2^{2+1}}\cr a_3&=-{1\over 16}={(-1)^3\over 2^4}={(-1)^3\over 2^{3+1}}\cr a_4&={1\over 32}={(-1)^4\over 2^5}={(-1)^4\over 2^{4+1}}\cr a_5&={1\over 64}={(-1)^5\over 2^6}={(-1)^5\over 2^{5+1}}\cr } \] Zatem \[ a_n={(-1)^n\over 2^{n+1}} \] Dla \(n=10\) mamy \[ a_{10}={(-1)^{10}\over 2^{11}}={1\over 2048} \]
  5. \(\displaystyle \left(a_n\right)=\left( 5,-7, 9, -11, 13,\: \ldots\right)\)
    Zauważmy, że: \[ \eqalign{ a_1&=5=(-1)^2(2+3)=(-1)^{1+1}(2\cdot 1+3)\cr a_2&=-7=(-1)^3(4+3)=(-1)^{2+1}(2\cdot 2+3)\cr a_3&=9=(-1)^4(6+3)=(-1)^{3+1}(2\cdot 3+3)\cr a_4&=-11=(-1)^5(8+3)=(-1)^{4+1}(2\cdot 4+3)\cr a_5&=13=(-1)^6(10+3)=(-1)^{5+1}(2\cdot 5+3)\cr } \] Zatem \[ a_n=(-1)^{n+1}(2n+3) \] Dla \(n=10\) mamy \[ a_{10}=(-1)^{11}23=-23 \]