Równanie okręgu o środku w punkcie \((p,q)\) i promieniu \(r\)\[(x-p)^2+(y-q)^2=r\]
Kwadrat sumy lub różnicy\[(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\]
Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu
Jeżeli liczba całkowita \(p\not=0\) jest pierwiastkiem wielomianu \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] o współczynnikach całkowitych, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).
Jeżeli liczba całkowita \(p\not=0\) jest pierwiastkiem wielomianu \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] o współczynnikach całkowitych, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).
Twierdzenie Bezouta
Liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P(x)\) taki, że \[W(x) = (x-x_0)P(x),\] czyli wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-x_0\).
Liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P(x)\) taki, że \[W(x) = (x-x_0)P(x),\] czyli wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-x_0\).
Własności wartości bezwględnej
Dla dowolnych \(a,b\in\mathbb{R}\) mamy:
Dla dowolnych \(a,b\in\mathbb{R}\) mamy:
- \(\vert a \vert \geq 0\), przy czym \(\ \vert a \vert = 0 \ \Longleftrightarrow \ a=0\)
- \(\vert -a \vert =\vert a \vert\)
- \(\vert a \vert =\vert b \vert\ \Longleftrightarrow \ a=b\ { \vee}\ a=-b\)
- \(\vert a\cdot b \vert =\vert a \vert \cdot \vert b \vert\)
- \(\left\vert {a\over b} \right\vert ={\vert a \vert \over \vert b \vert}\), o ile \(\ b\neq 0\)
- \(\vert a+b \vert \leq \vert a \vert + \vert b \vert\)
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej
\[ \vert a \vert = \left\{\eqalign{a \quad &\hbox{dla} \quad a\geq 0 \cr -a \quad &\hbox{dla}
\quad a < 0 \cr} \right. \]
Moduł liczby zespolonej
Wróćmy do interpretacji geometrycznej liczby zespolonej w postaci kartezjańskiej, gdzie liczby zespolone – a więc uporządkowane pary liczb rzeczywistych – utożsamiamy z punktami w układzie współrzędnych kartezjańskich. Przy takiej interpretacji liczby rzeczywiste są punktami osi \(Ox\), którą nazywamy osią rzeczywistą, a liczby urojone są punktami osi \(Oy\), którą nazywamy osią urojoną. Dlatego osie układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej podpisujemy odpowiednio \(\textrm{Re}\, z\) oraz \(\textrm{Im}\, z\). Zauważmy dalej, że parze liczb sprzężonych odpowiada para punktów symetrycznych względem osi rzeczywistej, jak na poniższym rysunku.
Liczba zespolona \(z=a+b\:\!\mathrm{i}\), liczba z nią sprzężona \(\bar{z}=a-b\:\!\mathrm{i}\) i liczba do niej przeciwna \(-z=-a-b\:\!\mathrm{i}\)
Modułem liczby zespolonej \(z=a+b\:\!\mathrm{i}\) nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą \(\vert z\vert\) określoną wzorem \[\vert z \vert=\sqrt{a^2+b^2}\]
Uwaga
W przypadku gdy \(z=a\in \mathbb{R}\), moduł liczby zespolonej \(z\) wynosi \[\vert z \vert=\sqrt{a^2+0^2}=\sqrt{a^2}=\vert a\vert,\] gdzie symbol \(\vert \quad \vert\) po prawej stronie równości oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej \(a\). Zatem pojęcie modułu liczby zespolonej jest uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej (stąd identyczność oznaczeń).
Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej w postaci algebraicznej \(\boldsymbol{z=a+b\:\!\mathrm{i}}\)
Wiemy, że zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości \(a\) i \(b\) wyraża się wzorem \[\sqrt{a^2+b^2}\] Ponieważ moduł \(\vert z\vert\) liczby zespolonej \(z=a+b\:\!\mathrm{i}\) określa ten sam wzór, to możemy go geometrycznie interpretować jako odległość liczby \(z\) od początku układu współrzędnych, jak na poniższym rysunku.
Moduł \(|z|\) liczby zespolonej \(z=a+b\:\!\mathrm{i}\)
Moduł liczby zespolonej \(z=a+b\:\!\mathrm{i}\), \(\bar{z}=a-b\:\!\mathrm{i}\) i \(-z=-a-b\:\!\mathrm{i}\)
Przykład
Obliczymy moduł liczby zespolonej \(z=3-4\:\!\mathrm{i}\).
Skoro część rzeczywista liczby \(z\) to \(a=3\), a część urojona to \(b=-4\), dlatego otrzymujemy \[\vert z\vert = \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}= \sqrt{25}=5\]Zadanie
Wyznacz moduły liczb zespolonych:
-
\(z=2-3\:\!\mathrm{i}\)Ponieważ \[\textrm{Re}\, (2-3\:\!\mathrm{i})=2\quad\hbox{oraz}\quad \textrm{Im}\, (2-3\:\!\mathrm{i})=-3,\]to otrzymujemy \[\vert z\vert=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\]
-
\(z=3+4\:\!\mathrm{i}\)Ponieważ \[\textrm{Re}\, (3+4\:\!\mathrm{i})=3\quad\hbox{oraz}\quad \textrm{Im}\, (3+4\:\!\mathrm{i})=4,\]to otrzymujemy \[\vert z\vert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5\]
-
\(z=4\:\!\mathrm{i}\)Ponieważ \[\textrm{Re}\, (4\:\!\mathrm{i})=0\quad\hbox{oraz}\quad \textrm{Im}\, (4\:\!\mathrm{i})=4,\]to otrzymujemy \[\vert z\vert=\sqrt{0^2+4^2}=4\] Zauważmy, że korzystając z interpretacji geometrycznej modułu liczby zespolonej, moduł liczby urojonej \(\niebieski{\boldsymbol{z=4\:\!\mathrm{i}}}\) (położonej na osi urojonej) można odczytać z rysunku.Zatem \(\czerwony{\boldsymbol{\vert z\vert}}=4\).
-
\(z=3\)Ponieważ \[\textrm{Re}\, 3=3\quad\hbox{oraz}\quad \textrm{Im}\, 3=0,\]to otrzymujemy \[\vert z\vert=\sqrt{3^2+0^2}=3\] Zauważmy, że korzystając z interpretacji geometrycznej modułu liczby zespolonej, moduł liczby rzeczywistej \(\niebieski{\boldsymbol{z=3}}\) (położonej na osi rzeczywistej) można odczytać z rysunku.Zatem \(\czerwony{\boldsymbol{\vert z\vert}}=3\).
-
\(z=-5-5\:\!\mathrm{i}\)Ponieważ \[\textrm{Re}\, (-5-5\:\!\mathrm{i})=-5\quad\hbox{oraz}\quad \textrm{Im}\, (-5-5\:\!\mathrm{i})=-5,\]to otrzymujemy \[\vert z\vert=\sqrt{(-5)^2+(-5)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\] Zauważmy, że korzystając z interpretacji geometrycznej modułu liczby zespolonej, moduł liczby rzeczywistej \(\niebieski{\boldsymbol{z=-5-5\;\!\mathrm{i}}}\) można odczytać z rysunku. Liczba \(z\) jest bowiem jednym z wierzchołków kwadratu o boku długości \(5\) położonego w ćwiartce III, dlatego jej moduł jest równy długości przekątnej tego kwadratu.Zatem \(\czerwony{\boldsymbol{\vert z\vert}}=5\sqrt 2\).
Skoro moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, to własności modułu muszą być uogólnieniem własności wartości bezwzględnej. Prawdziwy jest zatem następujący fakt.
Niech \(z,z_1,z_2\in \mathbb{C}\) oraz \(n\in\mathbb{N}\). Wtedy
- \(\vert z\vert\geq 0\), przy czym \(\ \vert z \vert = 0 \ \Longleftrightarrow \ z=0\)
- \(\vert z_1\cdot z_2\vert = \vert z_1\vert \cdot \vert z_2\vert\)
- \(\displaystyle\left\vert\frac{ z_1}{z_2}\right\vert = \frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert}\), o ile \(\ z_2\neq 0\)
- \(\left\vert z^n\right\vert = |z|^n\)
- \(z\cdot \overline{z} =\vert z\vert^2\)
- \(|z|=\left|\bar{z}\right|=|-z|\)
- \(\vert z_1 + z_1 \vert \leq \vert z_1\vert +\vert z_2\vert\)
Przykład
Korzystając z własności modułu, obliczymy moduł liczby zespolonej \[z={\frac{{\left(-1-4\:\! \mathrm{i}\right)}^3\cdot {\left(2+3\:\! \mathrm{i}\right)}^2}{{\left(4-\mathrm{i}\right)}^5}}\]
Wiemy, że dla dowolnych liczby zespolonych \(z\), \(z_1\), \(z_2\), gdzie \(z_2\neq 0\), oraz \(n\in\mathbb{N}\) prawdziwe są następujące równości: \[\left|z_1\cdot z_2\right|\overset{(2)}{=}|z_1|\cdot |z_2|,\quad \left|\frac{z_1}{z_2}\right|\overset{(3)}{=}\frac{|z_1|}{|z_2|},\quad \left|z^n\right|\overset{(4)}{=}|z|^n\] Zatem moduł liczby \(z\) wynosi \[|z|=\left|{\frac{{\left(-1-4\:\! \mathrm{i}\right)}^3\cdot {\left(2+3\:\! \mathrm{i}\right)}^2}{{\left(4-\mathrm{i}\right)}^5}}\right|= \frac{|{-1-4\:\! \mathrm{i}}|^{3}\cdot |{2+3\:\! \mathrm{i}}|^{2}}{|{4-\mathrm{i}}|^{5}}\] Obliczamy więc moduły występujące w powyższym wyrażeniu \[\eqalign{&|{-1-4\:\! \mathrm{i}}|={\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-4\right)^2}}={\sqrt{17}}\cr &|{2+3\:\! \mathrm{i}}|={\sqrt{2^2+3^2}}={\sqrt{13}}\cr &|{4-\mathrm{i}}|={\sqrt{4^2+\left(-1\right)^2}}={\sqrt{17}}\cr}\] i otrzymujemy \[|z|=\frac{{\sqrt{17}}^{3}\cdot {\sqrt{13}}^{2}}{{\sqrt{17}}^{5}}= \frac{{\ccancel{\fioletowy}{17}}{\ccancel\sqrt{17}}\cdot 13}{17^{\ccancel{\fioletowy}{2}}{\ccancel\sqrt{17}}}= {\frac{13}{17}}\]Zadanie
Korzystając z własności modułu, oblicz:
-
\(\big|(2-2\:\!\mathrm{i})\cdot (1+3\:\!\mathrm{i})\big|\)Ponieważ moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów, to \[\eqalign{\big|(2-2\:\!\mathrm{i})\cdot (1+3\:\!\mathrm{i})\big|&\overset{(2)}{=}|2-2\:\!\mathrm{i}|\cdot |1+3\:\!\mathrm{i}|=\sqrt{4+4}\cdot \sqrt{1+9}=\cr &=\sqrt{8\cdot 10}=4\sqrt{5}\cr}\]
-
\(\displaystyle \left|\frac{-6+8\:\!\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} \right|\)Ponieważ moduł ilorazu jest równy ilorazowi modułów, to \[\left|\frac{-6+8\:\!\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} \right|\overset{(3)}{=}\frac{|-6+8\:\!\mathrm{i}|}{|1-\mathrm{i}|}=\frac{\sqrt{36+64}}{\sqrt{1+1}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\]
-
\(\displaystyle \big\vert (4+2\:\!\mathrm{i})^6 \big\vert\)Ponieważ moduł potęgi jest równy potędze modułu, to \[\left\vert\big(4+2\:\!\mathrm{i}\big)^6\right\vert\overset{(4)}{=}\left\vert 4+2\:\!\mathrm{i}\right\vert^6=(\sqrt{16+4})^6=20^3=800\]