Iloczyn kartezjański zbiorów \(\boldsymbol A\) i \(\boldsymbol B\)\[ A\times B =\{(a,b):\ a\in A\ \wedge\ b\in B\} \]

Definicja zbioru liczb zespolonych

Wykorzystując iloczyn kartezjański zbiorów i określając działania w takim produkcie, zdefiniujemy zbiór liczb zespolonych.
Definicja
Rozważmy zbiór \(\mathbb{C}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). W zbiorze \(\mathbb{C}\) określamy dodawanie i mnożenie w następujący sposób:
  1. \((a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)\),
  2. \((a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc)\),
gdzie działania po prawych stronach równości są zwykłymi działaniami na liczbach rzeczywistych. Elementy zbioru \(\mathbb{C}\) będziemy nazywali liczbami zespolonymi, a zbiór \(\mathbb{C}\) – zbiorem liczb zespolonych.
Liczby zespolone można zapisywać w różnych postaciach. Podana w powyższej definicji postać \[z=(a,b),\quad \text{gdzie}\quad a,b\in\mathbb{R}, \]nazywana jest postacią kartezjańską. W dalszej części tego rozdziału poznamy i nauczymy się wykorzystywać do rozwiązania zadań inne postacie liczby zespolonej: algebraiczną, trygonometryczną i wykładniczą.
Przykład
Wykonamy działania na liczbach zespolonych zapisanych w postaci kartezjańskiej:
  • \((1,3)+(3,-2) = (1+3, 3+(-2))=(4,1)\)
  • \((-1,0)+(-3,9) = (-1+(-3),0+9)=(-4,9)\)
  • \((3,2)\cdot (5,4) = (3\cdot 5-2\cdot 4,3\cdot 4 +2\cdot 5)=(7,22)\)
  • \((1,-4)\cdot (-3,6) = \big(1\cdot (-3)-(-4)\cdot 6, 1\cdot 6 +(-4)\cdot (-3)\big)=(21,18)\)
Twierdzenie (o równości liczb zespolonych w postaci kartezjańskiej)
Jeżeli \(z_1=\left(a_1,b_1\right), z_2=\left(a_2,b_2\right)\in\mathbb{C}\), to \[z_1=z_2\quad\Longleftrightarrow\quad a_1=a_2\ \wedge\ b_1=b_2\]
Uwaga
Niech \((a,b), (c,d), (e,f)\in\mathbb{C}\) będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wówczas z własności dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych wynikają następujące własności działań w zbiorze liczb zespolonych \(\mathbb{C}\):
  1. Dodawanie i mnożenie jest przemienne, czyli \[(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)\]\[(a,b)\cdot(c,d)=(c,d)\cdot(a,b)\]
  2. Dodawanie i mnożenie jest łączne, czyli \[[(a,b)+(c,d)]+(e,f)=(a,b)+[(c,d)+(e,f)]\]\[[(a,b)\cdot(c,d)]\cdot(e,f)=(a,b)\cdot[(c,d)\cdot(e,f)]\]
  3. Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, czyli \[(a,b)\cdot \big[(c,d)+(e,f)\big]=(a,b)\cdot(c,d)+(a,b)\cdot(e,f)\]
  4. Elementem neutralnym dodawania jest liczba \(\czerwony{\boldsymbol {(0,0)}}\), czyli \[(a,b)+\czerwony{\boldsymbol {(0,0)}}=\czerwony{\boldsymbol {(0,0)}}+(a,b)=(a,b)\]
  5. Elementem neutralnym mnożenia jest liczba \(\niebieski{\boldsymbol {(1,0)}}\), czyli \[(a,b)\cdot\niebieski{\boldsymbol {(1,0)}}=\niebieski{\boldsymbol {(1,0)}}\cdot (a,b)=(a,b)\]
  6. Liczbą przeciwną do liczby \((a,b)\) jest liczba \((-a,-b)\), czyli \[(a,b)+(-a,-b)=\czerwony{\boldsymbol {(0,0)}}\]
  7. Liczbą odwrotną do liczby \((a,b)\neq \czerwony{\boldsymbol {(0,0)}}\) jest liczba \(\left(\frac{a}{a^2+b^2}, -\frac{b}{a^2+b^2}\right)\), czyli \[(a,b)\cdot \left(\frac{a}{a^2+b^2}, -\frac{b}{a^2+b^2}\right)=(1,0)\]

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej w postaci kartezjańskiej \(\boldsymbol{z=(a,b)}\)

Zbiór liczb zespolonych, podobnie jak zbiór \(\mathbb{R}^2\), możemy interpretować geometrycznie jako:

  1. Zbiór wszystkich punktów \(z=(a,b)\) na płaszczyźnie. Wówczas liczbę zespoloną \(z\) rysujemy jako punkt o współrzędnych \((a,b)\) na tej płaszczyźnie, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający liczbę zespoloną jako punkt w układzie współrzędnych.
    Liczba zespolona \(z=(a,b)\)
    W tej iterpretacji liczba przeciwna \(-z=(-a,-b)\) to punkt symetryczny do punktu \((a,b)\) względem początku układu współrzędnych.
  2. Zbiór wektorów wodzących wszystkich punktów \(z=(a,b)\) na płaszczyźnie. Wówczas liczbę zespoloną \(z\) rysujemy jako wektor o współrzędnych \([a,b]\) zaczepiony w początku układu współrzędnych, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający liczbę zespoloną jako wektor wodzący w układzie współrzędnych.
    Wektor wodzący liczby zespolonej \(z=(a,b)\)
    W tym przypadku liczba przeciwna \(-z=(-a,-b)\) to wektor przeciwny \([-a,-b]\) zaczepiony w początku układu współrzędnych. Dodatkowo dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych można graficznie przedstawić odpowiednio jako sumę i różnicę wektorów.
    Rysunek przedstawiający sumę wektorów jako sumę liczb zespolonych w układzie współrzędnych.
    Rysunek przedstawiający różnicę wektorów jako różnicę liczb zespolonych w układzie współrzędnych.
    Liczby zespolone \(z_1+z_2\) i \(z_1-z_2\)