Dwa operatory
Stara Matematyka
Na swej drodze spotyka
Bardzo znane dwa operatory.
I gorąco je prosi:
Fama o was wszem głosi,
Że z was każdy do działań jest skory.
Mam ja dla was zadanie.
Trudne jest niesłychanie,
Bo przeciwnik jest bardzo potężny.
Swą wartością się chlubi,
Dominować też lubi,
To robota dla kogoś, kto mężny.
Przeciwnikiem Potęga,
Co wartością swą sięga
Zbyt wysoko, pod same niebiosa.
Trzeba by ją przećwiczyć,
Jej składowe obliczyć,
Niechaj mi nie zadziera tu nosa.
Jeden zaraz podskoczył,
Kunszt swój cały roztoczył,
I wyznaczył Potędze wykładnik.
Drugi jak dla zabawy
Znalazł wartość podstawy,
Tak Potęgę dwaj bracia dopadli.
Wykonali zadanie,
Dumni są niesłychanie,
Nie byłoby to łatwe dla wielu.
Trzeba umieć ich użyć,
Problem nie jest to duży.
Czy imiona ich znasz, przyjacielu?
Zanim jednak odpowiesz,
To ci trochę podpowiem,
Czym lub kim jest ów operator.
To nie chirurg-ratownik,
Ani w kinie pracownik,
Ani zdjęć w filmie żadnym kreator.
Symbol różnych to działań.
Stara Matma nam dała
Szansę, by poużywać symboli.
Takie to obliczanie,
Działań zastępowanie,
Czasem wynik uzyskać pozwoli.
Jeśli jednak odpowiedź
Nie zagości ci w głowie,
I na próżno wciąż trudzić się będziesz,
To nie będę cię męczyć,
Muszę ciebie wyręczyć,
Byś kompleksów nie nabył w tym względzie.
Pierwszy to był logarytm.
Jego John Napier stary
W siedemnastym już wieku wynalazł.
A pierwiastkiem jest zwany
Drugi z braci spotkanych.
Zapamiętaj te nazwy od zaraz.
Komentarz
Podstawa \(\niebieski{\boldsymbol a}\) i wykładnik \(\czerwony{\boldsymbol n}\) to składowe \(\czerwony{\boldsymbol n}\)-tej potęgi liczby \(\niebieski{\boldsymbol a}\), którą zapisujemy symbolicznie \(\niebieski{\boldsymbol a}^{\czerwony{\boldsymbol n}}\). W zależności od wykładnika różnie definiujemy potęgę. Jako pierwsza pojawia się w szkole potęgę o wykładniku naturalnym, która jest sposobem na skrócenie zapisu mnożenia \(\czerwony{\boldsymbol n}\) takich samych liczb \(\niebieski{\boldsymbol a}\) \[\underbrace{\niebieski{\boldsymbol a}\cdot \niebieski{\boldsymbol a}\cdot \niebieski{\boldsymbol a}\cdot\ldots\cdot \niebieski{\boldsymbol a}}_{\czerwony{\boldsymbol n}\ \textrm{razy}\ \niebieski{\boldsymbol a}}=\niebieski{\boldsymbol a}^{\czerwony{\boldsymbol n}}\] Dodatkowo przyjmujemy, że \(a^0=1\), np. \[\eqalign{2^0&=1\cr 2^1&=2\cr 2^2&=2\cdot 2=4\cr 2^3&=2\cdot 2\cdot 2=4\cdot 2=8\cr 2^4&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=8\cdot 2=16\cr 2^5&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16\cdot 2=32\cr 2^6&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32\cdot 2=64\cr 2^7&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=64\cdot 2=128\cr 2^8&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=128\cdot 2=256\cr 2^{9}&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=256\cdot 2=512\cr 2^{10}&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=512\cdot 2=1024 \cr}\] Następnie dowiadujemy się, co oznacza potęga całkowita ujemna oraz co łączy potęgę wymierną z pierwiastkiem. Poznajemy własności potęg i uczymy się wykonywać działania na potęgach opisane w zakładce Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb w rozdziale Wiadomości wstępne sekcji Matematyka elementarna. Pojęcie podstawy związane jest również z logarytmem, któremu poświęcony jest cały rozdział Funkcja logarytmiczna Matematyki elementarnej.
Logarytmowi i pierwiastkowi kwadratowemu poświęcone są kolejne dwa matwiersze Logarytm i O pierwiastku kwadratowym.