matematyka : Okrąg

Kwadrat różnicy

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

Wzory skróconego mnożenia

$\eqalign{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\cr a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\cr}$

Odległość punktu $\boldsymbol{P_0(x_0,y_0)}$ od prostej $\boldsymbol{l: Ax+By+C=0}$

$d(P_0,l)={\vert Ax_0+By_0+C\vert\over \sqrt{A^2+B^2}}$

Okrąg

Okrąg, a właściwie koło, to pojęcie wszystkim dobrze znane z życia codziennego. W mowie potocznej często błędnie stosuje się je zamiennie. Rozpoczniemy więc nasze rozważania od podania poprawnej definicji okręgu.

Definicja

Okręgiem o środku w punkcie

$S$ i promieniu

$r$ , gdzie

$r>0$ , nazywamy zbiór wszystkich punktów

$P$ płaszczyzny, których odległość od punktu

$S$ wynosi

$r$ , tzn.

$\czerwony{\boldsymbol{\vert SP\vert =r}},$ gdzie

$\vert SP\vert$ oznacza długość odcinka

$SP$ .

Okrąg

W przestrzeni

$\mathbb{R^2}$ można napisać równanie, które spełniają punkty należące do okręgu o zadanym środku i promieniu. Poniższe twierdzenia pokazują, jaką postać ma takie równanie w zależności od współrzędnych środka tego okręgu.

Twierdzenie

Jeżeli środkiem okręgu jest punkt

$S(0,0)$ , to równanie okręgu wyraża się wzorem

$x^2+y^2=r^2,$ gdzie

$r$ jest promieniem tego okręgu.

Okrąg

$x^2+y^2=r^2$

Twierdzenie

Jeżeli przesuniemy okrąg opisany wzorem

$x^2+y^2=r^2$ o wektor

$\vec{v}=[p,q]$ , to jego równanie będzie miało postać

$\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2$

Okrąg

$\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2$

Zadanie

Napisz równanie okręgu o podanym środku i promieniu:

$S(0,0)$ i $r=2$
Zgodnie z pierwszym twierdzeniem równanie okręgu ma postać $x^2+y^2=4$
$S(2,3)$ i $r=3$
Zgodnie z drugim twierdzeniem równanie okręgu o środku $S(2,3)$ i promieniu $r=3$ ma postać $(x-2)^2+(y-3)^2=9$ Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy $x^2+y^2-4x-6y+4=0$
$S(-4,1)$ i $r=1$
Równanie okręgu o środku w punkcie $S(-4,1)$ i promieniu $r=1$ ma postać $(x+4)^2+(y-1)^2=1,$ a po przekształceniach postać $x^2+y^2+8x-2y+16=0$
$S(-3,-1)$ i $r=\sqrt{2}$
Równanie okręgu o środku $S(-3,-1)$ i promieniu $r=\sqrt{2}$ ma postać $(x+3)^2+(y+1)^2=2,$ a po przekształceniach postać $x^2+y^2+6x+2y+8=0$

Zadanie

Narysuj okrąg o podanym równaniu:

$(x-2)^2+(y+1)^2=4$
Powyższe równanie opisuje okrąg o środku $S(2,-1)$ i promieniu $r=2$
$x^2-2x+y^2-2y+1=0$
Aby wyznaczyć środek i promień okręgu, przekształcamy jego równanie, wykorzystując wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Ponieważ $x^2-2x+1=(x-1)^2$ , więc $x^2-2x=(x-1)^2-1$ . Analogicznie możemy wyznaczyć $y^2-2y=(y-1)^2-1$ . Zatem równanie okręgu można sprowadzić do postaci $(x-1)^2-1 +(y-1)^2-1+1=0$ $(x-1)^2 +(y-1)^2=1$ Powyższe równanie opisuje okrąg o środku w punkcie $S(1,1)$ i promieniu $r=1$ .
$x^2+4x+y^2-6y+4=0$
Przekształcamy równanie okręgu, wykorzystując wzory skróconego mnożenia. Ponieważ $x^2+4x+4=(x+2)^2$ , więc $x^2+4x=(x+2)^2-4$ . Analogicznie: ponieważ $y^2-6y+9=(y-3)^2$ , więc $y^2-6y=(y-3)^2-9$ . Zatem równanie okręgu można sprowadzić do postaci $(x+2)^2-4 +(y-3)^2-9+4=0$ $(x+2)^2 +(y-3)^2=9$ Powyższe równanie opisuje okrąg o środku w punkcie $S(-2,3)$ i promieniu $r=3$ .
$x^2+2x+y^2-2y=0$
Ponieważ $x^2+2x+1=(x+1)^2$ , więc $x^2-2x=(x+1)^2-1$ . Analogicznie: ponieważ $y^2-2y+1=(y-1)^2$ , więc $y^2-2y=(y-1)^2-1$ . Zatem równanie okręgu można sprowadzić do postaci $(x+1)^2-1 +(y-1)^2-1=0$ $(x+1)^2+(y-1)^2=2$ Powyższe równanie opisuje okrąg o środku w punkcie $S(-1,1)$ i promieniu $r=\sqrt{2}$ .

Wzajemne położenie prostej i okręgu

Badając wzajemne położenie prostej

$l$ i okręgu o środku

$S(p,q)$ i promieniu

$r$ , należy rozważyć trzy przypadki:

Prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

W tym przypadku $d(S,l)>r$ .
Prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny, czyli prosta jest styczna do okręgu.

W tym przypadku $d(S,l)=r$ .
Prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne, czyli prosta jest sieczną okręgu.

W tym przypadku $d(S,l)\lt r$ .

Zadanie

Zbadać wzajemne położenie:

prostej $l:\ 2x+4y+4=0$ i okręgu o środku w punkcie $S(1,-2)$ i promieniu $r=2$
Obliczamy odległość środka okręgu od prostej $l$ , korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej $d(S,l)={\vert 2\cdot 1+4\cdot (-2)+4\vert \over \sqrt{2^2+4^2}}={2\over\sqrt{20}}= {2\over 2\sqrt{5}}={1\over \sqrt{5}}$ Ponieważ wyliczona odległość jest mniejsza od promienia $r=2$ , dlatego prosta przecina okrąg w dwóch punktach.
prostej $l:\ y=2x+1$ i okręgu o równaniu $(x+3)^2+(y-4)^2=1$
Aby obliczyć odległość środka okręgu $S(-3,4)$ od prostej $l$ , musimy prostą zapisać w postaci ogólnej $l:2x-y+1=0$ Wtedy $d(S,l)={\vert 2\cdot(-3)-4+1\vert \over \sqrt{3^2+(-1)^2}}={9\over\sqrt{10}}$ Ponieważ wyliczona odległość jest większa od promienia $r=1$ , dlatego prosta nie przecina okręgu.
prostej $l:\ 3x+4y+2=0$ i okręgu o równaniu $x^2-6x+y^2-2y+1=0$
Aby wyznaczyć środek i promień okręgu, przekształcamy jego równanie, wykorzystując wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Ponieważ $x^2-6x+9=(x-3)^2$ , więc $x^2-2x=(x-3)^2-9$ . Analogicznie możemy wyznaczyć $y^2-2y=(y-1)^2-1$ . Zatem równanie okręgu można sprowadzić do postaci $(x-3)^2-9 +(y-1)^2-1+1=0$ $(x-3)^2 +(y-1)^2=9$ Powyższe równanie opisuje okrąg o środku w punkcie $S(3,1)$ i promieniu $r=3$ . Wtedy $d(S,l)={\vert 3\cdot 3+4\cdot 1+2\vert \over \sqrt{3^2+4^2}}={15\over 5}=3$ Ponieważ $d(S,l)=3=r$ , dlatego prosta jest styczna do okręgu.