Kwadrat różnicy
\[a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\]
Wzory skróconego mnożenia
\[\eqalign{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\cr a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\cr}\]
Odległość punktu \(\boldsymbol{P_0(x_0,y_0)}\) od prostej \(\boldsymbol{l: Ax+By+C=0}\)
\[ d(P_0,l)={\vert Ax_0+By_0+C\vert\over \sqrt{A^2+B^2}} \]
Okrąg
Okrąg, a właściwie koło, to pojęcie wszystkim dobrze znane z życia codziennego. W mowie potocznej często błędnie stosuje się je zamiennie. Rozpoczniemy więc nasze rozważania od
podania poprawnej definicji okręgu.
Okręgiem o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\), gdzie \(r>0\), nazywamy zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny, których odległość od punktu \(S\) wynosi \(r\), tzn.
\[\czerwony{\boldsymbol{\vert SP\vert =r}}, \] gdzie \(\vert SP\vert\) oznacza długość
odcinka \(SP\).
Okrąg
W przestrzeni \(\mathbb{R^2}\) można napisać równanie, które spełniają punkty należące do okręgu o zadanym środku i promieniu. Poniższe twierdzenia pokazują, jaką postać ma takie równanie w zależności od współrzędnych środka tego okręgu.
Jeżeli środkiem okręgu jest punkt \(S(0,0)\), to równanie okręgu wyraża się wzorem
\[ x^2+y^2=r^2, \] gdzie \(r\) jest promieniem tego okręgu.
Okrąg \( x^2+y^2=r^2\)
Jeżeli przesuniemy okrąg opisany wzorem \(x^2+y^2=r^2\) o wektor \(\vec{v}=[p,q]\), to jego równanie będzie miało postać \[ \left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2 \]
Okrąg \( \left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2\)
Zadanie
Napisz równanie okręgu o podanym środku i promieniu:
-
\(S(0,0)\) i \(r=2\)Zgodnie z pierwszym twierdzeniem równanie okręgu ma postać \[ x^2+y^2=4 \]
-
\(S(2,3)\) i \(r=3\)Zgodnie z drugim twierdzeniem równanie okręgu o środku \(S(2,3)\) i promieniu \(r=3\) ma postać \[ (x-2)^2+(y-3)^2=9 \] Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy \[ x^2+y^2-4x-6y+4=0 \]
-
\(S(-4,1)\) i \(r=1\)Równanie okręgu o środku w punkcie \(S(-4,1)\) i promieniu \(r=1\) ma postać \[ (x+4)^2+(y-1)^2=1, \] a po przekształceniach postać \[ x^2+y^2+8x-2y+16=0 \]
-
\(S(-3,-1)\) i \(r=\sqrt{2}\)Równanie okręgu o środku \(S(-3,-1)\) i promieniu \(r=\sqrt{2}\) ma postać \[ (x+3)^2+(y+1)^2=2, \] a po przekształceniach postać \[ x^2+y^2+6x+2y+8=0 \]
Zadanie
Narysuj okrąg o podanym równaniu:
-
\((x-2)^2+(y+1)^2=4\)Powyższe równanie opisuje okrąg o środku \(S(2,-1)\) i promieniu \(r=2\)
-
\(x^2-2x+y^2-2y+1=0\)Aby wyznaczyć środek i promień okręgu, przekształcamy jego równanie, wykorzystując wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Ponieważ \(x^2-2x+1=(x-1)^2\), więc \(x^2-2x=(x-1)^2-1\). Analogicznie możemy wyznaczyć \(y^2-2y=(y-1)^2-1\). Zatem równanie okręgu można sprowadzić do postaci \[ (x-1)^2-1 +(y-1)^2-1+1=0 \] \[ (x-1)^2 +(y-1)^2=1 \] Powyższe równanie opisuje okrąg o środku w punkcie \(S(1,1)\) i promieniu \(r=1\).
-
\(x^2+4x+y^2-6y+4=0\)Przekształcamy równanie okręgu, wykorzystując wzory skróconego mnożenia. Ponieważ \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), więc \(x^2+4x=(x+2)^2-4\). Analogicznie: ponieważ \(y^2-6y+9=(y-3)^2\), więc \(y^2-6y=(y-3)^2-9\). Zatem równanie okręgu można sprowadzić do postaci \[ (x+2)^2-4 +(y-3)^2-9+4=0 \] \[ (x+2)^2 +(y-3)^2=9 \] Powyższe równanie opisuje okrąg o środku w punkcie \(S(-2,3)\) i promieniu \(r=3\).
-
\(x^2+2x+y^2-2y=0\)Ponieważ \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), więc \(x^2-2x=(x+1)^2-1\). Analogicznie: ponieważ \(y^2-2y+1=(y-1)^2\), więc \(y^2-2y=(y-1)^2-1\). Zatem równanie okręgu można sprowadzić do postaci \[ (x+1)^2-1 +(y-1)^2-1=0 \] \[ (x+1)^2+(y-1)^2=2 \] Powyższe równanie opisuje okrąg o środku w punkcie \(S(-1,1)\) i promieniu \(r=\sqrt{2}\).
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Badając wzajemne położenie prostej \(l\) i okręgu o środku \(S(p,q)\) i promieniu \(r\), należy rozważyć trzy przypadki:
- Prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.
W tym przypadku \(d(S,l)>r\).
- Prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny, czyli prosta jest styczna do okręgu.
W tym przypadku \(d(S,l)=r\).
- Prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne, czyli prosta jest sieczną okręgu.
W tym przypadku \(d(S,l)\lt r\).
Zadanie
Zbadać wzajemne położenie:
-
prostej \(l:\ 2x+4y+4=0\) i okręgu o środku w punkcie \(S(1,-2)\) i promieniu \(r=2\)Obliczamy odległość środka okręgu od prostej \(l\), korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej \[d(S,l)={\vert 2\cdot 1+4\cdot (-2)+4\vert \over \sqrt{2^2+4^2}}={2\over\sqrt{20}}= {2\over 2\sqrt{5}}={1\over \sqrt{5}}\] Ponieważ wyliczona odległość jest mniejsza od promienia \(r=2\), dlatego prosta przecina okrąg w dwóch punktach.
-
prostej \(l:\ y=2x+1\) i okręgu o równaniu \((x+3)^2+(y-4)^2=1\)Aby obliczyć odległość środka okręgu \(S(-3,4)\) od prostej \(l\), musimy prostą zapisać w postaci ogólnej \[l:2x-y+1=0\] Wtedy \[d(S,l)={\vert 2\cdot(-3)-4+1\vert \over \sqrt{3^2+(-1)^2}}={9\over\sqrt{10}}\] Ponieważ wyliczona odległość jest większa od promienia \(r=1\), dlatego prosta nie przecina okręgu.
-
prostej \(l:\ 3x+4y+2=0\) i okręgu o równaniu \(x^2-6x+y^2-2y+1=0\)Aby wyznaczyć środek i promień okręgu, przekształcamy jego równanie, wykorzystując wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Ponieważ \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), więc \(x^2-2x=(x-3)^2-9\). Analogicznie możemy wyznaczyć \(y^2-2y=(y-1)^2-1\). Zatem równanie okręgu można sprowadzić do postaci \[ (x-3)^2-9 +(y-1)^2-1+1=0 \] \[ (x-3)^2 +(y-1)^2=9 \] Powyższe równanie opisuje okrąg o środku w punkcie \(S(3,1)\) i promieniu \(r=3\). Wtedy \[d(S,l)={\vert 3\cdot 3+4\cdot 1+2\vert \over \sqrt{3^2+4^2}}={15\over 5}=3\] Ponieważ \(d(S,l)=3=r\), dlatego prosta jest styczna do okręgu.