Własność logarytmów \[\displaystyle a^{\log_ax}=x\]
Cechą nazywamy wartość funkcji, która liczbie rzeczywistej \(x\)
przyporządkowuje największą liczbę całkowitą nie większą od \(x\),
i oznaczamy ją \([x]\). \[ \bigwedge_{x\in\mathbb{R}}\quad [x]=k \Longleftrightarrow k\in \mathbb{Z} \quad \wedge \quad k\leq x< k+1 \]

Granica niewłaściwa ciągu

Zdefiniujemy teraz jako pierwszą granicę niewłaściwą ciągu równą \(+\infty\).
Definicja
Ciąg \(\left(a_n\right)\) ma granicę niewłaściwą równą \(\boldsymbol{+\infty}\), jeżeli \[\bigwedge_{E\in \mathbb{R}}\ \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\quad \bigwedge_{n\gt n_0}\quad a_n \gt E\] Mówimy wówczas, że ciąg \(\left(a_n\right)\) jest rozbieżny do plus nieskończoności, co zapisujemy symbolicznie jako \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=+\infty\]

Aby przeczytać symboliczną definicję granicy niewłaściwej ciągu \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=+\infty\quad\Longleftrightarrow\quad \bigwedge_{E\in \mathbb{R}}\ \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\quad \bigwedge_{n\gt n_0}\quad a_n \gt E,\] musisz znać podstawowe pojęcia logiki matematycznej.

Ciąg \(\left(a_n\right)\) ma granicę niewłaściwą równą \(+\infty\) tylko wtedy, gdy dla każdego \(E\in \mathbb{R}\) istnieje \(n_0\in\mathbb{N}\) takie, że dla każdego \(n\gt n_0\) \((n\in\mathbb{N})\) spełniona jest nierówność \(a_n \gt E\). Oznacza to, że \(+\infty\) jest granicą niewłaściwą ciągu \(\left(a_n\right)\) tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby \(E\in \mathbb{R}\) prawie wszystkie wyrazy ciągu \(\left(a_n\right)\) są większe niż \(E\).

Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, jak dobrać odpowiednie \(\czerwony{\boldsymbol{n_0}}\) w zależności od zmieniającej się wartości \(\zielony{\boldsymbol E}\) (\(E\in \mathbb{R}\)). Wartość \(\zielony{\boldsymbol E}\) można regulować za pomocą suwaka.

Przykład

Skorzystamy z definicji granicy niewłaściwej ciągu, aby udowodnić, że ciąg \(\left(a_n\right)\) o wyrazie ogólnym \(a_n=5^n\) jest rozbieżny do \(+\infty\).

Niech \(E\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Mamy wykazać, że \[\bigwedge_{E\in \mathbb{R}}\ \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\quad \bigwedge_{n\gt n_0}\quad a_n \gt E\] Musimy więc pokazać, że istnieje taka liczba naturalna \(n_0\), że dla każdej liczby naturalnej \(n\) większej niż \(n_0\) spełniona jest nierówność \(a_n > E\).

Zatem mamy nierówność \[5^n > E\] Pamiętając, że funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, zauważamy, że nierówność \(5^n > E\) jest spełniona dla wszystkich \(n\in \mathbb{N}\), gdy \(E\leq 0\). Jeśli natomiast \(E >0\), to możemy skorzystać z własności logarytmów i zapisać ją jako potęgę liczby \(5\) \[5^n > {5}^{\log _{5}{E}}\] Opuszczamy wtedy podstawę potęgi bez zmiany kierunku nierówności, gdyż \(5>1\) \[n > \log _{5}{E}\] Pokazaliśmy w ten sposób, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(E\) istnieje taka liczba \(\log _{5}{E}\), że dla każdej liczby naturalnej \(n\) większej niż \(\log _{5}{E}\) zachodzi nierówność \(a_n > E\).

Jednak liczba \(\log _{5}{E}\) nie musi być liczbą naturalną, dlatego jako \(n_0\) powinniśmy wybrać liczbę naturalną, która będzie większa od \(\log _{5}{E}\). Do wyznaczenia liczby naturalnej \(n_0\) wykorzystamy cechę liczby rzeczywistej \([x]\). Zauważmy bowiem, że:

  • jeżeli \(\log_{5}{E} \lt 1\) (czyli \(E \lt 5\)), to wystarczy wybrać \(n_0=1\),
  • jeżeli \(\log _{5}{E} \ge 1\) (czyli \(E \ge 5\)), to wystarczy wybrać \(n_0=\left[\log _{5}{E}\right]+1\).

Udowodniliśmy zatem, że dla każdego \(E\in\mathbb{R}\) istnieje liczba naturalna \[n_0=\left\{\begin{matrix} \left[\log _{5}{E}\right]+1 & \textrm{dla} & E\ge 5 \\ 1 & \textrm{dla} & E\lt 5 \end{matrix}\right.\] taka, że dla każdego \(n>n_0\) spełniona jest nierówność \(a_n> E\), a to oznacza, że \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}{5^n } =+\infty\]

Uwaga
W sposób analogiczny do powyższego przykładu można udowodnić, że \[\bigwedge_{q\gt 1}\quad \lim\limits_{n\to\infty}{q^n}=+\infty\]
Zdefiniujemy teraz granicę niewłaściwą ciągu równą \(-\infty\).
Definicja
Ciąg \(\left(a_n\right)\) ma granicę niewłaściwą równą \(\boldsymbol{-\infty}\), jeżeli \[\bigwedge_{E\in \mathbb{R}}\quad \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\ \bigwedge_{n>n_0}\quad a_n \lt E\] Mówimy wówczas, że ciąg \(\left(a_n\right)\) jest rozbieżny do minus nieskończoności, i zapisujemy \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=-\infty\]

Symboliczną definicję granicy niewłaściwej ciągu \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=-\infty\quad\Longleftrightarrow\quad \bigwedge_{E\in \mathbb{R}}\quad \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\ \bigwedge_{n>n_0}\quad a_n \lt E\] czytamy w następujący sposób.

Ciąg \(\left(a_n\right)\) ma granicę niewłaściwą równą \(-\infty\) tylko wtedy, gdy dla każdego \(E\in \mathbb{R}\) istnieje \(n_0\in\mathbb{N}\) takie, że dla każdego \(n\gt n_0\) \((n\in\mathbb{N})\) spełniona jest nierówność \(a_n \lt E\). Oznacza to, że \(-\infty\) jest granicą niewłaściwą ciągu \(\left(a_n\right)\) tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby \(E\in \mathbb{R}\) prawie wszystkie wyrazy ciągu \(\left(a_n\right)\) są mniejsze niż \(E\).

Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, jak dobrać odpowiednie \(\czerwony{\boldsymbol{n_0}}\) w zależności od zmieniającej się wartości \(\zielony{\boldsymbol E}\) (\(E\in \mathbb{R}\)). Wartość \(\zielony{\boldsymbol E}\) można regulować za pomocą suwaka.

Przykład

Skorzystamy z definicji granicy niewłaściwej ciągu, aby udowodnić, że ciąg \(\left(a_n\right)\) o wyrazie ogólnym \(a_n=\log _{1\over2}{n}\) jest rozbieżny do \(-\infty\).

Niech \(E\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Mamy wykazać, że \[\bigwedge_{E\in \mathbb{R}}\ \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\quad \bigwedge_{n\gt n_0}\quad a_n \lt E\] Musimy więc pokazać, że istnieje taka liczba naturalna \(n_0\), że dla każdej liczby naturalnej \(n\) większej niż \(n_0\) spełniona jest nierówność \(a_n < E\).

Zatem mamy nierówność \[\log _{1\over2}{n} \lt E\] Liczbę \(E\) zapisujemy w postaci logarytmu o podstawie \(1\over2\) \[\log _{1\over2}{n} \lt \log _{1\over2}{\left({1\over 2^{E}}\right)}\] Opuszczamy podstawę logarytmu, zmieniając kierunek nierówności na przeciwny, gdyż \({1\over 2}\lt 1\) \[n \gt \frac{1}{2^E}\] Pokazaliśmy w ten sposób, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(E\) istnieje taka liczba \(\frac{1}{2^E}\), że dla każdej liczby naturalnej \(n\) większej niż \(\frac{1}{2^E}\) zachodzi nierówność \(a_n < E\).

Jednak liczba \(\frac{1}{2^E}\) nie musi być liczbą naturalną, dlatego jako \(n_0\) powinniśmy wybrać liczbę naturalną, która będzie większa od \(\frac{1}{2^E}\). Do wyznaczenia liczby naturalnej \(n_0\) wykorzystamy cechę liczby rzeczywistej \([x]\). Zauważmy bowiem, że:

  • jeżeli \(\frac{1}{2^E} \lt 1\) (czyli \(E \gt 0\)), to wystarczy wybrać \(n_0=1\),
  • jeżeli \(\frac{1}{2^E} \ge 1\) (czyli \(E \le 0\)), to wystarczy wybrać \(n_0=\left[\frac{1}{2^E}\right]+1\).

Udowodniliśmy zatem, że dla każdego \(E\in\mathbb{R}\) istnieje liczba naturalna \[n_0=\left\{\begin{matrix} \left[\frac{1}{2^E}\right]+1 & \textrm{dla} & E\le 0 \\ 1 & \textrm{dla} & E\gt 0 \end{matrix}\right.\] taka, że dla każdego \(n>n_0\) spełniona jest nierówność \(a_n< E\), a to oznacza, że \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}{\log_{1\over 2}{n}} =-\infty\]

Uwaga
W sposób analogiczny do powyższego przykładu można udowodnić, że \[\lim\limits_{n\to\infty}{\log_{a}{n}}=\left\{\begin{matrix} -\infty & \textrm{dla} & a\in (0,1) \\ +\infty & \textrm{dla} & a\in (1,\infty) \end{matrix}\right.\] Równości te potwierdzają także wykresy ciągów \(\niebieski{\boldsymbol {a_n=\log_a n}}\) dla \(a\in (0,1)\) oraz dla \(a\in (1,\infty)\).
Rysunek przedstawiający wykres ciągu, gdy a jest liczbą dodatnią mniejszą niż 1.
Rysunek przedstawiający wykres ciągu, gdy podstawa a jest większa niż 1.
Wykresy ciągów \(a_n = \log_a n\)
Zadanie
Korzystając z definicji granicy niewłaściwej ciągu, wykaż, że:
  1. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(1-n^2\right)=-\infty\)

    Musimy pokazać, że \[\bigwedge_{E\in\mathbb{R}}\quad \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\quad \bigwedge_{n\gt n_0}\quad 1-n^2\lt E\] Niech więc \(E\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Przekształcamy w sposób równoważny nierówność \(1-n^2\lt E\) tak, aby wyznaczyć \(n\). \[1-n^2\lt E\ \Big/-1\] \[-n^2\lt E-1\ \Big/\cdot (-1)\] \[n^2\gt 1-E\] Ponieważ \[\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\quad n^2\in\left(0,\infty\right),\] to rozważymy dwa przypadki.

    1. Dla \(1-E\le 0\) (czyli \(E \ge 1\)) nierówność \(n^2\gt 1-E\) jest spełniona dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), dlatego wystarczy wybrać \(n_0=1\).
    2. Dla \(1-E\gt 0\) (czyli \(E \lt 1\)) nierówność \(n^2\gt 1-E\) jest równoważna z nierównością \[n\gt \sqrt{1-E}\] Ponieważ \(\sqrt{1-E}\gt 0\), dlatego wystarczy wybrać \(n_0=\left[\sqrt{1-E}\right]+1\).

    Zatem dla każdego \(E\in\mathbb{R}\) istnieje liczba naturalna \[n_0=\left\{\begin{matrix} \left[\sqrt{1-E}\right]+1 & \textrm{dla} & E\lt 1 \\ 1 & \textrm{dla} & E\ge 1\end{matrix}\right.\] taka, że \[\bigwedge_{n\gt n_0}\quad 1-n^2\lt E,\] a to oznacza, że \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(1-n^2\right)=-\infty,\]co należało udowodnić.

  2. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(\frac{1}{4}\right)^{1-n}=\infty\)

    Musimy pokazać, że \[\bigwedge_{E\in\mathbb{R}}\quad \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\quad \bigwedge_{n\gt n_0}\quad \left(\frac{1}{4}\right)^{1-n}\gt E\] Niech więc \(E\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, to \[\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\quad \left(\frac{1}{4}\right)^{1-n}\gt 0\] Rozważymy więc dwa przypadki.

    1. Dla \(E\le 0\) nierówność \(\left(\frac{1}{4}\right)^{1-n}\gt E\) jest spełniona dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), dlatego wystarczy wybrać \(n_0=1\).
    2. Dla \(E\gt 0\) zapisujemy liczbę \(E\) w postaci potęgi liczby \(1\over4\) i otrzymujemy nierówność równoważną \[\left(\frac{1}{4}\right)^{1-n}\gt \left(\frac{1}{4}\right)^{\log_{\frac{1}{4}}E}\] Opuszczamy podstawę potęgi, zmieniając kierunek nierówności na przeciwny, gdyż \({1\over 4}\lt 1\) \[1-n\lt \log_{\frac{1}{4}}E\ \Big/-1\] \[-n\lt \log_{\frac{1}{4}}E -1\ \Big/\cdot (-1)\] \[n\gt 1-\log_{\frac{1}{4}}E\] W tym przypadku:
      • jeżeli \(1-\log_{\frac{1}{4}}E \lt 1\) (czyli \(E \lt 1\)), to również wystarczy wybrać \(n_0=1\),
      • jeżeli \(1-\log_{\frac{1}{4}}E \ge 1\) (czyli \(E \ge 1\)), to wystarczy wybrać \(n_0=\left[1-\log_{\frac{1}{4}}E\right]+1=\left[-\log_{\frac{1}{4}}E\right]+2\).

    Zatem dla każdego \(E\in\mathbb{R}\) istnieje liczba naturalna \[n_0=\left\{\begin{matrix} \left[-\log_{\frac{1}{4}}E\right]+2 & \textrm{dla} & E\lt 1 \\ 1 & \textrm{dla} & E\ge 1\end{matrix}\right.\] taka, że \[\bigwedge_{n\gt n_0}\quad \left(\frac{1}{4}\right)^{1-n}\gt E,\] a to oznacza, że \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(\frac{1}{4}\right)^{1-n}=\infty,\]co należało udowodnić.

  3. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(2-\sqrt n\right)=-\infty\)

    Musimy pokazać, że \[\bigwedge_{E\in\mathbb{R}}\quad \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\quad \bigwedge_{n\gt n_0}\quad 2-\sqrt n\lt E\] Niech więc \(E\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Przekształcamy w sposób równoważny nierówność \(2-\sqrt n\lt E\) tak, aby wyznaczyć \(n\). \[2-\sqrt n\lt E\ \Big/-2\] \[-\sqrt n\lt E-2\ \Big/\cdot (-1)\] \[\sqrt n\gt 2-E\] Ponieważ \[\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\quad \sqrt n\in\left(0,\infty\right),\] to rozważymy dwa przypadki.

    1. Dla \(2-E\le 0\) (czyli \(E \ge 2\)) nierówność \(\sqrt n\gt 2-E\) jest spełniona dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), dlatego wystarczy wybrać \(n_0=1\).
    2. Dla \(2-E\gt 0\) (czyli \(E \lt 2\)) nierówność \(\sqrt n\gt 2-E\) jest równoważna z nierównością \[n\gt \left(2-E\right)^2\] Ponieważ \(\left(2-E\right)^2\gt 0\), dlatego wystarczy wybrać \(n_0=\left[\left(2-E\right)^2\right]+1=\left[E^2-4E\right]+5\).

    Zatem dla każdego \(E\in\mathbb{R}\) istnieje liczba naturalna \[n_0=\left\{\begin{matrix} \left[E^2-4E\right]+5 & \textrm{dla} & E\lt 2 \\ 1 & \textrm{dla} & E\ge 2\end{matrix}\right.\] taka, że \[\bigwedge_{n\gt n_0}\quad 2-\sqrt n\lt E,\] a to oznacza, że \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(2-\sqrt n\right)=-\infty,\]co należało udowodnić.

  4. \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[3] {n+1}=\infty\)

    Musimy pokazać, że \[\bigwedge_{E\in\mathbb{R}}\quad \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\quad \bigwedge_{n\gt n_0}\quad \sqrt[3] {n+1}\gt E\] Niech więc \(E\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Przekształcamy w sposób równoważny nierówność \(\sqrt[3] {n+1}\gt E\) tak, aby wyznaczyć \(n\). \[\sqrt[3] {n+1}\gt E\] \[n+1\gt E^3\ \Big/-1\] \[n\gt E^3-1\] Zauważmy, że:

    • jeżeli \(E^3-1\lt 1\) (czyli \(E \lt \sqrt[3] 2\)), to również wystarczy wybrać \(n_0=1\),
    • jeżeli \(E^3-1\ge 1\) (czyli \(E \ge \sqrt[3] 2\)), to wystarczy wybrać \(n_0=\left[E^3-1\right]+1=\left[E^3\right]\).

    Zatem dla każdego \(E\in\mathbb{R}\) istnieje liczba naturalna \[n_0=\left\{\begin{matrix} \left[E^3\right] & \textrm{dla} & E\ge \sqrt[3] 2 \\ 1 & \textrm{dla} & E\lt \sqrt[3] 2\end{matrix}\right.\] taka, że \[\bigwedge_{n\gt n_0}\quad \sqrt[3] {n+1}\gt E,\] a to oznacza, że \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[3] {n+1}=\infty,\]co należało udowodnić.

Definicja
Jeżeli ciąg \(\left(a_n\right)\) nie posiada granicy właściwej ani niewłaściwej, to mówimy, że jest rozbieżny.
Przykład

Pokażemy, że ciąg \(a_n=(-1)^n\) jest rozbieżny.

Przyjrzyjmy się wykresowi ciągu \(a_n=(-1)^n\).

Rysunek przedstawiający wykres ciągu w układzie współrzędnych.
Wykres ciągu \(a_n=(-1)^n\)

Widzimy, że ciąg \(\left(a_n\right)\) przyjmuje tylko wartości \(-1\) albo \(1\), więc na pewno nie posiada granicy niewłaściwej. Możemy bowiem wskazać taką liczbę rzeczywistą \(E\) (na przykład \(E=2\)), od której wszystkie wyrazy ciągu \(\left(a_n\right)\) są mniejsze, dlatego \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\neq \infty\] Podobnie możemy wybrać taką liczbę rzeczywistą \(E\) (na przykład \(E=-2\)), od której wszystkie wyrazy ciągu \(\left(a_n\right)\) są większe, dlatego \[\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\neq -\infty\]

Granicą właściwą ciągu \(\left(a_n\right)\) mogłaby zatem być tylko jedna z liczb \(-1\) albo \(1\). Jednak dla każdej z nich możemy znależć taką liczbę dodatnią \(\varepsilon\) (na przykład \(\varepsilon={1\over 2}\)), że co drugi wyraz ciągu \(\left(a_n\right)\) będzie leżał w odległości większej niż \(\varepsilon\) od tej liczby. Zatem granica właściwa ciągu \(\left(a_n\right)\) także nie istnieje.

Skoro ciąg \(\left(a_n\right)\) nie posiada granicy niewłaściwej ani właściwej, to jest rozbieżny.

Uwaga
W sposób analogiczny do powyższego przykładu można udowodnić, że dla \(q\le -1\) ciąg geometryczny \(\left(q^n\right)\) jest rozbieżny.
Podsumowując wszystkie wcześniejsze uwagi na temat granicy ciągu geometrycznego, możemy zapisać następujący fakt.
Fakt
Granica ciągu geometrycznego \(\left(q^n\right)\) jest następująca \[\lim\limits_{n\to\infty}{q^n}= \left\{\begin{array}{lll} 0 & \textrm{dla} & \left|q\right| \lt 1 \\ 1 & \textrm{dla} & q=1 \\ \infty & \textrm{dla} & q\gt 1 \\ \textrm{nie istnieje} & \textrm{dla} & q\le -1 \end{array}\right.\]