Różnica kwadratów
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu
Jeżeli liczba całkowita \(p\not=0\) jest pierwiastkiem wielomianu \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] o współczynnikach całkowitych, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).
Jeżeli liczba całkowita \(p\not=0\) jest pierwiastkiem wielomianu \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] o współczynnikach całkowitych, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu
Jeżeli nieskracalny ułamek \(p\over q\), gdzie \(p,q\in\mathbb{Z}\) i \(q\neq 0\), jest pierwiastkiem wielomianu stopnia \(n\) \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] o współczynnikach całkowitych, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\), a \(q\) jest
dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze \(a_n\).
Jeżeli nieskracalny ułamek \(p\over q\), gdzie \(p,q\in\mathbb{Z}\) i \(q\neq 0\), jest pierwiastkiem wielomianu stopnia \(n\) \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] o współczynnikach całkowitych, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\), a \(q\) jest
dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze \(a_n\).
Twierdzenie Bezouta
Liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P(x)\) taki, że \[W(x) = (x-x_0)P(x),\] czyli wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-x_0\).
Liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P(x)\) taki, że \[W(x) = (x-x_0)P(x),\] czyli wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-x_0\).
Rozkład wielomianu na czynniki
W tym rozdziale omówimy metodę grupowania wyrazów, podstawiania i wyznaczania pierwiastków, które pozwalają rozłożyć wielomian na czynniki.
Podstawą naszych rozważań jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie
Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników liniowych i kwadratowych nierozkładalnych.
Jedną z metod rozkładania wielomianu na iloczyn jest grupowanie jego wyrazów tak, aby można było wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. W niektórych przypadkach można zastosować odpowiednie podstawienie tak, aby wielomian stał się wielomianem kwadratowym, którego postać iloczynowa jest nam już dobrze znana. Przykłady zastosowania tych dwóch metod do rozkładu wielomianu na czynniki znajdują się w poniższym zadaniu.
Zadanie
Rozłóż podany wielomian na czynniki:
-
\(W(x)=x^3-3x^2-4x+12\)Wielomian \(W(x)\) rozkładamy na czynniki, grupując wyrazy. \[ \eqalign{ W(x)&=x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3)=\cr &=(x-3)\left(x^2-4\right)\buildrel{\czerwony{\boldsymbol *}}\over {=}(x-3)(x-2)(x+2)\cr } \] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
-
\(W(x)=x^4+8x^2+7\)Zauważmy, że wielomian \(W(x)\) przyjmuje tylko wartości dodatnie. Zatem nie posiada pierwiastków rzeczywistych. Po podstawieniu \(x^2=t\) wielomian \(W(x)\) przyjmie postać trójmianu kwadratowego \(Q(t)=t^2+8t+7\). Ponieważ \(\Delta=36\), to pierwiastkami \(Q(t)\) są: \[ t_1=-1, \quad t_2=-7 \] Zatem wielomian \(Q(t)\) można zapisać w postaci iloczynowej \[ Q(t)=(t+1)(t+7) \] Ponieważ \(t=x^2\), to \[ W(x)=\left(x^2+1\right)\left(x^2+7\right), \] gdzie wielomiany \(x^2+1\) oraz \(x^2+7\) są nierozkładalne.
-
\(W(x)=x^5-x^4+5x^3-5x^2+6x-6\)Rozkład wielomianu \(W(x)\) na czynniki zaczniemy od pogrupowania jego wyrazów. \[ \eqalignno{ W(x)&=x^5-x^4+5x^3-5x^2+6x-6=\cr &=x^4(x-1)+5x^2(x-1)+6(x-1)=\cr &=(x-1)\left(x^4+5x^2+6\right)\cr } \] Zauważmy, że wielomian \(W_1(x)= x^4+5x^2+6\) przyjmuje tylko wartości dodatnie. Zatem nie posiada pierwiastków rzeczywistych. Po podstawieniu \(x^2=t\) wielomian \(W_1(x)\) przyjmie postać trójmianu kwadratowego \(Q(t)=t^2+5t+6\). Ponieważ \(\Delta=1\), to pierwiastkami \(Q(t)\) są: \[t_1=-2, \quad t_2=-3 \] Zatem wielomian \(Q(t)\) można zapisać w postaci iloczynowej \[ Q(t)=(t+2)(t+3) \] Ponieważ \(t=x^2\), to \[ W_1(x)=\left(x^2+2\right)\left(x^2+3\right) \] i ostatecznie \[ W(x)=(x-1)\left(x^2+2\right)\left(x^2+3\right),\] gdzie wielomiany \(x^2+2\) oraz \(x^2+3\) są nierozkładalne.
Kolejną metodą rozkładania wielomianu na iloczyn jest znalezienie jednego z jego pierwiastków całkowitych lub wymiernych i skorzystanie z twierdzenia Bezouta. Przykłady wykorzystania tej metody rozkładu wielomianu na czynniki znajdują się w poniższym zadaniu.
Zadanie
Rozłóż podany wielomian na czynniki:
-
\(W(x)=x^4 +2x^3 -x^2 + 4x + 12\)Ponieważ współczynniki wielomianu \(W(x)\) są liczbami całkowitymi, to zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach całkowitych takich pierwiastków wielomianu \(W(x)\) należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby \(12\) to: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), \(3\), \(-3\), \(4\), \(-4\), \(6\), \(-6\), \(12\), \(-12\). Ponieważ: \[ \eqalign{ &W(1)=1+2-1+4+12\neq 0 \cr &W(-1)=1-2-1-4+12\neq 0 \cr &W(2)=16+16-4+8+12\neq 0 \cr &\zielony{\boldsymbol{W(-2)=16-16-4-8+12 = 0}}, \cr } \] to \(-2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) i zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x+2\). Podzielimy wielomiany, wykorzystując schemat Hornera.
Zatem wielomian \(W(x)\) można zapisać w postaci \[ W(x)=(x+2)\left( x^3-x+6 \right) \] Nie jest to ostateczny rozkład na czynniki wielomianu \(W(x)\), dlatego oznaczamy przez \(W_1(x)\) wielomian \(x^3-x+6\). Dzielniki wyrazu wolnego tego wielomianu to: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), \(3\), \(-3\), \(6\), \(-6\). Sprawdziliśmy wcześniej, że \(W(1)\neq 0\), \(W(-1)\neq 0\) i \(W(2)\neq 0\), więc \(1\), \(-1\) i \(2\) nie mogą być pierwiastkami wielomianu \(W_1(x)\). Sprawdzamy zatem, jako pierwszą, liczbę \(-2\). Skoro \[ \zielony{\boldsymbol{W_1(-2)=-8+2+6=0}}, \] to \(-2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W_1(x)\), a zarazem pierwiastkiem podwójnym wielomianu \(W(x)\). Korzystamy ze schematu Hornera.\(1\) \(2\) \(-1\) \(4\) \(12\) \(-2\) \(1\) \(0\) \(-1\) \(6\) \(0\)
Zatem \[ W(x)=(x+2)^2\left( x^2-2x+3 \right), \] co kończy rozkład na czynniki wielomianu \(W(x)\), ponieważ trójmian kwadratowy \(x^2-2x+3\) jest nierozkładalny \(\left(\Delta=-8<0\right)\).\(1\) \(0\) \(-1\) \(6\) \(-2\) \(1\) \(-2\) \(3\) \(0\) -
\(W(x)=x^3 - x^2 + 3x -10\)Ponieważ współczynniki wielomianu \(W(x)\) są liczbami całkowitymi, to zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach całkowitych takich pierwiastków wielomianu \(W(x)\) należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby \(10\) to: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), \(5\), \(-5\), \(10\), \(-10\). Ponieważ: \[ \eqalign{ &W(1)=1-1+3-10\neq 0 \cr &W(-1)=-1-1-3-10\neq 0 \cr &\zielony{\boldsymbol{W(2)=8-4+6-10 = 0}}, \cr } \] więc \(2\) jest pierwszym znalezionym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) i zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-2\). Podzielimy wielomiany, wykorzystując schemat Hornera.
Zatem wielomian \(W(x)\) można zapisać w postaci \[ W(x)=(x-2)\left( x^2+x+5 \right), \] co kończy rozkład na czynniki wielomianu \(W(x)\), ponieważ trójmian kwadratowy \(x^2+x+5\) jest nierozkładalny \(\left(\Delta=-19<0\right)\).\(1\) \(-1\) \(3\) \(-10\) \(2\) \(1\) \(1\) \(5\) \(0\) -
\(W(x)=x^5 - 3x^4 + 3x^3 - 9x^2 - 4x + 12\)Ponieważ współczynniki wielomianu \(W(x)\) są liczbami całkowitymi, to pierwiastków całkowitych wielomianu \(W(x)\) należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby \(12\) to: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), \(3\), \(-3\), \(4\), \(-4\), \(6\), \(-6\), \(12\), \(-12\). Ponieważ \[ \zielony{\boldsymbol{W(1)=1-3+3-9-4+12=0}}, \] więc \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) i wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-1\). Podzielimy wielomiany.
Zatem wielomian \(W(x)\) można zapisać w postaci \[ W(x)=(x-1)\left( x^4-2x^3+x^2-8x-12 \right) \] Oznaczamy przez \(W_1(x)\) wielomian \(x^4-2x^3+x^2-8x-12\) i szukamy jego postaci iloczynowej. Dzielniki wyrazu wolnego tego wielomianu to: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), \(3\), \(-3\), \(4\), \(-4\), \(6\), \(-6\), \(12\), \(-12\). Ponieważ: \[ \eqalign{ &W_1(1)= 1-2+1-8-12\neq 0 \cr &\zielony{\boldsymbol{W_1(-1)= 1+2+1+8-12=0}}, \cr } \] to \(-1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W_1(x)\), a zarazem kolejnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\). Korzystamy ze schematu Hornera.\(1\) \(-3\) \(3\) \(-9\) \(-4\) \(12\) \(1\) \(1\) \(-2\) \(1\) \(-8\) \(-12\) \(0\)
Zatem \[ W(x)=(x-1)(x+1)\left( x^3-3x^2+4x-12 \right) \] Oznaczamy przez \(W_2(x)\) wielomian \(x^3-3x^2+4x-12\) i szukamy jego pierwiastka wśród dzielników wyrazu wolnego: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), \(3\), \(-3\), \(4\), \(-4\), \(6\), \(-6\), \(12\), \(-12\). Ponieważ sprawdziliśmy wcześniej, że \(W(1)\neq 0\), dlatego liczba \(1\) nie może być też pierwiastkiem wielomianu \(W_2(x)\). Dodatkowo zauważmy, że dla \(x<0\) mamy \(W_2(x)<0\), zatem wystarczy wziąć pod uwagę tylko dodatnie dzielniki wyrazu wolnego. Zaczniemy więc sprawdzanie od liczby \(2\). Ponieważ: \[ \eqalignno{ &W_2(2)= 8-12+8 -12\neq 0 \cr &\zielony{\boldsymbol{W_2(3)= 27-27+12-12=0}}, \cr } \] to \(3\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W_2(x)\), a zarazem kolejnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\). Korzystamy ze schematu Hornera.\(1\) \(-2\) \(1\) \(-8\) \(-12\) \(-1\) \(1\) \(-3\) \(4\) \(-12\) \(0\)
Zatem \[ W(x)=(x-1)(x+1)(x-3)\left( x^2+4 \right), \] co kończy rozkład na czynniki wielomianu \(W(x)\), ponieważ trójmian kwadratowy \(x^2+4\) jest nierozkładalny \(\left(\Delta=-16<0\right)\).\(1\) \(-3\) \(4\) \(-12\) \(3\) \(1\) \(0\) \(4\) \(0\)