Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Funkcja sinus przyjmuje wartość \(0\) dla \(x=k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), więc \[2x+4=k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] \[2x=-4+k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Ostatecznie rozwiązaniami równania \(\sin (2x+4)= 0\) są \[x=-2+{k\over 2}\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponieważ \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), więc równanie możemy zapisać w równoważnej postaci \[\sin x =1\] Funkcja sinus przyjmuje wartość \(1\) dla \[x={\pi\over 2}+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Przekształcamy lewą stronę równania, korzystając ze wzoru na sumę sinusów \[2\sin {6x+2x\over 2}\cos {6x-2x\over 2}=0\] \[2\sin 4x\cos 2x=0\] Zatem \[\sin 4x=0\quad \vee \quad \cos 2x=0\] Rozwiążemy najpierw równanie \(\cos 2x=0\). Funkcja cosinus przyjmuje wartość zero dla \({\pi\over 2}+k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), więc \[2x={\pi\over 2}+k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] \[x={\pi\over 4}+k{\pi\over 2},\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Następnie rozwiązujemy równanie \(\sin 4x=0\). Miejsca zerowe funkcji sinus mają postać \(k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), zatem \[4x=k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] \[x=k{\pi\over4},\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Zauważmy, że jeżeli \(k\) jest liczbą nieparzystą, tzn. \(k=2p+1\), gdzie \(p\in\mathbb{Z}\), to \[k{\pi\over4}=(2p+1){\pi\over4}=2p{\pi\over4}+{\pi\over4}=p{\pi\over2}+{\pi\over4}, \quad \text{gdzie} \quad p\in\mathbb{Z}\] Oznacza to, że rozwiązania równania \(\cos 2x=0\) są też rozwiązaniami równania \(\sin 4x=0\). Ostatecznie rozwiązania równania \(\sin 6x +\sin 2x=0\) możemy zapisać w postaci \[x=k{\pi\over4},\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Przekształcamy prawą stronę równania, korzystając ze wzoru na różnicę cosinusów \[2\sin 2x= -2 \sin {7x+3x\over 2}\sin {7x-3x\over 2}\] \[2\sin 2x= -2 \sin 5x \sin 2x \ /:2\] \[\sin 2x= - \sin 5x \sin 2x\] \[\sin 2x+\sin 5x \sin 2x=0\] Zapisujemy równanie w postaci iloczynowej, wyciągając wspólny czynnik \(\sin 2x\) przed nawias \[(1+\sin 5x )\sin 2x=0\] \[\quad\sin 2x=0\quad \vee \quad 1+\sin 5x=0\] \[\sin 2x=0\quad \vee \quad \sin 5x=-1\] Rozwiążemy najpierw równanie \(\sin 2x=0\). Funkcja sinus przyjmuje wartość zero dla \(k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), zatem \[2x=k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] \[x=k{\pi\over 2},\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Następnie rozwiązujemy równanie \(\sin 5x=-1\). Funkcja sinus przyjmuje wartość \(-1\) dla \({3\over 2}\pi+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), zatem \[5x={3\over 2}\pi+2k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] \[x={3\over 10}\pi +{2\over 5}k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Ostatecznie rozwiązania równania \(2\sin 2x = \cos 7x -\cos 3x\) to \[x=k{\pi\over 2}\quad \vee \quad x={3\over 10}\pi +{2\over 5}k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Przekształcamy lewą stronę równania, wykorzystując wzór na sinus podwojonego kąta \[2\sin x -2\sin x\cos x=0\] \[2\sin x(1- \cos x)=0 \ /:2\] \[\sin x(1- \cos x)=0 \] \[\sin x=0\quad \vee \quad 1- \cos x=0 \] \[\sin x=0\quad \vee \quad \cos x=1\] Rozwiązaniem równania \(\sin x=0\) są miejsca zerowe funkcji \(y=\sin x\), tzn. \[x=k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Rozwiązanie równania \(\cos x=1\) to \[x=2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Możemy zauważyć, że rozwiązania równania \(\cos x=1\) są też rozwiązaniami równania \(\sin x=0\), więc rozwiązania równania \(2\sin x - \sin 2x=0\) to \[x=k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Po podstawieniu za \(t=\sin x\), gdzie \(t\in \left<-1,1\right>\), otrzymujemy równanie kwadratowe \[t^2-t-2=0,\] którego rozwiązaniami są \(t_1=2\) i \(t_2=-1\). Ponieważ \(t=\sin x\) i \(t\in \left<-1,1\right>\), więc odrzucamy rozwiązanie \(t_1=2\) i otrzymujemy równanie \[\sin x=-1 \] Rozwiązania równania \(\sin x=-1\) mają postać \[x={3\over 2}\pi+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i zastępujemy \(\sin^2 x\) wyrażeniem \(1-\cos^2 x\) \[\cos x +1 - 2(1-\cos^2 x)=0\] \[\cos x +1 -2+ 2\cos^2 x=0\] \[2\cos^2 x+ \cos x -1=0\] Po podstawieniu za \(t=\cos x\), gdzie \(t\in \left<-1,1\right>\), otrzymujemy równanie kwadratowe \[2t^2+t-1=0,\] którego rozwiązaniami są \(t_1={1\over 2}\) i \(t_2=-1\) Ponieważ \(t=\sin x\) i \(t\in \left<-1,1\right>\), więc mamy jeszcze do rozwiązania dwa równania \[\cos x={1\over 2}\quad \text{oraz} \quad \cos x=-1 \] Rozwiążemy najpierw równanie \(\cos x={1\over 2}\). Rysujemy wykresy funkcji \(y={1\over 2}\) oraz \(y=\cos x\) Wiemy, że \({1\over 2}=\cos{\pi\over 3}\). Rozwiązania równania \(\cos x= {1\over 2}\) leżą w ćwiartce I lub IV, więc mają postać \[x={\pi\over 3} +2k\pi \quad \vee \quad x=2\pi - {\pi\over 3}+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Stąd \[x={\pi\over 3} +2k\pi \quad \vee \quad x={5\over 3}\pi+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Następnie rozwiązujemy równanie \(\cos x=-1\). Jego rozwiązania mają postać \[x=\pi+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Ostatecznie rozwiązania równania \(\cos x +1 - 2\sin^2 x=0\) to \[x={\pi\over 3} +2k\pi \quad \vee \quad x={5\over 3}\pi+ 2k\pi \quad \vee \quad x=\pi+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\]