Dziedziną równania jest zbiór \(D=\left<-1,1\right>\). Ponieważ funkcja arcus sinus przyjmuje tylko wartości ze zbioru \(\left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\), a \(5\notin \left<-1,1\right>\), to równanie jest sprzeczne.

Dziedzinę równania wyznaczamy z warunku \[ D:\quad -1\leq 5-x \leq 1 \] \[ \quad\quad\quad -6\leq -x \leq -4 \] \[ \quad\quad 6\geq x \geq 4 \] Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=\left<4,6\right>\). Ponieważ \({\pi\over 3}\in\left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right> \), to równanie nie jest sprzeczne. Z definicji funkcji arcus sinus wynika, że skoro \(\arcsin(5-x)=\frac{\pi}{3}\), to \[ 5-x=\sin {\pi\over 3}\]\[ 5-x={\sqrt{3}\over 2} \] \[ x=5-{\sqrt{3}\over 2} \] Pozostaje jeszcze sprawdzić, czy \(5-{\sqrt{3}\over 2}\) należy do dziedziny równania. Ponieważ \(\sqrt{3}\in(1,2)\), to \({\sqrt{3}\over 2}\in\left({1\over 2},1\right)\) i \(5-{\sqrt{3}\over 2}\in\left(4,4{1\over 2}\right)\subset D\). Zatem rozwiązaniem równania \(\arcsin (5-x)={\pi\over 3}\) jest \(x=5-{\sqrt{3}\over 2}\).

Dziedzinę równania wyznaczamy z warunku \[ D:\quad -1\leq x^2\leq 1 \] Zatem \(D=\left<-1,1\right>\). Z definicji funkcji arcus cosinus wynika, że skoro \(\arccos x^2={\pi\over 2}\), to \[ \quad x^2=\cos {\pi\over 2} \] \[ x^2=0\quad \] \[ x=0 \quad \wedge\quad x\in D \] Zatem rozwiązaniem równania \(\arccos x^2={\pi\over 2}\) jest \(x=0\).

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Z definicji funkcji arcus tangens wynika, że skoro \(\text{arctg}\, 4^{x-1}={\pi\over 4}\), to \[ 4^{x-1}=\text{tg}\, {\pi\over 4} \] \[ 4^{x-1}=1 \] \[ 4^{x-1}=4^0 \] Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc możemy opuścić podstawę \[ x-1=0 \] \[ x=1\quad \wedge\quad 1\in D \] Zatem rozwiązaniem równania \(\text{arctg}\, 4^{x-1}={\pi\over 4}\) jest \(x=1\).

Dziedziną równania jest zbiór \(D=(0,\infty)\), gdyż argumentem logarytmu może być tylko liczba dodatnia. Z definicji funkcji arcus cotangens wynika, że skoro \(\text{arcctg}\, (\log_2 x)={\pi\over 4}\), to \[ \log_2 x=\text{ctg}\, {\pi\over 4} \] \[ \log_2 x=1\qquad \] \[ \log_2 x=\log_2 2 \] Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa, więc możemy porównać argumenty logarytmów \[ x=2\quad \wedge\quad 2\in D \] Zatem rozwiązaniem równania \(\text{arcctg}\, (\log_2 x)={\pi\over 4}\) jest \(x=2\).

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\left<-1,1\right>\). Ponieważ \(\arcsin x+\arccos x={\pi\over 2}\), to równanie możemy przekształcić następująco \[ 3\arcsin x+\arccos x=0 \] \[ 2\arcsin x + \arcsin x +\arccos x=0 \] \[ 2\arcsin x + {\pi\over 2}=0 \] \[ \quad\quad 2\arcsin x =- {\pi\over 2}\ /:2 \] \[ \arcsin x =- {\pi\over 4} \] Z definicji funkcji arcus sinus wynika, że \[ x =\sin\left( -{\pi\over 4}\right) \] Z uwagi na nieparzystości funkcji sinus otrzymujemy \[ x =-\sin{\pi\over 4} \] \[ x =-{\sqrt{2}\over 2} \] Ponieważ \(-{\sqrt{2}\over 2}\in D\), dlatego rozwiazaniem równania jest \(x=-{\sqrt{2}\over 2}\).

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left<-1,1\right>\). Ponieważ funkcja arcus cosinus przyjmuje tylko wartości ze zbioru \(\left<0,\pi\right>\), czyli wartości mniejsze od \(7\), to nierówność jest sprzeczna.

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left<-1,1\right>\). Ponieważ funkcja arcus sinus przyjmuje tylko wartości ze zbioru \(\left<-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right>\), czyli wartości mniejsze od \(4\), to nierówność jest spełniona dla każdego \(x\in \left<-1,1\right>\).

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left<-1,1\right>\). Ponieważ z własności funkcji cyklometrycznych wynika, że \({3\over 4}\pi=\arccos \left(\cos{3\over 4}\pi\right)\), to nierówność możemy zapisać w postaci \[ \arccos x\leq \arccos \left(\cos{3\over 4}\pi\right) \] Funkcja \(y=\arccos x\) jest funkcją malejącą, dlatego opuszczając ją, zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny \[ x\geq\cos{3\over 4}\pi \] Korzystamy ze wzoru redukcyjnego i otrzymujemy \[ x\geq\cos\left(\pi-{\pi\over 4}\right) \] \[ x\geq -\cos{\pi\over 4} \] \[ x\geq -{\sqrt{2}\over 2} \] Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy rozwiązanie nierówności \[ x\in\left< -{\sqrt{2}\over 2},1\right> \]

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\left<-1,1\right>\). Ponieważ z własności funkcji cyklometrycznych wynika, że \({\pi\over 6}=\arcsin \left(\sin{\pi\over 6}\right)\), to nierówność możemy zapisać w postaci \[ \arcsin x<\arcsin \left(\sin{\pi\over 6}\right) \] \[ \arcsin x<\arcsin{1\over 2} \] Funkcja \(y=\arcsin x\) jest funkcją rosnącą, dlatego opuszczając ją, nie zmieniamy kierunku nierówności \[ x<{1\over 2} \] Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy rozwiązanie nierówności \[ x\in\left<-1,{1\over 2}\right) \]

Ponieważ dziedziną funkcji arcus cosinus jest zbiór \(\left<-1,1\right>\), więc argument \(2x-1\) musi spełniać warunek \[ D:\quad -1\leq 2x-1\leq 1 \quad \Longleftrightarrow\quad 0\leq 2x\leq 2 \quad \Longleftrightarrow\quad 0\leq x\leq 1 \] Dziedziną nierówności jest więc zbiór \(D=\left<0,1\right>\). Podzielimy obie strony nierówności przez \(3\) \[ \quad 3\arcsin(2x-1)<\pi \ /:3 \] \[ \arcsin (2x-1)<{\pi\over 3} \] Ponieważ z własności funkcji cyklometrycznych wynika, że \({\pi\over 3}=\arcsin \left(\sin{\pi\over 3}\right)\), dlatego nierówność możemy zapisać w postaci \[ \arcsin (2x-1)<\arcsin \left(\sin{\pi\over 3}\right) \] \[ \arcsin (2x-1)<\arcsin{\sqrt{3}\over 2} \] Funkcja \(y=\arcsin x\) jest funkcją rosnącą, dlatego opuszczając ją, nie zmieniamy kierunku nierówności \[ 2x-1<{\sqrt{3}\over 2} \] \[ \qquad 2x<1+{\sqrt{3}\over 2}\ /:2 \] \[ x<{2+\sqrt{3}\over 4} \] Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy rozwiązanie nierówności \[ x\in\left<0,{2+\sqrt{3}\over 4}\right) \]

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponieważ \(\mathrm{arctg}\, 5x + \mathrm{arcctg}\, 5x={\pi\over 2}\), dlatego możemy przekształcić nierówność w następujący sposób \[ 5\mathrm{arctg}\, 5x + \mathrm{arctg}\, 5x >{3\over 2}\pi \] \[ 4\mathrm{arctg}\, 5x +\mathrm{arctg}\, 5x + \mathrm{arctg}\, 5x >{3\over 2}\pi \] \[ 4\mathrm{arctg}\, 5x +{\pi\over 2} >{3\over 2}\pi \] \[ 4\mathrm{arctg}\, 5x >\pi \] Podzielimy obie strony nierówności przez \(4\) \[ \quad 4\mathrm{arctg}\, 5x>\pi \ /:4 \] \[ \mathrm{arctg}\, 5x>{\pi\over 4} \] Ponieważ z własności funkcji cyklometrycznych wynika, że \({\pi\over 4}=\mathrm{arctg}\, \left(\mathrm{tg}\,{\pi\over 4}\right)\), dlatego nierówność możemy zapisać w postaci \[ \mathrm{arctg}\, 5x>\mathrm{arctg}\, \left(\mathrm{tg}\,{\pi\over 4}\right) \] \[ \mathrm{arctg}\, 5x>\mathrm{arctg}\, 1 \] Funkcja \(y=\mathrm{arctg}\, x\) jest funkcją rosnącą, dlatego opuszczając ją, nie zmieniamy kierunku nierówności \[ \quad 5x>1\ /:5 \] \[ x>{1\over 5} \] Zatem rozwiązaniem nierówności jest \[ x\in\left({1\over 5},\infty\right) \]

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponieważ z własności funkcji cyklometrycznych wynika, że \({\pi\over 6}=\mathrm{arcctg}\, \left(\mathrm{ctg}\,{\pi\over 6}\right)\), dlatego nierówność możemy zapisać w postaci \[ \mathrm{arcctg}\, (x-2)\geq\mathrm{arcctg}\, \left(\mathrm{ctg}\,{\pi\over 6}\right) \] \[ \mathrm{arcctg}\, (x-2)\geq\mathrm{arcctg}\, \sqrt{3} \] Funkcja \(y=\mathrm{arcctg}\, x\) jest funkcją malejącą, dlatego opuszczając ją, zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny \[ x-2\leq \sqrt{3} \] \[ x\leq \sqrt{3} +2 \] Zatem rozwiązaniem nierówności jest \[ x\in\left(-\infty,\sqrt{3} +2\right> \]