Definicje i wykresy funkcji cyklometrycznych

Znamy już funkcje trygonometryczne i wiemy, że są one funkcjami okresowymi, nie są więc różnowartościowe. Oznacza to, że nie mają one funkcji odwrotnych na całej swojej dziedzinie. Rozważmy jednak obcięcia funkcji trygonometrycznych do odpowiednich przedziałów.
  1. Funkcję sinus obcinamy do przedziału \(\left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\) i otrzymujemy \[ \sin\left\vert_{\left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>}\right. :\ \left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right> \longrightarrow \left<-1,1\right> \]
    Funkcja sinus obcięta do przedziału domkniętego od minus pi/2 do pi/2.
    Wykres funkcji \(y=\sin x\left\vert_{\left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>}\right.\)
  2. Funkcję cosinus obcinamy do przedziału \(\left<0, \pi \right>\) i otrzymujemy \[ \cos\left\vert_{\left<0, \pi \right>}\right. :\ \left<0, \pi \right> \longrightarrow \left<-1,1\right> \]
    Funkcja cosinus obcięta do przedziału domkniętego od 0 do pi.
    Wykres funkcji \(y=\cos x\left\vert_{\left<0, \pi \right>}\right.\)
  3. Funkcję tangens obcinamy do przedziału \(\left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right)\) i otrzymujemy \[ \mathrm{tg}\, \left\vert_{\left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right)}\right. :\ \left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right) \longrightarrow \mathbb{R} \]
    Funkcja tangens obcięta do przedziału otwartego od minus pi/2 do pi/2.
    Wykres funkcji \(y=\mathrm{tg}\, x\left\vert_{\left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right)}\right.\)
  4. Funkcję cotangens obcinamy do przedziału \(\left(0, \pi\right)\) i otrzymujemy \[ \mathrm{ctg}\, \left\vert_{\left(0, \pi\right)} \right. :\ \left(0, \pi\right) \longrightarrow \mathbb{R}\quad\quad\quad \]
    Funkcja cotangens obcięta do przedziału otwartego od )do pi.
    Wykres funkcji \(y=\mathrm{ctg}\, x\left\vert_{\left(0, \pi\right)} \right.\)
Obcięcia te są wzajemnie jednoznaczne, więc są odwracalne. Funkcje odwrotne do obciętych funkcji trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi (kołowymi).
Definicja
Funkcją arcus sinus nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\sin\left\vert_{\left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>}\right.\) i oznaczamy przez \(\arcsin\). Zatem \[ \arcsin :\ \left<-1,1\right> \longrightarrow \left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right> \quad \text{oraz} \quad y=\arcsin x \ \Longleftrightarrow\ x=\sin y \]
Wykres funkcji arcus sinus.
Wykres funkcji \(y=\arcsin x\)
Dziedziną funkcji \(y=\arcsin x\) jest zbiór \(D_f= \left<-1,1\right>\), a zbiorem jej wartości jest zbiór \(W_f=\left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\). Miejscem zerowym tej funkcji jest \(x_0=0\). Arcus sinus jest funkcją rosnącą i ograniczoną. Jest również funkcją nieparzystą, co oznacza, że \[\bigwedge_{x\in\left<-1,1\right>}\quad\arcsin(-x)=-\arcsin x\]
Przykład

Obliczymy wartości funkcji arcus sinus:

  • \(\arcsin {1\over 2}={\pi \over 6}\), ponieważ \(\sin {\pi \over 6}={1\over 2}\) i \({\pi \over 6}\in \left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\)
  • \(\arcsin {\sqrt{2}\over 2}={\pi \over 4}\), ponieważ \(\sin {\pi \over 4}={\sqrt{2}\over 2}\) i \({\pi \over 4}\in \left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\)
  • \(\arcsin {\sqrt{3}\over 2}={\pi \over 3}\), ponieważ \(\sin {\pi \over 3}={\sqrt{3}\over 2}\) i \({\pi \over 3}\in \left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\)
  • \(\arcsin 0=0\), ponieważ \(\sin 0=0\) i \(0\in \left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\)
  • \(\arcsin 1={\pi \over 2}\), ponieważ \(\sin {\pi \over 2}=1\) i \({\pi \over 2}\in \left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\)
  • \(\arcsin (-1)=-\arcsin 1 = -{\pi \over 2}\) i \(-{\pi \over 2}\in \left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\)
  • \(\arcsin \left(-{1\over 2}\right)=-\arcsin {1\over 2}=-{\pi \over 6}\) i \(-{\pi \over 6}\in \left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\)
  • \(\arcsin \left(-{\sqrt{2}\over 2}\right)=-\arcsin {\sqrt{2}\over 2}=-{\pi \over 4}\) i \(-{\pi \over 4}\in \left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\)
  • \(\arcsin \left(-{\sqrt{3}\over 2}\right)=-\arcsin {\sqrt{3}\over 2}=-{\pi \over 3}\) i \(-{\pi \over 3}\in \left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\)
Definicja
Funkcją arcus cosinus nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\cos\left\vert_{\left<0, \pi \right>}\right.\) i oznaczamy przez \(\arccos\). Zatem \[ \arccos :\ \left<-1,1\right> \longrightarrow \left<0, \pi \right> \quad \text{oraz}\quad y=\arccos x \ \Longleftrightarrow\ x=\cos y \]
Wykres funkcji arcus cosinus.
Wykres funkcji \(y=\arccos x\)
Dziedziną funkcji \(y=\arccos x\) jest zbiór \(D_f= \left<-1,1\right>\), a zbiorem jej wartości jest zbiór \(W_f=\left<0,\pi\right>\). Miejscem zerowym tej funkcji jest \(x_0=1\). Arcus cosinus jest funkcją malejącą i ograniczoną. Nie jest funkcją parzystą ani nieparzystą. Można jednak zauważyć, że \[\bigwedge_{x\in \left<-1,1\right>}\quad\arccos (-x)=\pi-\arccos x\]
Przykład

Obliczymy wartości funkcji arcus cosinus:

  • \(\arccos {1\over 2}={\pi \over 3}\), ponieważ \(\cos {\pi \over 3}={1\over 2}\) i \({\pi \over 3}\in \left<0,\pi \right>\)
  • \(\arccos {\sqrt{2}\over 2}={\pi \over 4}\), ponieważ \(\cos {\pi \over 4}={\sqrt{2}\over 2}\) i \({\pi \over 4}\in \left<0,\pi \right>\)
  • \(\arccos {\sqrt{3}\over 2}={\pi \over 6}\), ponieważ \(\cos {\pi \over 6}={\sqrt{3}\over 2}\) i \({\pi \over 6}\in \left<0,\pi \right>\)
  • \(\arccos 0={\pi\over 2}\), ponieważ \(\cos {\pi\over 2}=0\) i \({\pi\over 2}\in \left<0,\pi \right>\)
  • \(\arccos 1=0\), ponieważ \(\cos 0=1\) i \(0\in \left<0,\pi \right>\)
  • \(\arccos (-1)=\pi-\arccos 1 = \pi-0=\pi\) i \(\pi\in \left<0,\pi \right>\)
  • \(\arccos \left(-{1\over 2}\right)=\pi-\arccos {1\over 2}=\pi-{\pi \over 3}={2 \over 3}\pi\) i \({2 \over 3}\pi\in \left<0,\pi \right>\)
  • \(\arccos \left(-{\sqrt{2}\over 2}\right)=\pi-\arccos {\sqrt{2}\over 2}=\pi-{\pi \over 4}={3 \over 4}\pi\) i \({3 \over 4}\pi\in \left<0,\pi \right>\)
  • \(\arccos \left(-{\sqrt{3}\over 2}\right)=\pi-\arccos {\sqrt{3}\over 2}=\pi-{\pi \over 6}={5 \over 6}\pi\) i \({5 \over 6}\pi\in \left<0,\pi \right>\)
Definicja
Funkcją arcus tangens nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\mathrm{tg}\, \left\vert_{\left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right)}\right.\) i oznaczamy przez \(\hbox{arctg}\). Zatem \[ \mathrm{arctg}\, :\ \mathbb{R} \longrightarrow \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right) \quad \text{oraz}\quad y=\mathrm{arctg}\, x \ \Longleftrightarrow\ x=\mathrm{tg}\, y \]
Wykres funkcji arcus tangens.
Wykres funkcji \(y=\mathrm{arctg}\, x\)
Dziedziną funkcji \(y=\mathrm{arctg}\, x\) jest zbiór \(D_f= \mathbb{R}\), a zbiorem jej wartości jest zbiór \(W_f=\left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\). Miejscem zerowym tej funkcji jest \(x_0=0\). Arcus tangens jest funkcją rosnącą i ograniczoną. Jest również funkcją nieparzystą, co oznacza, że \[\bigwedge_{x\in \mathbb{R}}\quad\mathrm{arctg}\, (-x)=-\mathrm{arctg}\, x\]
Przykład

Obliczymy wartości funkcji arcus tangens:

  • \(\mathrm{arctg}\, {\sqrt{3}\over 3}={\pi \over 6}\), ponieważ \(\mathrm{tg}\, {\pi \over 6}={\sqrt{3}\over 3}\) i \({\pi \over 6}\in \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\)
  • \(\mathrm{arctg}\, 1={\pi \over 4}\), ponieważ \(\mathrm{tg}\, {\pi \over 4}=1\) i \({\pi \over 4}\in \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\)
  • \(\mathrm{arctg}\, \sqrt{3}={\pi \over 3}\), ponieważ \(\mathrm{tg}\, {\pi \over 3}=\sqrt{3}\) i \({\pi \over 3}\in \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\)
  • \(\mathrm{arctg}\, 0=0\), ponieważ \(\mathrm{tg}\, 0=0\) i \(0\in \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\)
  • \(\mathrm{arctg}\, (-1)=-\mathrm{arctg}\, 1 = -{\pi \over 4}\) i \(-{\pi \over 4}\in \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\)
  • \(\mathrm{arctg}\, \left(-{\sqrt{3}\over 3}\right)=-\mathrm{arctg}\, {\sqrt{3}\over 3}=-{\pi \over 6}\) i \(-{\pi \over 6}\in \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\)
  • \(\mathrm{arctg}\, \left(-\sqrt{3}\right)=-\mathrm{arctg}\, \sqrt{3}=-{\pi \over 3}\) i \(-{\pi \over 3}\in \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\)
Definicja
Funkcją arcus cotangens nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\mathrm{ctg}\, \left\vert_{\left(0, \pi\right)}\right.\) i oznaczamy przez \(\hbox{arcctg}\). Zatem \[ \mathrm{arcctg}\, :\  \mathbb{R} \longrightarrow \left(0, \pi\right) \quad \text{oraz}\quad y=\mathrm{arcctg}\, x \ \Longleftrightarrow\ x=\mathrm{ctg}\, y \]
Wykres funkcji arcus cotangens.
Wykres funkcji \(y=\mathrm{arcctg}\, x\)
Dziedziną funkcji \(y=\mathrm{arcctg}\, x\) jest zbiór \(D_f= \mathbb{R}\), a zbiorem jej wartości jest zbiór \(W_f=\left(0,\pi\right)\). Funkcja ta nie posiada miejsc zerowych. Arcus cotangens jest funkcją malejącą i ograniczoną. Nie jest funkcją parzystą ani nieparzystą. Można jednak zauważyć, że \[\bigwedge_{x\in \mathbb{R}}\quad\mathrm{arcctg}\, (-x)=\pi-\mathrm{arcctg}\, x\]
Przykład

Obliczymy wartości funkcji arcus cotangens:

  • \(\mathrm{arcctg}\, {\sqrt{3}\over 3}={\pi \over 3}\), ponieważ \(\mathrm{ctg}\, {\pi \over 3}={\sqrt{3}\over 3}\) i \({\pi \over 3}\in \left(0,\pi \right)\)
  • \(\mathrm{arcctg}\, 1={\pi \over 4}\), ponieważ \(\mathrm{ctg}\, {\pi \over 4}=1\) i \({\pi \over 4}\in \left(0,\pi \right)\)
  • \(\mathrm{arcctg}\, \sqrt{3}={\pi \over 6}\), ponieważ \(\mathrm{ctg}\, {\pi \over 6}=\sqrt{3}\) i \({\pi \over 6}\in \left(0,\pi \right)\)
  • \(\mathrm{arcctg}\, 0={\pi\over 2}\), ponieważ \(\mathrm{ctg}\, {\pi\over 2}=0\) i \({\pi\over 2}\in \left(0,\pi \right)\)
  • \(\mathrm{arcctg}\, (-1)=\pi-\mathrm{arcctg}\, 1 = \pi-{\pi\over 4}={3\over 4}\pi\) i \({3\over 4}\pi\in \left(0,\pi \right)\)
  • \(\mathrm{arcctg}\, \left(-{\sqrt{3}\over 3}\right)=\pi-\mathrm{arcctg}\, {\sqrt{3}\over 3}=\pi-{\pi \over 3}={2 \over 3}\pi\) i \({2 \over 3}\pi\in \left(0,\pi \right)\)
  • \(\mathrm{arcctg}\, \left(-\sqrt{3}\right)=\pi-\mathrm{arcctg}\, \sqrt{3}=\pi-{\pi \over 6}={5 \over 6}\pi\) i \({5 \over 6}\pi\in \left(0,\pi \right)\)
Zadanie
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\) określonej wzorem:
  1. \(\displaystyle f(x)=\arcsin (2-x)\)
    Ponieważ dziedziną naturalną funkcji arcus sinus jest przedział \(\left<-1,1\right>\), to dziedzinę funkcji \(f\) wyznaczymy z warunku \[D_f:\ -1\leq 2-x\leq 1\]Rozwiązujemy podwójną nierówność\[-3\leq -x\leq -1 /:(-1)\]\[3\geq x\geq 1\] Zatem dziedziną funkcji \(f(x)=\arcsin (2-x)\) jest zbiór \[D_f=\left<1,3\right>\]
  2. \(\displaystyle f(x)=\arccos \left( x^2-3x+1\right)\)
    Ponieważ dziedziną naturalną funkcji arcus cosinus jest przedział \(\left<-1,1\right>\), to dziedzinę funkcji \(f\) wyznaczymy z warunku \[D_f:\ -1\leq x^2-3x+1\leq 1\]Podwójną nierówność możemy zapisać jako koniunkcję nierówności \[\eqalign{-1\leq x^2-3x+1\quad &\wedge\quad x^2-3x+1\leq 1\cr x^2-3x+2 \geq 0\quad &\wedge\quad x^2-3x\leq 0\cr (x-1)(x-2) \geq 0\quad &\wedge\quad x(x-3)\leq 0\cr}\] Rysujemy parabole o równaniach \(y=(x-1)(x-2)\) i \(y=x(x-3)\).
    Graficzne rozwiązanie pierwszej nierówności.
    Graficzne rozwiązanie drugiej nierówności.
    Z rysunku odczytujemy rozwiązania obu nierówności \[x\in\left(-\infty,1\right>\cup\left<2,\infty\right)\quad \wedge\quad x\in\left<0,3\right>\] Zatem dziedziną funkcji \(f(x)=\arccos \left( x^2-3x+1\right)\) jest zbiór \[D_f=\left<0,1\right>\cup\left<2,3\right>\]
  3. \(\displaystyle f(x)=\arcsin \left(1-\sqrt{x}\right)\)
    Ponieważ dziedziną naturalną funkcji arcus sinus jest przedział \(\left<-1,1\right>\), a pod pierwiastiem parzystego stopnia musi być liczba nieujemna, to dziedzinę funkcji \(f\) wyznaczymy z warunku \[D_f: \left\{\eqalign{& -1\leq 1-\sqrt{x}\leq 1\cr & x\geq 0\cr}\right.\]Rozwiązujemy podwójną nierówność \[-1\leq 1-\sqrt{x}\leq 1\] \[-2\leq -\sqrt{x}\leq 0 /:(-1)\] \[2\geq \sqrt{x}\geq 0\] \[4\geq x\geq 0\] Zatem dziedziną funkcji \(f(x)=\arcsin \left(1-\sqrt{x}\right)\) jest zbiór \[D_f=\left<0,4\right>\]
  4. \(\displaystyle f(x)=\arcsin \frac{2x}{1+x^2}\)
    Ponieważ \(1+x^2> 0\), to dziedzinę funkcji \(f\) wyznaczymy tylko z warunku \[D_f: -1\leq\frac{2x}{1+x^2}\leq 1\]Podwójną nierówność możemy zapisać jako koniunkcję nierówności \[\eqalign{-1\leq \frac{2x}{1+x^2}\quad &\wedge\quad \frac{2x}{1+x^2}\leq 1\cr \frac{2x}{1+x^2}+1 \geq 0\quad &\wedge\quad \frac{2x}{1+x^2}-1\leq 0\cr \frac{1+2x+x^2}{1+x^2} \geq 0\quad &\wedge\quad \frac{-1+2x-x^2}{1+x^2}\leq 0\cr \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \geq 0\quad &\wedge\quad -\frac{(1-x)^2}{1+x^2}\leq 0\cr}\] Ponieważ obie nierówności spełnione są dla każdego \(x\in\mathbb{R}\), to dziedziną funkcji \(f(x)=\arcsin \frac{2x}{1+x^2}\) jest zbiór \[D_f=\mathbb{R}\]
  5. \(\displaystyle f(x)=\arccos\left(-\frac{2}{x}\right)\)
    Ponieważ dziedziną naturalną funkcji arcus cosinus jest zbiór \(\left< -1, 1\right>\), a mianownik musi być liczbą różną od zera, to dziedzinę funkcji \(f\) wyznaczymy z warunku \[D_f:\ \left\{\eqalign{&-1\leq -\frac{2}{x} \leq 1 \cr &x\neq 0\cr}\right.\] Przy założeniu, że \(x\neq 0\), rozwiązujemy podwójną nierówność \[-1\leq -\frac{2}{x} \leq 1\] równoważną z koniunkcją nierówności wymiernych \[-1\leq -\frac{2}{x} \quad \wedge\quad -\frac{2}{x}\leq 1\] Porządkujemy obydwie nierówności \[ -\frac{2}{x}+1\geq 0 \quad \wedge\quad -\frac{2}{x}-1\leq 0 \] Sprowadzamy do wspólnego mianownika wyrażenia stojące po lewej stronie każdej nierówności \[\frac{x-2}{x}\geq 0 \quad \wedge\quad \frac{-x-2}{x}\leq 0\] Ponieważ znak ilorazu jest taki sam jak znak iloczynu, to rozwiązujemy nierówności wielomianowe \[ {\left(x-2\right)\cdot x}\geq 0 \quad \wedge\quad {\left(-x-2\right)\cdot x}\leq 0 \]
    Graficzne rozwiązanie pierwszej nierówności.
    Graficzne rozwiązanie drugiej nierówności.
    Z rysunków wynika, że \[x\in \left(-\infty,0\right)\cup\left<2,\infty\right) \quad \wedge\quad x\in \left(-\infty,-2\right>\cup\left(0,\infty\right)\] Zatem dziedziną funkcji \(f(x)=\arccos\left(-\frac{2}{x}\right)\) jest zbiór \[D_f=\left(-\infty, -2\right>\cup\left<2,\infty\right)\]
Zadanie
Wykorzystując funkcje cyklometryczne, rozwiąż równania i nierówności trygonometryczne:
  1. \(\displaystyle \sin x=\frac{7}{10}\)
    Ponieważ dziedziną zadanego równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\) i liczba \(\frac{7}{10}\) należy do zbioru wartości funkcji \(y=\sin x\), to równanie nie jest sprzeczne. Aby wyznaczyć podstawowe rozwiązanie równania \(\sin x=\frac{7}{10}\), rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \sin x}} \) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=\frac{7}{10}}}\).
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    W tabeli wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów nie znadziemy jednak wartości \(\frac{7}{10}\), dlatego skorzystamy z funkcji cyklometrycznej arcus sinus, aby zapisać kąt \(\zielony{\boldsymbol \alpha}\) \[ \zielony{\boldsymbol{\alpha=\arcsin \frac{7}{10}}}\] Ponieważ podstawowe rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\sin x}}=\czerwony{\boldsymbol{\frac{7}{10}}}\) leżą w ćwiartce \(\zielony{\bf{I}}\) lub \(\niebieski{\bf{II}}\), więc z uwagi na \(2\pi\)-okresowość funkcji \(y=\sin x\) wszystkie rozwiązania zadanego równania mają postać \[ x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\arcsin \frac{7}{10}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{II}}}{=}\pi - \zielony{\boldsymbol{\arcsin \frac{7}{10}}}+ 2k\pi,\] gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).
  2. \(\displaystyle \cos x\leq-\frac{4}{5}\)
    Dziedziną zadanej nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \cos x}} \) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=-\frac{4}{5}}}\).
    Rysunek przedstawiający graficzne rozwiązanie równania w układzie współrzędnych.
    Widzimy, że rozwiązania nierówności \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\cos x }} \leq \czerwony{\boldsymbol{-\frac{4}{5}}}\) należą do przedziałów, których końce znajdziemy, rozwiązując równanie \[\color{darkslategray}{\boldsymbol{\cos x }} = \czerwony{\boldsymbol{-\frac{4}{5}}}\] Skorzystamy z funkcji cyklometrycznej arcus cosinus, aby zapisać kąt \(\zielony{\boldsymbol \alpha}\) \[ \zielony{\boldsymbol{\alpha=\arccos \frac{4}{5}}}\] Rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\cos x}}=\czerwony{\boldsymbol{-\frac{4}{5}}}\) leżą w ćwiartce \(\fioletowy{\bf{II}}\) lub \(\niebieski{\bf{III}}\), więc mają postać \[ x\overset{\fioletowy{\bf{II}}}{=}\pi-\zielony{\boldsymbol{\arccos \frac{4}{5}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{III}}}{=}\pi + \zielony{\boldsymbol{\arccos \frac{4}{5}}}+ 2k\pi,\quad \text{gdzie}\quad k\in\mathbb{Z}\] Z rysunku odczytujemy, że rozwiązania nierówności to \[x\in\left< \pi-\arccos\frac{4}{5}+2k\pi, \pi+\arccos\frac{4}{5}+2k\pi\right>,\quad \text{gdzie}\quad k\in\mathbb{Z}\]
  3. \(\displaystyle \mathrm{tg}\, x=\frac{11}{9}\)
    Dziedziną zadanej nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{{\pi\over 2}+k\pi:\ k\in\mathbb{Z} \}\). Ponieważ okres podstawowy funkcji tangens wynosi \(\pi\) oraz w przedziale \(\left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right)\) tangens jest różnowartościowy, to rozwiązania równania są postaci \[ x=\zielony{\boldsymbol{\mathrm{arctg}\, \frac{11}{9}}} +k\pi,\quad \text{gdzie}\quad k\in\mathbb{Z}\]
  4. \(\displaystyle \mathrm{ctg}\, x<\frac{1}{3}\)
    Dziedziną zadanej nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{k\pi:\ k\in\mathbb{Z} \}\). Ponieważ okres podstawowy funkcji cotangens wynosi \(\pi\) oraz w przedziale \(\left(0, \pi\right)\) cotangens jest malejący, to rozwiązania równania są postaci \[ x\in\left(\zielony{\boldsymbol{\mathrm{arcctg}\, \frac{1}{3}}} +k\pi, \pi+k\pi\right),\quad \text{gdzie}\quad k\in\mathbb{Z}\]
Funkcję \(f\) nazywamy różnowartościową (iniekcją) w zbiorze \({A\subset D_f}\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1\not= x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)\not= f(x_2)\]
Niech funkcja \(f:\ X \longrightarrow Y\) będzie wzajemnie jednoznaczna (bijekcją).
Funkcją odwrotną do funkcji \(f\) nazywamy funkcję \(f^{-1}:\ Y\longrightarrow X\) spełniającą warunek \[ \bigwedge_{x\in X}\quad\bigwedge_{y\in Y}\quad f^{-1}(y)=x\quad \Longleftrightarrow\quad y=f(x) \]
Obcięciem (zwężeniem) funkcji \(f:X\longrightarrow Y\) do zbioru \(A\subset X\) \((\emptyset\neq A\neq X)\) nazywamy
funkcję \(f\vert_A: A\longrightarrow Y\) taką, że \[ \bigwedge_{x\in A}\ f\vert_A(x)=f(x) \]
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów
\(\alpha\) \(0\) \({\pi\over 6}\) \({\pi\over 4}\) \({\pi\over 3}\) \({\pi\over 2}\) \(\pi\) \({3\over 2}\pi\)
\(\sin\alpha\) \(0\) \({1\over 2}\) \({\sqrt{2}\over 2}\) \({\sqrt{3}\over 2}\) \(1\) \(0\) \(-1\)
\(\cos\alpha\) \(1\) \({\sqrt{3}\over 2}\) \({\sqrt{2}\over 2}\) \({1\over 2}\) \(0\) \(-1\) \(0\)
\(\text{tg}\, \alpha\) \(0\) \({\sqrt{3}\over 3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) \(\bigtimes\) \(0\) \(\bigtimes\)
\(\text{ctg}\, \alpha\) \(\bigtimes\) \(\sqrt{3}\) \(1\) \({\sqrt{3}\over 3}\) \(0\) \(\bigtimes\) \(0\)