Aby wyznaczyć argument główny liczby zespolonej \(z\), musimy najpierw obliczyć jej moduł. \[|z|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\] Wówczas argument główny \(\varphi\) liczby \(z\) spełnia warunek \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert}=-\frac{2}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cr}\] Ponieważ cosinus i sinus są ujemne, to kąt \(\varphi\) leży w ćwiartce III. Zatem możemy go zapisać jako \(\pi+\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem ostrym (z ćwiartki I) takim, że \(\cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\) oraz \(\sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Takim kątem jest kąt \(\frac{\pi}{4}\), więc \[\varphi\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{III\ ćw.}}}}{=}\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5}{4}\pi\] Zatem \(\arg z=\frac{5}{4}\pi\).

Ponieważ \[\vert z\vert = \sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2,\] to argument główny \(\varphi\) liczby \(z\) spełnia warunek \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert}=\frac{1}{2} \cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cr}\] Ponieważ cosinus jest dodatni, a sinus ujemny, to kąt \(\varphi\) leży w ćwiartce IV. Zatem możemy go zapisać jako \(2\pi-\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem ostrym (z ćwiartki I) takim, że \(\cos \alpha=\frac{1}{2}\) oraz \(\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Takim kątem jest kąt \(\frac{\pi}{3}\), dlatego argumentem głównym liczby zespolonej \(z\) jest kąt \[\varphi\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{IV\ ćw.}}}}{=}2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5}{3}\pi\] Zatem \(\arg z=\frac{5}{3}\pi\).

Moduł liczby zespolonej \(z=4\:\!\mathrm{i}\) wynosi \[\vert z\vert =\sqrt{4^2+0^2}=4,\] dlatego argument główny \(\varphi\) liczby \(z\) powinien spełniać warunek \[\cases{\cos\varphi={a\over \vert z\vert }=0\cr\sin\varphi={b\over \vert z\vert }=1\cr}\]

Ponieważ cosinus jest równy \(0\), a sinus jest dodatni w ćwiartce I i II, to kąt \(\varphi\) leży na granicy ćwiartki I i II. Argumentem głównym liczby \(z\) jest więc kąt \[\varphi=\frac{\pi}{2}\]

Zauważmy, że korzystając z interpretacji geometrycznej argumentu głównego liczby zespolonej, argument główny liczby urojonej \(\niebieski{\boldsymbol{z=4\:\!\mathrm{i}}}\) (położonej na dodatniej półosi urojonej) można odczytać z rysunku. Zatem \(\zielony{\boldsymbol{\arg z}}=\frac{\pi}{2}\).

Moduł liczby zespolonej \(z=-2\) wynosi \(\vert z\vert =2\). Zatem argument główny \(\varphi\) liczby \(z\) powinien spełniać warunek \[\cases{\cos\varphi={a\over \vert z\vert }=-1\cr\sin\varphi={b\over \vert z\vert }=0\cr}\]

Ponieważ sinus jest równy \(0\), a cosinus jest ujemny w ćwiartce II i III, to kąt \(\varphi\) leży na granicy ćwiartki II i III. Argumentem głównym liczby \(z\) jest więc kąt \[\varphi=\pi\]

Zauważmy, że korzystając z interpretacji geometrycznej argumentu głównego liczby zespolonej, argument główny liczby rzeczywistej \(\niebieski{\boldsymbol{z=-2}}\) (położonej na ujemnej półosi rzeczywistej) można odczytać z rysunku. Zatem \(\zielony{\boldsymbol{\arg z}}=\pi\).

Moduł liczby zespolonej \(z=-3+3\:\!\mathrm{i}\) wynosi \(\vert z\vert =\sqrt {18}=3\sqrt 2\), dlatego argument główny \(\varphi\) liczby \(z\) powinien spełniać warunek \[\cases{\cos\varphi={a\over \vert z\vert }=\frac{-3}{3\sqrt 2}=-\frac{\sqrt 2}{2}\cr\sin\varphi={b\over \vert z\vert }=\frac{3}{3\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}\cr}\]

Ponieważ cosinus jest ujemny, a sinus dodatni, to kąt \(\varphi\) leży w ćwiartce II. Zatem możemy go zapisać jako \(\pi-\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem ostrym (z ćwiartki I) takim, że \(\cos \alpha=\frac{\sqrt 2}{2}\) oraz \(\sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Takim kątem jest kąt \(\frac{\pi}{4}\), dlatego argumentem głównym liczby zespolonej \(z\) jest kąt \[\varphi\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{II\ ćw.}}}}{=}\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi\]

Zauważmy, że korzystając z interpretacji geometrycznej argumentu głównego liczby zespolonej, argument główny liczby \(\niebieski{\boldsymbol{z=-3+3\:\!\mathrm{i}}}\) można odczytać z rysunku. Widzimy, że liczba \(z\) jest jednym z wierzchołków kwadratu o boku długości \(3\) położonego w ćwiartce II, dlatego jej argument główny jest równy kątowi skierownemu od dodatniej półosi rzeczywistej do przekątnej tego kwadratu. Ponieważ kąt między przekątną kwadratu, a jego bokiem wynosi \(\frac{\pi}{4}\), to \[\zielony{\boldsymbol{\arg z}}=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi\]

Aby wyznaczyć argument liczby \(z=\frac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2-2\:\!\mathrm{i}}\), wyznaczymy najpierw argumenty główne liczb \(z_1=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\) oraz \(z_2=2-2\:\!\mathrm{i}\).

Do wyznaczenia argumentu głównego liczby \(z_1=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\) potrzebny jest jej moduł \[\left|z_1\right|=\sqrt{1+3}=2\] Wówczas argument główny \(\varphi_1\) liczby \(z_1\) spełnia warunek \[\cases{\cos\varphi_1={a_1\over \vert z_1\vert }=-\frac{1}{2}\cr\sin\varphi_1={b_1\over \vert z_1\vert }=\frac{\sqrt{3}}{2}\cr}\] Ponieważ cosinus jest ujemny, a sinus dodatni, to kąt \(\varphi_1\) leży w ćwiartce II. Zatem \[\arg z_1=\varphi_1\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{II\ ćw.}}}}{=}\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2}{3}\pi\] Ponieważ liczba \(z_2=2-2\:\!\mathrm{i}\) jest wierzchołkiem kwadratu o boku długości \(2\) leżącym w ćwiartce IV, a jej promień wodzący to przekątna tego kwadratu, to jej argument główny \[\zielony{\boldsymbol{\arg z_2}}\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{IV\ ćw.}}}}{=}2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7}{4}\pi\] odczytujemy z rysunku.

Z własności argumentu wynika, że \[\mathrm{Arg}\, z\overset{(4)}{=}\arg z_1-\arg z_2=\frac{2}{3}\pi-\frac{7}{4}\pi=\frac{8-21}{12}\pi=-\frac{13}{12}\pi\] Ponieważ \(-\frac{13}{12}\pi\notin \left< 0,2\pi\right)\) i \(-\frac{13}{12}\pi=-2\pi+\frac{11}{12}\pi\), to otrzymujemy \[\arg z=-\frac{13}{12}\pi+2\pi=\frac{11}{12}\pi\]

Ponieważ liczba \(z=-4-4\:\!\mathrm{i}\) jest wierzchołkiem kwadratu o boku długości \(4\) leżącym w ćwiartce III, a jej promień wodzący to przekątna tego kwadratu, to jej argument główny \[\zielony{\boldsymbol{\arg (-4-4\:\!\mathrm{i})}}\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{III\ ćw.}}}}{=}\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5}{4}\pi\] odczytujemy z rysunku. Z własności argumentu wynika, że \[\mathrm{Arg}\, (-4-4\:\!\mathrm{i})^{11}\overset{(5)}{=}11\cdot\arg (-1-\mathrm{i})=11\cdot\frac{5}{4}\pi=\frac{55}{4}\pi\] Ponieważ \(\frac{55}{4}\pi\notin \left< 0,2\pi\right)\) i \(\frac{55}{4}\pi=12\pi+\frac{7}{4}\pi\), to \[\arg (-4-4\:\!\mathrm{i})^{11}=\frac{55}{4}\pi-12\pi =\frac{7}{4}\pi\]

Zaczniemy od wyznaczenia argumentu liczby \(z_1=2+2\:\!\mathrm{i}\sqrt{3}\). Ponieważ \[|z_1|=\sqrt{4+12}=4,\] to argument główny \(\varphi_1\) liczby \(z_1\) wyznaczamy z warunku \[\cases{\cos\varphi_1={a\over \vert z\vert }=\frac{1}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\gt}}}\ 0\cr\sin\varphi_1={b\over \vert z\vert }=\frac{\sqrt{3}}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\gt}}}\ 0\cr}\quad\Longrightarrow\quad \varphi_1\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{I\ ćw.}}}}{=}\frac{\pi}{3}\] Zatem \[\arg z_1= \frac{\pi}{3}\quad\textrm{oraz}\quad \arg \overline {z_1}\overset{(1)}{=}2\pi-\arg z_1=\frac{5}{3}\pi\] Ponieważ liczba \(z_2=\mathrm{i}\) leży na dodatniej półosi zespolonej, to jej argument główny odczytujemy z rysunku. Wówczas \[\zielony{\boldsymbol{\arg z_2}}=\frac{\pi}{2} \quad\textrm{oraz}\quad \arg {z_2}^{100}\overset{(5)}{=}100\cdot \frac{\pi}{2}=50\pi\] Z własności argumentu otrzymujemy \[\mathrm{Arg}\, \frac{\overline{2+2\:\!\mathrm{i}\sqrt{3}}}{\mathrm{i}^{100}}\overset{(4)}{=} \frac{5}{3}\pi-50\pi=-48\pi-\frac{\pi}{3}\notin \left< 0,2\pi\right)\] Ostatecznie otrzymujemy \[\arg \frac{\overline{2+2\:\!\mathrm{i}\sqrt{3}}}{\mathrm{i}^{100}}=-48\pi-\frac{\pi}{3}+50\pi=\frac{5}{3}\pi\]

Z własności działań na liczbach zespolonych wynika, że \[\left(\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\mathrm{i}}\right)^6=\frac{\left(-1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)^6}{\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)^6},\] dlatego zaczniemy od wyznaczenia argumentu liczby \(z_1=-1-\mathrm{i}\sqrt{3}\). Ponieważ moduł liczby \(z_1=-1-\mathrm{i}\sqrt{3}\) wynosi \[|z_1|=\sqrt{1+3}=2,\] to argument główny \(\varphi_1\) liczby \(z_1\) wyznaczamy z warunku \[\cases{\cos\varphi_1={a_1\over \vert z_1\vert }=-\frac{1}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr\sin\varphi_1={b_1\over \vert z_1\vert }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr}\quad\Longrightarrow\quad \varphi_1\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{III\ ćw.}}}}{=}\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4}{3}\pi\] Wówczas \[\arg z_1=\varphi_1=\frac{4}{3}\pi\quad\textrm{oraz}\quad \mathrm{Arg}\, {z_1}^6\overset{(5)}{=}6\cdot \frac{4}{3}\pi=8\pi\] Ponieważ moduł liczby \(z_2=\sqrt{3}+\mathrm{i}\) wynosi \[|z_2|=\sqrt{3+1}=2,\] to argument główny \(\varphi_2\) liczby \(z_2\) wyznaczamy z warunku \[\cases{\cos\varphi_2={a_2\over \vert z_2\vert }=\frac{\sqrt 3}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\gt}}}\ 0\cr\sin\varphi_2={b_2\over \vert z_2\vert }=\frac{1}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\gt}}}\ 0\cr}\quad\Longrightarrow\quad \varphi_2\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{I\ ćw.}}}}{=}\frac{\pi}{6}\] Wówczas \[\arg z_2=\varphi_2=\frac{\pi}{6}\quad\textrm{oraz}\quad \arg {z_2}^{6}\overset{(5)}{=}6\cdot \frac{\pi}{6}=\pi\] Z własności argumentu otrzymujemy \[\mathrm{Arg}\, \left(\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\mathrm{i}}\right)^6= \mathrm{Arg}\, \frac{\left(-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)^6}{\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)^6} \overset{(4)}{=}8\pi-\pi=7\pi\notin \left< 0,2\pi\right)\] Ostatecznie otrzymujemy \[\arg \left(\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\mathrm{i}}\right)^6=7\pi-6\pi=\pi\]

Wyznaczamy najpierw moduł liczby \(z\) \[|z|=\sqrt{4\left(2-\sqrt{2}\right)+4\left(2+\sqrt{2}\right)}=\sqrt{16}=4\] Wówczas argument główny \(\varphi\) liczby \(z\) spełnia warunek \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert}=\frac{-2\sqrt{2-\sqrt{2}}}{4}=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert}=\frac{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cr}\] Ponieważ cosinus jest ujemny, a sinus dodatni, to kąt \(\varphi\) jest kątem z ćwiartki II. Ponieważ nie znajdziemy w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów odpowiednich wartości, to zajmiemy się kątem podwojonym \(2\varphi\), dla którego \[\eqalign{\cos 2\varphi &=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi=\left(-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)^2=\cr&= \frac{2-\sqrt{2}}{4}-\frac{2+\sqrt{2}}{4}=-\frac{2\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cr \sin 2\varphi&=2\sin\varphi\cos\varphi={\ccancel{\fioletowy}{2}}\cdot \left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{{\ccancel{\fioletowy}{2}}}\right)\cdot \left(-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{4-2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cr}\] Ponieważ cosinus i sinus kąta \(2\varphi\) są ujemne, to kąt ten leży w ćwiartce III. Aby kąt \(\varphi\) był kątem z ćwiartki II, wystarczy przyjąć \[2\varphi=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5}{4}\pi\] Oznacza to, że \(\varphi=\frac{5}{4}\pi\), czyli \(\arg z=\frac{5}{4}\pi\).

Ponieważ moduł liczby \(z=\sqrt{2}+\sqrt{6}+\mathrm{i}\left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)\) wynosi \[|z|=\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)^2 + \left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)^2}=\sqrt{2+2\sqrt{12}+6+2-2\sqrt{12}+6}=\sqrt{16}=4,\] to argument główny \(\varphi\) liczby \(z\) spełnia warunek \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\cr}\] Ponieważ cosinus jest dodatni, a sinus ujemny, to kąt \(\varphi\) jest kątem z ćwiartki IV. Ponieważ nie znajdziemy w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów odpowiednich wartości, to zajmiemy się kątem podwojonym \(2\varphi\), dla którego \[\eqalign{\cos 2\varphi &=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi=\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)^2=\cr&= \frac{2+2\sqrt{12}+6}{16}-\frac{2-2\sqrt{12}+6}{16}=\frac{4\sqrt{12}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cr \sin 2\varphi&=2\sin\varphi\cos\varphi=2\cdot \left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)=\frac{2-6}{8}=-\frac{1}{2}\cr}\] Ponieważ cosinus kąta \(2\varphi\) jest dodatni, a jego sinus ujemny, to kąt ten leży, podobnie jak kąt \(\alpha\), w ćwiartce IV. Zatem musimy przyjąć \[2\varphi=2\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{23}{6}\pi\] Wówczas \[\varphi=\frac{23}{12}\pi\]