Definicja i własności

Niech funkcja \(f:\ X \longrightarrow Y\) będzie wzajemnie jednoznaczna (bijekcją).
Funkcją odwrotną do funkcji \(f\) nazywamy funkcję \(f^{-1}:\ Y\longrightarrow X\) spełniającą warunek \[ \bigwedge_{x\in X}\quad\bigwedge_{y\in Y}\quad f^{-1}(y)=x\quad \Longleftrightarrow\quad y=f(x) \]

Funkcję \(f:\ X\longrightarrow Y\) nazywamy wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), jeżeli jest jednocześnie
różnowartościowa i \(Y\) jest zbiorem jej wartości (jest iniekcją i suriekcją).

Definicja i własności funkcji liniowej

Definicja

Funkcją liniową nazywamy funkcję \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) określoną wzorem \[f(x)=ax+b,\] gdzie \(a,b\in \mathbb{R}\). Liczbę \(a\) nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a liczbę \(b\) wyrazem wolnym funkcji liniowej.

Z powyższej definicji wynika, że dziedziną i zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór \(\mathbb{R}\). Wykresem funkcji liniowej \(y=ax+b\) jest linia prosta przecinająca oś \(Oy\) w punkcie \((0,b)\) i nachylona do dodatniej półosi \(Ox\) pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\hbox{tg}\,\alpha=a\).

Na poniższym rysunku przedstawione są wykresy funkcji liniowych o niezerowych współczynnikach kierunkowych.

Rysunek przedstawiający wykres funkcji liniowej, której współczynnik kierunkowy jest dodatni.

Rysunek przedstawiający wykres funkcji liniowej, której współczynnik kierunkowy jest ujemny.

Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym \(a\neq 0\)

Na następnym rysunku znajdują się wykresy funkcji liniowych o zerowym współczynniku kierunkowym, których równania mają postać \(y=b\) i które są równoległe do osi \(Ox\).

Rysunek przedstawiający wykres funkcji liniowej, której współczynnik kierunkowy jest równy zero, a wyraz wolny jest różny od zera.

Rysunek przedstawiający wykres funkcji liniowej, której współczynnik kierunkowy i wyraz wolny są równe zero.

Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym \(a=0\)

Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, jak zmienia się położenie wykresu funkcji liniowej \(y=ax+b\) w zależności od wartości parametrów \(a\) oraz \(b\).

Widzimy, że podstawowe własności funkcji liniowej \(y=ax+b\) zależą od wartości jej współczynnika kierunkowego. Jeżeli \(a>0\), to funkcja liniowa jest rosnąca. Jeżeli \(a<0\), to funkcja liniowa jest malejąca. Jeżeli \(a=0\), to funkcja liniowa jest stała.

Liczba miejsc zerowych funkcji liniowej \(y=ax+b\), czyli rozwiązań równania \(ax+b=0\), zależy od wartości występujących w jej równaniu współczynników \(a\) i \(b\).
Jeżeli \(a\neq 0\), to funkcja liniowa posiada jedno miejsce zerowe \[x_0=-{b\over a}\] Jeżeli \(a=0\), to liczba miejsc zerowych funkcji liniowej \(y=b\) zależy od wartości współczynnika \(b\). W przypadku, gdy \(b\neq 0\), funkcja ta nie posiada miejsc zerowych. Jeśli \(b=0\), to wykres funkcji \(y=0\) pokrywa się z osią \(Ox\) i każda liczba rzeczywista jest jej miejscem zerowym.

Zadanie

Wyznacz miejsca zerowe funkcji liniowej \(f\) przedstawionej za pomocą wzoru:

\(f(x)= 3x-1\)
Szukamy argumentu \(x\in\mathbb{R}\), dla którego funkcja \(f\) przyjmuje wartość zero, rozwiązując równanie \[ f(x)=0\quad \Longleftrightarrow \quad 3x-1=0 \] \[ \ 3x=1 \ /:3 \] \[ x={1\over 3}\quad \] Zatem miejscem zerowym funkcji \(f(x)=3x-1\) jest \(x_0={1\over 3}\).
\(f(x)= -4x+8\)
Ponieważ funkcja liniowa \(f(x)=-4x+8\) ma niezerowy współczynnik kierunkowy \(a=4\), to ma ona jedno miejsce zerowe \(x_0=-{b\over a}=-{8\over -4}=2\).
\(f(x)= 5x\)
Ponieważ wyraz wolny \(b=0\) i współczynnik kierunkowy \(a=5\), to funkcja ta ma jedno miejsce zerowe \(x_0=0\).
\(f(x)= -2\)
Ponieważ współczynnik kierunkowy \(a=0\) i wyraz wolny \(b=-2\), to wykres tej funkcji jest równoległy do osi \(Ox\) i leży poniżej tej osi, dlatego funkcja ta nie ma miejsc zerowych.
\(f(x)= 0\)
Ponieważ współczynnik kierunkowy \(a=0\) i wyraz wolny \(b=0\), to wykres tej funkcji pokrywa się z osią \(Ox\), dlatego funkcja ta ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Aby narysować wykres funkcji liniowej \(y=ax+b\), wystarczy zaznaczyć w układzie współrzędnych dwa punkty należące do jej wykresu, a następnie narysować linię prostą przechodzącą przez te dwa punkty.
Najłatwiej jest wyznaczyć punkt przecięcia wykresu funkcji z osią \(Oy\), gdyż jest nim punkt \((0,b)\).
Jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest niezerowy, to jako drugi punkt z wykresu tej funkcji możemy wziąć punkt \((-{b\over a},0)\), wykorzystując miejsce zerowe tej funkcji.
Jeżeli zaś współczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest zerowy, to nie jest potrzebny żaden dodatkowy punkt, gdyż wykres tej funkcji jest równoległy do osi \(Ox\) i przechodzi przez punkt \((0,b)\).

Zadanie

Narysuj wykres funkcji liniowej \(f\) określonej za pomocą wzoru:

\(f(x)=2x+6\)
Miejscem zerowym funkcji jest \(x_0=-3\), a jej wyraz wolny to \(b=6\), więc wykresem funkcji \(f\) jest prosta przechodząca przez punkty \((-3,0)\) i \((0,6)\).
\(f(x)=-x+2\)
Miejscem zerowym funkcji jest \(x_0=2\), a jej wyraz wolny to \(b=2\), więc wykresem funkcji \(f\) jest prosta przechodząca przez punkty \((2,0)\) i \((0,2)\).
\(f(x)=-3x\)
Miejscem zerowym funkcji jest \(x_0=0\), a wyraz wolny to \(b=0\). Zatem punkt \((0,0)\) jest punktem przecięcia wykresu funkcji \(f(x)=-3x\) z obiema osiami układu współrzędnych jednocześnie. Szukamy więc drugiego punktu, aby narysować wykres funkcji \(y=f(x)\). Obliczamy wartość funkcji dla dowolnego, niezerowego argumentu, np. \(f(1)=-3\). Wykresem funkcji \(f\) jest zatem prosta przechodząca przez punkty \((0,0)\) i \((1,-3)\).
\(f(x)=-2\)
Skoro współczynnik kierunkowy \(a=0\) i wyraz wolny \(b=-2\), to funkcja ta nie posiada miejsc zerowych, a jej wykresem jest prosta równoległa do osi \(Ox\), przechodząca przez punkt \((0,-2)\).

Zadanie

Narysuj wykres funkcji \(f\) danej wzorem:

\(f(x)=\vert 4x-2\vert\)
Narysujmy pomocniczy wykres funkcji \(y=4x-2\). Miejscem zerowym funkcji jest \(x_0={1\over 2}\), a jej wyraz wolny to \(b=-2\), więc wykresem tej funkcji jest prosta przechodząca przez punkty \(\left({1\over 2},0\right)\) i \((0,-2)\). Wykres funkcji \(y=\vert 4x-2\vert\) otrzymujemy po pozostawieniu bez zmian części wykresu funkcji \(y=4x-2\), gdy \(y\geq 0\), oraz po symetrycznym odbiciu względem osi \(Ox\), gdy \(y<0\).
\(f(x)=3\vert x\vert-5\)
Narysujmy pomocniczy wykres funkcji \(y=3x-5\). Miejscem zerowym funkcji jest \(x_0={5\over 3}\), a jej wyraz wolny to \(b=-5\), więc wykresem tej funkcji jest prosta przechodząca przez punkty \(\left({5\over 3},0\right)\) i \((0,-5)\). Wykres funkcji \(y=3\vert x\vert-5\) otrzymujemy po pozostawieniu bez zmian części wykresu funkcji \(y=3x-5\), gdy \(x\geq 0\), oraz po symetrycznym odbiciu tego fragmentu względem osi \(Oy\).

Znamy już definicję funkcji odwrotnej i wiemy, że funkcja \(f\) jest odwracalna, jeżeli jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wśród funkcji liniowych \(y=ax+b\) warunek ten jest spełniony tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy jest niezerowy. Wówczas dziedziną i zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór \(\mathbb{R}\). Aby otrzymać wzór funkcji do niej odwrotnej, należy wyznaczyć niewiadomą \(x\) z równania \(y=ax+b\), a następnie zamienić nazwy zmiennych \(x\) i \(y\) miejscami.

Zadanie

Wyznacz funkcję odwrotną do funkcji \(y=f(x)\), jeżeli:

\(y= 2x+1\)
Funkcja \(y= 2x+1\) jest funkcją liniową o współczynniku kierunkowym \(a=2\neq 0\), więc jest różnowartościowa. Dziedziną i zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór \(\mathbb{R}\). Zatem funkcja \(y= 2x+1\) jest odwracalna.
Wyznaczamy niewiadomą \(x\) z równania \(y= 2x+1\) \[ \quad\ y-1=2x \] \[ \quad {y-1\over 2}=x \] \[ \ {1\over 2}y-{1\over 2}=x \] Po zamianie nazw zmiennych otrzymujemy szukaną funkcję odwrotną \[ y={1\over 2}x-{1\over 2} \] Jest ona również funkcją liniową o dziedzinie i zbiorze wartości \(\mathbb{R}\). Poniższy rysunek potwierdza fakt, że funkcje \(y=2x+1\) i \(y={1\over 2}x-{1\over 2}\) są funkcjami odwrotnymi, ponieważ ich wykresy są do siebie symetryczne względem prostej \(y=x\).
\(y=-4x-4\)
Funkcja \(y=-4x-4\) jest funkcją liniową o współczynniku kierunkowym \(a=-4\neq 0\), więc jest różnowartościowa. Dziedziną i zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór \(\mathbb{R}\). Zatem funkcja \(y=-4x-4\) jest odwracalna.
Wyznaczamy niewiadomą \(x\) z równania \(y=-4x-4\) \[ \qquad\quad y+4=-4x \] \[ \ \quad\: {y+4\over -4}=x \] \[ -{1\over 4}y-1=x \] Po zamianie nazw zmiennych otrzymujemy szukaną funkcję odwrotną \[ y= -{1\over 4}x-1 \] Jest ona również funkcją liniową o dziedzinie i zbiorze wartości \(\mathbb{R}\). Poniższy rysunek potwierdza fakt, że funkcje \(y=-4x-4\) i \(y=-{1\over 4}x-1\) są funkcjami odwrotnymi, ponieważ ich wykresy są do siebie symetryczne względem prostej \(y=x\).