Funkcję \(f:X\longrightarrow Y\) nazywamy wzajemnie jednoznaczną (bijekcją),
jeżeli jest jednocześnie różnowartościowa i \(Y\) jest zbiorem jej wartości (jest iniekcją i suriekcją).
Własność potęgowania i pierwiastkowania \[\sqrt{a^2}=\vert a \vert\]
Wartość bezwzględna \[\vert a \vert = \left\{\eqalign{a \quad &\text{dla} \quad a\geq 0 \cr -a \quad &\text{dla} \quad a < 0 \cr} \right.\]

Złożenie funkcji

Definicja
Niech funkcja \(f:\ X \longrightarrow Y\) będzie wzajemnie jednoznaczna (bijekcją). Funkcją odwrotną do funkcji \(f\) nazywamy funkcję \(f^{-1}:\ Y\longrightarrow X\) spełniającą warunek \[ \bigwedge_{x\in X}\quad\bigwedge_{y\in Y}\quad f^{-1}(y)=x\quad \Longleftrightarrow\quad y=f(x) \]
Rysunek przedstawiający funkcje odwrotne za pomocą grafu.
Funkcje odwrotne
Twierdzenie
Niech funkcja \(f:X \longrightarrow Y\) będzie funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wtedy złożenia \(f\circ f^{-1}\) oraz \(f^{-1}\circ f\) są funkcjami tożsamościowymi, tzn. \[\bigwedge_{x\in X}\quad \left(f^{-1}\circ f\right)(x) =x\quad \hbox{oraz} \quad \bigwedge_{y\in Y}\quad \left(f\circ f^{-1}\right)(y) =y\]
Zadanie
Wyznacz (jeśli istnieje) funkcję odwrotną do funkcji przedstawionej za pomocą tabelki, wykresu lub grafu:
  1. \(f:\ X\longrightarrow Y\), gdzie \(X=\{-3,-1,0,2,3\}\) i \(Y=\{-2,-1,0,1,3\}\)
    \(x\) \(-3\) \(-1\) \(0\) \(2\) \(3\)
    \(\niebieski{\boldsymbol{f(x)}}\) \(3\) \(1\) \(-2\) \(0\) \(-1\)
    Ponieważ funkcja \(f:\: X\longrightarrow Y\) jest wzajemnie jednoznaczna, więc istnieje funkcja do niej odwrotna \(f^{-1}: Y\longrightarrow X\).
    \(x\) \(3\) \(1\) \(-2\) \(0\) \(-1\)
    \(\czerwony{\boldsymbol{f^{-1}(x)}}\) \(-3\) \(-1\) \(0\) \(2\) \(3\)
    Przyjrzyjmy się dodatkowo wykresom obu funkcji. Widzimy, że są one symetryczne względem prostej \(y=x\).
    Rysunek przedstawiający wykresy funkcji odwrotnych.
  2. \(f:\ X\longrightarrow Y\)
    Ponieważ element \(y_4\in Y\) nie został przyporządkowany żadnemu argumentowi ze zbioru \(X\), dlatego \(W_f\neq Y\) , więc funkcja \(f\) nie jest wzajemnie jednoznaczna i nie istnieje funkcja do niej odwrotna.
  3. \(f:\ X\longrightarrow Y\), gdzie \(X=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\) i \(Y=\{-1,0,1,2,3\}\)
    Rysunek przedstawiający funkcję f.
    Ponieważ dla \(x_1=-2\) i \(x_2=1\) mamy \[f(-2)=2=f(1),\] dlatego funkcja \(f\) nie jest różnowartościowa i nie istnieje do niej funkcja odwrotna.
Z definicji funkcji \(f^{-1}\) odwrotnej do funkcji \(f\) wynika, że dziedziną funkcji \(f^{-1}\) jest zbiór wartości funkcji \(f\), a zbiorem wartości funkcji \(f^{-1}\) jest dziedzina funkcji \(f\). Zatem wykres funkcji odwrotnej \(y=f^{-1}(x)\) powstaje przez zamianę miejscami osi układu współrzędnych. Jednak rysujemy wykres tej funkcji w tradycyjnym układzie współrzędnych. Możemy przy tym zauważyć następującą zależność między wykresami funkcji wzajemnie odwrotnych.
Fakt
Wykres funkcji \(f\) i wykres funkcji do niej odwrotnej \(f^{-1}\) są do siebie symetryczne względem prostej o równaniu \(y=x\).
Rysunek przedstawiający wykresy funkcji odwrotnych.
Wykresy funkcji odwrotnych do siebie
Przykłady wykresów funkcji wzajemnie odwrotnych znajdują się w dalszej części kursu poświęconej funkcjom liniowym oraz logarytmicznym i wykładniczym.
Niech funkcja \(f:\ X\longrightarrow Y\) będzie funkcją wzajemnie jednoznaczną określoną wzorem \(y=f(x)\). Zatem istnieje funkcja do niej odwrotna \(f^{-1}:\ Y\longrightarrow X\). Aby otrzymać wzór funkcji \(f^{-1}\), należy wyznaczyć niewiadomą \(x\) z równania \(y=f(x)\), tzn. przekształcić do postaci \(x=f^{-1}(y)\). Zamieniając nazwy zmiennych \(x\) i \(y\), otrzymujemy ostateczną postać wzoru funkcji odwrotnej \(y=f^{-1}(x)\).
Przykład
Wyznaczymy funkcję odwrotną do funkcji \(y=3x-2\).
W rozdziale poświęconym funkcji różnowartościowej wykazaliśmy, że funkcja \(y=3x-2\) jest suriekcją. Dziedziną i zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór \(\mathbb{R}\). Zatem funkcja \(y=3x-2\) jest odwracalna. Wyznaczamy niewiadomą \(x\) z równania \(y=3x-2\) \[ \quad\ y+2=3x \] \[ \quad {y+2\over 3}=x \] \[ \ {1\over 3}y+{2\over 3}=x \] Po zamianie nazw zmiennych otrzymujemy szukaną funkcję odwrotną \[ y={1\over 3}x+{2\over 3} \] o dziedzinie i zbiorze wartości \(\mathbb{R}\). Poniższy rysunek potwierdza fakt, że funkcje \(y=3x-2\) i \(y={1\over 3}x+{2\over 3}\) są funkcjami odwrotnymi, ponieważ ich wykresy są do siebie symetryczne względem prostej \(y=x\).
Rysunek przedstawiający wykresy funkcji odwrotnych.
Przykład
Wyznaczymy funkcję odwrotną do funkcji \(f:\ \left< 0, \infty\right) \longrightarrow \left< 0, \infty\right)\) określonej za pomocą wzoru \(f(x)=\sqrt{x}\). Wykażemy najpierw, że funkcja \(f\) jest różnowartościowa w przedziale \(\left< 0, \infty\right)\).
Niech \(x_1, x_2 \in \left< 0, \infty\right)\) spełniają warunek \(f(x_1) = f(x_2)\). Wtedy \[\sqrt{x_1} = \sqrt{x_2} \quad \Longleftrightarrow \quad x_1=x_2\] Oznacza to, że funkcja \(f\) jest różnowartościowa. Dodatkowo wiemy, że zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(\left< 0, \infty\right)\). Zatem funkcja \(f\) jest wzajemnie jednoznaczna i istnieje do niej funkcja odwrotna. Po podniesieniu obu stron równania \(y=\sqrt{x}\) do kwadratu otrzymujemy \[y^2=x\] Po zamianie nazw zmiennych otrzymujemy szukaną funkcję \[f^{-1}(x)=x^2\] o dziedzinie i zbiorze wartości \(\left< 0, \infty\right)\). Poniższy rysunek potwierdza fakt, że funkcje \(f\) i \(f^{-1}\) są funkcjami odwrotnymi, ponieważ ich wykresy są do siebie symetryczne względem prostej \(y=x\).
Rysunek przedstawiający wykresy funkcji odwrotnych.
Nie zawsze jednak funkcja \(f\) jest bijekcją w całej swojej dziedzinie naturalnej. Jeżeli tylko istnieje niepusty zbiór \(A\subset D_f\) taki, że obcięcie \(f\vert_A\) jest bijekcją, to możemy wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji \(f\vert_A:\ A\longrightarrow W_{f\vert_A}\).
Przykład
Wiemy, że funkcja \(f(x)=2-x^2\) nie jest różnowartościowa w całej swojej dziedzinie \(D_f=\mathbb{R}\), ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) zachodzi równość \[2-x^2=2-(-x)^2\] Możemy jednak wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji \(f(x)=2-x^2\) obciętej np. do zbioru \(A=\left< 0, \infty\right)\) \[f\vert_A:\ \left< 0, \infty\right) \buildrel na \over \longrightarrow \left( -\infty, 2\right>\] Ponieważ wyrażenia stojące po obu stronach równości \(x^2=2-y\) przyjmują wartości nieujemne, to otrzymujemy równość \[\sqrt{x^2}=\sqrt{2-y}\] Zgodnie z własnościami działań na potęgach i pierwiastkach mamy \[\vert x\vert=\sqrt{2-y}\] Z definicji wartości bezwzględnej wynika, że \[x=\sqrt{2-y}\quad\vee \quad -x=\sqrt{2-y}\] Ponieważ \(x\in A=\left< 0, \infty\right)\), to \(-x\in \left(-\infty, 0\right>\), co oznacza, że druga równość jest spełniona tylko dla \(x=0\). Zatem możemy wziąć pod uwagę tylko pierwszą równość \[x=\sqrt{2-y}\] Po zamianie nazw zmiennych otrzymujemy szukaną funkcję \[f\vert_A^{-1}(x)=\sqrt{2-x}\] o dziedzinie \(\left(-\infty, 2\right>\) i zbiorze wartości \(\left< 0, \infty\right)\). Poniższy rysunek potwierdza fakt, że funkcje \(f\vert_A\) i \(f\vert_A^{-1}\) są funkcjami odwrotnymi, ponieważ ich wykresy są do siebie symetryczne względem prostej \(y=x\).
Rysunek przedstawiający wykresy funkcji odwrotnych.