Wyrazimy miary podanych kątów w radianach:

• \(\displaystyle 30^{\circ}=30\cdot {\pi\over 180} = {\pi\over 6}\)

• \(\displaystyle 45^{\circ}=45\cdot {\pi\over 180} = {\pi\over 4}\)

• \(\displaystyle 60^{\circ}=60\cdot {\pi\over 180} = {\pi\over 3}\)

• \(\displaystyle 90^{\circ}=90\cdot {\pi\over 180} = {\pi\over 2}\)

• \(\displaystyle 270^{\circ} = 270\cdot {\pi\over 180} = {3\over 2}\pi\)

• \(\displaystyle 360^{\circ}=360\cdot {\pi\over 180} = 2\pi\)

• \(\displaystyle 5^{\circ}=5\cdot {\pi\over 180} = {\pi\over 36}\)

• \(\displaystyle 56^{\circ}=56\cdot {\pi\over 180} = {14\over 45}\pi\)

• \(\displaystyle 10^{\circ}=10\cdot {\pi\over 180} = {\pi\over 18}\)

• \(\displaystyle 75^{\circ}=75\cdot {\pi\over 180} = {5\over 12}\pi\)

Wyrazimy miary podanych kątów w stopniach:

• \(\displaystyle {\pi\over 12}= {\pi\over 12}\cdot {180^{\circ}\over \pi}=15^{\circ}\)

• \(\displaystyle {\pi\over 18}= {\pi\over 18}\cdot {180^{\circ}\over \pi}=10^{\circ}\)

• \(\displaystyle {5\over 4}\pi= {5\over 4}\pi\cdot {180^{\circ}\over \pi}=225^{\circ}\)

• \(\displaystyle {5\over 6}\pi= {5\over 6}\pi\cdot {180^{\circ}\over \pi}=150^{\circ}\)

• \(\displaystyle {7\over 6}\pi = \displaystyle {7\over 6}\pi\cdot {180^{\circ}\over \pi}=210^{\circ}\)

• \(\displaystyle {4\over 3}\pi= {4\over 3}\pi\cdot {180^{\circ}\over \pi}=240^{\circ}\)

• \(\displaystyle {7\over 5}\pi= {7\over 5}\pi\cdot {180^{\circ}\over \pi}=252^{\circ}\)

• \(\displaystyle {13\over 15}\pi= {13\over 15}\pi\cdot {180^{\circ}\over \pi}=156^{\circ}\)

• \(\displaystyle {19\over 10}\pi= {19\over 10}\pi\cdot {180^{\circ}\over \pi}=342^{\circ}\)

• \(\displaystyle {4\over 5}\pi= {4\over 5}\pi\cdot {180^{\circ}\over \pi}=144^{\circ}\)

Korzystając z powyższych definicji, obliczymy sinus, cosinus, tangens i cotangens kątów ostrych trójkąta prostokątnego o bokach długości \(3\), \(4\) i \(5\).

Oznaczmy przez \(\alpha\) kąt leżący naprzeciw krótszej przyprostokątnej (\({\czerwony{\boldsymbol{a=3}}}\)), a przez \(\beta\) kąt leżący naprzeciw dłuższej przyprostokątnej (\({\niebieski{\boldsymbol{b=4}}}\)). Ponieważ przeciwprostokątna ma długość \({\zielony{\boldsymbol{c=5}}}\), to otrzymujemy: \[\sin \alpha ={{\czerwony{\boldsymbol a}}\over {\zielony{\boldsymbol c}}}={3\over 5}\qquad\qquad \sin \beta ={{\niebieski{\boldsymbol b}}\over {\zielony{\boldsymbol c}}}={4\over 5}\] \[\cos \alpha ={{\niebieski{\boldsymbol b}}\over {\zielony{\boldsymbol c}}}={4\over 5}\qquad\qquad \cos \beta ={{\czerwony{\boldsymbol a}}\over {\zielony{\boldsymbol c}}}={3\over 5}\] \[\ \text{tg}\, \alpha ={{\czerwony{\boldsymbol a}}\over {\niebieski{\boldsymbol b}}}={3\over 4}\qquad\ \ \qquad \text{tg}\, \beta ={{\niebieski{\boldsymbol b}}\over {\czerwony{\boldsymbol a}}}={4\over 3}\] \[\text{ctg}\, \alpha ={{\niebieski{\boldsymbol b}}\over {\czerwony{\boldsymbol a}}}={4\over 3}\qquad\qquad \text{ctg}\, \beta ={{\czerwony{\boldsymbol a}}\over {\niebieski{\boldsymbol b}}}={3\over 4}\]

Obliczymy sinus, cosinus, tangens i cotangens kątów ostrych trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości \(4\) i \(6\).

Oznaczmy przez \(\alpha\) kąt leżący naprzeciw krótszej przyprostokątnej (\({\czerwony{\boldsymbol{a=4}}}\)), a przez \(\beta\) kąt leżący naprzeciw dłuższej przyprostokątnej (\({\niebieski{\boldsymbol{b=6}}}\)). Długość przeciwprostokątnej \({\zielony{\boldsymbol c}}\) obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa \[{\zielony{\boldsymbol c}}^2={\czerwony{\boldsymbol a}}^2+{\niebieski{\boldsymbol b}}^2\] \[{\zielony{\boldsymbol c}}^2=4^2+6^2=16+36=52\] \[{\zielony{\boldsymbol c}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\] Skoro \({\czerwony{\boldsymbol{a=4}}}\), \({\niebieski{\boldsymbol{b=6}}}\) i \({\zielony{\boldsymbol{c=2\sqrt{13}}}}\), to otrzymujemy:  \[\displaystyle\begin{array}{rcl}\displaystyle\sin \alpha ={{\czerwony{\boldsymbol a}}\over {\zielony{\boldsymbol c}}}={4\over 2\sqrt{13}}={2\over \sqrt{13}}={2\sqrt{13}\over 13} & & \displaystyle\sin \beta ={{\niebieski{\boldsymbol b}}\over {\zielony{\boldsymbol c}}}={6\over 2\sqrt{13}}={3\over \sqrt{13}}={3\sqrt{13}\over 13}\\ \displaystyle\cos \alpha ={{\niebieski{\boldsymbol b}}\over {\zielony{\boldsymbol c}}}={6\over 2\sqrt{13}}={3\over \sqrt{13}}={3\sqrt{13}\over 13}& & \displaystyle\cos \beta ={{\czerwony{\boldsymbol a}}\over {\zielony{\boldsymbol c}}}={4\over 2\sqrt{13}}={2\over \sqrt{13}}={2\sqrt{13}\over 13}\\ \displaystyle \ \text{tg}\, \alpha ={{\czerwony{\boldsymbol a}}\over {\niebieski{\boldsymbol b}}}={4\over 6}={2\over 3}& & \displaystyle\text{tg}\, \beta ={{\niebieski{\boldsymbol b}}\over {\czerwony{\boldsymbol a}}}={6\over 4}={3\over 2} \\ \displaystyle \text{ctg}\, \alpha ={{\niebieski{\boldsymbol b}}\over {\czerwony{\boldsymbol a}}}={6\over 4}={3\over 2}& &   \displaystyle\text{ctg}\, \beta ={{\czerwony{\boldsymbol a}}\over {\niebieski{\boldsymbol b}}}={4\over 6}={2\over 3}\end{array}\]

Rozważmy trójkąt równoboczny o boku długości \(1\). Wszystkie kąty w tym trójkącie mają miarę \({\pi\over 3}\) (\(60^{\circ}\)). Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że długość wysokości w tym trójkącie wynosi \({\sqrt{3}\over 2}\). Wysokość ta dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty prostokątne o kątach ostrych \({\pi\over 6}\) (\(30{^\circ}\)) i \({\pi\over 3}\) (\(60^{\circ}\)) oraz bokach długości \({1\over 2}\), \({\sqrt{3}\over 2}\), \(1\), jak na poniższym rysunku. Dla kątów \({\pi\over 6}\) oraz \({\pi\over 3}\) otrzymujemy zatem: \[ \matrix{ \eqalign{ \sin {\pi\over 6} &= {{1\over 2}\over 1}={1\over 2}\cr \cos {\pi\over 6} &= {{\sqrt{3}\over 2}\over 1}={\sqrt{3}\over 2}\cr \text{tg}\, {\pi\over 6} &= {{1\over 2}\over {\sqrt{3}\over 2}}={1\over \sqrt{3}}={\sqrt{3}\over 3}\cr \text{ctg}\, {\pi\over 6} &= {{\sqrt{3}\over 2}\over {1\over 2}}=\sqrt{3}\cr }& & & \eqalign{ \sin {\pi\over 3} &= {{\sqrt{3}\over 2}\over 1}={\sqrt{3}\over 2}\cr \cos {\pi\over 3} &= {{1\over 2}\over 1}={1\over 2}\cr \text{tg}\, {\pi\over 3} &= {{\sqrt{3}\over 2}\over {1\over 2}}=\sqrt{3}\cr \text{ctg}\, {\pi\over 3} &= {{1\over 2}\over {\sqrt{3}\over 2}}={1\over \sqrt{3}}={\sqrt{3}\over 3}\cr }\cr } \] Widzimy, że \[ \eqalign{ \sin {\pi\over 6}=\cos{\pi\over 3}\quad &\wedge \quad \cos {\pi\over 6}=\sin {\pi\over 3}\cr \text{tg}\, {\pi\over 6}=\text{ctg}\,{\pi\over 3}\quad &\wedge \quad \text{ctg}\, {\pi\over 6}=\text{tg}\, {\pi\over 3}\cr } \] Zależności te zostaną omówione szerzej w części Wzory redukcyjne.

Rozważmy trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych długości \(1\). Kąty ostre w tym trójkącie mają miarę \({\pi\over 4}\) (\(45^{\circ}\)). Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że długość przeciwprostokątnej w tym trójkącie wynosi \(\sqrt{2}\), jak na poniższym rysunku. Dla kąta \({\pi\over 4}\) otrzymujemy zatem: \[ \eqalignno{ \sin {\pi\over 4} &= {1\over \sqrt{2}}={\sqrt{2}\over 2}\cr \cos {\pi\over 4} &= {1\over \sqrt{2}}={\sqrt{2}\over 2}\cr \text{tg}\, {\pi\over 4} &= {1\over 1}=1\cr \text{ctg}\, {\pi\over 4} &= {1\over 1}=1\cr } \]

Korzystając z powyższej definicji, obliczymy sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta skierowanego \(\alpha\), którego wierzchołkiem jest początek układu współrzędnych, ramię początkowe pokrywa się z osią \(Ox\), a ramię końcowe przechodzi przez punkt \(P\left(-1,-\sqrt{3}\right)\).

Obliczamy najpierw odległość punktu \(P\left(-1,-\sqrt{3}\right)\) od początku układu współrzędnych \[r=\sqrt{(-1)^2 + \left(-\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\] Dla \(x=-1\), \(y=-\sqrt{3}\) i \(r=2\) otrzymujemy: \[\eqalign{\sin \alpha & = \frac{y}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2} \cr \cos \alpha & = \frac{x}{r} = \frac{-1}{2} \cr \text{tg}\: \alpha & = \frac{y}{x} = \frac{-\sqrt{3}}{-1}=\sqrt{3} \cr \text{ctg}\: \alpha & = \frac{x}{y} = \frac{-1}{-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \cr }\]

Rozważmy kąt skierowany o mierze \(0\) radianów. Wtedy ramię końcowe pokrywa się z ramieniem początkowym. Punkt \(P(x,0)\), gdzie \(x> 0\), leży na ramieniu końcowym i \(r=\sqrt{x^2+0^2}=\sqrt{x^2}=\vert x\vert=x\) (własność pierwiastka parzystego stopnia), jak na poniższym rysunku. Dla kąta \(0\) otrzymujemy więc: \[ \eqalign{ \sin 0 &= {0\over r}={0\over x}=0\cr \cos 0 &= {x\over r}={x\over x}=1\cr \text{tg}\, 0 &= {0\over x}=0\cr \text{ctg}\, 0 &– \hbox{nie istnieje}\cr } \]

Rozważmy kąt skierowany o mierze \(90^{\circ}\) \(\left({\pi\over 2}\right)\). Wtedy ramię końcowe pokrywa się z dodatnią półosią \(Oy\). Punkt \(P(0,y)\), gdzie \(y> 0\), leży na ramieniu końcowym i \(r=\sqrt{0^2+y^2}=\sqrt{y^2}=\vert y\vert=y\), jak na poniższym rysunku. Dla kąta \({\pi\over 2}\) otrzymujemy więc: \[ \eqalignno{ \sin {\pi\over 2} &= {y\over r}={y\over y}=1\cr \cos {\pi\over 2} &= {0\over r}={0\over y}=0\cr \text{tg}\, {\pi\over 2} &– \hbox{nie istnieje}\cr \text{ctg}\, {\pi\over 2} &= {0\over y}=0\cr } \]

Rozważmy kąt skierowany o mierze \(180^{\circ}\) \((\pi)\). Wtedy ramię końcowe pokrywa się z ujemną półosią \(Ox\). Punkt \(P(0,x)\), gdzie \(x< 0\), leży na ramieniu końcowym i \(r=\sqrt{x^2+0^2}=\sqrt{x^2}=\vert x\vert=-x\), jak na poniższym rysunku. Dla kąta \(\pi\) otrzymujemy więc: \[ \eqalign{ \sin \pi &= {0\over r}={0\over -x}=0\cr \cos \pi &= {x\over r}={x\over -x}= -1 \cr \text{tg}\, \pi &= {0\over x}=0\cr \text{ctg}\, \pi &\ –\hbox{ nie istnieje}\cr }\]

Rozważmy kąt skierowany o mierze \(270^{\circ}\) \(\left(\frac{3}{2}\pi\right)\). Wtedy ramię końcowe pokrywa się z ujemną półosią \(Oy\). Punkt \(P(0,y)\), gdzie \(y> 0\), leży na ramieniu końcowym i \(r=\sqrt{0^2+y^2}=\sqrt{y^2}=\vert y\vert=-y\), jak na poniższym rysunku. Dla kąta \(\frac{3}{2}\pi\) otrzymujemy więc: \[ \eqalign{ \sin \frac{3}{2}\pi &= {y\over r}={y\over -y}=-1\cr \cos \frac{3}{2}\pi &= {0\over r}={0\over -y}=0 \cr \text{tg}\, \frac{3}{2}\pi &\ –\hbox{ nie istnieje}\cr \text{ctg}\, \frac{3}{2}\pi &= {0\over -y}=0\cr } \]

Rozważmy kąt skierowany o mierze \(120^{\circ}\) \(\left(\frac{2}{3}\pi\right)\). Punkt \(P(x,y)\), gdzie \(x< 0\) i \(y> 0\), leży na ramieniu końcowym w odległości \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) od początku układu współrzędnych, jak na poniższym rysunku. Zauważmy, że dodatnia półoś \(Oy\) i ramię końcowe kąta tworzą kąt o mierze \({\pi\over 3}\). Możemy więc rozważyć trójkąt prostokątny o bokach długości \(-x\), \(y\) i \(r\), jak na poniższym rysunku. Na podstawie definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trójkącie prostokątnym oraz tabeli wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów możemy zapisać, że: \[ \eqalign{ {\czerwony{\boldsymbol{y\over r}}} &=\sin {\pi\over 3} =\frac{1}{2}\cr {\niebieski{\boldsymbol{-x\over r}}} &=\cos {\pi\over 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cr {\color{green}{{y\over -x}}} &=\text{tg}\, {\pi\over 3} = \sqrt{3} \cr {\fioletowy{\boldsymbol{-x\over y}}} &=\text{ctg}\, {\pi\over 3} = \frac{\sqrt{3}}{3}\cr } \] Dla kąta \(\frac{2}{3}\pi\) otrzymujemy więc: \[ \eqalign{ \sin \frac{2}{3}\pi &= {\czerwony{\boldsymbol{y\over r}}}=\sin {\pi\over 3} =\frac{1}{2}\cr \cos \frac{2}{3}\pi &= {x\over r}=-{\niebieski{\boldsymbol{-x\over r}}}=\cos {\pi\over 3} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cr \text{tg}\, \frac{2}{3}\pi &\ ={y\over x} =-{\color{green}{{y\over -x}}} = \text{tg}\, {\pi\over 3} = -\sqrt{3} \cr\text{ctg}\, \frac{2}{3}\pi &= {x\over y}= - {\fioletowy{\boldsymbol{-x\over y}}} = -\text{ctg}\, {\pi\over 3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\cr } \] Zależności między wartościami trygonometrycznymi kątów \({\pi\over 3}\) i \(\frac{2}{3}\pi\) nie są przypadkowe. Można zauważyć, że podobne związki pomiędzy wartościami funkcji trygonometrycznych kątów z ćwiartki pierwszej i odpowiednich kątów z ćwiartki drugiej, a nawet trzeciej i czwartej również zachodzą. Są to tak zwane wzory redukcyjne, które omówimy w następnym rozdziale.