Trudniejsze równania trygonometryczne

Dziedziną równania jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja sinus przyjmuje wartość $0$ dla $x=k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$, więc $$2x+4=k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ $$2x=-4+k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ Ostatecznie rozwiązaniami równania $\sin (2x+4)= 0$ są $$x=-2+{k\over 2}\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$

Dziedziną równania jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Ponieważ $\sin^2 x+\cos^2 x=1$, więc równanie możemy zapisać w równoważnej postaci $$\sin x =1$$ Funkcja sinus przyjmuje wartość $1$ dla $$x={\pi\over 2}+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$

Dziedziną równania jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Przekształcamy lewą stronę równania, korzystając ze wzoru na sumę sinusów $$2\sin {6x+2x\over 2}\cos {6x-2x\over 2}=0$$ $$2\sin 4x\cos 2x=0$$ Zatem $$\sin 4x=0\quad \vee \quad \cos 2x=0$$ Rozwiążemy najpierw równanie $\cos 2x=0$. Funkcja cosinus przyjmuje wartość zero dla ${\pi\over 2}+k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$, więc $$2x={\pi\over 2}+k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ $$x={\pi\over 4}+k{\pi\over 2},\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ Następnie rozwiązujemy równanie $\sin 4x=0$. Miejsca zerowe funkcji sinus mają postać $k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$, zatem $$4x=k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ $$x=k{\pi\over4},\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ Zauważmy, że jeżeli $k$ jest liczbą nieparzystą, tzn. $k=2p+1$, gdzie $p\in\mathbb{Z}$, to $$k{\pi\over4}=(2p+1){\pi\over4}=2p{\pi\over4}+{\pi\over4}=p{\pi\over2}+{\pi\over4}, \quad \text{gdzie} \quad p\in\mathbb{Z}$$ Oznacza to, że rozwiązania równania $\cos 2x=0$ są też rozwiązaniami równania $\sin 4x=0$. Ostatecznie rozwiązania równania $\sin 6x +\sin 2x=0$ możemy zapisać w postaci $$x=k{\pi\over4},\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$

Dziedziną równania jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Przekształcamy prawą stronę równania, korzystając ze wzoru na różnicę cosinusów $$2\sin 2x= -2 \sin {7x+3x\over 2}\sin {7x-3x\over 2}$$ $$2\sin 2x= -2 \sin 5x \sin 2x \ /:2$$ $$\sin 2x= - \sin 5x \sin 2x$$ $$\sin 2x+\sin 5x \sin 2x=0$$ Zapisujemy równanie w postaci iloczynowej, wyciągając wspólny czynnik $\sin 2x$ przed nawias $$(1+\sin 5x )\sin 2x=0$$ $$\quad\sin 2x=0\quad \vee \quad 1+\sin 5x=0$$ $$\sin 2x=0\quad \vee \quad \sin 5x=-1$$ Rozwiążemy najpierw równanie $\sin 2x=0$. Funkcja sinus przyjmuje wartość zero dla $k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$, zatem $$2x=k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ $$x=k{\pi\over 2},\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ Następnie rozwiązujemy równanie $\sin 5x=-1$. Funkcja sinus przyjmuje wartość $-1$ dla ${3\over 2}\pi+2k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$, zatem $$5x={3\over 2}\pi+2k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ $$x={3\over 10}\pi +{2\over 5}k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ Ostatecznie rozwiązania równania $2\sin 2x = \cos 7x -\cos 3x$ to $$x=k{\pi\over 2}\quad \vee \quad x={3\over 10}\pi +{2\over 5}k\pi,\quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$

Dziedziną równania jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Przekształcamy lewą stronę równania, wykorzystując wzór na sinus podwojonego kąta $$2\sin x -2\sin x\cos x=0$$ $$2\sin x(1- \cos x)=0 \ /:2$$ $$\sin x(1- \cos x)=0$$ $$\sin x=0\quad \vee \quad 1- \cos x=0$$ $$\sin x=0\quad \vee \quad \cos x=1$$ Rozwiązaniem równania $\sin x=0$ są miejsca zerowe funkcji $y=\sin x$, tzn. $$x=k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ Rozwiązanie równania $\cos x=1$ to $$x=2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ Możemy zauważyć, że rozwiązania równania $\cos x=1$ są też rozwiązaniami równania $\sin x=0$, więc rozwiązania równania $2\sin x - \sin 2x=0$ to $$x=k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$

Dziedziną równania jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Po podstawieniu za $t=\sin x$, gdzie $t\in \left<-1,1\right>$, otrzymujemy równanie kwadratowe $$t^2-t-2=0,$$ którego rozwiązaniami są $t_1=2$ i $t_2=-1$. Ponieważ $t=\sin x$ i $t\in \left<-1,1\right>$, więc odrzucamy rozwiązanie $t_1=2$ i otrzymujemy równanie $$\sin x=-1$$ Rozwiązania równania $\sin x=-1$ mają postać $$x={3\over 2}\pi+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$

Dziedziną równania jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i zastępujemy $\sin^2 x$ wyrażeniem $1-\cos^2 x$ $$\cos x +1 - 2(1-\cos^2 x)=0$$ $$\cos x +1 -2+ 2\cos^2 x=0$$ $$2\cos^2 x+ \cos x -1=0$$ Po podstawieniu za $t=\cos x$, gdzie $t\in \left<-1,1\right>$, otrzymujemy równanie kwadratowe $$2t^2+t-1=0,$$ którego rozwiązaniami są $t_1={1\over 2}$ i $t_2=-1$ Ponieważ $t=\sin x$ i $t\in \left<-1,1\right>$, więc mamy jeszcze do rozwiązania dwa równania $$\cos x={1\over 2}\quad \text{oraz} \quad \cos x=-1$$ Rozwiążemy najpierw równanie $\cos x={1\over 2}$. Rysujemy wykresy funkcji $y={1\over 2}$ oraz $y=\cos x$ Wiemy, że ${1\over 2}=\cos{\pi\over 3}$. Rozwiązania równania $\cos x= {1\over 2}$ leżą w ćwiartce I lub IV, więc mają postać $$x={\pi\over 3} +2k\pi \quad \vee \quad x=2\pi - {\pi\over 3}+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ Stąd $$x={\pi\over 3} +2k\pi \quad \vee \quad x={5\over 3}\pi+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ Następnie rozwiązujemy równanie $\cos x=-1$. Jego rozwiązania mają postać $$x=\pi+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$ Ostatecznie rozwiązania równania $\cos x +1 - 2\sin^2 x=0$ to $$x={\pi\over 3} +2k\pi \quad \vee \quad x={5\over 3}\pi+ 2k\pi \quad \vee \quad x=\pi+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}$$