Po podstawieniu \(t=x^2\), gdzie \(t \geq 0\), otrzymujemy równanie kwadratowe \[ t^2-10t+9=0 \] Ponieważ \(\Delta=64\), to pierwiastkami tego równania są: \[ t=1 \quad \vee \quad t=9 \] Skoro \(t=x^2\), gdzie \(t\geq 0\), to mamy jeszcze do rozwiązania dwa równania \[ x^2=1 \quad \hbox{oraz} \quad x^2=9 \] Zatem rozwiązaniami równania \(x^4-10x^2+9=0\) są: \[ x=1 \quad \vee\quad x=-1 \quad \hbox{oraz} \quad x=3\quad \vee \quad x=-3 \]

Podstawiamy \(t=x^2\), gdzie \(t \geq 0\). Otrzymujemy wtedy równanie kwadratowe \[ t^2-3t-10=0 \] Ponieważ \(\Delta=49\), to pierwiastkami tego równania są: \[ t=-2 \quad \vee \quad t=5 \] Skoro \(t=x^2\), gdzie \(t\geq 0\), to odrzucamy rozwiązanie \(t=-2\) i otrzymujemy równanie \[ x^2=5 \] Zatem rozwiązaniem równania dwukwadratowego jest \[ x=\sqrt{5} \quad \vee \quad x=-\sqrt{5} \]

Po podstawieniu \(t=x^2\), gdzie \(t \geq 0\), otrzymujemy równanie \[ t^2+8t+12=0 \] Ponieważ \(\Delta=16\), to pierwiastkami tego równania są: \[ t=-2 \quad \vee \quad t=-6 \] Skoro \(t\geq 0\), to odrzucamy oba rozwiązania i ostatecznie równanie dwukwadratowe jest sprzeczne.

Po podstawieniu \(t=x^2\), gdzie \(t \geq 0\), otrzymujemy równanie \[ t^2+2t+4=0 \] Ponieważ \(\Delta=-12\), to powyższe równanie nie ma rozwiązań, zatem równanie dwukwadratowe również jest sprzeczne.

Widzimy że, dziedziną zadanego równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\) i po podstawieniu \(t=x^3\), gdzie \(t \in\mathbb{R}\), otrzymujemy równanie kwadratowe \[ t^2+t-2=0 \] Ponieważ \(\Delta=9\), to pierwiastkami tego równania są: \[ t=1 \quad \vee \quad t=-2 \] Skoro \(t=x^3\), to mamy jeszcze do rozwiązania dwa równania \[ x^3=1 \quad \hbox{oraz} \quad x^2=-2 \] Zatem rozwiązaniami równania \(x^6+x^3-2=0\) są: \[ x=1 \quad \vee\quad x=-\sqrt[3]{2}\]

Widzimy, że dziedziną zadanego równania jest zbiór \(D=\left<0,\infty\right)\). Ponieważ \(\left(\sqrt{x}\right)^2=x\), to po podstawieniu \(t=\sqrt{x}\), gdzie \(t \geq 0\), otrzymujemy równanie kwadratowe \[ 2t^2+5t-3=0 \] Wówczas \(\Delta=49\), dlatego pierwiastkami tego równania są: \[ t=\frac{1}{2} \quad \vee \quad t=-3 \] Skoro \(t=\sqrt{x}\), gdzie \(t\geq 0\), więc odrzucamy rozwiązanie \(t=-3\) i otrzymujemy równanie \[ \sqrt{x}=\frac{1}{2} \] Zatem rozwiązaniem równania \(2x+5\sqrt{x}-3=0\) jest \[ x=\frac{1}{4}\in D\]

Widzimy, że dziedziną zadanego równania jest zbiór \(D=\left<-2,\infty\right)\). Porządkujemy najpierw to równanie \[3x+7+4\sqrt{x+2}=0\] Zauważamy wtedy, że można je zapisać w postaci \[3(x+2)+1+4\sqrt{x+2}=0\] Ponieważ \(\left(\sqrt{x+2}\right)^2=x+2\), to po podstawieniu \(t=\sqrt{x+2}\), gdzie \(t \geq 0\), otrzymujemy równanie kwadratowe \[ 3t^2+4t+1=0 \] Wówczas \(\Delta=4\), dlatego pierwiastkami tego równania są: \[ t=-\frac{1}{3} \quad \vee \quad t=-1 \] Skoro \(t\geq 0\), to odrzucamy oba rozwiązania i ostatecznie zadane równanie jest sprzeczne.

Widzimy, że dziedziną zadanego równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Porządkujemy najpierw to równanie \[6\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-1=0\] Ponieważ \(\sqrt[3]{x^2}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2\), to po podstawieniu \(t=\sqrt[3]{x}\), gdzie \(t \in\mathbb{R}\), otrzymujemy równanie kwadratowe \[ 6t^2+t-1=0 \] Wówczas \(\Delta=25\), dlatego pierwiastkami tego równania są: \[ t=-\frac{1}{2} \quad \vee \quad t=\frac{1}{3} \] Skoro \(t\in\mathbb{R}\), to nie odrzucamy żadnego rozwiązania i mamy jeszcze do rozwiązania dwa równania \[ \sqrt[3]{x}=-\frac{1}{2} \quad \hbox{oraz} \quad \sqrt[3]{x}=\frac{1}{3} \] Zatem rozwiązaniami równania \(6\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}=1\) są: \[ x=-\frac{1}{8} \quad \vee\quad x=\frac{1}{27} \]

Widzimy że, dziedziną zadanego równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponieważ \(\left(\vert x\vert\right)^2=x^2\), to po podstawieniu \(t=|x|\), gdzie \(t \geq 0\), otrzymujemy równanie kwadratowe \[ t^2-4t+3=0 \] Wówczas \(\Delta=4\), więc pierwiastkami tego równania są: \[ t=1 \quad \vee \quad t=3 \] Skoro \(t=|x|\), gdzie \(t\geq 0\), to mamy jeszcze do rozwiązania dwa równania \[ |x|=1 \quad \hbox{oraz} \quad |x|=3 \] Zatem rozwiązaniami równania \(x-4|x|+3=0\) są: \[ x=1 \quad \vee\quad x=-1 \quad \hbox{oraz} \quad x=3\quad \vee \quad x=-3 \]

Widzimy że, dziedziną zadanej nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Po podstawieniu \(t=x^2\), gdzie \(t \geq 0\), otrzymujemy nierówność kwadratową \[ -4t^2-15t+4> 0 \] Ponieważ \(\Delta=289\), to miejscami zerowymi funkcji \(y=-4t^2-15t+4\) są: \[ t=\frac{1}{4} \quad \vee \quad t=-4 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=-4t^2-15t+4\). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \( 4t^2-15t+4> 0\) \[t\in\left(-4,\frac{1}{4}\right)\] Musimy jednak pamiętać, że \(t\geq 0\), dlatego \[t\in\left< 0,\frac{1}{4}\right)\] Skoro \(t=x^2\), to \[0\leq x^2 < \frac{1}{4}\]Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, to powyższa nierówność podwójna jest równoważna z nierównością \[x^2-\frac{1}{4}< 0\] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=x^2-\frac{1}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(-4x^4-15x^2+4>0\) \[x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\]

Widzimy że, dziedziną zadanej nierówności jest zbiór \(D=\left<0,\infty\right)\) i po podstawieniu \(t=\sqrt{x}\), gdzie \(t \geq 0\), otrzymujemy nierówność kwadratową \[ t^2-5t+6>0 \] Ponieważ \(\Delta=1\), to miejscami zerowymi funkcji \(y=t^2-5t+6\) są: \[ t=2 \quad \vee \quad t=3 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=t^2-5t+6\). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \( t^2-5t+6>0\) \[t\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,\infty\right)\] Musimy jednak pamiętać, że \(t\geq 0\), dlatego \[t\in\left< 0,2\right)\cup\left(3,\infty\right)\]Warunek ten możemy zapisać jako alternatywę dwóch nierówności \[0\leq t\lt 2 \quad \vee\quad t>3\] Skoro \(t=\sqrt{x}\), to \[0\leq \sqrt{x}\lt 2 \quad \vee\quad \sqrt{x}>3\] \[0\leq x\lt 4 \quad \vee\quad x>9\] Zatem rozwiązanie nierówności \(x-5\sqrt{x}+6>0\) to \[x\in\left< 0,4\right)\cup\left(9,\infty\right)\]

Widzimy że, dziedziną zadanej nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Po podstawieniu \(t=|x|\), gdzie \(t \geq 0\), otrzymujemy nierówność kwadratową \[ t^2-3t+2\leq 0 \] Ponieważ \(\Delta=1\), to miejscami zerowymi funkcji \(y=t^2-3t+2\) są: \[ t=1 \quad \vee \quad t=2 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=t^2-3t+2\). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \( t^2-3t+2\leq 0\) \[t\in\left<1,2\right>\] Rozwiązanie to spełnia warunek \(t\geq 0\), więc możemy zapisać je w postaci koniunkcji dwóch nierówności \[t\geq 1\quad \wedge\quad t\leq 2\] Skoro \(t=|x|\), to \[|x|\geq 1\quad \wedge\quad |x|\leq 2\]Rozwiązujemy obie nierówności z wartością bezwzględną i otrzymujemy \[t\in\left(-\infty, -1\right>\cup \left<1,\infty\right) \quad \wedge\quad x\in\left<-2,2\right>\] Na koniec musimy znaleźć część wspólną obu tych zbiorów. Zatem rozwiązanie nierówności \(x-3|x|+2\leq 0\) to \[x\in\left< -2,-1\right>\cup\left<1,2\right>\]