Funkcja wykładnicza \(y=5^x\) przyjmuje tylko wartości dodatnie. Skoro \(-5\) jest liczbą ujemną, to równanie \(5^x=-5\) jest sprzeczne.

Powyższe równanie można zapisać w postaci \[ 3^x=3^3 \] Z różnowartościowości funkcji wykładniczej \(y=3^x\) wynika, że \(x=3\).

Aby zapisać prawą stronę równania jako potęgę liczby \({1\over 4}\), korzystamy z własności potęgowania liczb i otrzymujemy \[ \sqrt{2}=\sqrt{\sqrt{4}}=\root 4 \of {4}= 4^{1\over 4}=\left({1\over 4}\right)^{-{1\over 4}} \] Równanie można więc zapisać w postaci \[ \left({1\over 4}\right)^{x^2}=\left({1\over 4}\right)^{-{1\over 4}} \] Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, opuszczamy więc podstawę \({1\over 4}\) i otrzymujemy równanie równoważne \[ x^2=-{1\over 4}, \] które jest sprzeczne, ponieważ \(x^2\geq 0\) dla każdego \(x\in \mathbb{R}\).

Po opuszczeniu podstawy \({1\over 3}\) mamy \[ x^2-3x=x-3 \] \[ x^2-4x+3=0 \] Ponieważ \(\Delta =4\), więc \[ x=1 \quad \vee \quad x=3 \]

Wykorzystujemy własności działań na potęgach i otrzymujemy równanie równoważne: \[ 5^x\cdot5^1+5^x\cdot 5^2-22\cdot 5^x=6^x\cdot 6^1+2\cdot 6^x \] \[ 5^x(5+25-22)=6^x(6+2) \] \[ 8\cdot 5^x=8\cdot 6^x \ /:8 \] \[ 5^x=6^x \] Ponieważ funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych, więc możemy obie strony równania podzielić przez \(6^x\). Wtedy: \[ \quad\ {5^x\over 6^x}=1 \] \[ \left({5\over 6}\right)^x=1 \] \[ \: \qquad\left({5\over 6}\right)^x=\left({5\over 6}\right)^0 \] Po opuszczeniu podstawy \({5\over 6}\) otrzymujemy rozwiązanie \(x=0\).

Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy równanie równoważne: \[ 3^x\cdot3^1+3^x=4^x\cdot 4^1-4^x \] \[ 3^x(3+1)=4^x(4-1) \] \[ \qquad 4\cdot 3^x=3\cdot 4^x \ /:4 \] \[ \:\quad 3^x={3\over 4}\cdot 4^x \] Ponieważ funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych, więc możemy obie strony równania podzielić przez \(4^x\). Wtedy: \[ {3^x\over 4^x}={3\over 4} \] \[ \quad\left({3\over 4}\right)^x=\left({3\over 4}\right)^1, \] co po opuszczeniu podstawy \({3\over 4}\) daje rozwiązanie \(x=1\).

Wiemy, że \(4^x=\left(2^2\right)^x=\left(2^x\right)^2 \), dlatego zadane równanie możemy zapisać w postaci \[\left(2^x\right)^2-10\cdot 2^x+16=0\] Po podstawieniu \(t=2^x \), gdzie \(t>0 \), otrzymujemy równanie kwadratowe \[t^2-10t+16=0\] Ponieważ \(\Delta=36 \), to pierwiastkami tego równania są \[t=2\quad \vee\quad t=8\] Skoro \(t=2^x \), to mamy jeszcze do rozwiązania dwa równania \[2^x=2 \quad \hbox{oraz} \quad 2^x=2^3\] Zatem rozwiązania zadanego równania wykładniczego to \[x=1 \quad \vee \quad x=3\]

Wiemy, że \(9^x=\left(3^x\right)^2 \) oraz \(27^x=\left(3^x\right)^3 \), dlatego zadane równanie możemy zapisać w postaci \[\left(3^x\right)^3-6\cdot\left(3^x\right)^2-25\cdot 3^x-18=0\] Po podstawieniu \(t=3^x \), gdzie \(t>0 \), otrzymujemy równanie wielomianowe \[t^3-6t^2-25t-18=0\] Ponieważ współczynniki wielomianu \(W(t)=t^3-6t^2-25t-18 \) są liczbami całkowitymi, to zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach całkowitych takich pierwiastków wielomianu \(W(t)\) należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby \(-18 \) to: \(1 \), \(-1 \), \(2 \), \(-2 \), \(3 \), \(-3 \), \(6 \), \(-6 \), \(9 \), \(-9 \), \(18 \), \(-18 \). Ponieważ \[W(-1)=-1-6+25-18=0,\] to \(-1 \) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(t) \) i zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian \(W(t)\) jest podzielny przez dwumian \(t+1 \). Podzielimy wielomian \(W(t) \) przez \(t+1 \), wykorzystując schemat Hornera.

	\(1\)	\(-6\)	\(-25\)	\(-18\)
\(-1\)	\(1\)	\(-7\)	\(-18\)	\(0\)

Zatem równanie wielomianowe \(W(t)=0 \) można zapisać w postaci \[(t+1)\left( t^2-7t-18 \right)=0\] Jeśli rozłożymy trójmian kwadratowy na czynniki, otrzymamy równanie \[(t+1)(t+2)(t-9)=0\] równoważne z alternatywą trzech równań liniowych \[\ \: t+1=0\quad \vee \quad t+2=0 \quad \vee \quad t-9=0\] \[t=-1\quad \vee \:\ \quad t=-2 \:\ \quad \vee \quad t=9\] Skoro \(t=3^x \) i \(t>0 \), to odrzucamy rozwiązania \(t=-1 \) i \(t=-2 \) i otrzymujemy równanie \[3^x=9\quad\Longleftrightarrow\quad 3^x=3^2\] Zatem rozwiązaniem zadanego równania wykładniczego jest \(x=2 \).

Wiemy, że funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie. Skoro \(-2\) jest liczbą ujemną, to nierówność jest sprzeczna.

Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie (większe niż \(-7\)), zatem nierówność jest spełniona dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).

Powyższą nierówność można zapisać w postaci \[ 3^x\leq 3^{-3} \] Ponieważ funkcja \(y=3^x\) jest rosnąca, dlatego opuszczając podstawę \(3\), nie zmieniamy kierunku nierówności. Otrzymujemy wtedy \[ x\leq -3 \] Zatem rozwiązanie nierówności to \(x\in \left(-\infty,-3\right>\).

Powyższą nierówność można zapisać w postaci \[ \left({1\over 2}\right)^{-x^2}<\left({1\over 2}\right)^{-1} \] Ponieważ funkcja wykładnicza \(y=\left({1\over 2}\right)^x\) jest malejąca, zatem opuszczając podstawę \({1\over 2}\), musimy zmienić kierunek nierówności na przeciwny: \[ \qquad -x^2>-1\ /:(-1) \] \[ x^2<1 \] \[ x^2-1<0 \] \[ (x+1)(x-1)<0 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(x+1)(x-1)\) Z rysunku odczytujemy, że rozwiązaniem nierówności jest \(x\in\left(-1,1\right)\).

Ponieważ \(1=\left({1\over 3}\right)^0\), zatem \[ \left({1\over 3}\right)^{x^2-4x}\leq \left({1\over 3}\right)^0 \] Funkcja wykładnicza \(y=\left({1\over 3}\right)^x\) jest malejąca, więc dana nierówność jest równoważna z nierównością \[ x^2-4x\geq 0 \] \[ x(x-4)\geq 0 \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=x(x-4)\). Z rysunku odczytujemy, że rozwiązaniem jest \(x\in \left(-\infty, 0\right>\cup\left<4,\infty\right)\).

Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy nierówność równoważną: \[ 2^x\cdot2^3-5^x>7\cdot 2^x\cdot 2^{-2}-3\cdot 5^x\cdot 5^{-1} \] \[ 8\cdot 2^x -{7\over 4}\cdot 2^x > 5^x -{3\over 5}\cdot 5^x \] \[ \left(8-{7\over 4}\right)\cdot 2^x>\left(1-{3\over 5}\right)\cdot 5^x \] \[ {25\over 4}\cdot 2^x > {2\over 5}\cdot 5^x \] Ponieważ funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych, więc możemy obie strony równania podzielić przez \(5^x\): \[ \ \qquad {25\over 4}\cdot 2^x > {2\over 5}\cdot 5^x \ /:5^x \] \[ \ \quad {25\over 4}\cdot {2^x\over 5^x} > \left.{2\over 5} \ \right/:{25\over 4} \] \[\ \ {2^x\over 5^x} > {8\over 125} \] \[ \left({2\over 5}\right)^x > \left({2\over 5}\right)^3 \] Ponieważ funkcja \(y=\left({2\over 5}\right)^x \) jest malejąca, to opuszczając podstawę \({2\over 5}\), zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny. Otrzymujemy więc \[ x<3 \] Rozwiązaniem nierówności jest \(x\in \left(-\infty,3\right)\).

Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy nierówność równoważną: \[ \left({1\over 2}\right)^{\vert x-4\vert}\leq \left({1\over 2}\right)^3 \] Ponieważ funkcja \(y=\left({1\over 2}\right)^x \) jest malejąca, to \[ \vert x-4\vert\geq 3 \] Wykorzystując własności wartości bezwzględnej, opuszczamy wartość bezwzględną \[ \: x-4 \leq -3 \quad \vee \quad x-4\geq 3 \] \[ \quad x \leq 1 \quad \vee \quad x\geq 7 \] Zatem rozwiązanie nierówności to \(x\in\left(-\infty, 1\right>\cup\left<7,\infty\right)\).