Obliczymy różnicę \(a_{n+1}-a_n\) i zbadamy jej znak. \[ \eqalignno{ a_{n+1}-a_n&=\left[(n+1)^2+4(n+1)+1\right]-\left[n^2+4n+1\right]=\cr &=n^2+2n+1+4n+4+1-n^2-4n-1=\cr &=2n+5\cr } \] Ponieważ liczba \(2n+5\) jest dodatnia dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), to zgodnie z pierwszym faktem ciąg \(\left(a_n\right)\) jest rosnący.

Obliczymy iloraz \({a_{n+1} \over a_n}\). \[ {a_{n+1}\over a_n}={{n+1+1\over 2(n+1)}\over {n+1\over 2n}}={n+2\over 2(n+1)}\:\cdot\:{2n\over n+1}= {n(n+2)\over (n+1)^2}={n^2+2n\over n^2+2n+1} \] Zauważmy, że licznik \(n^2+2n\) jest o jeden mniejszy od mianownika \(n^2+2n+1\), więc iloraz \({n^2+2n\over n^2+2n+1}<1\) dla \(n\in\mathbb{N}\). Zatem zgodnie z drugim faktem ciąg \(\left(a_n\right)\) jest malejący.

Korzystając z własności działań na potęgach, obliczymy iloraz \({a_{n+1}\over a_n}\) i ustalimy, czy jest on większy, czy też mniejszy od jedności. \[ \displaystyle {a_{n+1}\over a_n}={3\cdot 4^{3(n+1)+2}\over 3\cdot 4^{3n+2}}={4^{3n+5}\over 4^{3n+2}}=4^3=64 \] Ponieważ \(64>1\), to zgodnie z drugim faktem ciąg \(\left(a_n\right)\) jest rosnący.

Wyznaczymy wzór na \(n+1\) wyraz ciągu. \[a_{n+1}=\left({1\over 3}\right)^{4(n+1)^2-(n+1)-1}=\left({1\over 3}\right)^{4n^2+8n+4-n-1-1}= \left({1\over 3}\right)^{4n^2+7n+2}\] Obliczymy teraz iloraz \({a_{n+1}\over a_n}\) \[ {a_{n+1}\over a_n}={\left({1\over 3}\right)^{4n^2+7n+2}\over \left({1\over 3}\right)^{4n^2-n-1}}=\left({1\over 3}\right)^{8n+3} \] Ponieważ liczba \(\left({1\over 3}\right)^{8n+3}\) jest mniejsza od \(1\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), to zgodnie z drugim faktem ciąg \(\left(a_n\right)\) jest malejący.

Korzystając z własności logarytmów, obliczymy różnicę \({a_{n+1} - a_n}\), a następnie zbadamy jej znak. \[ {a_{n+1}- a_n}=\log_3\left({2\over n+1}\right)- \log_3\left({2\over n}\right)=\log_3\left({{2\over n+1}\over {2\over n}}\right)=\log_3 {n\over n+1} \] Ponieważ \(n<n+1\) dla \(n\in\mathbb{N}\), to \({n\over n+1}<1\). Wiemy, że funkcja \(y=\log_3x\) jest rosnąca, zatem \[\log_3 {n\over n+1}<\log_3 1, \] co oznacza, że \[ {a_{n+1}- a_n}=\log_3 {n\over n+1}<\log_3 1 = 0 \quad \hbox{dla}\quad n\in\mathbb{N} \] Zgodnie z pierwszym faktem ciąg \(\left(a_n\right)\) jest malejący.

Obliczamy różnicę \({a_{n+1} - a_n}\), korzystając ze wzoru na różnicę logarytmów \[{a_{n+1}- a_n}=\log_{1\over 2}\left({1\over n+2}\right)- \log_{1\over 2}\left({1\over n+1}\right)=\log_{1\over 2}\left({{1\over n+2}\over {1\over n+1}}\right)=\log_{1\over 2} {n+1\over n+2} \] Ponieważ \(n+1<n+2\) dla \(n\in\mathbb{N}\), to \({n+1\over n+2}<1\). Ponieważ funkcja \(y=\log_{1\over 2}x\) jest malejąca, zatem \[\log_{1\over 2} {n+1\over n+2}>\log_{1\over 2} 1,\] co oznacza, że \[a_{n+1}- a_n=\log_{1\over 2} {n+1\over n+2}>\log_{1\over 2} 1=0 \quad \hbox{dla}\quad n\in\mathbb{N}\] Zgodnie z pierwszym faktem ciąg \(\left(a_n\right)\) jest rosnący.

Ponieważ we wzorze \(a_n={3^n\over (n+3)!}\) występuje silnia liczby naturalnej, wygodniej jest rozważać iloraz \({a_{n+1} \over a_n}\), gdyż \((n+4)!=(n+3)!\cdot (n+4)\) (własność silni). \[ \eqalign {{a_{n+1}\over a_n}&={{3^{n+1}\over (n+4)!}\over {3^n\over (n+3)!}}={3^n\cdot 3\over (n+3)!(n+4)}\cdot{(n+3)!\over 3^n}=\cr &={3\over n+4}<1 \quad \hbox{dla}\quad n\in\mathbb{N}\cr } \] Zatem ciąg \(\left(a_n\right)\) jest malejący.

Zbadamy znak różnicy \(a_{n+1} - a_n\), korzystając ze wzoru na sześcian sumy \[\eqalign{ {a_{n+1} - a_n}&=\frac{1}{6}(n+1)^3-4(n+1) +1-\left(\frac{1}{6}n^3-4n +1\right)=\cr &=\frac{1}{6}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6}-4n-4+1-\frac{1}{6}n^3+4n-1=\cr &=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n-\frac{23}{6}\cr }\] Aby ustalić znak wyrażenia \(\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n-\frac{23}{6}\), wykorzystamy wykres funkcji kwadratowej \(y=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n-\frac{23}{6}\). Ponieważ \(\Delta=\frac{95}{12}\), więc miejscami zerowymi tej funkcji są: \[x_1=\frac{-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{95}{12}}}{ 2\cdot \frac{1}{2}}, \quad x_2=\frac{-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{95}{12}}}{ 2\cdot \frac{1}{2}}\] \[x_1=-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{95}{12}}, \quad x_2=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{95}{12}}\] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{23}{6}\). Z rysunku można odczytać, że dla \(n\geq 3\) różnica \(a_{n+1} - a_n=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n-\frac{23}{6}\) jest dodatnia. Oznacza to, że ciąg \(\left(a_n\right)\) jest rosnący od wyrazu trzeciego.

Ponieważ funkcja \(y=\cos x\) jest ograniczona i przyjmuje wartości tylko z przedziału \(\left<-1,1\right>\), zatem dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) \[ -1\leq a_n=\cos {1\over n} \leq 1, \] co oznacza, że ciąg \(\left(a_n\right)\) jest ograniczony.

Wypiszemy kilka początkowych wyrazów ciągu \(\left(a_n\right)\): \[ a_1=-1,\quad a_2={1\over 2}, \quad a_3=-{1\over 3}, \quad a_4={1\over 4}, \ldots \] Zauważmy, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) mamy \[ -1\leq {(-1)^n\over n} \leq 1, \] co oznacza, że ciąg \(\left(a_n\right)\) jest ograniczony.

Zauważmy, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) \[ 20-n< 20, \quad \] co oznacza, że ciąg \(\left(a_n\right)\) jest ograniczony z góry. Nie jest on jednak ograniczony z dołu. Aby to wykazać, musimy dla każdej liczby rzeczywistej \(m\) znaleźć dodatnią liczbę naturalną \(k\) taką, że \[ a_k<m \] Ponieważ \(a_k=20-k\), to szukane \(k\) powinno spełniać nierówność \[ 20-k<m \] \[ k>20-m \] Zatem wystarczy przyjąć za \(k\) najmniejszą dodatnią liczbę naturalną większą od \(20-m\), aby dla dowolnej liczby rzeczywistej \(m\) spełniony był warunek \(a_k<m\).

Ponieważ wykresem funkcji \(y=x^2-2x\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \((1,-1)\) (jak na poniższym rysunku), to przyjmuje ona wartości z przedziału \(\left<-1,\infty\right)\). Zatem dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) \[ a_n=n^2-2n\geq -1, \] co oznacza, że ciąg \(\left(a_n\right)\) jest ograniczony z dołu. Nie jest on jednak ograniczony z góry.