Zgodnie z definicją pierwiastkiem stopnia \(2\) z liczby \(z=-11+60\:\!\mathrm{i}\) jest każda liczba zespolona \(w=a+b\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(a,b\in\mathbb{R}\), spełniająca warunek \[-11+60\:\!\mathrm{i}=(a+b\!\:\mathrm{i})^2\] Podnosimy prawą stronę tego równania do kwadratu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia i pamiętając, że \(\mathrm{i}^2=-1\) \[{11-60\:\! \mathrm{i}}=a^2+2ab\!\:\mathrm{i}-b^2\] Po porównaniu odpowiednich części liczb zespolonych stojących po obu stronach naszej równości otrzymujemy układ równań \[\left\{\eqalign{-11&=a^2-b^2\cr 60&=2ab\cr}\right.\] Ponieważ moduły równych sobie liczb zespolonych sa takie same, to możemy dopisać do układu trzecie równanie \[\vert -11+60\:\!\mathrm{i} \vert =\vert (a+b\!\:\mathrm{i})^2\vert \quad\Longleftrightarrow\quad 61=\vert a+b\!\:\mathrm{i}\vert ^2\quad\Longleftrightarrow\quad 61=a^2+b^2\] Wówczas mamy do rozwiązania następujący układ równań \[\left\{\eqalign{-11&=a^2-b^2\cr 60&=2ab\cr 61&=a^2+b^2\cr}\right.\] Po dodaniu stronami pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy \[\quad\quad\ 50=2a^2 \: /:2\]\[a^2=25\] Zatem \[a=5\quad \vee\quad a=-5\] Z drugiego równania wyznaczamy niewiadomą \(b\), wiedząc, że \(a\neq 0\). \[b={60\over 2a}=\frac{30}{a}\] Wynika stąd, że rozwiązaniami naszego układu równań są dwie pary liczb rzeczywistych \[\cases{a=5\cr b=6\cr}\quad \vee \quad \cases{a=-5\cr b=-6\cr}\] Ostatecznie elementami zbioru \(\sqrt{-11+60\:\!\mathrm{i}}\) są liczby \[w_1=5+6\:\!\mathrm{i}\quad \text{oraz}\quad w_2=-5-6\:\!\mathrm{i}\]

Zgodnie z definicją pierwiastkiem stopnia \(2\) z liczby \(z=-8+15\:\!\mathrm{i}\) jest każda liczba zespolona \(w=a+b\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(a,b\in\mathbb{R}\), spełniająca warunek \[-8+15\:\!\mathrm{i}=(a+b\!\:\mathrm{i})^2\] Podnosimy prawą stronę tego równania do kwadratu \[-8+15\mathrm{i}=a^2+2ab\!\:\mathrm{i}-b^2\] Po porównaniu odpowiednich części liczb zespolonych stojących po obu stronach naszej równości otrzymujemy układ równań \[\left\{\eqalign{-8&=a^2-b^2\cr 15&=2ab\cr}\right.\]Dopisujemy do układu trzecie równanie, ponieważ \[\vert -8+15\:\!\mathrm{i} \vert =\vert (a+b\!\:\mathrm{i})^2\vert \quad\Longleftrightarrow\quad 17=\vert a+b\!\:\mathrm{i}\vert ^2\quad\Longleftrightarrow\quad 17=a^2+b^2\] Wówczas mamy do rozwiązania następujący układ równań \[\left\{\eqalign{-8&=a^2-b^2\cr 15&=2ab\cr 17&=a^2+b^2\cr}\right.\] Po dodaniu stronami pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy \[\quad\quad\ 9=2a^2 \: /:2\]\[a^2=\frac{9}{2}\] Zatem \[a=\frac{3}{\sqrt{2}}\quad \vee\quad a=-\frac{3}{\sqrt{2}}\] Z drugiego równania wyznaczamy niewiadomą \(b\), wiedząc, że \(a\neq 0\). \[b={15\over 2a}\] Wynika stąd, że rozwiązaniami naszego układu równań są dwie pary liczb rzeczywistych \[\cases{a=\frac{3}{\sqrt{2}}\cr b=\frac{15}{\frac{6}{\sqrt{2}}}=\frac{15\sqrt 2}{6}=\frac{5\sqrt 2}{2}\cr}\quad \vee \quad \cases{a=-\frac{3}{\sqrt{2}}\cr b=-\frac{5\sqrt 2}{2}\cr}\] Ostatecznie elementami zbioru \(\sqrt{-8+15\:\!\mathrm{i}}\) są liczby \[w_1=\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5\sqrt 2}{2}\:\!\mathrm{i}\quad \text{oraz}\quad w_2=-\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{5\sqrt 2}{2}\:\!\mathrm{i}\]

Zgodnie z definicją pierwiastkiem stopnia \(2\) z liczby \(z=2-4\:\!\mathrm{i}\) jest każda liczba zespolona \(w=a+b\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(a,b\in\mathbb{R}\), spełniająca warunek \[2-4\:\!\mathrm{i}=(a+b\!\:\mathrm{i})^2\] Podnosimy prawą stronę tego równania do kwadratu \[2-4\:\!\mathrm{i}=a^2+2ab\!\:\mathrm{i}-b^2\] Po porównaniu odpowiednich części liczb zespolonych stojących po obu stronach naszej równości otrzymujemy układ równań, do którego dla wygody dopisujemy trzecie równanie \[\left\{\eqalign{2&=a^2-b^2\cr -4&=2ab\cr 2\sqrt{5}&=a^2+b^2\cr}\right.\] Po dodaniu stronami pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy \[\quad\quad\ 2+2\sqrt{5}=2a^2 \: /:2\]\[a^2=1+\sqrt{5}\] Zatem \[a=\sqrt{1+\sqrt{5}}\quad \vee\quad a=-\sqrt{1+\sqrt{5}}\] Z drugiego równania wyznaczamy niewiadomą \(b\), wiedząc, że \(a\neq 0\). \[b={-4\over 2a}=-\frac{2}{a}\] Wynika stąd, że rozwiązaniami naszego układu równań są dwie pary liczb rzezcywistych \[\left\{\eqalign{a&=\sqrt{1+\sqrt{5}}\cr b&=-\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\cr}\right.\quad \vee \quad \left\{\eqalign{a&=-\sqrt{1+\sqrt{5}}\cr b&=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\cr}\right.\] Ostatecznie elementami zbioru \(\sqrt{2-4\:\!\mathrm{i}}\) są liczby \[w_1=\sqrt{1+\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\:\!\mathrm{i}\quad \text{oraz}\quad w_2=-\sqrt{1+\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\:\!\mathrm{i}\]

Zgodnie z definicją pierwiastkiem stopnia \(3\) z liczby \(z=\mathrm{i}\) jest każda liczba zespolona \(w=a+b\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(a,b\in\mathbb{R}\), spełniająca warunek \[\mathrm{i}=(a+b\!\:\mathrm{i})^3\] Podnosimy prawą stronę tego równania do trzeciej potęgi, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy \[\mathrm{i}=a^3+3a^2b\:\!\mathrm{i}-3ab^2-b^3\mathrm{i}\] Po porównaniu odpowiednich części liczb zespolonych stojących po obu stronach naszej równości otrzymujemy układ równań \[\left\{\eqalign{0&=a^3-3ab^2\cr 1&=3a^2b-b^3 \cr}\right.\] W pierwszym równaniu wyłączamy niewiadomą \(a\) przed nawias i otrzymujemy \[a\left(a^2-3b^2\right)=0\] \[a=0\quad\vee\quad a^2=3b^2\]\[a=0\quad\vee\quad a=b\sqrt{3}\quad\vee\quad a=-b\sqrt{3}\] Po podstawieniu \(a=0\) do drugiego równania otrzymujemy \[1=-b^3 \quad \Longleftrightarrow \quad b=-1\] Dla \(a=b\sqrt{3}\) oraz \(a=-b\sqrt{3}\) z drugiego równania dostajemy \[1=9b^3-b^3 \quad \Longleftrightarrow \quad 1=8b^3 \quad \Longleftrightarrow \quad b=\frac{1}{2}\] Rozwiązaniami układu są więc następujące pary liczb rzeczywistych \[\cases{a=0\cr b=-1\cr }\quad \vee \quad \cases{a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cr b=\frac{1}{2}\cr}\quad \vee \quad \cases{a=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cr b=\frac{1}{2}\cr}\] Ostatecznie elementami zbioru \(\sqrt[3]{\mathrm{i}}\) są liczby \[w_1=-\mathrm{i},\quad w_2=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\:\!\mathrm{i},\quad w_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\:\!\mathrm{i}\]

Zgodnie z definicją pierwiastkiem stopnia \(3\) z liczby \(z=-8\) jest każda liczba zespolona \(w=a+b\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(a,b\in\mathbb{R}\), spełniająca warunek \[-8=(a+b\!\:\mathrm{i})^3\] Podnosimy prawą stronę tego równania do trzeciej potęgi, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy \[-8=a^3+3a^2b\:\!\mathrm{i}-3ab^2-b^3\mathrm{i}\] Po porównaniu odpowiednich części liczb zespolonych stojących po obu stronach naszej równości otrzymujemy układ równań \[\left\{\eqalign{-8&=a^3-3ab^2\cr 0&=3a^2b-b^3 \cr}\right.\] W drugim równaniu wyłączamy niewiadomą \(b\) przed nawias i otrzymujemy \[b\left(3a^2-b^2\right)=0\] \[b=0\quad\vee\quad b^2=3a^2\]\[b=0\quad\vee\quad b=a\sqrt{3}\quad\vee\quad b=-a\sqrt{3}\] Po podstawieniu \(b=0\) do pierwszego równania otrzymujemy \[-8=a^3 \quad \Longleftrightarrow \quad a=-2\] Dla \(b=a\sqrt{3}\) oraz \(b=-a\sqrt{3}\) z pierwszego równania dostajemy \[-8=a^3-9a^3 \quad \Longleftrightarrow \quad -8=-8a^3 \quad \Longleftrightarrow \quad a=1\] Rozwiązaniami układu są więc następujące pary liczb rzezcywistych \[\cases{a=-2\cr b=0\cr }\quad \vee \quad \cases{a=1\cr b=\sqrt{3}\cr}\quad \vee \quad \cases{a=1\cr b=-\sqrt{3}\cr}\] Ostatecznie elementami zbioru \(\sqrt[3]{-8}\) są liczby \[w_1=-2,\quad w_2=1+\mathrm{i}\sqrt{3},\quad w_3=1-\mathrm{i}\sqrt{3}\]

Zaczniemy od wyznaczenia modułu i argumentu głównego liczby \(z=64\). Ponieważ liczba \(z\) leży na dodatniej półosi rzeczywistej, to \[|z|=64 \quad\text{oraz}\quad \varphi=0 \] Wówczas dla \(k=0,1,2\) otrzymujemy \[\eqalign{w_0&=\sqrt[3]{64}\left(\cos{0+0\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{0+0\pi\over 3}\right)=4\left(\cos{0}+{\mathrm{i}}\sin{0}\right)=4\left(1+0\cdot \mathrm{i}\right)=4\cr w_1&=\sqrt[3]{64}\left(\cos{{0}+2\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{{0}+2\pi\over 3}\right)=4\left(\cos{\frac{2}{3}\pi}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{2}{3}\pi}\right)=\cr &=4\left(\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+{\mathrm{i}}\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\right)\overset{\mathrm{II\ ćw.}}{=}4\left(-\cos\frac{\pi}{3}+{\mathrm{i}}\sin\frac{\pi}{3}\right)=\cr &=4\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2+2 \:\!\mathrm{i}\sqrt{3}\cr w_2&=\sqrt[3]{64}\left(\cos{{0}+4\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{{0}+4\pi\over 3}\right)=4\left(\cos{\frac{4}{3}\pi}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{4}{3}\pi}\right)=\cr &=4\left(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)+{\mathrm{i}}\sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)\right)\overset{\mathrm{III\ ćw.}}{=}{5}\left(-\cos\frac{\pi}{3}-{\mathrm{i}}\sin\frac{\pi}{3}\right)=\cr &=4\left(-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2-2\:\!\mathrm{i} \sqrt{3}\cr}\] Pierwiastki \(w_0\), \(w_1\), \(w_2\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o środku w \(z_0=0\) i promieniu \(r=\sqrt[3]{64}=4\), jak na poniższym rysunku.

Ponieważ liczba \(z=-27\:\!\mathrm{i}\) leży na ujemnej półosi urojonej, to \[|z|=27 \quad\text{oraz}\quad \varphi=\frac{3}{2}\pi \] Wówczas dla \(k=0,1,2\) otrzymujemy \[\eqalign{w_0&=\sqrt[3]{27}\left(\cos{\frac{3}{2}\pi+0\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{3}{2}\pi+0\pi\over 3}\right)= {3}\left(\cos{\frac{\pi}{2}}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{\pi}{2}}\right)= {3}\left(0+1\cdot \mathrm{i}\right)={3\:\! \mathrm{i}}\cr w_1&=\sqrt[3]{27}\left(\cos{\frac{3}{2}\pi+2\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{3}{2}\pi+2\pi\over 3}\right)={3}\left(\cos{\frac{7}{6}\pi}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{7}{6}\pi}\right)=\cr &={3}\left(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)+{\mathrm{i}}\sin\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)\right)\overset{\mathrm{III\ ćw.}}{=}{3}\left(-\cos\frac{\pi}{6}-{\mathrm{i}}\sin\frac{\pi}{6}\right)=\cr &={3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\:\! \mathrm{i}\right)=-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}\:\!\mathrm{i}\cr w_2&=\sqrt[3]{27}\left(\cos{\frac{3}{2}\pi+4\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{3}{2}\pi+4\pi\over 3}\right)={3}\left(\cos{\frac{11}{6}\pi}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{11}{6}\pi}\right)=\cr &={3}\left(\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)+{\mathrm{i}}\sin\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)\right)\overset{\mathrm{IV\ ćw.}}{=}{3}\left(\cos\frac{\pi}{6}-{\mathrm{i}}\sin\frac{\pi}{6}\right)=\cr &={3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\:\! \mathrm{i}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}\:\!\mathrm{i}\cr}\] Pierwiastki \(w_0\), \(w_1\), \(w_2\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o środku w \(z_0=0\) i promieniu \(r=\sqrt[3]{27}=3\), jak na poniższym rysunku.

Wyznaczamy moduł liczby zespolone \(z=2\sqrt{3}+2\:\!\mathrm{i}\) \[|z|=\sqrt{12+4}=4\] oraz jej argument główny \[\cases{\cos\varphi=\frac{a}{|z|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \czerwony{\boldsymbol{\gt}} \ 0 \cr \sin\varphi=\frac{b}{|z|}=\frac{1}{2}\ \czerwony{\boldsymbol{\gt}} \ 0 \cr}\quad \overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{I\ ćw.}}}}{\Longrightarrow}\quad \varphi=\frac{\pi}{6}\] Wówczas dla \(k=0,1,2\) otrzymujemy \[\eqalign{w_0&=\sqrt[3]{4}\left(\cos{\frac{\pi}{6}+0\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{\pi}{6}+0\pi\over 3}\right)=\sqrt[3]{4}\left(\cos{\frac{\pi}{18}}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{\pi}{18}}\right)\cr w_1&=\sqrt[3]{4}\left(\cos{\frac{\pi}{6}+2\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{\pi}{6}+2\pi\over 3}\right)=\sqrt[3]{4}\left(\cos{\frac{13}{18}\pi}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{13}{18}\pi}\right)\cr w_2&=\sqrt[3]{4}\left(\cos{\frac{\pi}{6}+4\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{\pi}{6}+4\pi\over 3}\right)=\sqrt[3]{4}\left(\cos{\frac{25}{18}\pi}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{25}{18}\pi}\right)\cr}\] Pierwiastki \(w_0\), \(w_1\), \(w_2\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o środku w \(z_0=0\) i promieniu \(r=\sqrt[3]{4}\), jak na poniższym rysunku.

Wyznaczamy moduł liczby zespolone \(z=3-3\:\!\mathrm{i}\) \[|z|=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\] oraz jej argument główny \[\cases{\cos\varphi=\frac{a}{|z|}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \czerwony{\boldsymbol{\gt}} \ 0 \cr \sin\varphi=\frac{b}{|z|}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ \czerwony{\boldsymbol{\lt}} \ 0 \cr}\quad \overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{IV\ ćw.}}}}{\Longrightarrow}\quad \varphi=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7}{4}\pi\] Wówczas dla \(k=0,1,2,3,4,5\) otrzymujemy \[\eqalign{w_0&=\sqrt[5]{\sqrt{18}}\left(\cos{\frac{7}{4}\pi+0\pi\over 5}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{7}{4}\pi+0\pi\over 5}\right)=\sqrt[10]{18}\left(\cos{\frac{7}{20}\pi}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{7}{20}\pi}\right)\cr w_1&=\sqrt[5]{\sqrt{18}}\left(\cos{\frac{7}{4}\pi+2\pi\over 5}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{7}{4}\pi+2\pi\over 5}\right)=\sqrt[10]{18}\left(\cos{\frac{15}{20}\pi}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{15}{20}\pi}\right)\cr w_2&=\sqrt[5]{\sqrt{18}}\left(\cos{\frac{7}{4}\pi+4\pi\over 5}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{7}{4}\pi+4\pi\over 5}\right)=\sqrt[10]{18}\left(\cos{\frac{23}{20}\pi}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{23}{20}\pi}\right)\cr w_3&=\sqrt[5]{\sqrt{18}}\left(\cos{\frac{7}{4}\pi+6\pi\over 5}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{7}{4}\pi+6\pi\over 5}\right)=\sqrt[10]{18}\left(\cos{\frac{31}{20}\pi}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{31}{20}\pi}\right)\cr w_4&=\sqrt[5]{\sqrt{18}}\left(\cos{\frac{7}{4}\pi+8\pi\over 5}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{7}{4}\pi+8\pi\over 5}\right)=\sqrt[10]{18}\left(\cos{\frac{39}{20}\pi}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{39}{20}\pi}\right)\cr}\] Pierwiastki \(w_0\), \(w_1\), \(w_2\), \(w_3\) i \(w_4\) są wierzchołkami pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w \(z_0=0\) i promieniu \(r=\sqrt[10]{18}\), jak na poniższym rysunku.

Ponieważ liczba \(z=-64\) leży na ujemnej półosi rzeczywistej, to \[|z|=64 \quad\text{oraz}\quad \varphi=\pi \]

Wówczas zgodnie ze wzorem na pierwiastki stopnia \(6\) dla \(k=0,1,2\) otrzymujemy \[\eqalign{w_0&=\sqrt[6]{64}\left(\cos\frac{\pi+0\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi+0\pi}{ 6}\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\right)=\sqrt{3}+\mathrm{i}\cr w_1&=\sqrt[6]{64}\left(\cos\frac{\pi+2\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi+2\pi}{ 6}\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{2}\right)=2\left(0+1\mathbb{i}\right)=2\:\!\mathbb{i}\cr w_2&=\sqrt[6]{64}\left(\cos\frac{\pi+4\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi+4\pi}{6}\right)=2\left(\cos\frac{5}{6}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{5}{6}\pi\right)=\cr &=2\left[\cos\left(\pi -\frac{\pi}{6}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)\right]\overset{\mathrm{II\ ćw.}}{=}2\left(-\cos\frac{\pi}{6}+\mathbb{i}\sin\frac{\pi}{6}\right) =\cr &=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\right)=-\sqrt{3}+\mathrm{i}\cr }\] Ponieważ obliczyliśmy już trzy pierwiastki, czyli połowę pierwiastków stopnia \(6\) z liczby \(z=-64\), to drugą połowę pierwiastków otrzymujemy jako liczby do nich przeciwne: \[\eqalign{w_3&=-w_0=-\sqrt{3}-\mathrm{i}\cr w_4&=-w_1=-2\:\!\mathbb{i}\cr w_5&=-w_2=\sqrt{3}-\mathrm{i}\cr}\]

Na poniższym rysunku elementy zbioru \(\sqrt[6]{-64}\) są zaznaczone jako wierzchołki sześciokąta formenego wpisanego w okrąg o środku w \(z_0=0\) i promieniu \(r=2\).

Niech \(z=-1-\mathrm{i}\sqrt{3}\). Wowczas \(|z|=2\) i \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert}=-\frac{1}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr}\quad\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{III\ ćw.}}}}{\Longrightarrow}\quad \arg z=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4}{3}\pi\]

Zatem zgodnie ze wzorem na pierwiastki stopnia \(6\) dla \(k=0,1,2\) otrzymujemy \[\eqalign{w_0&=\sqrt[6]{2}\left(\cos\frac{\frac{4}{3}\pi+0\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\frac{4}{3}\pi+0\pi}{ 6}\right)=\sqrt[6]{2}\left(\cos\frac{2}{9}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{2}{9}\pi\right)\cr w_1&=\sqrt[6]{2}\left(\cos\frac{\frac{4}{3}\pi+2\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\frac{4}{3}\pi+2\pi}{ 6}\right)=\sqrt[6]{2}\left(\cos\frac{5}{9}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{5}{9}\pi\right)\cr w_2&=\sqrt[6]{2}\left(\cos\frac{\frac{4}{3}\pi+4\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\frac{4}{3}\pi+4\pi}{6}\right)=\sqrt[6]{2}\left(\cos\frac{8}{9}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{8}{9}\pi\right)\cr }\] Pozostałe trzy pierwiastki stopnia \(6\) z liczby \(z=-1-\mathrm{i}\sqrt{3}\) otrzymujemy jako liczby przeciwne do \(w_0\), \(w_1\) i \(w_2\): \[\eqalign{w_3&=-w_0=-\sqrt[6]{2}\left(\cos\frac{2}{9}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{2}{9}\pi\right)\cr w_4&=-w_1=-\sqrt[6]{2}\left(\cos\frac{5}{9}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{5}{9}\pi\right)\cr w_5&=-w_2=-\sqrt[6]{2}\left(\cos\frac{8}{9}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{8}{9}\pi\right)\cr}\] Musimy mieć jednak świadomość, że uzyskane w ten sposób liczby \(w_3\), \(w_4\) i \(w_5\) nie są już zapisane w postaci trygonometrycznej, jak pierwsze trzy pierwiastki, ale w postaci algebraicznej, ponieważ liczba \(-\sqrt[6]{2}\) jest ujemna.

Na poniższym rysunku elementy zbioru \(\sqrt[6]{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}\) są zaznaczone jako wierzchołki sześciokąta formenego wpisanego w okrąg o środku w \(z_0=0\) i promieniu \(r=\sqrt[6]{ 2}\).

Ponieważ liczba \(z=81\) leży na dodatniej półosi rzeczywistej, to \[|z|=81 \quad\text{oraz}\quad \varphi=0 \]

Wówczas zgodnie ze wzorem na pierwiastki stopnia \(4\) dla \(k=0\) otrzymujemy \[w_0=\sqrt[4]{81}\left(\cos{0+0\pi\over 4}+{\mathrm{i}}\sin{0+0\pi\over 4}\right)=3\left(\cos{0}+{\mathrm{i}}\sin{0}\right)=3\left(1+0\cdot\mathrm{i}\right)=3 \] Skoro jednym z pierwiastków stopnia \(4\) z liczby \(z=81\) jest \[w_0=3=a+b\:\!\mathrm{i},\] to pozostałe trzy pierwiastki obliczamy, korzystając z zależności zapisanych w ostatniej uwadze \[\eqalign{w_1&= -b+a\:\!\mathrm{i}= 3\:\!\mathrm{i}\cr w_2&=-a-b\:\!\mathrm{i}=-3\cr w_3&=b-a\:\!\mathrm{i}=-3\:\! \mathrm{i}\cr }\]

Na poniższym rysunku elementy zbioru \(\sqrt[4]{81}\) są zaznaczone jako wierzchołki kwadratu wpisanego w okrąg o środku w \(z_0=0\) i promieniu \(r=3\).

Niech \(z=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\). Wowczas \(|z|=2\) i \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert}=-\frac{1}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\gt}}}\ 0\cr}\quad\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{II\ ćw.}}}}{\Longrightarrow}\quad \arg z=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2}{3}\pi\]

Wówczas \[\eqalign{w_0&=\sqrt[4]{2}\left(\cos{\frac{2}{3}\pi+0\pi\over 4}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{2}{3}\pi+0\pi\over 4}\right)=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6}\right)=\cr &=\sqrt[4]{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\mathrm{i}\right) =\frac{\sqrt[4]{2}}{2}\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)\cr}\] Pozostałe trzy pierwiastki są więc równe \[\eqalign{w_1&=\frac{\sqrt[4]{2}}{2}\left(-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\cr w_2&=\frac{\sqrt[4]{2}}{2}\left(-\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)\cr w_3&=\frac{\sqrt[4]{2}}{2}\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\cr }\]

Na poniższym rysunku elementy zbioru \(\sqrt[4]{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}\) są zaznaczone jako wierzchołki kwadratu wpisanego w okrąg o środku w \(z_0=0\) i promieniu \(r=\sqrt[4]{2}\).

Ponieważ liczba \(z=16\:\!\mathrm{i}\) leży na dodatniej półosi urojonej, to \[|z|=16 \quad\text{oraz}\quad \varphi=\frac{\pi}{2} \]

Wówczas \[w_0=\sqrt[4]{16}\left(\cos{\frac{\pi}{2}+0\pi\over 4}+{\mathrm{i}}\sin{\frac{\pi}{2}+0\pi\over 4}\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{8}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{8}\right)\] Aby wyznaczyć \(\sin\frac{\pi}{8}\), wykorzystamy wzór na cosinus kąta podwojonego \[\cos\frac{\pi}{4}= \cos \left(2\cdot\frac{\pi}{8}\right)=\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}=2\cos^2\frac{\pi}{8}-1 \] Ponieważ \(\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), to otrzymujemy równanie \[\frac{\sqrt{2}}{2}= 2\cos^2\frac{\pi}{8}-1 ,\] z którego wyliczamy \(\cos\frac{\pi}{8}\) \[2\cos^2\frac{\pi}{8}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\] \[ \cos^2\frac{\pi}{8}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\] \[ \cos\frac{\pi}{8}\overset{\mathrm{I\ ćw.}}{=}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\] Aby wyznaczyć \(\sin\frac{\pi}{8}\), korzystamy z jedynki trygonometrycznej \[\sin^2\frac{\pi}{8}=1-\cos^2\frac{\pi}{8}=1-\frac{2+\sqrt{2}}{4}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\] \[\sin\frac{\pi}{8}\overset{\mathrm{I\ ćw.}}{=}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\] Zatem \[\eqalign{w_0&=2\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)=\sqrt{2+\sqrt{2}}+\mathrm{i}\sqrt{2-\sqrt{2}} \cr w_1&=-\sqrt{2-\sqrt{2}}+\mathrm{i}\sqrt{2+\sqrt{2}} \cr w_2&=-\sqrt{2+\sqrt{2}}-\mathrm{i}\sqrt{2-\sqrt{2}} \cr w_3&=\sqrt{2-\sqrt{2}}-\mathrm{i}\sqrt{2+\sqrt{2}} \cr }\]

Na poniższym rysunku elementy zbioru \(\sqrt[4]{16\:\!\mathrm{i}}\) jako wierzchołki kwadratu wpisanego w okrąg o środku w \(z_0=0\) i promieniu \(r=2\).

Widzimy, że jednym z szukanych pierwiastków jest liczba \[w_0=3-2\:\! \mathrm{i}\] Zatem pozostałe pierwiastki to: \[\eqalign{w_1&=w_0\left(\cos{2\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{2\pi\over 3}\right)= w_0\left[\cos\left(\pi-{\pi\over 3}\right)+{\mathrm{i}}\sin\left(\pi-{\pi\over 3}\right)\right]\overset{\mathrm{II\ ćw.}}{=}\cr &=w_0\left(-\cos{\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\pi\over 3}\right)=(3-2\:\! \mathrm{i})\left(-{1\over 2}+{\mathrm{i}}{\sqrt{3}\over 2}\right)=\cr & ={\sqrt{3}-\frac{3}{2}+\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}+1\right) \mathrm{i}}\cr w_2&=w_0\left(\cos{4\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{4\pi\over 3}\right)=w_0\bigg[\cos\left(\pi+{\pi\over 3}\right)+{\mathrm{i}}\sin\left(\pi+{\pi\over 3}\right)\bigg]\overset{\mathrm{III\ ćw.}}{=}\cr &=w_0\left(-\cos{\pi\over 3}-{\mathrm{i}}\sin{\pi\over 3}\right)=(3-2\:\! \mathrm{i})\left(-{1\over 2}-{\mathrm{i}}{\sqrt{3}\over 2}\right)=\cr &={-\sqrt{3}-\frac{3}{2}+\left(1-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\mathrm{i}}\cr}\] Ostatecznie \[\sqrt[3]{\left(3-2\:\!\mathrm{i}\right)^3}=\left\{ 3-2\:\! \mathrm{i}, \sqrt{3}-\frac{3}{2}+\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}+1\right) \mathrm{i}, -\sqrt{3}-\frac{3}{2}+\left(1-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\mathrm{i}\right\}\]

Widzimy, że jednym z szukanych pierwiastków jest liczba \[w_0=4-5\:\! \mathrm{i}\] Zatem pozostałe pierwiastki to: \[\eqalign{w_1&=5+4\:\!\mathrm{i}\cr w_2&=-4+5\:\! \mathrm{i}\cr w_3&=-5-4\:\!\mathrm{i}\cr}\] Ostatecznie \[\sqrt[4]{\left(4-5\:\! \mathrm{i}\right)^4}=\left\{ 4-5\:\! \mathrm{i}, 5+4\:\!\mathrm{i}, -4+5\:\! \mathrm{i}, -5-4\:\!\mathrm{i}\right\}\]

Widzimy, że jednym z szukanych pierwiastków jest liczba \[w_0=5+\mathrm{i}\] Zatem kolejne dwa pierwiastki to: \[\eqalign{w_1&=w_0\left(\cos{2\pi\over 6}+{\mathrm{i}}\sin{2\pi\over 6}\right)= w_0\left(\cos{\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\pi\over 3}\right)=\cr &=(5+\mathrm{i})\left({1\over 2}+{\mathrm{i}}{\sqrt{3}\over 2}\right)={\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right) \mathrm{i}}\cr w_2&=w_0\left(\cos{4\pi\over 6}+{\mathrm{i}}\sin{4\pi\over 6}\right)=w_0\bigg[\cos\left(\pi-{\pi\over 3}\right)+{\mathrm{i}}\sin\left(\pi-{\pi\over 3}\right)\bigg]\overset{\mathrm{II\ ćw.}}{=}\cr & =w_0\left(-\cos{\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\pi\over 3}\right)=(5+\mathrm{i})\left(-{1\over 2}+{\mathrm{i}}{\sqrt{3}\over 2}\right)=\cr &={-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5}{2}+\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right) \mathrm{i}}\cr}\] Wiemy, że pierwiastki stopnia \(6\) z liczby zespolonej tworzą wierzchołki sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w \(z_0=0\). Zatem pozostałe trzy wierzchołki otrzymujemy jako liczby przeciwne do \(w_0\), \(w_1\) i \(w_2\), czyli: \[\eqalign{w_3&=-w_0=-5-\mathrm{i}\cr w_4&=-w_1=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5}{2}-\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right) \mathrm{i}\cr w_5&=-w_2=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)\mathrm{i}\cr}\] Ostatecznie \[\sqrt[6]{\left(5+\mathrm{i}\right)^6}=\Bigg\{ \pm\left(5+\mathrm{i}\right), \pm\Bigg[\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right) \mathrm{i}\Bigg], \pm\Bigg[-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5}{2}+\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right) \mathrm{i}\Bigg]\Bigg\}\]

Wiemy, że wierzchołki sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w początku układu współrzędnych są pierwiastkami stopnia \(6\) z pewnej liczby zespolonej. Ponieważ jednym z wierzchołków takiego sześciokąta jest \(w_0=2+3\:\!\mathrm{i}\), to pozostałe wierzchołki możemy obliczyć, wykorzystując wzór \[w_{k}=w_0\left( \cos \frac{2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{n}\right)\] Zatem kolejne dwa wierzchołki to: \[\eqalign{w_1&=w_0\left(\cos{2\pi\over 6}+{\mathrm{i}}\sin{2\pi\over 6}\right)= w_0\left(\cos{\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\pi\over 3}\right)=\cr &=(2+3\:\!\mathrm{i})\left({1\over 2}+{\mathrm{i}}{\sqrt{3}\over 2}\right)={1-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\left(\sqrt{3}+\frac{3}{2}\right) \mathrm{i}}\cr w_2&=w_0\left(\cos{4\pi\over 6}+{\mathrm{i}}\sin{4\pi\over 6}\right)=w_0\bigg[\cos\left(\pi-{\pi\over 3}\right)+{\mathrm{i}}\sin\left(\pi-{\pi\over 3}\right)\bigg]\overset{\mathrm{II\ ćw.}}{=}\cr & =w_0\left(-\cos{\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\pi\over 3}\right)=(2+3\:\!\mathrm{i})\left(-{1\over 2}+{\mathrm{i}}{\sqrt{3}\over 2}\right)=\cr &= {-1-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\left(\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) \mathrm{i}}\cr}\] Pozostałe trzy wierzchołki otrzymujemy jako liczby przeciwne do \(w_0\), \(w_1\) i \(w_2\), czyli: \[\eqalign{w_3&=-w_0=-2-3\:\!\mathrm{i}\cr w_4&=-w_1=-1+\frac{3\sqrt{3}}{2}-\left(\sqrt{3}+\frac{3}{2}\right) \mathrm{i}\cr w_5&=-w_2=1+\frac{3\sqrt{3}}{2}-\left(\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) \mathrm{i}\cr}\]

Aby wykorzystać fakt, że wierzchołki sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w początku układu współrzędnych są pierwiastkami stopnia \(6\) z pewnej liczby zespolonej, musimy przesunąć o wektor \(\czerwony{\boldsymbol{\vec{u}=[-1,3]}}\) zadany środek symetrii \(z_0=1-3\:\!\mathrm{i}\) i wierzchołek \(w_0=2+3\:\!\mathrm{i}\). Po takiej translacji środkiem symetrii sześciokąta będzie \[z_0'=\mathrm{T}_{\czerwony{\boldsymbol{[-1,3]}}}(z_0)=1 \,\czerwony{\boldsymbol{-\,1}} + (-3+ \czerwony{\boldsymbol{3}})\mathrm{i} =0,\] a jednym z jego wierzchołków będzie \[w_0'=\mathrm{T}_{\czerwony{\boldsymbol{[-1,3]}}}(w_0)=2\,\czerwony{\boldsymbol{-\,1}}+(3+\czerwony{\boldsymbol{3}})\:\!\mathrm{i}=1+6\:\!\mathrm{i}\] Wówczas pozostałe wierzchołki przesuniętego sześciokąta możemy obliczyć wykorzystując wzór \[w_{k}'=w_0'\left( \cos \frac{2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{n}\right)\] Zatem kolejne dwa wierzchołki przesuniętego sześciokąta to: \[\eqalign{w_1'&=w_0'\left(\cos{2\pi\over 6}+{\mathrm{i}}\sin{2\pi\over 6}\right)= w_0'\left(\cos{\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\pi\over 3}\right)=\cr &=(1+6\:\!\mathrm{i})\left({1\over 2}+{\mathrm{i}}{\sqrt{3}\over 2}\right)= \frac{1}{2}-3\sqrt{3}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right) \mathrm{i}\cr w_2'&=w_0'\left(\cos{4\pi\over 6}+{\mathrm{i}}\sin{4\pi\over 6}\right)=w_0'\bigg[\cos\left(\pi-{\pi\over 3}\right)+{\mathrm{i}}\sin\left(\pi-{\pi\over 3}\right)\bigg]\overset{\mathrm{II\ ćw.}}{=}\cr & =w_0'\left(-\cos{\pi\over 3}+{\mathrm{i}}\sin{\pi\over 3}\right)=(1+6\:\!\mathrm{i})\left(-{1\over 2}+{\mathrm{i}}{\sqrt{3}\over 2}\right)=\cr &= -\frac{1}{2}-3\sqrt{3}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-3\right) \mathrm{i}\cr}\] Pozostałe trzy wierzchołki przesuniętego sześciokąta otrzymujemy jako liczby przeciwne do \(w_0'\), \(w_1'\) i \(w_2'\), czyli: \[\eqalign{w_3'&=-w_0'=-1-6\:\!\mathrm{i}\cr w_4'&=-w_1'=-\frac{1}{2}+3\sqrt{3}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-3\right) \mathrm{i}\cr w_5'&=-w_2'=\frac{1}{2}+3\sqrt{3}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right) \mathrm{i}\cr}\] Aby otrzymać wierzchołki zadanego sześciokąta, musimy ponownie dokonać translacji, tym razem o wektor przeciwny do wektora \(\czerwony{\boldsymbol{\vec{u}=[-1,3]}}\), czyli o wektor \(\niebieski{\boldsymbol{-\vec{u}=[1,-3]}}\). Zatem szukane wierzchołki zadanego sześciokąta to: \[\eqalign{w_0&=\mathrm{T}_{\niebieski{\boldsymbol{[1,-3]}}}(w_0')= 1+\niebieski{\boldsymbol{1}}+(6\,\niebieski{\boldsymbol{-\,3}})\mathrm{i}= 2+3\:\!\mathrm{i}\cr w_1&=\mathrm{T}_{\niebieski{\boldsymbol{[1,-3]}}}(w_1')= \frac{1}{2}-3\sqrt{3}+\niebieski{\boldsymbol{1}}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\,\niebieski{\boldsymbol{-\,3}}\right) \mathrm{i} = \frac{3}{2}-3\sqrt{3}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \cr w_2&=\mathrm{T}_{\niebieski{\boldsymbol{[1,-3]}}}(w_2')= -\frac{1}{2}-3\sqrt{3}+\niebieski{\boldsymbol{1}}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-3\,\niebieski{\boldsymbol{-\,3}}\right) \mathrm{i}= \frac{1}{2}-3\sqrt{3}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-6\right)\mathrm{i} \cr w_3&=\mathrm{T}_{\niebieski{\boldsymbol{[1,-3]}}}(w_3')= -1+\niebieski{\boldsymbol{1}}+(-6\,\niebieski{\boldsymbol{-\,3}})\mathrm{i}= -9\:\!\mathrm{i}\cr w_4&=\mathrm{T}_{\niebieski{\boldsymbol{[1,-3]}}}(w_4')= -\frac{1}{2}+3\sqrt{3}+\niebieski{\boldsymbol{1}}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-3\,\niebieski{\boldsymbol{-\,3}}\right) \mathrm{i}= \frac{1}{2}+3\sqrt{3}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+6\right)\mathrm{i} \cr w_5&=\mathrm{T}_{\niebieski{\boldsymbol{[1,-3]}}}(w_5')= \frac{1}{2}+3\sqrt{3}+\niebieski{\boldsymbol{1}}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+3\,\niebieski{\boldsymbol{-\,3}}\right) \mathrm{i}= \frac{3}{2}+3\sqrt{3}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \cr}\]