Skoro moduł liczby \(z=\sqrt{3}+\mathrm{i}\) wynosi \[|z|=\sqrt{3+1}=2,\] to argument główny \(\varphi\) liczby \(z\) spełnia warunek \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\gt}}}\ 0\cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert}=\frac{1}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\gt}}}\ 0\cr}\quad\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{I\ ćw.}}}}{\Longrightarrow}\quad \arg z=\frac{\pi}{6}\] Zatem postać trygonometryczna liczby \(z=\sqrt{3}+\mathrm{i}\) to \[z=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6}\right)\]

Ponieważ liczba \(z=-2+2\:\!\mathrm{i}\) jest wierzchołkiem kwadratu o boku długości \(2\) leżącym w ćwiartce II, to jej moduł jest równy przekątej tego kwadratu \[|z|=2\sqrt{2},\] a jej argument wynosi \[\arg z\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{II\ ćw.}}}}{=}\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi\] Zatem postać trygonometryczna liczby \(z=-2+2\:\!\mathrm{i}\) to \[z=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{3}{4}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{3}{4}\pi\right)\]

Skoro moduł liczby \(z=-\sqrt{12}-2\:\!\mathrm{i}\) wynosi \[|z|=\sqrt{12+4}=4,\] to argument główny \(\varphi\) liczby \(z\) spełnia warunek \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert}=\frac{-\sqrt{12}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert}=-\frac{1}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr}\quad\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{III\ ćw.}}}}{\Longrightarrow}\quad \arg z=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7}{6}\pi\] Zatem postać trygonometryczna liczby \(z=-\sqrt{12}-2\:\!\mathrm{i}\) to \[z=4\left(\cos \frac{7}{6}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{7}{6}\pi\right)\]

Ponieważ liczba \(z\) leży na ujemnej półosi rzeczywistej, to jej moduł i argument główny wynoszą: \[|z|=3,\quad\arg z=\pi\] Zatem postać trygonometryczna liczby \(z=-3\) to \[z=3\left(\cos \pi+\mathrm{i}\sin\pi\right)\]

Widzimy, że liczba \(z\) nie jest zapisana w postaci trygonometrycznej, ponieważ współczynnik stojący przy funkcji cosinus jest równy \(-1\) i jest różny od \(1\). Wyznaczamy więc moduł zapisanej w postaci algebraicznej liczby \(z=-\cos \frac{\pi}{7} +\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{7}\) \[\vert z \vert=\sqrt{\left(-\cos \frac{\pi}{7}\right)^2+\sin ^2\frac{\pi}{7}}=\sqrt{\cos ^2\frac{\pi}{7}+\sin ^2\frac{\pi}{7}}=\sqrt{1}=1\] Argumentem głównym liczby zespolonej \(z\) jest wówczas kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\in\left<0,2\pi\right)\), dla którego \[\cases{\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}={a\over \vert z\vert }=-\cos \frac{\pi}{7}\cr\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}={b\over \vert z\vert }=\sin \frac{\pi}{7}\cr}\] Ponieważ \(\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}\) jest ujemny, a \(\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}\) dodatni, to kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\) leży w ćwiartce II. Nie musimy przechodzić na kofunkcję, więc argument główny liczby \(z\) zapisujemy jako \[\arg z=\zielony{\boldsymbol\varphi}\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{II\ ćw.}}}}{=}\pi-\frac{\pi}{7}=\zielony{\boldsymbol{\frac{6}{7}\pi}}\] Ostatecznie postać trygonometryczna liczby zespolonej \(z=-\cos \frac{\pi}{7} +\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{7}\) to \[z=\cos\zielony{\boldsymbol{\frac{6}{7}\pi}}+\mathrm{i}\sin\zielony{\boldsymbol{\frac{6}{7}\pi}}\]

Widzimy, że liczba \(z\) nie jest zapisana w postaci trygonometrycznej, ponieważ jednostka urojona \(\mathrm{i}\) jest współczynnikiem stojącym przy funkcji cosinus, a nie sinus. Wyznaczamy więc moduł zapisanej w postaci algebraicznej liczby \(z=\sin\frac{\pi}{9} +\mathrm{i}\cos \frac{\pi}{9}\) \[\vert z \vert=\sqrt{\sin ^2\frac{\pi}{9}+\cos ^2\frac{\pi}{9}}=1\] Wówczas argumentem głównym liczby zespolonej \(z\) jest kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\in\left<0,2\pi\right)\), dla którego \[\cases{\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}={a\over \vert z\vert }=\sin \frac{\pi}{9}\cr\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}={b\over \vert z\vert }=\cos \frac{\pi}{9}\cr}\] Ponieważ \(\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}\) i \(\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}\) są dodatnie, to kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\) leży w ćwiartce I. Musimy przejść na kofunkcję, więc argument główny liczby \(z\) zapisujemy jako \[\arg z=\zielony{\boldsymbol\varphi}\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{I\ ćw.}}}}{=}\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{9}=\frac{9}{18}\pi-\frac{2}{18}\pi=\zielony{\boldsymbol{\frac{7}{18}\pi}}\] Ostatecznie postać trygonometryczna liczby zespolonej \(z=\sin\frac{\pi}{9} +\mathrm{i}\cos \frac{\pi}{9}\) to \[z=\cos\zielony{\boldsymbol{\frac{7}{18}\pi}}+\mathrm{i}\sin\zielony{\boldsymbol{\frac{7}{18}\pi}}\]

Widzimy, że liczba \(z\) nie jest zapisana w postaci trygonometrycznej z dwóch powodów. Współczynnik stojący przy funkcji sinus jest równy \(1\), a nie \(\mathrm{i}\) oraz współczynnik stojący przy funkcji cosinus jest równy \(-\mathrm{i}\), a nie \(1\). Wyznaczamy więc moduł zapisanej w postaci algebraicznej liczby \(z=\sin\frac{\pi}{11} -\mathrm{i} \cos \frac{\pi}{11}\) \[\vert z \vert=\sqrt{\sin ^2\frac{\pi}{11}+\left(-\cos \frac{\pi}{11}\right)^2}=\sqrt{\sin ^2\frac{\pi}{11}+\cos ^2\frac{\pi}{11}}=1\] Zatem argumentem głównym liczby zespolonej \(z\) jest kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\in\left<0,2\pi\right)\), dla którego \[\cases{\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}={a\over \vert z\vert }=\sin \frac{\pi}{11}\cr\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}={b\over \vert z\vert }=-\cos \frac{\pi}{11}\cr}\] Ponieważ \(\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}\) jest dodatni, a \(\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}\) ujemny, to kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\) leży w ćwiartce IV. Musimy przejść na kofunkcję, więc argument główny liczby \(z\) zapisujemy jako \[\arg z=\zielony{\boldsymbol\varphi}\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{IV\ ćw.}}}}{=}\frac{3}{2}\pi+\frac{\pi}{11}=\frac{33}{22}\pi+\frac{2}{11}\pi=\zielony{\boldsymbol{\frac{35}{22}\pi}}\] Ostatecznie postać trygonometryczna liczby zespolonej \(z=\sin\frac{\pi}{11} -\mathrm{i} \cos \frac{\pi}{11}\) to \[z=\cos\zielony{\boldsymbol{\frac{35}{22}\pi}}+\mathrm{i}\sin\zielony{\boldsymbol{\frac{35}{22}\pi}}\]

Wyznaczamy najpierw moduł liczby \(z=-\sin \alpha +\mathrm{i}\cos\alpha\) \[\vert z \vert=\sqrt{\left(-\sin \alpha\right)^2+\cos ^2\alpha}=\sqrt{\sin ^2\alpha+\cos ^2\alpha}=1\] Wówczas argumentem głównym liczby zespolonej \(z\) jest kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\in\left<0,2\pi\right)\), dla którego \[\cases{\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}={a\over \vert z\vert }=-\sin \alpha\cr\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}={b\over \vert z\vert }=\cos \alpha\cr}\] Ponieważ \(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), to \(\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}\) jest ujemny, a \(\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}\) dodatni, dlatego kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\) leży w ćwiartce II. Musimy przejść na kofunkcję, więc argument liczby \(z\) zapisujemy jako \[\zielony{\boldsymbol\varphi}\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{II\ ćw.}}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{2}+\alpha}}\] Ostatecznie postać trygonometryczna liczby zespolonej \(z=-\sin \alpha +\mathrm{i}\cos\alpha\) to \[z=\cos\zielony{\boldsymbol{\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}}+\mathrm{i}\sin\zielony{\boldsymbol{\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}}\]

Wyznaczamy najpierw moduł liczby \(z\), korzystając z tożsamości trygonometrycznych \[\vert z \vert=\sqrt{1+\mathrm{tg}^2\alpha}=\sqrt{1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\sqrt{\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2\alpha}}=\frac{1}{|\cos\alpha|}\overset{\niebieski{\boldsymbol *}}{=}\frac{1}{\cos\alpha}\] W miejscu onaczonym \(\niebieski{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy faktu, że funkcja cosinus przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\). Wówczas argumentem głównym liczby zespolonej \(z=-1-\mathrm{i}\,\mathrm{tg}\, \alpha\) jest kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\in\left<0,2\pi\right)\), dla którego \[\left\{\eqalign{&\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}={a\over \vert z\vert }=\frac{-1}{\frac{1}{\cos\alpha}}=-\cos \alpha\cr &\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}={b\over \vert z\vert }=\frac{-\mathrm{tg}\, \alpha}{\frac{1}{\cos \alpha}}=-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\cdot\cos \alpha=-\sin\alpha\cr}\right.\] Ponieważ \(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), to \(\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}\) oraz \(\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}\) są ujemne, dlatego kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\) leży w ćwiartce III. Nie musimy przechodzić na kofunkcję, więc argument liczby \(z\) zapisujemy jako \[\zielony{\boldsymbol\varphi}\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{III\ ćw.}}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\pi+\alpha}}\] Ostatecznie postać trygonometryczna liczby zespolonej \(z=-1-\mathrm{i}\,\mathrm{tg}\, \alpha\) to \[z=\frac{1}{\cos\alpha}\big[\cos\zielony{\boldsymbol{\left(\pi+\alpha\right)}}+\mathrm{i}\sin\zielony{\boldsymbol{\left(\pi+\alpha\right)}}\big]\]

Aby wyznaczyć postać trygonometryczną liczby \(z\), skorzystamy ze wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta \[\eqalign{\sin\alpha&=\sin \left(2\cdot\frac{\alpha}{2}\right)=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cr \cos\alpha&=\cos \left(2\cdot\frac{\alpha}{2}\right) =\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}=\cos^2\frac{\alpha}{2}-\left(1-\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1\cr}\] Wówczas liczbę \(z\) możemy zapisać w postaci \[\eqalign{z&=1+\cos\alpha +\mathrm{i}\sin \alpha=1+2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1+2\mathrm{i}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=\cr &=2\cos^2\frac{\alpha}{2}+2\mathrm{i}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\alpha}{2}\right)\cr}\] Ponieważ \(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), to kąt \(\frac{\alpha}{2}\) leży w ćwiartce I, co oznacza, że liczba \(2\cos\frac{\alpha}{2}\) jest dodatnia. Zatem otrzymana postać liczby \(z\) jest jej postacią trygonometryczną.

Ponieważ moduł iloczynu liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb oraz argument iloczynu liczb zespolonych jest równy sumie argumentów tych liczb, to otrzymujemy\[\eqalign{z_1\cdot z_2&=\sqrt{2}\cdot 2\left[\cos\left(\frac{7}{4}\pi+\frac{5}{6}\pi\right)+\mathrm{i}\sin\left(\frac{7}{4}\pi+\frac{5}{6}\pi\right)\right]=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{31}{12}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{31}{12}\pi\right)\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\cr &\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}2\sqrt{2}\left(\cos \frac{7}{12}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{7}{12}\pi\right)\cr}\]

W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z \(2\pi\)-okresowości funkcji sinus i cosinus.

Ponieważ moduł ilorazu liczb zespolonych jest równy ilorazowi modułów tych liczb oraz argument ilorazu liczb zespolonych jest równy różnicy argumentów tych liczb, to otrzymujemy\[\eqalign{{z_1 \over z_2}&=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\cos\left(\frac{7}{4}\pi-\frac{5}{6}\pi\right)+\mathrm{i}\sin\left(\frac{7}{4}\pi-\frac{5}{6}\pi\right)\right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{11}{12}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{11}{12}\pi\right)\cr}\]

Ponieważ potęga to skrócony zapis iloczynu jednakowych czynników, to otrzymujemy\[\eqalign{z_1^\niebieski{\boldsymbol 2}&=z_1\cdot z_1=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{7}{4}\pi+\frac{7}{4}\pi\right)+\mathrm{i}\sin\left(\frac{7}{4}\pi+\frac{7}{4}\pi\right)\right]=\cr &=\left(\sqrt{2}\right)^\niebieski{\boldsymbol 2}\left[\cos\left(\niebieski{\boldsymbol 2}\cdot\frac{7}{4}\pi\right)+\mathrm{i}\sin\left(\niebieski{\boldsymbol 2}\cdot \frac{7}{4}\pi\right)\right]=\cr &=2\left(\cos \frac{7}{2}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{7}{2}\pi\right)\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}2\left(\cos \frac{3}{2}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{3}{2}\pi\right)\cr}\]

W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z \(2\pi\)-okresowości funkcji sinus i cosinus.

Zaczniemy od przedstawienia liczby \(z=-1+\mathrm{i}\) w postaci trygonometrycznej. Ponieważ liczba \(z\) jest wierzchołkiem kwadratu o boku długości \(1\) leżącym w ćwiartce II, to jej moduł jest równy przekątej tego kwadratu \[|z|=\sqrt{2},\] a jej argument wynosi \[\arg z\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{II\ ćw.}}}}{=}\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi\] Zatem postać trygonometryczna liczby \(z=-1+\mathrm{i}\) to \[z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3}{4}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{3}{4}\pi\right)\]

Korzystamy ze wzoru de Moivre'a dla \(n=17\) i otrzymujemy \[\eqalign{z^{17}&=\left(\sqrt{2}\right)^{17}\left[\cos\left(17\cdot \frac{3}{4}\pi\right)+\mathrm{i}\sin\left(17\cdot \frac{3}{4}\pi\right)\right]=2^8\cdot \sqrt{2}\left(\cos\frac{51}{4}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{51}{4}\pi\right)\overset{\niebieski{\boldsymbol *}}{=}\cr &\overset{\niebieski{\boldsymbol *}}{=}2^8\cdot \sqrt{2}\left(\cos\frac{3}{4}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{3}{4}\pi\right)=2^8\cdot \sqrt{2}\left[\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\right]\overset{\text{II ćw.}}{=}\cr &=2^8\cdot \sqrt{2}\left(-\cos\frac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right)=2^8\cdot \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)=2^8\left(-1+\mathrm{i}\right)\cr}\]W miejscu oznaczonym \(\niebieski{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z \(2\pi\)-okresowości funkcji sinus i cosinus.

Zauważmy, że zadanie to można było rozwiązać w inny sposób, nie wykorzystując postaci trygonometrycznej liczby \(z=-1+\mathrm{i}\). Ponieważ \[(-1+\mathrm{i})^2=1-2\mathrm{i}+\mathrm{i}^2=1-2\mathrm{i}-1=-2\mathrm{i},\] to otrzymujemy \[(-1+\mathrm{i})^{17}= \left[(-1+\mathrm{i})^2\right]^8\cdot (-1+\mathrm{i})= (-2\:\!\mathrm{i})^8\cdot (-1+\mathrm{i})=(-2)^8\cdot \mathrm{i}^8\cdot (-1+\mathrm{i})\overset{\zielony{\boldsymbol *}}{=}2^8\:\!(-1+\mathrm{i})\] W miejscu oznaczonym \(\zielony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z faktu, że \(\mathrm{i}^8=1\).

Zaczniemy od obliczenia \((2+2\:\!\mathrm{i})^{10}\). Ponieważ \[(2+2\mathrm{i})^2=4+8\mathrm{i}-4=8\mathrm{i},\] to otrzymujemy \[(2+2\:\!\mathrm{i})^{10}=\left[(2+2\:\!\mathrm{i})^2\right]^5=(8\mathrm{i})^5=8^5\cdot \mathrm{i}^5\overset{\niebieski{\boldsymbol *}}{=}8^5\:\!\mathrm{i}\] W miejscu oznaczonym \(\niebieski{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z faktu, że \(\mathrm{i}^5=\mathrm{i}\).

Aby obliczyć \(\left(-\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)^{15}\), zapiszemy liczbę \(z=-\sqrt{3}-\mathrm{i}\) w postaci trygonometrycznej. Skoro moduł liczby \(z\) wynosi \[|z|=\sqrt{3+1}=2,\] to jej argument główny \(\varphi\) spełnia warunek \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert}=-\frac{1}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr}\quad\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{III\ ćw.}}}}{\Longrightarrow}\quad \arg z=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7}{6}\pi\] Zatem postać trygonometryczna liczby \(z=-\sqrt{3}-\mathrm{i}\) to \[z=2\left(\cos \frac{7}{6}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{7}{6}\pi\right)\] Korzystamy ze wzoru de Moivre'a dla \(n=15\) i otrzymujemy \[\eqalign{z^{15}&=2^{15}\left[\cos\left(15\cdot \frac{7}{6}\pi\right)+\mathrm{i}\sin\left(15\cdot \frac{7}{6}\pi\right)\right]=2^{15}\left(\cos\frac{35}{2}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{35}{2}\pi\right)\overset{\niebieski{\boldsymbol *}}{=}\cr &\overset{\niebieski{\boldsymbol *}}{=}2^{15}\left(\cos\frac{3}{2}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{3}{2}\pi\right)=2^{15}\left(0-\mathrm{i}\right)=-2^{15}\:\!\mathrm{i}\cr}\]

Ostatecznie \[\frac{(2+2\:\!\mathrm{i})^{10}}{\left(-\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)^{15}}=\frac{8^5\:\!{\ccancel{\fioletowy}{\mathrm{i}}}}{-2^{15}\:\!{\ccancel{\fioletowy}{\mathrm{i}}}}=-\frac{2^{15}}{2^{15}}=-1\]

Aby podnieść liczbę \(z=\sin\frac{\pi}{9}-\mathrm{i}\cos\frac{\pi}{9}\) do potęgi, musimy przedstawić ją w postaci trygonometrycznej.

Ponieważ moduł liczby \(z\) wynosi \[|z|=\sqrt{\sin^2\frac{\pi}{9}+\left(-\cos\frac{\pi}{9}\right)^2}=\sqrt{\sin^2\frac{\pi}{9}+\cos^2\frac{\pi}{9}}=1, \] to jej argument \(\zielony{\boldsymbol\varphi}\) spełnia warunek \[\cases{\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}=\sin\frac{\pi}{9}\ {\czerwony{\boldsymbol{\gt}}}\ 0\cr \sin\zielony{\boldsymbol\varphi}=-\cos\frac{\pi}{9}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0}\] Ponieważ \(\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}\) jest dodatni, a \(\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}\) ujemny, to kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\) leży w ćwiartce IV. Musimy przejść na kofunkcję, więc argument liczby \(z\) zapisujemy jako \[\arg z=\zielony{\boldsymbol\varphi}\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{IV\ ćw.}}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{3}{2}\pi+\frac{\pi}{9}}}=\zielony{\boldsymbol{\frac{29}{18}\pi}}\] Liczbę \(z\) możemy więc zapisać w postaci trygonometrycznej jako \[z=\cos\zielony{\boldsymbol{\frac{29}{18}\pi}}+\mathrm{i}\sin\zielony{\boldsymbol{\frac{29}{18}\pi}}\] Korzystamy teraz ze wzoru de Moivre'a dla \(n=9\) i otrzymujemy \[\eqalign{z^9&=\cos\left(9\cdot\frac{29}{18}\pi\right)+\mathrm{i}\left(9\cdot\frac{29}{18}\pi\right)=\cos\frac{29}{2}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{29}{2}= \cos\left(14\pi+\frac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i}\sin\left(14\pi+\frac{\pi}{2}\right)\overset{\niebieski{\boldsymbol *}}{=}\cr &\overset{\niebieski{\boldsymbol *}}{=}\cos\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{2}=\mathrm{i}\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\niebieski{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z \(2\pi\)-okresowości funkcji sinus i cosinus. Zatem \[\left(\sin\frac{\pi}{9}-\mathrm{i}\cos\frac{\pi}{9}\right)^9=\mathrm{i}\]

Aby podnieść liczbę \(z=\sqrt{2}-\sqrt{6}+\mathrm{i}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)\) do potęgi, musimy przedstawić ją w postaci trygonometrycznej.

Ponieważ moduł liczby \(z\) wynosi \[|z|=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)^2}=\sqrt{2-2\sqrt{12}+6+2+2\sqrt{12}+6}=4, \] to jej argument \(\varphi\) spełnia warunek \[\cases{\cos\zielony{\boldsymbol\varphi} = \frac{a}{\vert z\vert}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr \sin\zielony{\boldsymbol\varphi} = \frac{b}{\vert z\vert}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\ {\czerwony{\boldsymbol{\gt}}}\ 0\cr}\] Ponieważ \(\cos\zielony{\boldsymbol\varphi}\) jest ujemny, a \(\sin\zielony{\boldsymbol\varphi}\) dodatni, to kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\) jest kątem z ćwiartki II. Jednak nie znajdziemy w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów odpowiednich wartości, dlatego zajmiemy się kątem podwojonym \(2\varphi\), dla którego \[\eqalign{\cos 2\varphi &=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi=\left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)^2=\cr&= \frac{2-2\sqrt{12}+6}{16}-\frac{2+2\sqrt{12}+6}{16}=-\frac{4\sqrt{12}}{16}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cr \sin 2\varphi&=2\sin\varphi\cos\varphi=2\cdot \left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)=\frac{2-6}{8}=-\frac{1}{2}\cr}\] Ponieważ cosinus i sinus kąta \(2\varphi\) są ujemne, to kąt ten leży w ćwiartce III. Aby kąt \(\zielony{\boldsymbol \varphi}\) był kątem z ćwiartki II, wystarczy przyjąć \[2\varphi=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7}{6}\pi\] Wówczas \(\zielony{\boldsymbol\varphi}=\zielony{\boldsymbol{\frac{7}{12}\pi}}\) i \[z=4\left(\cos\zielony{\boldsymbol{\frac{7}{12}\pi}}+\mathrm{i}\sin \zielony{\boldsymbol{\frac{7}{12}\pi}}\right)\] Korzystamy teraz ze wzoru de Moivre'a dla \(n=36\) i otrzymujemy \[\eqalign{z^{36}&=4^{36}\left[\cos\left(36\cdot\frac{7}{12}\pi\right)+\mathrm{i}\left(36\cdot\frac{7}{12}\pi\right)\right]=4^{36}\left(\cos 21\pi+\mathrm{i}\sin 21\pi\right)=\cr &= 4^{36}\left(\cos \pi+\mathrm{i}\sin \pi\right)=4^{36}\left(-1+\mathrm{i}\cdot 0\right)=-4^{36}\cr}\] Zatem \[\Big[\sqrt{2}-\sqrt{6}+\mathrm{i}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)\Big]^{36}=-4^{36}\]

Niech \(z=\cos x + {\mathrm{i}} \sin x\), gdzie \(x\in\mathbb{R}\), będzie dowolną liczbą zespoloną. Wówczas ze wzoru de Moivre'a dla \(n=4\) otrzymujemy \[z^4 = \cos 4x + {\mathrm{i}}\sin 4x\] Jednocześnie możemy skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona, którego współczynniki możemy odczytać z trójkąta Pascala \[(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\] i zapisać liczbę \(z^4\) w postaci \[\eqalign{z^4 &= \left(\cos x + {\mathrm{i}} \sin x\right)^4=\cr &=\cos^4 x+4{\mathrm{i}}\cos^3 x \sin x+6{\mathrm{i}^2}\cos^2 x\sin^2 x+ 4{\mathrm{i}^3}\cos x\sin^3 x+{\mathrm{i}^4}\sin^4 x \overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\cr &\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\cos^4 x+4{\mathrm{i}}\cos^3 x \sin x-6\cos^2 x\sin^2 x- 4\mathrm{i}\cos x\sin^3 x+\sin^4 x=\cr &=\cos^4 x -6\cos^2 x\sin^2 x +\sin^4 x+\mathrm{i}\left(4\cos^3 x \sin x -4\cos x\sin^3 x\right)\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z faktu, że \[\mathrm{i}^2=-1, \quad \mathrm{i}^3=-\mathrm{i},\quad \mathrm{i}^4=1\] Dostaliśmy więc dwie postaci tej samej liczby zespolonej \(z^4\). Po porównaniu ich części rzeczywistych oraz części urojonych otrzymujemy \[\eqalign{&\cos 4 x = \cos^4 x -6\cos^2 x\sin^2 x +\sin^4 x \cr &\sin 4x = 4\cos^3 x \sin x -4\cos x\sin^3 x \cr}\]

Niech \(z=\cos x + {\mathrm{i}} \sin x\), gdzie \(x\in\mathbb{R}\), będzie dowolną liczbą zespoloną. Wówczas ze wzoru de Moivre'a dla \(n=5\) otrzymujemy \[z^5 = \cos 5x + {\mathrm{i}}\sin 5x\] Jednocześnie możemy skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona, którego współczynniki możemy odczytać z trójkąta Pascala \[(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\] i zapisać liczbę \(z^5\) w postaci \[\eqalign{z^5 &= \left(\cos x + {\mathrm{i}} \sin x\right)^5=\cr &=\cos^5 x+5{\mathrm{i}}\cos^4 x \sin x+10{\mathrm{i}^2}\cos^3 x\sin^2 x +10{\mathrm{i}^3}\cos^2 x\sin^3 x+ 5{\mathrm{i}^4}\cos x\sin^4 x+{\mathrm{i}^5}\sin^5 x \overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\cr &\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\cos^5 x+5\mathrm{i}\cos^4 x \sin x-10\cos^3 x\sin^2 x -10\mathrm{i}\cos^2 x\sin^3 x+ 5\cos x\sin^4 x+\mathrm{i}\sin^5 x=\cr &=\cos^5 x -10\cos^3 x\sin^2 x + 5\cos x\sin^4 x +\mathrm{i}\left(5\cos^4 x \sin x -10\cos^2 x\sin^3 x+\sin^5 x\right)\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z faktu, że \[\mathrm{i}^2=-1, \quad \mathrm{i}^3=-\mathrm{i},\quad \mathrm{i}^4=1,\quad\mathrm{i}^5=\mathrm{i}\] Dostaliśmy więc dwie postaci tej samej liczby zespolonej \(z^5\). Po porównaniu ich części rzeczywistych oraz części urojonych otrzymujemy \[\eqalign{&\cos 5 x = \cos^5 x -10\cos^3 x\sin^2 x + 5\cos x\sin^4 x \cr &\sin 5x = 5\cos^4 x \sin x -10\cos^2 x\sin^3 x+\sin^5 x \cr}\]

Z poprzedniego zadania wiemy, że \[\eqalign{&\cos 4 x = \cos^4 x -6\cos^2 x\sin^2 x +\sin^4 x \cr &\sin 4x = 4\cos^3 x \sin x -4\cos x\sin^3 x \cr}\] Zatem dla \(x\in\mathbb{R}\setminus \{{\pi\over 8}+{k\pi\over 4}: \ k\in \mathbb{Z}\}\) otrzymujemy równość \[\mathrm{tg}\,4x=\frac{\sin 4x}{\cos 4x}=\frac{4\cos^3 x \sin x -4\cos x\sin^3 x}{\cos^4 x -6\cos^2 x\sin^2 x +\sin^4 x}\] Dzielimy licznik i mianownik przez \(\cos^4 x\neq 0\) i otrzymujemy \[\mathrm{tg}\,4x=\frac{\frac{4\cos^3 x \sin x -4\cos x\sin^3 x}{\cos^4 x}}{\frac{\cos^4 x -6\cos^2 x\sin^2 x +\sin^4 x}{\cos^4 x}}=\frac{4\cdot\frac{\sin x}{\cos x} -4\cdot\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x}}{1 -6\cdot\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} +\frac{\sin^4 x}{\cos^4 x}}=\frac{4\,\mathrm{tg}\,x-4\,\mathrm{tg}^3\,x}{1-6\,\mathrm{tg}^2\,x+\mathrm{tg}^4\,x}\]

Z poprzedniego zadania wiemy, że \[\eqalign{&\cos 5 x = \cos^5 x -10\cos^3 x\sin^2 x + 5\cos x\sin^4 x \cr &\sin 5x = 5\cos^4 x \sin x -10\cos^2 x\sin^3 x+\sin^5 x \cr}\] Zatem dla \(x\in\mathbb{R}\setminus \{{k\pi\over 5}: \ k\in \mathbb{Z}\}\) otrzymujemy równość \[\mathrm{ctg}\,5x=\frac{\cos 5x}{\sin 5x}=\frac{\cos^5 x -10\cos^3 x\sin^2 x + 5\cos x\sin^4 x}{5\cos^4 x \sin x -10\cos^2 x\sin^3 x + \sin^5 x}\] Dzielimy każdy składnik licznika i mianownika przez \(\sin^5 x\neq 0\) i otrzymujemy \[\mathrm{ctg}\,5x=\frac{\frac{\cos^5 x}{\sin^5 x} -10\cdot\frac{\cos^3 x}{\sin^3 x} + 5\cdot\frac{\cos x}{\sin x}}{5\cdot\frac{\cos^4 x}{ \sin^4 x} -10\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}+1}=\frac{\mathrm{ctg}^5\,x-10\,\mathrm{ctg}^3\,x+5\,\mathrm{ctg}\,x}{5\,\mathrm{ctg}^4\,x-10\,\mathrm{ctg}^2\,x+1}\]