Matematyka elementarna

Matematyka elementarna obejmuje większość zagadnień zawartych w podstawie programowej nauczania matematyki w szkołach ponadpodstawowych. Są jednak i takie pojęcia, które poza tę podstawę wykraczają lub ją nieznacznie poszerzają, ale są niezbędne w toku studiów. Treści zadań oraz przykłady dobrane zostały na podstawie prowadzonych przez nas wykładów i ćwiczeń ze studentami oraz wskazówek kolegów z uczelni i liceów. Na końcu każdego rozdziału (w zakładce Powtórka) umieszczone zostały najważniejsze definicje i wzory w nim zamieszczone. Będziemy po nie sięgać, omawiając zagadnienia z matematyki wyższej.

Matematyka elementarna zawiera następujące rozdziały tematyczne:

  1. Wiadomości wstępne

    W tym rozdziale przypomnimy pojęcia dotyczące rachunku zbiorów, wartości bezwzględnej, własności potęgowania i pierwiastkowania liczb, trójkąt Pascala, silnię, symbol i wzór dwumianowy Newtona, wzory skróconego mnożenia.

  2. Elementy logiki

    W rozdziale tym poznamy spójniki logiczne, prawa rachunku zdań i sposoby ustalania ich wartości logicznych, rodzaje twierdzeń, kwantyfikatory i prawa de Morgana dla kwantyfikatorów.

  3. Funkcje i ich własności

    Rozdział ten zawiera ogólną definicję funkcji i związane z nią pojęcia oraz własności, takie jak: dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości, wykres i jego geometryczne przekształcenia, miejsca zerowe funkcji oraz parzystość, nieparzystość, ograniczoność, okresowość, monotoniczność, różnowartościowość, obcięcie, złożenie i funkcja odwrotna, funkcja elementarna i nieelementarna.

  4. Funkcja liniowa

    Ten rozdział poświęcony jest funkcji linowej, jej wykresowi, miejscom zerowym i własnościom oraz sposobom rozwiązywania równania i nierówności liniowe, a także układów równań liniowych.

  5. Funkcja kwadratowa

    W tym rozdziale dokładnie omówione są wszystkie postacie funkcji kwadratowej, jej wykres i własności oraz sposoby rozwiązywania równań i nierówności kwadratowych, a także takich, które można za pomocą odpowiedniego podstawienia do nich sprowadzić.

  6. Wielomiany

    Omówimy w tym rozdziale przede wszystkim wielomiany stopnia większego lub równego trzy. Poznamy różne metody dzielenia wielomianów, wyznaczania pierwiastków wielomianów oraz rozwiązywania nierówności wielomianowych.

  7. Funkcja wymierna

    W tym rozdziale zdefiniujemy szczególną funkcję wymierną zwaną proporcjonalnością odwrotną. Nauczymy się wyznaczać dziedzinę naturalną funkcji wymiernej oraz rozwiązywać równania i nierówności wymiernych z uwzględnieniem ich dziedzin.

  8. Funkcja potęgowa

    Dowiemy się w tym rozdziale, jaka jest dziedzina, wykres i własności funkcji potęgowej w zależności od wykładnika potęgi niewiadomej \(x\) oraz jakie są sposoby rozwiązywania równań i nierówności, w których występują funkcje potęgowe o wykładniku ułamkowym, czyli pierwiastki stopnia parzystego lub nieparzystego.

  9. Funkcja wykładnicza

    W tym rozdziale poznamy wykresy funkcji wykładniczych oraz zależność między monotonicznością funkcji wykładniczej a wartością podstawy tej funkcji, co ułatwi nam rozwiązywanie podstawowych równań i nierówności wykładniczych.

  10. Funkcja logarytmiczna

    Ten rozdział rozpoczniemy od definicji logarytmu liczby rzeczywistej i jego własności. Następnie zdefiniujemy funkcję logarytmiczną i ustalimy zależność między funkcją logarytmiczną a funkcją wykładniczą o tej samej podstawie, co pozwoli nam rozwiązać trudniejsze równania i nierówności wykładnicze oraz logarytmiczne.

  11. Funkcje trygonometryczne

    Na początku tego rozdziału określimy funkcje trygonometryczne kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, następnie dla kątów skierowanych w układzie współrzędnych oraz dla kątów dowolnych. Wprowadzimy miarę łukową kąta oraz poznamy wykresy, własności i tożsamości trygonometryczne ułatwiające rozwiązywanie równań i nierówności.

  12. Funkcje cyklometryczne

    W tym rozdziale zdefiniujemy funkcje cyklometryczne, czyli funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Poznamy ich dziedziny, wykresy i własności.

  13. Funkcje – zadania różne
    W tym rozdziale zawarte są zadania, do rozwiązania których niezbędna jest wiedza na temat wszystkich omawianych wcześniej funkcji elementarnych.
  14. Ciągi liczbowe

    Rozdział ten jest poświęcony szczególnemu rodzajowi funkcji, zwanych ciągami, i ich własnościom. Zdefiniujemy ciąg arytmetyczny i geometryczny oraz nauczymy się je rozróżniać dzięki znajomości własności każdego z nich.

  15. Geometria analityczna

    W tym rozdziale zawarte są podstawowe pojęcia z zakresu geometrii analitycznej na płaszczyźnie, takie jak: punkty i wektory w układzie współrzędnych, działania na wektorach, kąt między wektorami oraz warunek prostopadłości i równoległości prostych. Poznamy równanie prostej, okręgu, elipsy i hiperboli.

  16. Kombinatoryka
    Poznamy w tym rozdziale podstawowe pojęcia dotyczące kombinatoryki, takie jak: permutacja, wariacja z powtórzeniami lub bez powtórzeń, kombinacja elementów zbioru \(n\)-elementowego. Nauczymy się dobierać odpowiedni model kombinatoryczny spełniający warunki opisane w zadaniu i wyznaczać liczbę wszystkich jego możliwości.

W matematyce elementarnej wykorzystane zostały materiały z kursu „Moocni z matmy” powstałego w ramach projektu „Moocni z matmy – otwarty kurs matematyki” nr POWR.03.01.00-00-W075/18.