Liczba Eulera
Liczbą Eulera \(e\) nazywamy granicę właściwą \[\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\overset{\zielony{\left[1^{\infty}\right]}}{=}e,\] gdzie \(e\approx 2,718281828459045...\).
Własności działań na potęgach:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,a,b\), gdzie \(a,b>0\),
oraz dla liczb naturalnych \(m,n\) większych od \(1\) zachodzą wzory: \[a^x\cdot a^y=a^{x+y},\quad {a^x\over a^y}=a^{x-y},\quad \left(a^x\right)^y=a^{x\cdot y}\]
Własności modułu liczb zespolonych: \[\vert z_1\cdot z_2\vert = \vert z_1\vert \cdot \vert z_2\vert\] \[\left\vert\frac{ z_1}{z_2}\right\vert = \frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert},\ \textrm{o ile }\ z_2\neq 0\] \[\left\vert z^n\right\vert = |z|^n\] \[\left|\bar{z}\right|=|z|=|-z|\]
Własności argumentu liczb zespolonych \[\mathrm{Arg}\,(z_1\cdot z_2)= \arg z_1+ \arg z_2\] \[\mathrm{Arg}\left(\frac{ z_1}{z_2}\right)= \arg z_1-\arg z_2,\ \textrm{o ile }\ z_2\neq 0\] \[\mathrm{Arg}\, z^n = n\cdot\arg z\] \[\arg \bar{z}=2\pi-\arg z\]
Wzór de Moivre'a \[\Big[ \vert z\vert ( \cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi )\Big] ^{n}=\vert z\vert ^{n}( \cos n\varphi +\mathrm{i}\sin n\varphi )\]
Nieparzystość funkcji sinus \[\bigwedge\limits_{x\in\mathbb{R}}\sin (-x)=-\sin x\]
Parzystość funkcji cosinus \[\bigwedge\limits_{x\in\mathbb{R}}\cos (-x)=\cos x\]
Wzór dwumianowy Newtona
Dla dowolnych \(a,b\in \mathbb{R}\) oraz \(n\in \mathbb{N}\) zachodzi wzór \[ (a+b)^n={n \choose 0}a^nb^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + \ldots + {n \choose n-1}a^1b^{n-1} + {n \choose n}a^0b^n\]
Trójkąt Pascala \[\matrix{ n=0& & & & & & & & & 1 & & & & & & & & &(a+b)^0\cr n=1& & & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & & &(a+b)^1\cr n=2& & & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & & &(a+b)^2\cr n=3& & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & & &(a+b)^3\cr n=4& & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & & &(a+b)^4\cr n=5& & & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & & &(a+b)^5\cr n=6& & & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & & &(a+b)^6\cr n=7& & 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 & &(a+b)^7\cr \cdot\quad\cdot & & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & & \cdot\quad\cdot \cr } \]
Wykres funkcji cosinus
Wykres funkcji cosinus.

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Aby zapisać liczbę zespoloną w postaci wykładniczej, zdefiniujemy najpierw symbol \(e^{\mathrm{i}\varphi}\), gdzie \(e\) jest liczbą Eulera, a \(\varphi \in\mathbb{R}\).
Definicja
Symbolem \(e^{\mathrm{i}\varphi}\), gdzie \(\varphi \in\mathbb{R}\), oznaczamy liczbę zespoloną \(\cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi\), czyli \[e^{\mathrm{i}\varphi}=\cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi\]
Z własności działań na potęgach oraz z \(2\pi\)-okresowości funkcji sinus i cosinus wynika następujący fakt.
Fakt (własności symbolu \(\boldsymbol{e^{\mathrm{i}\varphi}}\))
Niech \(\varphi ,\varphi_1, \varphi_2\in\mathbb{R}\) oraz \(k\in\mathbb{Z}\). Wtedy:
  1. \(\displaystyle e^{\mathrm{i}\left(\varphi_1+\varphi_2\right)}=e^{\mathrm{i}\varphi_1}\cdot e^{\mathrm{i}\varphi_2}\)
  2. \(\displaystyle e^{\mathrm{i}\left(\varphi_1-\varphi_2\right)}={e^{\mathrm{i}\varphi_1}\over e^{\mathrm{i}\varphi_2}}\)
  3. \(\displaystyle \left(e^{\mathrm{i}\varphi}\right)^k=e^{\mathrm{i}k\varphi}\)
  4. \(\displaystyle e^{\mathrm{i}\left(\varphi +2k\pi\right)}=e^{\mathrm{i}\varphi}\)
  5. \(\displaystyle \vert e^{\mathrm{i}\varphi}\vert=1\)
Każdą liczbę zespoloną \(z\) można zapisać w postaci \[z=\vert z\vert e^{\mathrm{i}\varphi},\] gdzie \(\varphi = \mathrm{Arg}\, z\). Postać tę nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej.
Twierdzenie (o równości liczb w postaci wykładniczej)
Niech \(z_1,z_2\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\). Jeżeli\[{z_{1}=\vert z_{1}\vert e^{\mathrm{i}\varphi_1}\quad \text{oraz} \quad z_{2}=\vert z_{2}\vert e^{\mathrm{i}\varphi_2},}\] to wówczas \[ z_{1}=z_{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \vert z_{1}\vert =\vert z_{2}\vert \ \wedge \ \varphi _{1}=\varphi _{2}+2k \pi, \quad {\rm gdzie}\quad k\in Z\]
Skoro potrafimy już wyznaczać moduł i argument liczby zespolonej, to zapisywanie liczb zespolonych w postaci wykładniczej (podobnie jak w postaci trygonometrycznej) nie powinno sprawiać żadnych trudności, jak w poniższym zadaniu.
Zadanie
Podaj postać wykładniczą liczby zespolonej:
  1. \(z=-1-\mathrm{i}\sqrt{3}\)
    Moduł liczby \(z\) wynosi \[|z|=\sqrt{1+3}=2\] Wówczas argument główny \(\varphi\) liczby \(z\) spełnia warunek \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert}=-\frac{1}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0 \cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr}\quad\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{III\ ćw.}}}}{\Longrightarrow}\quad \arg z=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4}{3}\pi\] Zatem postać wykładnicza liczby \(z=-1-\mathrm{i}\sqrt{3}\) to \[z=2e^{\frac{4}{3}\pi\:\!\mathrm{i}}\]
  2. \(z=3-3\:\!\mathrm{i}\)
    Ponieważ liczba \(z=3-3\:\!\mathrm{i}\) jest wierzchołkiem kwadratu o boku długości \(3\) leżącym w ćwiartce IV, to jej moduł jest równy przekątej tego kwadratu \[|z|=3\sqrt{2},\] a jej argument wynosi \[\arg z\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{IV\ ćw.}}}}{=}2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7}{4}\pi\] Wówczas postać wykładnicza liczby \(z=3-3\:\!\mathrm{i}\) to \[z=3\sqrt{2}e^{\frac{7}{4}\pi\:\!\mathrm{i}}\]
  3. \(z=-\sqrt{12}+2\:\!\mathrm{i}\)
    Moduł liczby \(z\) wynosi \[|z|=\sqrt{12+4}=4\] Wówczas argument główny \(\varphi\) liczby \(z\) spełnia warunek \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert}=-\frac{\sqrt{12}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \ {\czerwony{\boldsymbol{\lt}}}\ 0\cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\ {\czerwony{\boldsymbol{\gt}}}\ 0\cr}\quad\overset{\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{II\ ćw.}}}}{\Longrightarrow}\quad \arg z=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5}{6}\pi\] Zatem postać wykładnicza liczby \(z=-\sqrt{12}+2\:\!\mathrm{i}\) to \[z=4e^{\frac{5}{6}\pi\:\!\mathrm{i}}\]
  4. \(z=-3\:\!\mathrm{i}\)
    Ponieważ liczba \(z\) jest leży na ujemnej półosi urojonej, to jej moduł jest równy \[|z|=3,\] a jej argument wynosi \[\arg z=\frac{3}{2}\pi\] Zatem postać wykładnicza liczby \(z=-3\:\!\mathrm{i}\) to \[z=3e^{\frac{3}{2}\pi\:\!\mathrm{i}}\]
Korzystając z własności modułu i argumentu liczby zespolonej oraz ze wzoru de Moivre'a, możemy udowodnić zawarte w poniższym twierdzeniu równości.
Twierdzenie (o działaniach na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej)
Niech \[z=\vert z\vert e^{\mathrm{i}\varphi},\quad z_1=\vert z_1\vert e^{\mathrm{i}\varphi_1},\quad z_2=\vert z_2\vert e^{\mathrm{i}\varphi_2}\] będą liczbami zespolonymi oraz \(k\in\mathbb{Z}\). Wówczas:
  1. \(\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=\vert z_{1}\vert \cdot\vert z_{2}\vert e^{\mathrm{i}\left(\varphi_1+\varphi_2\right)}\)
  2. \(\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\vert z_{1}\vert }{\vert z_{2}\vert }e^{\mathrm{i}\left(\varphi_1-\varphi_2\right)}\), o ile \(z_2\neq 0\)
  3. \(\displaystyle z^k=\vert z \vert ^k e^{\mathrm{i}k\varphi}\)
  4. \(\displaystyle \bar{z}=\vert z \vert e^{-\mathrm{i}\varphi}\)
Zadanie
Wykonaj działania na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej: \[z_1=4e^{\frac{3}{4}\pi\:\!\mathrm{i}},\quad z_2=2e^{\frac{7}{6}\pi\:\!\mathrm{i}}\]
  1. \(\displaystyle z_1\cdot z_2\)
    Ponieważ moduł iloczynu liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb oraz argument iloczynu liczb zespolonych jest równy sumie argumentów tych liczb, to otrzymujemy \[z_1\cdot z_2=4\cdot 2\cdot e^{\frac{3}{4}\pi\:\!\mathrm{i}+\frac{7}{6}\pi\:\!\mathrm{i}}=8e^{\frac{23}{12}\pi\:\!\mathrm{i}}\]
  2. \(\displaystyle {z_1 \over z_2}\)
    Ponieważ moduł ilorazu liczb zespolonych jest równy ilorazowi modułów tych liczb oraz argument ilorazu liczb zespolonych jest równy różnicy argumentów tych liczb, to otrzymujemy \[{z_1\over z_2}=\frac{4}{2}\cdot e^{\frac{3}{4}\pi\:\!\mathrm{i}-\frac{7}{6}\pi\:\!\mathrm{i}}=2e^{-\frac{5}{12}\pi\:\!\mathrm{i}}\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}2e^{\frac{19}{12}\pi\:\!\mathrm{i}}\]W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z \(2\pi\)-okresowości funkcji sinus i cosinus.
  3. \(\displaystyle z_1^6\)
    Ponieważ moduł potęgi liczby zespolonej jest równy potędze modułu tej liczby oraz argument potęgi liczby zespolonej jest równy wielokrotności argumentu tej liczby, to otrzymujemy \[z_1^6=4^6\cdot e^{6\cdot\frac{3}{4}\pi\:\!\mathrm{i}}=4^6e^{\frac{9}{2}\pi\:\!\mathrm{i}}\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}4^6e^{\frac{\pi}{2}\:\!\mathrm{i}}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z \(2\pi\)-okresowości funkcji sinus i cosinus.
Wykorzystamy teraz postać wykładniczą liczby zespolonej, aby wyprowadzić tzw. wzory Eulera.
Przykład
Przedstawimy funkcje \(\sin x\) i \(\cos x\) za pomocą symbolu \(e^{\mathrm{i}x}\). Wiemy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\) \[e^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x\quad \text{oraz} \quad e^{-\mathrm{i}x}=\cos (-x)+\mathrm{i}\sin (-x)\] Ponieważ funkcja sinus jest nieparzysta, a funkcja cosinus jest parzysta, to otrzymujemy układ równań \[\left\{\eqalign{& e^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x \cr &e^{-\mathrm{i}x}=\cos x-\mathrm{i}\sin x \cr}\right.\] Po dodaniu stronami obu równań tego układu otrzymujemy równość \[e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}=2\cos x\quad \Longleftrightarrow\quad\cos x=\frac{e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}}{2},\] a po ich odjęciu mamy równość\[e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}=2\:\!\mathrm{i}\sin x \quad \Longleftrightarrow\quad \sin x=\frac{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}}{2\:\!\mathrm{i}}\]
Z powyższego przykładu wynika następujące twierdzenie.
Twierdzenie (wzory Eulera)
Dla dowolnego \(x\in\mathbb{R}\) zachodzą wzory: \[\cos x=\frac{e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}}{2},\qquad \sin x=\frac{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}}{2\:\!\mathrm{i}}\]
Wzory Eulera możemy wykorzystać do wyprowadzenia wzorów trygonometrycznych na potęgę sinusa i cosinusa, jak w poniższym przykładzie.
Przykład

Przedstawimy funkcję \(\cos^3 x\) za pomocą cosinusów wielokrotności kąta \(x\).

Ze wzorów Eulera wynika, że \[\cos x=\frac{e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}}{2}\] Zatem \[\cos^3 x=\left(\frac{e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}}{2}\right)^3\] Aby podnieść otrzymane wyrażenie do potęgi \(3\), skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy \[(a+b)^{3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\]Wówczas \[\eqalign{\cos ^3 x &= \frac{\left(e^{\mathrm{i} x}\right)^3+3\left(e^{\mathrm{i} x}\right)^2e^ {- \mathrm{i} x }+3e^{\mathrm{i} x}\left(e^ {- \mathrm{i} x }\right)^2+\left(e^ {- \mathrm{i}\cdot x }\right)^3}{2^3}=\cr &=\frac{e^{3\mathrm{i} x}+3e^{2 \mathrm{i} x}e^ {- \mathrm{i} x }+3e^{\mathrm{i} x}e^ {- 2 \mathrm{i} x }+e^ {- 3 \mathrm{i} x }}{8}=\cr &=\frac{e^{3\mathrm{i} x}+3e^{\mathrm{i} x}+3e^ {- \mathrm{i}x }+e^ {- 3\mathrm{i} x }}{8}=\frac{e^{3 \mathrm{i} x}+e^ {- 3\mathrm{i} x }+3\left(e^{\mathrm{i} x}+e^ {- \mathrm{i} x }\right)}{8}=\cr &=\frac{e^{3 \mathrm{i} x}+e^{-3\mathrm{i} x}}{8}+\frac{3\left(e^{\mathrm{i} x}+e^ {- \mathrm{i} x }\right)}{8}= \frac{1}{4}\cdot \frac{e^{3 \mathrm{i} x}+e^{-3\mathrm{i} x}}{2}+\frac{3}{4}\cdot \frac{e^{\mathrm{i} x}+e^{-\mathrm{i} x}}{2}\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\cr &\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\frac{1}{4}\cdot \cos 3x+\frac{3}{4}\cdot \cos x\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy ze wzorów Eulera. Ostatecznie \[\cos^3 x=\frac{1}{4}\cos 3x+\frac{3}{4}\cos x\]
Zadanie
Za pomocą sinusów lub cosinusów wielokrotności kąta \(x\) przedstaw funkcję:
  1. \(\sin^3 x\)
    Skorzystamy ze wzoru Eulera na funkcję sinus \[\sin x=\frac{e^{\mathrm{i} x}-e^ {- \mathrm{i} x }}{2\mathrm{i}}\] Wówczas \[\sin ^3 x= \left(\frac{e^{\mathrm{i} x}-e^ {- \mathrm{i} x }}{2\:\! \mathrm{i}}\right)^3\] Aby podnieść otrzymane wyrażenie do potęgi \(3\), skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy \[(a-b)^3={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}\] Zatem \[\eqalign{\sin ^3 x &= \frac{\left(e^{\mathrm{i}x}\right)^3-3\left(e^{\mathrm{i}x}\right)^2e^ {- \mathrm{i} x }+3e^{\mathrm{i} x}\left(e^ {- \mathrm{i} x }\right)^2-\left(e^ {- \mathrm{i} x }\right)^3}{\left(2\:\! \mathrm{i}\right)^3}=\cr &=\frac{e^{3\:\! \mathrm{i} x}-3e^{2\:\! \mathrm{i} x}e^ {- \mathrm{i} x }+3e^{\mathrm{i}x}e^ {- 2\:\! \mathrm{i} x }-e^ {- 3\:\! \mathrm{i} x }}{-8\:\! \mathrm{i}}=\cr &=\frac{e^{3\:\! \mathrm{i} x}-3e^{\mathrm{i} x}+3e^ {- \mathrm{i} x }-e^ {- 3\:\! \mathrm{i} x }}{-8\:\! \mathrm{i}}=\frac{e^{3\:\! \mathrm{i} x}-e^ {- 3\:\! \mathrm{i} x }-3\left(e^{\mathrm{i} x}-e^ {- \mathrm{i} x }\right)}{-8\:\! \mathrm{i}}=\cr &=\frac{e^{3\:\! \mathrm{i} x}-e^{-3\:\! \mathrm{i} x}}{-8\:\! \mathrm{i}}+\frac{-3\left(e^{\mathrm{i} x}-e^ {- \mathrm{i} x }\right)}{-8\:\! \mathrm{i}}= -\frac{1}{4}\cdot \frac{e^{3\:\! \mathrm{i} x}-e^{-3\:\! \mathrm{i} x}}{2\:\! \mathrm{i}}+\frac{3}{4}\cdot \frac{e^{\mathrm{i} x}-e^{-\mathrm{i} x}}{2\:\! \mathrm{i}}\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\cr &\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}-\frac{1}{4}\cdot \sin 3x+\frac{3}{4}\cdot \sin x\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy ponownie ze wzoru Eulera na funkcję sinus. Ostatecznie \[\sin ^3 x=-\frac{1}{4}\sin 3x+\frac{3}{4}\sin x\]
  2. \(\sin^4 x\)
    Skorzystamy ze wzoru Eulera na funkcję sinus \[\sin x=\frac{e^{\mathrm{i} x}-e^ {- \mathrm{i} x }}{2\mathrm{i}}\] Wówczas \[\sin ^4 x= \left(\frac{e^{\mathrm{i} x}-e^ {- \mathrm{i} x }}{2\:\! \mathrm{i}}\right)^4\] Aby podnieść otrzymane wyrażenie do potęgi \(4\), skorzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona, którego współczynniki możemy odczytać z trójkąta Pascala \[(a-b)^{4}={a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4}\] Zatem \[\eqalign{{\sin ^4 x} &= \frac{\left(e^{\mathrm{i}x}\right)^4-4\left(e^{\mathrm{i} x}\right)^3e^ {- \mathrm{i} x }+6\left(e^{\mathrm{i} x}\right)^2\left(e^ {- \mathrm{i} x }\right)^2-4e^{\mathrm{i} x}\left(e^ {- \mathrm{i} x }\right)^3+\left(e^ {- \mathrm{i} x }\right)^4}{\left(2\:\! \mathrm{i}\right)^4}=\cr &=\frac{e^{4\:\! \mathrm{i} x}-4e^{3\:\! \mathrm{i} x}e^ {- \mathrm{i} x }+6e^{2\:\! \mathrm{i} x}e^ {- 2\:\! \mathrm{i} x }-4e^{\mathrm{i} x}e^ {- 3\:\! \mathrm{i}x }+e^ {- 4\:\! \mathrm{i} x }}{16}=\cr &=\frac{e^{4\:\! \mathrm{i} x}-4e^{2\:\! \mathrm{i} x}+6e^0-4e^ {- 2\:\!\mathrm{i} x }+e^ {- 4\:\! \mathrm{i}x }}{16}=\frac{e^{4\:\! \mathrm{i} x}+e^ {- 4\:\! \mathrm{i} x }-4\left(e^{2\:\! \mathrm{i}x}+e^ {- 2\:\! \mathrm{i} x }\right)+6}{16}=\cr &=\frac{e^{4\:\! \mathrm{i} x}+e^ {- 4\:\! \mathrm{i} x }}{16}+\frac{-4\left(e^{2\:\! \mathrm{i}x}+e^ {- 2\:\! \mathrm{i} x }\right)}{16}+\frac{6}{16} =\frac{1}{8}\cdot \frac{e^{4\:\! \mathrm{i} x}+e^{-4\:\! \mathrm{i} x}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{2\:\! \mathrm{i} x}+e^{-2\:\! \mathrm{i} x}}{2}+\frac{3}{4}\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\cr &\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\frac{1}{8}\cdot \cos 4x -\frac{1}{2}\cdot \cos 2x +\frac{3}{4}\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy ze wzoru Eulera na funkcję cosinus. Ostatecznie \[\sin ^4 x=\frac{1}{8}\cos 4x -\frac{1}{2}\cos 2x +\frac{3}{4}\]
  3. \(\cos^5 x+\sin^5 x\)
    Skorzystamy ze wzorów Eulera: \[\cos x=\frac{e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}}{2},\qquad \sin x=\frac{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}}{2\:\!\mathrm{i}}\] oraz wzoru dwumianowego Newtona, którego współczynniki możemy odczytać z trójkąta Pascala \[(a\pm b)^{5}={a^5\pm 5a^4b+10a^3b^2\pm 10a^2b^3+5ab^4\pm b^5}\] Zapiszemy najpierw \(\cos^5x\) za pomocą cosinusów wielokrotności kąta \(x\). \[\eqalign{\cos ^5x &= \frac{\left(e^{\mathrm{i} x}\right)^5+ 5\left(e^{\mathrm{i} x}\right)^4e^ {- \mathrm{i}x }+10\left(e^{\mathrm{i} x}\right)^3\left(e^ {- \mathrm{i}x }\right)^2+10\left(e^{\mathrm{i} x}\right)^2 \left(e^ {- \mathrm{i} x }\right)^3+5e^{\mathrm{i} x}\left(e^ {- \mathrm{i}x }\right)^4+\left(e^ {- \mathrm{i} x }\right)^5}{2^5}=\cr &=\frac{e^{5\:\! \mathrm{i} x}+5e^{4\:\! \mathrm{i} x}e^ {- \mathrm{i} x }+10e^{3\:\! \mathrm{i} x}e^ {- 2\:\! \mathrm{i} x }+10e^{2\:\! \mathrm{i} x}e^ {- 3\:\! \mathrm{i} x }+5e^{\mathrm{i} x} e^ {- 4\:\! \mathrm{i} x }+e^ {- 5\:\! \mathrm{i} x }}{32}=\cr &=\frac{e^{5\:\! \mathrm{i} x}+5e^{3\:\! \mathrm{i} x}+10e^{\mathrm{i} x}+10e^ {- \mathrm{i} x }+5 e^ {- 3\:\! \mathrm{i} x }+e^ {- 5\:\! \mathrm{i} x }}{32}=\cr &=\frac{e^{5\:\! \mathrm{i} x}+e^ {- 5\:\! \mathrm{i} x }+5\left(e^{3\:\! \mathrm{i} x}+e^ {- 3\:\! \mathrm{i} x }\right)+10\left(e^{\mathrm{i} x}+e^ {- \mathrm{i} x }\right)}{32}=\cr &=\frac{e^{5\:\! \mathrm{i} x}+e^ {- 5\:\! \mathrm{i} x }}{32}+\frac{5\left(e^{3\:\! \mathrm{i} x}+e^ {- 3\:\! \mathrm{i} x }\right)}{32}+\frac{10\left(e^{\mathrm{i} x}+e^ {- \mathrm{i} x }\right)}{32}=\cr &=\frac{1}{16}\cdot \frac{e^{5\:\! \mathrm{i} x}+e^{-5\:\! \mathrm{i} x}}{2}+\frac{5}{16}\cdot \frac{e^{3\:\! \mathrm{i} x}+e^{-3\:\! \mathrm{i} x}}{2}+\frac{5}{8}\cdot \frac{e^{\mathrm{i} x}+e^{-\mathrm{i} x}}{2}\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\cr &\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\frac{1}{16}\cdot \cos 5x+\frac{5}{16}\cdot \cos 3x+\frac{5}{8}\cdot \cos x\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy ze wzoru Eulera na funkcję cosinus.
    Wykonując analogiczne przekształcenia, zapiszemy teraz \(\sin^5x\) za pomocą sinusów wielokrotności kąta \(x\). \[\eqalign{\sin ^5x &= \frac{e^{5\:\! \mathrm{i} x}-5e^{3\:\! \mathrm{i} x}+10e^{\mathrm{i} x}-10 e^ {- \mathrm{i} x }+5 e^ {- 3\:\! \mathrm{i} x }-e^ {- 5\:\! \mathrm{i} x }}{\left(2\:\! \mathrm{i}\right)^5}=\cr &=\frac{e^{5\:\! \mathrm{i} x}-e^ {- 5\:\! \mathrm{i} x }-5 \left(e^{3\:\! \mathrm{i} x}-e^ {- 3\:\! \mathrm{i} x }\right)+10 \left(e^{\mathrm{i} x}-e^ {- \mathrm{i} x }\right)}{32\:\! \mathrm{i}}=\cr &=\frac{1}{16}\cdot \frac{e^{5\:\! \mathrm{i} x}-e^{-5\:\! \mathrm{i} x}}{2\:\!\mathrm{i}}-\frac{5}{16}\cdot \frac{e^{3\:\! \mathrm{i} x}-e^{-3\:\! \mathrm{i} x}}{2\:\!\mathrm{i}}+\frac{5}{8}\cdot \frac{e^{\mathrm{i} x}-e^{-\mathrm{i} x}}{2\:\!\mathrm{i}}\overset{\czerwony{\boldsymbol {**}}}{=}\cr &\overset{\czerwony{\boldsymbol {**}}}{=}\frac{1}{16}\cdot \sin 5x-\frac{5}{16}\cdot \sin 3x+\frac{5}{8}\cdot \sin x\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol {**}}\) skorzystaliśmy ze wzoru Eulera na funkcję sinus.
    Skoro \[\cos^5x=\frac{1}{16}\cos 5x+\frac{5}{16}\cos 3x+\frac{5}{8}\cos x\] \[\sin^5x=\frac{1}{16}\sin 5x-\frac{5}{16}\sin 3x+\frac{5}{8}\sin x\] to zadana suma wynosi \[\eqalign{\cos^5x+\sin^5 x&=\frac{1}{16} \cos 5x+\frac{5}{16} \cos 3x+\frac{5}{8} \cos x+\frac{1}{16} \sin 5x-\frac{5}{16} \sin 3x+\frac{5}{8} \sin x=\cr &= \frac{1}{16} \left(\cos 5x+\sin 5x\right)+\frac{5}{16}\left( \cos 3x-\sin 3x\right)+\frac{5}{8}\left( \cos x+\sin x\right)\cr}\]