Równania i nierówności wielomianowe

Wielomianem rzeczywistym stopnia \(n\) \((n\in \mathbb{N}\cup\{0\})\) nazywamy funkcję \(W:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) określoną za pomocą wzoru \[W(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0,\] gdzie \(a_k \in \mathbb{R}\) dla \(0\leq k \leq n\) oraz \(a_n\not=0\).

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu
Jeżeli liczba całkowita \(p\not=0\) jest pierwiastkiem wielomianu \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] o współczynnikach całkowitych, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).

Kwadrat różnicy
\[a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\]

Różnica kwadratów
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

Równania i nierówności wielomianowe

Z definicji wielomianu wiemy, że dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Zatem dziedziną równania wielomianowego jest zawsze zbiór \(D=\mathbb{R},\) o ile w treści zadania nie podano inaczej. Ponieważ równaniami liniowymi i kwadratowymi zajmowaliśmy się już wcześniej, dlatego będziemy teraz rozważać tylko równania stopnia większego lub równego \(3\). Równanie wielomianowe postaci \(W(x)=0\), gdzie \(W(x)\) jest wielomianem stopnia \(n\geq 3\), można rozwiązać za pomocą rozkładu wielomianu \(W(x)\) na czynniki. Jeżeli wielomian \(W(x)\) ma rozkład na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne postaci \[ W(x)=W_1(x)\cdot W_2(x) \cdot \ldots \cdot W_k(x), \] to równanie \(W(x)=0\) można zapisać w postaci równoważnej: \[ W_1(x)=0\qquad\vee\qquad W_2(x)=0\qquad\vee\qquad \ldots \qquad\vee\qquad W_k(x)=0 \] Rozwiązania równań \[ W_1(x)=0,\qquad W_2(x)=0,\qquad \ldots \qquad W_k(x)=0 \] są zatem rozwiązaniami równania \(W(x)=0\).

Zadanie

Rozwiąż równanie wielomianowe:

\(x^3+x^2+4x+4=0\)
Lewą stronę równania rozkładamy na czynniki, grupując wyrazy: \[ x^2(x+1)+4(x+1)=0 \] \[ (x+1)(x^2+4)=0 \] Ponieważ wielomian \(x^2+4\) jest nierozkładalny, więc jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=-1\).

\(x^3-7x+6=0\)

Rozkładamy wielomian \(W(x)=x^3-7x+6\) na czynniki. Ponieważ współczynniki wielomianu \(W(x)\) są liczbami całkowitymi, to zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach całkowitych takich pierwiastków wielomianu \(W(x)\) należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby \(6\) to: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), \(3\), \(-3\), \(6\), \(-6\). Ponieważ \[ \zielony{\boldsymbol{W(1)=1-7+6=0}}, \] więc \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) i zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-1\). Podzielimy wielomiany, wykorzystując schemat Hornera.

	\(1\)	\(\czerwony{\boldsymbol 0}\)	\(-7\)	\(6\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(-6\)	\(0\)

Zatem równanie \(W(x)=0\) możemy zapisać w postaci \[ (x-1)\left( x^2+x-6 \right)=0 \] Jeśli rozłożymy trójmian kwadratowy na czynniki, otrzymamy \[ (x-1)(x-2)(x+3)=0 \] Równanie to można zapisać równoważnie w postaci: \[ x-1=0 \quad \vee \quad x-2=0 \quad \vee \quad x+3=0 \] Zatem rozwiązaniami równania \(W(x)=0\) są liczby: \(1\), \(2\), \(-3\).

\(x^4 -5x^3 +4x^2 + 3x + 9=0\)

Rozkładamy wielomian \(W(x)=x^4 -5x^3 +4x^2 + 3x + 9\) na czynniki. Ponieważ współczynniki wielomianu \(W(x)\) są liczbami całkowitymi, to pierwiastków całkowitych wielomianu \(W(x)\) należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby \(9\) to: \(1\), \(-1\), \(3\), \(-3\), \(9\), \(-9\). Ponieważ: \[ \eqalignno{ &W(1)=1-5+4+3+9\neq 0 \cr &W(-1)=1+5+4-3+9\neq 0 \cr &\zielony{\boldsymbol{W(3)=81-135+36+9+9= 0}}, \cr } \] więc \(3\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\). Podzielimy wielomian \(W(x)\) przez dwumian \(x-3\), wykorzystując schemat Hornera.

	\(1\)	\(-5\)	\(4\)	\(3\)	\(9\)
\(3\)	\(1\)	\(-2\)	\(-2\)	\(-3\)	\(0\)

Zatem równanie można zapisać w postaci \[ (x-3)\left( x^3-2x^2-2x-3 \right)=0 \] Oznaczmy przez \(W_1(x)\) wielomian \(x^3-2x^2-2x-3\). Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu \(W_1(x)\) to: \(1\), \(-1\), \(3\), \(-3\). Skoro \(W(1)\neq 0\) oraz \(W(-1)\neq 0\), to obliczamy \(W_1(3)\). Ponieważ \[ W_1(3)=27-18-6-3=0, \] więc \(3\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W_1(x)\). Podzielimy wielomian \(W_1(x)\) przez dwumian \(x-3\), wykorzystując schemat Hornera.

	\(1\)	\(-2\)	\(-2\)	\(-3\)
\(3\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)

Zatem \[ W(x)=(x-3)^2\left( x^2+x+1 \right) \] Ponieważ wielomian \(x^2+x+1\) jest nierozkładalny (\(\Delta=-3<0\)), to jedynym rozwiązaniem równania \(W(x)=0\) jest \(x=3\).

Aby narysować wykres wielomianu \[W(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x + a_0,\] wykonujemy poniższe czynności:

Rozkładamy wielomian \(W(x)\) na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne.
Zaznaczamy na osi \(Ox\) miejsca zerowe wielomianu \(W(x)\), będące miejscami zerowymi czynników liniowych jego rozkładu.
Rysowanie wykresu zawsze rozpoczynamy od prawej strony. Jeżeli współczynnik \(a_n\) wielomianu \(W(x)\) jest dodatni, to dla argumentów większych od największego miejsca zerowego wielomian \(W(x)\) przyjmuje wartości dodatnie, dlatego zaczynamy rysunek nad osią \(Ox\). W przeciwny przypadku, gdy \(a_n<0\), wartości wielomianu \(W(x)\) są ujemne i rysunek zaczynamy pod osią \(Ox\), jak na poniższym rysunku.

Początek wykresu wielomianu
Jeżeli liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) o parzystej krotności, to wielomian \(W(x)\) przyjmuje wartości tego samego znaku dla argumentów leżących po obu stronach \(x_0\). Wykres odbija się zatem od osi \(Ox\) w punkcie \(x_0\), jak na pierwszym z poniższych rysunków. Jeżeli natomiast \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) o nieparzystej krotności, to wartości wielomianu \(W(x)\) są różnych znaków dla argumentów leżących po dwóch różnych stronach \(x_0\). Wykres przechodzi wówczas przez oś \(Ox\) w punkcie \(x_0\), jak na drugim z poniższych rysunków.

Pierwiastek parzystokrotny

Pierwiastek nieparzystokrotny

Przykład

Narysujemy wykres wielomianu \[ W(x)=-2x^2(x-2)(x+1)^3(x-1)^4\left( x^2+x+1\right) \] Wielomian \(W(x)\) jest już rozłożony na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne, dlatego zaczynamy od zaznaczenia na osi \(Ox\) jego miejsc zerowych, tzn. \(-1\), \(0\), \(1\) i \(2\).

Rysunek przedstawiający miejsca zerowe wielomianu na osi liczbowej.

Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu \(W(x)\) wynosi \(-2\), to rysowanie rozpoczynamy od prawej strony pod osią \(Ox\). Wartości wielomianu \(W(x)\) są ujemne aż do największego z miejsc zerowych tego wielomianu, tzn. do \(2\).

Rysunek przedstawiający pierwszy fragment wykresu wielomianu (dla x większego lub równego 2).

Skoro \(2\) jest \(1\)-krotnym pierwiastkiem tego wielomianu, to wykres przechodzi nad oś \(Ox\). Wartości wielomianu \(W(x)\) są dodatnie aż do następnego miejsca zerowego, czyli do \(1\).

Rysunek przedstawiający fragment wykresu wielomianu (dla x większego lub równego 1).

Liczba \(1\) jest \(4\)-krotnym pierwiastkiem \(W(x)\), więc wykres pozostaje nad osią \(Ox\) („odbija” od osi \(Ox\)) aż do kolejnego, \(2\)-krotnego pierwiastka wielomianu, którym jest \(0\).

Rysunek przedstawiający fragment wykresu wielomianu (dla x większego lub równego 0).

Wykres wielomianu \(W(x)\) wciąż pozostaje nad osią \(Ox\) do ostatniego, \(3\)-krotnego pierwiastka, czyli do liczby \(-1\).

Z uwagi na nieparzystą krotność tego pierwiastka wartości wielomianu \(W(x)\) dla liczb mniejszych od \(-1\) zmienią znak, więc wykres przechodzi pod oś \(Ox\). Zatem wykresu wielomianu \(W(x)=-2x^2(x-2)(x+1)^3(x-1)^4\left( x^2+x+1\right)\) jest następujący

Rysunek przedstawiający kompletny wykresu wielomianu.

Wiemy już, jak narysować wykres wielomianu, z którego możemy odczytać, dla jakich argumentów wielomian przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne. Poznamy teraz inny sposób wyznaczania znaków wartości wielomianu za pomocą tzw. siatki znaków.

Przykład

Za pomocą siatki znaków wyznaczymy przedziały, w których wielomian \[W(x)=(x+1)^3\left(x^2+1\right)(x+3)^5(x-2)^2(x-1)\] przyjmuje wartości dodatnie oraz ujemne. Ponieważ wielomian \(W(x)\) jest już rozłożony na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne, dlatego możemy odczytać jego miejsca zerowe: \(-3\), \(-1\), \(1\), \(2\). Na ich podstawie wyznaczamy przedziały, w których należy ustalić znak wielomianu: \[ (-\infty,-3),\quad (-3,-1),\quad (-1,1),\quad (1,2),\quad (2,\infty)\] Przedziały te umieszczamy w pierwszym wierszu siatki znaków, zostawiając pierwszą komórkę pustą. W pierwszej kolumnie (pomijając pierwszą komórkę) wypisujemy czynniki wielomianu \(W(x)\): \[(x+1)^3,\quad \left(x^2+1\right),\quad (x+3)^5,\quad (x-2)^2,\quad (x-1),\] a jako ostatni wpisujemy wielomian \(W(x)\). Tak otrzymujemy szkielet siatki znaków.

	\((-\infty,-3)\)	\((-3,-1)\)	\((-1,1)\)	\((1,2)\)	\((2,\infty)\)
\((x+1)^3\)
\(x^2+1\)
\((x+3)^5\)
\((x-2)^2\)
\(x-1\)
\(W(x)\)

Wewnętrzne komórki tabelki (oprócz ostatniego wiersza) uzupełniamy znakami, jakie przyjmują poszczególne czynniki w kolejnych przedziałach. Na przykład w drugim wierszu i trzeciej kolumnie wpiszemy znak minus, gdyż czynnik \((x+1)^3\) przyjmuje wartości ujemne w przedziale \((-3,-1)\).

	\((-\infty,-3)\)	\((-3,-1)\)	\((-1,1)\)	\((1,2)\)	\((2,\infty)\)
\((x+1)^3\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(x^2+1\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\((x+3)^5\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\((x-2)^2\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(x-1\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
\(W(x)\)

Na koniec wypełniamy ostatni wiersz tabelki, analizując poprzednie zapisy w każdej kolumnie z osobna. Jeżeli w danej kolumnie jest nieparzysta liczba minusów, to w ostatnim wierszu tej kolumny wpisujemy minus, w przeciwnym razie wpisujemy plus. Na przykład w drugiej kolumnie ostatniego wiersza wpisujemy minus, ponieważ w tej kolumnie znajdowały się trzy minusy. Ostatni wiersz siatki znaków, stanowi rozwiązanie zadania, gdyż zawiera znaki całego wielomianu \(W(x)\) we wszystkich przedziałach jego dziedziny.

	\((-\infty,-3)\)	\((-3,-1)\)	\((-1,1)\)	\((1,2)\)	\((2,\infty)\)
\((x+1)^3\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(x^2+1\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\((x+3)^5\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\((x-2)^2\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(x-1\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
\(W(x)\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)

Widzimy więc, że: \[\eqalign{W(x)&\lt 0\quad \Longleftrightarrow \quad x\in (-\infty,-3)\cup (-1,1)\cr W(x)&\le 0\quad \Longleftrightarrow \quad x\in (-\infty,-3\rangle \cup \langle -1,1\rangle \cr W(x)&>0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\in (-3,-1)\cup (1,2)\cup (2,\infty )\cr W(x)&\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\in \langle -3,-1\rangle \cup \langle 1,\infty ) \cr}\] Można zauważyć, że czynnik o parzystym wykładniku \((x-2)^2\) oraz czynnik kwadratowy nierozkładalny \(x^2+1\) w każdym przedziale przyjmują wartości dodatnie, dlatego można je pominąć w siatce znaków. Nie należy jednak pomijać miejsc zerowych takich czynników, zwłaszcza przy ostrych nierównościach. Zatem siatka znaków dla wielomianu \(W(x)\) może zawierać mniej wierszy i wyglądać następująco:

	\((-\infty,-3)\)	\((-3,-1)\)	\((-1,1)\)	\((1,2)\)	\((2,\infty)\)
\((x+1)^3\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\((x+3)^5\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(x-1\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
\(W(x)\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)

Z definicji wielomianu wiemy, że dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Zatem dziedziną nierówności wielomianowej jest zawsze zbiór \(D=\mathbb{R},\) o ile w treści zadania nie podano inaczej. Ponieważ nierównościami liniowymi i kwadratowymi zajmowaliśmy się już wcześniej, dlatego będziemy teraz rozważać tylko nierówności stopnia \(n\ge 3\). Rozwiązanie nierówności wielomianowych, które przyjmują następujące postaci: \[ W(x)> 0, \qquad W(x)\geq 0, \qquad W(x)< 0,\qquad W(x)\leq 0 \] odczytujemy z wykresu wielomianu \(W(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0\) stopnia \(n\geq 3\) albo z siatki znaków.

Zadanie

Rozwiąż nierówność wielomianową:

\(x^3-6x^2+9x\leq0\)
Zaczynamy od rozłożenia wielomianu \(W(x)=x^3-6x^2+9x\) na czynniki. Wyciągamy wspólny czynnik \(x\) przed nawias \[ W(x)=x\left( x^2-6x+9 \right) \] Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i otrzymujemy \[ W(x)=x(x-3)^2 \] Rysujemy wykres wielomianu \(W(x)\), zaczynając z prawej strony nad osią \(Ox\), gdyż współczynnik przy najwyższej potędze tego wielomianu (\(a_3=1\)) jest dodatni. Ponieważ \(0\) jest \(1\)-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), to wykres przecina oś \(Ox\) w tym punkcie, a \(3\) jest jego pierwiastkiem podwójnym, więc wykres w tym punkcie odbija się od osi.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(W(x)\leq 0\) \[ x\in\left(-\infty,0\right>\cup\{3\} \]

\(x^3-x^2-10x-8>0\)

Zaczynamy od rozłożenia wielomianu \(W(x)=x^3-x^2-10x-8\) na czynniki. Ponieważ współczynniki tego wielomianu są liczbami całkowitymi, to zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach całkowitych takich pierwiastków wielomianu \(W(x)\) należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby \(8\) to: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), \(4\), \(-4\), \(8\), \(-8\). Ponieważ \[ W(-1)=-1-1+10-8=0, \] więc \(-1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) i zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x+1\). Podzielimy wielomiany, wykorzystując schemat Hornera.

	\(1\)	\(-1\)	\(-10\)	\(-8\)
\(-1\)	\(1\)	\(-2\)	\(-8\)	\(0\)

Zatem \(W(x)=(x+1)(x^2-2x-8)\), a zadaną nierówność możemy zapisać w postaci \[ (x+1)\left( x^2-2x-8 \right)>0 \] Po rozłożeniu trójmianu kwadratowego \(x^2-2x-8\) na czynniki otrzymujemy \[ (x+1)(x+2)(x-4)>0 \] Sporządzamy siatkę znaków. Miejscami zerowymi wielomianu \(W(x)\) są: \(-2\), \(-1\), \(4\).

	\((-\infty,-2)\)	\((-2,-1)\)	\((-1,4)\)	\((4,\infty)\)
\(x+1\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
\(x+2\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(x-4\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(W(x)\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)

Z siatki znaków odczytujemy rozwiązanie nierówności \(W(x)>0\) \[ x\in\left(-2,-1\right)\cup\left(4,\infty\right) \]

\(x^4-3x^2-4\geq0\)
Zauważmy, że wielomian \(W(x)=x^4-3x^2-4\) ma tylko parzyste potęgi niewiadomej \(x\). Po podstawieniu \(x^2=t\) otrzymujemy nierówność kwadratową \[ t^2-3t-4\geq0 \] Rozkładamy trójmian kwadratowy na czynniki \[ (t+1)(t-4)\geq 0 \] Zatem zadaną nierówność możemy zapisać w postaci \[ \left(x^2+1\right)\left(x^2-4\right)\geq 0 \] Wielomian \(x^2-4\) jest różnicą kwadratów \(x^2-2^2\), więc zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia mamy \[ \left(x^2+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\geq 0 \] Ponieważ czynnik \(x^2+1\) jest zawsze dodatni, możemy więc podzielić obie strony nierówności przez ten czynnik, a nierówność nie zmieni kierunku: \[ \quad\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\geq 0 /:(x^2+1) \] \[ \left(x-2\right)\left(x+2\right)\geq 0 \] Rysujemy parabolę \(y=(x-2)(x+2)\).

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(W(x)\geq 0\) \[ x\in \left(-\infty,-2\right>\cup \left<2,\infty\right) \]

\(-x^3-2x+3>0\)

Rozkładamy wielomian \(W(x)=-x^3-2x+3\) na czynniki. Dzielnikami wyrazu wolnego \(a_0=3\) są liczby: \(1\), \(-1\), \(3\), \(-3\). Ponieważ \[ W(1)=-1-2+3=0, \] to liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\). Podzielimy wielomian \(W(x)\) przez dwumian \(x-1\), wykorzystując schemat Hornera.

	\(-1\)	\(\class{km-czerwony}{0}\)	\(-2\)	\(3\)
\(1\)	\(-1\)	\(-1\)	\(-3\)	\(0\)

Zatem wielomian \(W(x)=(x-1)\left( -x^2-x-3 \right)\), a zadaną nierówność możemy zapisać w postaci \[ (x-1)\left( -x^2-x-3 \right)>0 \] Trójmian kwadratowy \(-x^2-3x-3\) nie ma miejsc zerowych (\(\Delta=-11<0\)) i przyjmuje tylko wartości ujemne, możemy więc podzielić przez niego obie strony nierówności, pamiętając, aby zmienić kierunek nierówności \[ (x-1)\left( -x^2-x-3 \right)>0 /:(-x^2-x-3) \] \[ x-1<0, \] czyli \(x<1\). Rozwiązaniem nierówności \(W(x)>0\) jest \(x\in\left(-\infty,1\right)\).

\((x-1)^2(x+2)(x-3)^3< 0\)
Rysujemy wykres wielomianu \(W(x)=(x-1)^2(x+2)(x-3)^3\). Współczynnik przy najwyższej potędze tego wielomianu jest dodatni, zatem rysowanie zaczynamy do prawej strony nad osią \(Ox\). Liczba \(1\) jest \(2\)-krotnym pierwiastkiem, więc wykres odbija się w tym punkcie od osi \(Ox\). Liczby \(-2\) i \(3\) są pierwiastkami o nieparzystej krotności, więc wykres w tych punktach przecina oś \(Ox\), jak na poniższym rysunku.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(W(x)<0\): \[ x\in\left(-2,1\right)\cup \left(1,3\right)=\left(-2,3\right)\backslash \left\{1\right\} \]

\((x+3)^2(2-x)(x-4)^5(x-5)^4 \geq 0\)

Sporządzamy siatkę znaków. Miejscami zerowymi wielomianu \(W(x)=(x+3)^2(2-x)(x-4)^5(x-5)^4\) są: \(-3\), \(2\), \(4\), \(5\). Czynników \((x+3)^2\), \((x-5)^4\) nie musimy uwzględniać w tabelce, ponieważ przyjmują zawsze wartości nieujemne.

	\((-\infty,-3)\)	\((-3,2)\)	\((2,4)\)	\((4,5)\)	\((5,\infty)\)
\(2-x\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)
\((x-4)^5\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
\(W(x)\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)

Z siatki znaków odczytujemy rozwiązanie nierówności \(W(x)\geq 0\), uwzględniając miejsca zerowe wielomianu \(W(x)\): \[ x\in\left<2,4\right>\cup \{-3,5\} \]

\(-2(x+2)(x+1)(x-1)^2(x-3)^6 < 0\)
Rysujemy wykres wielomianu \(W(x)=-2(x+2)(x+1)(x-1)^2(x-3)^6 \). Współczynnik przy najwyższej potędze tego wielomianu jest ujemny (z uwagi na pierwszy czynnik \(-2\)), więc rysowanie zaczynamy do prawej strony z dołu. Liczby \(1\) i \(3\) są pierwiastkami o parzystej krotności, zatem wykres odbija się w tych punktach od osi \(Ox\). Liczby \(-2\) i \(-1\) są pierwiastkami o nieparzystej krotności, dlatego wykres w tych punktach przecina oś \(Ox\), jak na poniższym rysunku.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \(W(x)<0\) \[ x\in\left(-\infty,-2\right)\cup \left(-1,1\right)\cup\left(1,3\right)\cup\left(3,\infty\right), \] które możemy zapisać w równoważnej postaci \[ x\in\left(-\infty,-2\right)\cup \left(-1,\infty\right)\backslash\{1,3\} \]