matematyka : Równania i nierówności wielomianowe

Wielomianem rzeczywistym stopnia

$n$

$(n\in \mathbb{N}\cup\{0\})$ nazywamy funkcję

$W:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ określoną za pomocą wzoru

$W(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0,$ gdzie

$a_k \in \mathbb{R}$ dla

$0\leq k \leq n$ oraz

$a_n\not=0$ .

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu
Jeżeli liczba całkowita

$p\not=0$ jest pierwiastkiem wielomianu

$W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0$ o współczynnikach całkowitych, to

$p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego

$a_0$ .

Kwadrat różnicy

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

Różnica kwadratów

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Równania i nierówności wielomianowe

Z definicji wielomianu wiemy, że dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Zatem dziedziną równania wielomianowego jest zawsze zbiór

$D=\mathbb{R},$ o ile w treści zadania nie podano inaczej. Ponieważ równaniami liniowymi i kwadratowymi zajmowaliśmy się już wcześniej, dlatego będziemy teraz rozważać tylko równania stopnia większego lub równego

$3$ . Równanie wielomianowe postaci

$W(x)=0$ , gdzie

$W(x)$ jest wielomianem stopnia

$n\geq 3$ , można rozwiązać za pomocą rozkładu wielomianu

$W(x)$ na czynniki. Jeżeli wielomian

$W(x)$ ma rozkład na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne postaci

$W(x)=W_1(x)\cdot W_2(x) \cdot \ldots \cdot W_k(x),$ to równanie

$W(x)=0$ można zapisać w postaci równoważnej:

$W_1(x)=0\qquad\vee\qquad W_2(x)=0\qquad\vee\qquad \ldots \qquad\vee\qquad W_k(x)=0$ Rozwiązania równań

$W_1(x)=0,\qquad W_2(x)=0,\qquad \ldots \qquad W_k(x)=0$ są zatem rozwiązaniami równania

$W(x)=0$ .

Zadanie

Rozwiąż równanie wielomianowe:

$x^3+x^2+4x+4=0$
Lewą stronę równania rozkładamy na czynniki, grupując wyrazy: $x^2(x+1)+4(x+1)=0$ $(x+1)(x^2+4)=0$ Ponieważ wielomian $x^2+4$ jest nierozkładalny, więc jedynym rozwiązaniem równania jest $x=-1$ .

$x^3-7x+6=0$

Rozkładamy wielomian

$W(x)=x^3-7x+6$ na czynniki. Ponieważ współczynniki wielomianu

$W(x)$ są liczbami całkowitymi, to zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach całkowitych takich pierwiastków wielomianu

$W(x)$ należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby

$6$ to:

$1$ ,

$-1$ ,

$2$ ,

$-2$ ,

$3$ ,

$-3$ ,

$6$ ,

$-6$ . Ponieważ

$\zielony{\boldsymbol{W(1)=1-7+6=0}},$ więc

$1$ jest pierwiastkiem wielomianu

$W(x)$ i zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian

$W(x)$ jest podzielny przez dwumian

$x-1$ . Podzielimy wielomiany, wykorzystując schemat Hornera.

	$1$	$\czerwony{\boldsymbol 0}$	$-7$	$6$
$1$	$1$	$1$	$-6$	$0$

Zatem równanie

$W(x)=0$ możemy zapisać w postaci

$(x-1)\left( x^2+x-6 \right)=0$ Jeśli rozłożymy trójmian kwadratowy na czynniki, otrzymamy

$(x-1)(x-2)(x+3)=0$ Równanie to można zapisać równoważnie w postaci:

$x-1=0 \quad \vee \quad x-2=0 \quad \vee \quad x+3=0$ Zatem rozwiązaniami równania

$W(x)=0$ są liczby:

$1$ ,

$2$ ,

$-3$ .

$x^4 -5x^3 +4x^2 + 3x + 9=0$

Rozkładamy wielomian

$W(x)=x^4 -5x^3 +4x^2 + 3x + 9$ na czynniki. Ponieważ współczynniki wielomianu

$W(x)$ są liczbami całkowitymi, to pierwiastków całkowitych wielomianu

$W(x)$ należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby

$9$ to:

$1$ ,

$-1$ ,

$3$ ,

$-3$ ,

$9$ ,

$-9$ . Ponieważ:

$\eqalignno{ &W(1)=1-5+4+3+9\neq 0 \cr &W(-1)=1+5+4-3+9\neq 0 \cr &\zielony{\boldsymbol{W(3)=81-135+36+9+9= 0}}, \cr }$ więc

$3$ jest pierwiastkiem wielomianu

$W(x)$ . Podzielimy wielomian

$W(x)$ przez dwumian

$x-3$ , wykorzystując schemat Hornera.

	$1$	$-5$	$4$	$3$	$9$
$3$	$1$	$-2$	$-2$	$-3$	$0$

Zatem równanie można zapisać w postaci

$(x-3)\left( x^3-2x^2-2x-3 \right)=0$ Oznaczmy przez

$W_1(x)$ wielomian

$x^3-2x^2-2x-3$ . Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu

$W_1(x)$ to:

$1$ ,

$-1$ ,

$3$ ,

$-3$ . Skoro

$W(1)\neq 0$ oraz

$W(-1)\neq 0$ , to obliczamy

$W_1(3)$ . Ponieważ

$W_1(3)=27-18-6-3=0,$ więc

$3$ jest pierwiastkiem wielomianu

$W_1(x)$ . Podzielimy wielomian

$W_1(x)$ przez dwumian

$x-3$ , wykorzystując schemat Hornera.

	$1$	$-2$	$-2$	$-3$
$3$	$1$	$1$	$1$	$0$

Zatem

$W(x)=(x-3)^2\left( x^2+x+1 \right)$ Ponieważ wielomian

$x^2+x+1$ jest nierozkładalny (

$\Delta=-3<0$ ), to jedynym rozwiązaniem równania

$W(x)=0$ jest

$x=3$ .

Aby narysować wykres wielomianu

$W(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x + a_0,$ wykonujemy poniższe czynności:

Rozkładamy wielomian $W(x)$ na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne.
Zaznaczamy na osi $Ox$ miejsca zerowe wielomianu $W(x)$ , będące miejscami zerowymi czynników liniowych jego rozkładu.
Rysowanie wykresu zawsze rozpoczynamy od prawej strony. Jeżeli współczynnik $a_n$ wielomianu $W(x)$ jest dodatni, to dla argumentów większych od największego miejsca zerowego wielomian $W(x)$ przyjmuje wartości dodatnie, dlatego zaczynamy rysunek nad osią $Ox$ . W przeciwny przypadku, gdy $a_n<0$ , wartości wielomianu $W(x)$ są ujemne i rysunek zaczynamy pod osią $Ox$ , jak na poniższym rysunku.

Początek wykresu wielomianu
Jeżeli liczba $x_0$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ o parzystej krotności, to wielomian $W(x)$ przyjmuje wartości tego samego znaku dla argumentów leżących po obu stronach $x_0$ . Wykres odbija się zatem od osi $Ox$ w punkcie $x_0$ , jak na pierwszym z poniższych rysunków. Jeżeli natomiast $x_0$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ o nieparzystej krotności, to wartości wielomianu $W(x)$ są różnych znaków dla argumentów leżących po dwóch różnych stronach $x_0$ . Wykres przechodzi wówczas przez oś $Ox$ w punkcie $x_0$ , jak na drugim z poniższych rysunków.

Pierwiastek parzystokrotny

Pierwiastek nieparzystokrotny

Przykład

Narysujemy wykres wielomianu

$W(x)=-2x^2(x-2)(x+1)^3(x-1)^4\left( x^2+x+1\right)$ Wielomian

$W(x)$ jest już rozłożony na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne, dlatego zaczynamy od zaznaczenia na osi

$Ox$ jego miejsc zerowych, tzn.

$-1$ ,

$0$ ,

$1$ i

$2$ .

Rysunek przedstawiający miejsca zerowe wielomianu na osi liczbowej.

Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu

$W(x)$ wynosi

$-2$ , to rysowanie rozpoczynamy od prawej strony pod osią

$Ox$ . Wartości wielomianu

$W(x)$ są ujemne aż do największego z miejsc zerowych tego wielomianu, tzn. do

$2$ .

Rysunek przedstawiający pierwszy fragment wykresu wielomianu (dla x większego lub równego 2).

Skoro

$2$ jest

$1$ -krotnym pierwiastkiem tego wielomianu, to wykres przechodzi nad oś

$Ox$ . Wartości wielomianu

$W(x)$ są dodatnie aż do następnego miejsca zerowego, czyli do

$1$ .

Rysunek przedstawiający fragment wykresu wielomianu (dla x większego lub równego 1).

Liczba

$1$ jest

$4$ -krotnym pierwiastkiem

$W(x)$ , więc wykres pozostaje nad osią

$Ox$ („odbija” od osi

$Ox$ ) aż do kolejnego,

$2$ -krotnego pierwiastka wielomianu, którym jest

$0$ .

Rysunek przedstawiający fragment wykresu wielomianu (dla x większego lub równego 0).

Wykres wielomianu

$W(x)$ wciąż pozostaje nad osią

$Ox$ do ostatniego,

$3$ -krotnego pierwiastka, czyli do liczby

$-1$ .

Z uwagi na nieparzystą krotność tego pierwiastka wartości wielomianu

$W(x)$ dla liczb mniejszych od

$-1$ zmienią znak, więc wykres przechodzi pod oś

$Ox$ . Zatem wykresu wielomianu

$W(x)=-2x^2(x-2)(x+1)^3(x-1)^4\left( x^2+x+1\right)$ jest następujący

Rysunek przedstawiający kompletny wykresu wielomianu.

Wiemy już, jak narysować wykres wielomianu, z którego możemy odczytać, dla jakich argumentów wielomian przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne. Poznamy teraz inny sposób wyznaczania znaków wartości wielomianu za pomocą tzw. siatki znaków.

Przykład

Za pomocą siatki znaków wyznaczymy przedziały, w których wielomian

$W(x)=(x+1)^3\left(x^2+1\right)(x+3)^5(x-2)^2(x-1)$ przyjmuje wartości dodatnie oraz ujemne. Ponieważ wielomian

$W(x)$ jest już rozłożony na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne, dlatego możemy odczytać jego miejsca zerowe:

$-3$ ,

$-1$ ,

$1$ ,

$2$ . Na ich podstawie wyznaczamy przedziały, w których należy ustalić znak wielomianu:

$(-\infty,-3),\quad (-3,-1),\quad (-1,1),\quad (1,2),\quad (2,\infty)$ Przedziały te umieszczamy w pierwszym wierszu siatki znaków, zostawiając pierwszą komórkę pustą. W pierwszej kolumnie (pomijając pierwszą komórkę) wypisujemy czynniki wielomianu

$W(x)$ :

$(x+1)^3,\quad \left(x^2+1\right),\quad (x+3)^5,\quad (x-2)^2,\quad (x-1),$ a jako ostatni wpisujemy wielomian

$W(x)$ . Tak otrzymujemy szkielet siatki znaków.

	$(-\infty,-3)$	$(-3,-1)$	$(-1,1)$	$(1,2)$	$(2,\infty)$
$(x+1)^3$
$x^2+1$
$(x+3)^5$
$(x-2)^2$
$x-1$
$W(x)$

Wewnętrzne komórki tabelki (oprócz ostatniego wiersza) uzupełniamy znakami, jakie przyjmują poszczególne czynniki w kolejnych przedziałach. Na przykład w drugim wierszu i trzeciej kolumnie wpiszemy znak minus, gdyż czynnik

$(x+1)^3$ przyjmuje wartości ujemne w przedziale

$(-3,-1)$ .

	$(-\infty,-3)$	$(-3,-1)$	$(-1,1)$	$(1,2)$	$(2,\infty)$
$(x+1)^3$	$-$	$-$	$+$	$+$	$+$
$x^2+1$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$(x+3)^5$	$-$	$+$	$+$	$+$	$+$
$(x-2)^2$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$+$	$+$
$W(x)$

Na koniec wypełniamy ostatni wiersz tabelki, analizując poprzednie zapisy w każdej kolumnie z osobna. Jeżeli w danej kolumnie jest nieparzysta liczba minusów, to w ostatnim wierszu tej kolumny wpisujemy minus, w przeciwnym razie wpisujemy plus. Na przykład w drugiej kolumnie ostatniego wiersza wpisujemy minus, ponieważ w tej kolumnie znajdowały się trzy minusy. Ostatni wiersz siatki znaków, stanowi rozwiązanie zadania, gdyż zawiera znaki całego wielomianu

$W(x)$ we wszystkich przedziałach jego dziedziny.

	$(-\infty,-3)$	$(-3,-1)$	$(-1,1)$	$(1,2)$	$(2,\infty)$
$(x+1)^3$	$-$	$-$	$+$	$+$	$+$
$x^2+1$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$(x+3)^5$	$-$	$+$	$+$	$+$	$+$
$(x-2)^2$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$+$	$+$
$W(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$	$+$

Widzimy więc, że:

$\eqalign{W(x)&\lt 0\quad \Longleftrightarrow \quad x\in (-\infty,-3)\cup (-1,1)\cr W(x)&\le 0\quad \Longleftrightarrow \quad x\in (-\infty,-3\rangle \cup \langle -1,1\rangle \cr W(x)&>0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\in (-3,-1)\cup (1,2)\cup (2,\infty )\cr W(x)&\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\in \langle -3,-1\rangle \cup \langle 1,\infty ) \cr}$ Można zauważyć, że czynnik o parzystym wykładniku

$(x-2)^2$ oraz czynnik kwadratowy nierozkładalny

$x^2+1$ w każdym przedziale przyjmują wartości dodatnie, dlatego można je pominąć w siatce znaków. Nie należy jednak pomijać miejsc zerowych takich czynników, zwłaszcza przy ostrych nierównościach. Zatem siatka znaków dla wielomianu

$W(x)$ może zawierać mniej wierszy i wyglądać następująco:

	$(-\infty,-3)$	$(-3,-1)$	$(-1,1)$	$(1,2)$	$(2,\infty)$
$(x+1)^3$	$-$	$-$	$+$	$+$	$+$
$(x+3)^5$	$-$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$+$	$+$
$W(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$	$+$

Z definicji wielomianu wiemy, że dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Zatem dziedziną nierówności wielomianowej jest zawsze zbiór $D=\mathbb{R},$ o ile w treści zadania nie podano inaczej. Ponieważ nierównościami liniowymi i kwadratowymi zajmowaliśmy się już wcześniej, dlatego będziemy teraz rozważać tylko nierówności stopnia $n\ge 3$ . Rozwiązanie nierówności wielomianowych, które przyjmują następujące postaci: $W(x)> 0, \qquad W(x)\geq 0, \qquad W(x)< 0,\qquad W(x)\leq 0$ odczytujemy z wykresu wielomianu $W(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ stopnia $n\geq 3$ albo z siatki znaków.

Zadanie

Rozwiąż nierówność wielomianową:

$x^3-6x^2+9x\leq0$
Zaczynamy od rozłożenia wielomianu $W(x)=x^3-6x^2+9x$ na czynniki. Wyciągamy wspólny czynnik $x$ przed nawias $W(x)=x\left( x^2-6x+9 \right)$ Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i otrzymujemy $W(x)=x(x-3)^2$ Rysujemy wykres wielomianu $W(x)$ , zaczynając z prawej strony nad osią $Ox$ , gdyż współczynnik przy najwyższej potędze tego wielomianu ( $a_3=1$ ) jest dodatni. Ponieważ $0$ jest $1$ -krotnym pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ , to wykres przecina oś $Ox$ w tym punkcie, a $3$ jest jego pierwiastkiem podwójnym, więc wykres w tym punkcie odbija się od osi.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności $W(x)\leq 0$ $x\in\left(-\infty,0\right>\cup\{3\}$

$x^3-x^2-10x-8>0$

Zaczynamy od rozłożenia wielomianu

$W(x)=x^3-x^2-10x-8$ na czynniki. Ponieważ współczynniki tego wielomianu są liczbami całkowitymi, to zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach całkowitych takich pierwiastków wielomianu

$W(x)$ należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby

$8$ to:

$1$ ,

$-1$ ,

$2$ ,

$-2$ ,

$4$ ,

$-4$ ,

$8$ ,

$-8$ . Ponieważ

$W(-1)=-1-1+10-8=0,$ więc

$-1$ jest pierwiastkiem wielomianu

$W(x)$ i zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian

$W(x)$ jest podzielny przez dwumian

$x+1$ . Podzielimy wielomiany, wykorzystując schemat Hornera.

	$1$	$-1$	$-10$	$-8$
$-1$	$1$	$-2$	$-8$	$0$

Zatem

$W(x)=(x+1)(x^2-2x-8)$ , a zadaną nierówność możemy zapisać w postaci

$(x+1)\left( x^2-2x-8 \right)>0$ Po rozłożeniu trójmianu kwadratowego

$x^2-2x-8$ na czynniki otrzymujemy

$(x+1)(x+2)(x-4)>0$ Sporządzamy siatkę znaków. Miejscami zerowymi wielomianu

$W(x)$ są:

$-2$ ,

$-1$ ,

$4$ .

	$(-\infty,-2)$	$(-2,-1)$	$(-1,4)$	$(4,\infty)$
$x+1$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x+2$	$-$	$+$	$+$	$+$
$x-4$	$-$	$-$	$-$	$+$
$W(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$

Z siatki znaków odczytujemy rozwiązanie nierówności

$W(x)>0$

$x\in\left(-2,-1\right)\cup\left(4,\infty\right)$

$x^4-3x^2-4\geq0$
Zauważmy, że wielomian $W(x)=x^4-3x^2-4$ ma tylko parzyste potęgi niewiadomej $x$ . Po podstawieniu $x^2=t$ otrzymujemy nierówność kwadratową $t^2-3t-4\geq0$ Rozkładamy trójmian kwadratowy na czynniki $(t+1)(t-4)\geq 0$ Zatem zadaną nierówność możemy zapisać w postaci $\left(x^2+1\right)\left(x^2-4\right)\geq 0$ Wielomian $x^2-4$ jest różnicą kwadratów $x^2-2^2$ , więc zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia mamy $\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\geq 0$ Ponieważ czynnik $x^2+1$ jest zawsze dodatni, możemy więc podzielić obie strony nierówności przez ten czynnik, a nierówność nie zmieni kierunku: $\quad\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\geq 0 /:(x^2+1)$ $\left(x-2\right)\left(x+2\right)\geq 0$ Rysujemy parabolę $y=(x-2)(x+2)$ .

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności $W(x)\geq 0$ $x\in \left(-\infty,-2\right>\cup \left<2,\infty\right)$

$-x^3-2x+3>0$

Rozkładamy wielomian

$W(x)=-x^3-2x+3$ na czynniki. Dzielnikami wyrazu wolnego

$a_0=3$ są liczby:

$1$ ,

$-1$ ,

$3$ ,

$-3$ . Ponieważ

$W(1)=-1-2+3=0,$ to liczba

$1$ jest pierwiastkiem wielomianu

$W(x)$ . Podzielimy wielomian

$W(x)$ przez dwumian

$x-1$ , wykorzystując schemat Hornera.

	$-1$	$\class{km-czerwony}{0}$	$-2$	$3$
$1$	$-1$	$-1$	$-3$	$0$

Zatem wielomian

$W(x)=(x-1)\left( -x^2-x-3 \right)$ , a zadaną nierówność możemy zapisać w postaci

$(x-1)\left( -x^2-x-3 \right)>0$ Trójmian kwadratowy

$-x^2-3x-3$ nie ma miejsc zerowych (

$\Delta=-11<0$ ) i przyjmuje tylko wartości ujemne, możemy więc podzielić przez niego obie strony nierówności, pamiętając, aby zmienić kierunek nierówności

$(x-1)\left( -x^2-x-3 \right)>0 /:(-x^2-x-3)$

$x-1<0,$ czyli

$x<1$ . Rozwiązaniem nierówności

$W(x)>0$ jest

$x\in\left(-\infty,1\right)$ .

$(x-1)^2(x+2)(x-3)^3< 0$
Rysujemy wykres wielomianu $W(x)=(x-1)^2(x+2)(x-3)^3$ . Współczynnik przy najwyższej potędze tego wielomianu jest dodatni, zatem rysowanie zaczynamy do prawej strony nad osią $Ox$ . Liczba $1$ jest $2$ -krotnym pierwiastkiem, więc wykres odbija się w tym punkcie od osi $Ox$ . Liczby $-2$ i $3$ są pierwiastkami o nieparzystej krotności, więc wykres w tych punktach przecina oś $Ox$ , jak na poniższym rysunku.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności $W(x)<0$ : $x\in\left(-2,1\right)\cup \left(1,3\right)=\left(-2,3\right)\backslash \left\{1\right\}$

$(x+3)^2(2-x)(x-4)^5(x-5)^4 \geq 0$

Sporządzamy siatkę znaków. Miejscami zerowymi wielomianu

$W(x)=(x+3)^2(2-x)(x-4)^5(x-5)^4$ są:

$-3$ ,

$2$ ,

$4$ ,

$5$ . Czynników

$(x+3)^2$ ,

$(x-5)^4$ nie musimy uwzględniać w tabelce, ponieważ przyjmują zawsze wartości nieujemne.

	$(-\infty,-3)$	$(-3,2)$	$(2,4)$	$(4,5)$	$(5,\infty)$
$2-x$	$+$	$+$	$-$	$-$	$-$
$(x-4)^5$	$-$	$-$	$-$	$+$	$+$
$W(x)$	$-$	$-$	$+$	$-$	$-$

Z siatki znaków odczytujemy rozwiązanie nierówności

$W(x)\geq 0$ , uwzględniając miejsca zerowe wielomianu

$W(x)$ :

$x\in\left<2,4\right>\cup \{-3,5\}$

$-2(x+2)(x+1)(x-1)^2(x-3)^6 < 0$
Rysujemy wykres wielomianu $W(x)=-2(x+2)(x+1)(x-1)^2(x-3)^6$ . Współczynnik przy najwyższej potędze tego wielomianu jest ujemny (z uwagi na pierwszy czynnik $-2$ ), więc rysowanie zaczynamy do prawej strony z dołu. Liczby $1$ i $3$ są pierwiastkami o parzystej krotności, zatem wykres odbija się w tych punktach od osi $Ox$ . Liczby $-2$ i $-1$ są pierwiastkami o nieparzystej krotności, dlatego wykres w tych punktach przecina oś $Ox$ , jak na poniższym rysunku.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności $W(x)<0$ $x\in\left(-\infty,-2\right)\cup \left(-1,1\right)\cup\left(1,3\right)\cup\left(3,\infty\right),$ które możemy zapisać w równoważnej postaci $x\in\left(-\infty,-2\right)\cup \left(-1,\infty\right)\backslash\{1,3\}$