Wzór skróconego mnożenia \[a^2 - 2ab+b^2=(a - b)^2\]
Część wspólna zbiorów \(\boldsymbol A\) i \(\boldsymbol B\) \[ A\cap B= \{x:\ x\in A\ \wedge\ x\in B\} \]
Alternatywą (sumą logiczną) zdań \(p\) i \(q\) nazywamy zdanie \(p\:{ \vee}\: q\), co czytamy: \(p\) lub \(q\).
Wartości logiczne alternatywy znajdują się w tabelce
\( p\) \( q\) \( p\; { \vee}\: q\)
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych
(czyli funkcji stałych, potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych oraz cyklometrycznych)
za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych (sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu) oraz operacji złożenia funkcji.
Odbicie symetryczne względem osi \(\boldsymbol{Oy}\) fragmentu wykresu funkcji \(\boldsymbol{y=f(x)}\) dla \(\boldsymbol{x>0}\)
Wykres funkcji f.
Wykres otrzymany w wyniku symetrii względem osi Oy części wykresu funkcji f znajdującej się po prawej stronie osi Ox.
Wykresy funkcji \(y=f(x)\) i \(y=f(\vert x\vert )\)
Odbicie symetryczne względem osi \(\boldsymbol{Ox}\) fragmentu wykresu funkcji \(\boldsymbol{y=f(x)}\) dla \(\boldsymbol{y<0}\)
Wykres funkcji f.
Wykres otrzymany w wyniku symetrii względem osi Oy części wykresu funkcji f znajdującej się po prawej stronie osi Ox.
Wykresy funkcji \(y=f(x)\) i \(y=|f(x)|\)

Graficzne rozwiązywanie nierówności

W poprzednich rozdziałach matematyki elementarnej poświęconych poszczególnym rodzajom funkcji rozwiązywaliśmy nierówności w sposób algebraiczny. Teraz zajmiemy się graficzną metodą rozwiązywania różnego rodzaju nierówności i układów nierówności. Przyjmijmy zatem, że jeżeli nierówność jest:
  • ostra (\(\lt\), \(\gt\)), to brzeg jej zbioru rozwiązań będziemy rysować linią przerywaną,
  • nieostra (\(\le\), \(\ge\)), to brzeg jej zbioru rozwiązań będziemy rysować linią ciągłą.
W przypadku układów nierówności zbiorem rozwiązań jest część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich nierówności danego układu, dlatego w punkcie przecięcia brzegów tych zbiorów będziemy rysować:
  • Rysunek przedstawiający otwartą kropkę., gdy ten punkt nie spełnia przynajmniej jednej z nierówności układu,
  • Rysunek przedstawiający zamkniętą kropkę., gdy ten punkt spełnia wszystkie nierówności układu.
Rozpoczniemy od nierówności liniowej i kwadratowej, aby zauważyć, na czym polega graficzne rozwiązywanie nierówności.
Przykład

Rozwiążemy graficznie nierówność \[2x+y\geq 1\]

Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Przekształcamy nierówność, zostawiając po lewej stronie tylko niewiadomą \(y\) \[ y\geq-2x+1 \] Otrzymana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[y=-2x+1\quad\vee\quad y\gt -2x+1\] Narysujmy więc pomocniczy wykres funkcji liniowej \(y=-2x+1\). Wiemy, że jej miejsce zerowe to \(x_0={1\over 2}\), a wyraz wolny \(b=1\). Prosta o równaniu \(y=-2x+1\) przechodzi więc przez punkty \(\left({1\over 2},0\right)\) i \(\left(0,1\right)\), jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający pomocniczy wykres funkcji.
Punkty leżące na tej prostej spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru rozwiązań tej nierówności. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym prosta będzie narysowana linią ciągłą. Widzimy, że prosta ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte półpłaszczyzny (pod i nad prostą). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność ostrą \(y\gt-2x+1\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej półpłaszczyzny. Na przykład punkt \(A(0,0)\) nie spełnia nierówności \(y\gt-2x+1\). Zatem punkty z półpłaszczyzny pod prostą, do której należy punkt \(A\), nie należą do zbioru rozwiązań nierówności \(y>-2x+1\). Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. \(B(1,1)\), że punkty leżące nad prostą spełniają nierówność \(y>-2x+1\).
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(y\ {\czerwony{\boldsymbol\ge }}\ -2x+1\) jest półpłaszczyzna domknięta położona nad prostą o równaniu \(y=-2x+1\) oraz na tej prostej, zaznaczona na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
Przykład

Rozwiążemy graficznie nierówność \[y\lt x^2\]

Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Po zastąpieniu występującego w niej znaku nierówności znakiem równości otrzymujemy równość \(y=x^2\), dlatego narysujmy pomocniczo parabolę będącą wykresem funkcji \(y=x^2\).
Rysunek przedstawiający pomocniczy wykres funkcji.
Punkty leżące na tej paraboli nie spełniają zadanej nierówności ostrej, więc nie należą do zbioru rozwiązań tej nierówności. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym parabola będzie narysowana linią przerywaną. Widzimy, że parabola ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (pod i nad parabolą). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność \(y\lt x^2\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo punkt \(A(0,-1)\) spełnia nierówność \(y\lt x^2\). Zatem punkty z płaszczyzny leżące pod parabolą, gdzie leży punkt \(A\), należą do zbioru rozwiązań nierówności \(y\lt x^2\). Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. \(B(0,1)\), że punkty leżące nad parabolą nie spełniają nierówności \(y\lt x^2\).
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(y\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ x^2\) jest część płaszczyzny położona pod parabolą, jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
Z powyższych przykładów wynika, że aby rozwiązać graficznie nierówność postaci: \[y\lt f(x),\qquad y\gt f(x),\qquad y\le f(x),\qquad y\ge f(x),\] gdzie \(f(x)\) jest dowolną funkcją elementarną, trzeba uwzględnić jej dziedzinę i narysować pomocniczy wykres funkcji \(y=f(x)\), której równanie dostajemy po zastąpieniu znaku nierówności (\(\lt\), \(\gt\), \(\le\), \(\ge \)) znakiem równości (\(=\)). Wówczas:
  1. Rozwiązaniami równania postaci \[y\ \czerwony{\boldsymbol {=}}\ f(x)\]są wszystkie punkty leżące na wykresie funkcji \(y=f(x)\), jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
  2. Rozwiązaniami nierówności postaci \[y\ \czerwony{\boldsymbol {\lt}}\ f(x)\]są wszystkie punkty leżące pod wykresem funkcji \(y=f(x)\), jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
  3. Rozwiązaniami nierówności postaci \[y\ \czerwony{\boldsymbol {\gt}}\ f(x)\]są wszystkie punkty leżące nad wykresem funkcji \(y=f(x)\), jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
Zadanie
Rozwiąż graficznie nierówność:
  1. \(-3x+4y < 2\)
    Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Zgodnie z powyższą uwagą, aby wyznaczyć zbiór rozwiązań zadanej nierówności, trzeba ją najpierw uporządkować \[ \ 4y<3x+2 \ /:4 \] \[ y<{3\over 4}x+{1\over 2} \] Widzimy teraz, że do narysowania zbioru rozwiązań zadanej nierówności potrzebny jest wykres funkcji liniowej \(y={3\over 4}x+{1\over 2}\). Jej miejsce zerowe to \(x_0=-{2\over 3}\), a wyraz wolny \(b={1\over 2}\), dlatego wykres tej funkcji przecina osie układu współrzędnych w punktach: \(\left(-{2\over 3},0\right)\) i \(\left(0,{1\over 2}\right)\). Zatem zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(y\ \czerwony{\boldsymbol{\lt}}\ {3\over 4}x+{1\over 2}\) jest część płaszczyzny położona pod wykresem funkcji \(y={3\over 4}x+{1\over 2}\), jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
  2. \(y\geq x^2+1\)
    Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Do narysowania zbioru rozwiązań zadanej nierówności potrzebny jest wykres funkcji kwadratowej \(y=x^2+1\), czyli parabola o wierzchołku w punkcie \((0,1)\) i ramionach skierowanych w górę. Wówczas zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(y\ \czerwony{\boldsymbol{\geq}}\ x^2+1\) jest część płaszczyzny położona nad wykresem funkcji \(y= x^2+1\) oraz na tym wykresie, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
  3. \(y\gt \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}\)
    Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Do narysowania zbioru rozwiązań zadanej nierówności potrzebny jest wykres funkcji \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}\), który otrzymujemy z wykres funkcji wykładniczej \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) w wyniku odpowiedniego przekształcenia (\(y=f(|x|)\)), tzn. przez pozostawienie bez zmian części wykresu funkcji \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) dla \(x\ge 0\) i symetryczne odbicie tego fragmentu względem osi \(Oy\). Wówczas zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(y\ \czerwony{\boldsymbol{\gt}}\ \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}\) jest część płaszczyzny położona nad wykresem funkcji \(y= \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}\), jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
  4. \(y\leq \left|\log_3 x\right|\)
    Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest półpłaszczyzna otwarta \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x\gt 0\ \wedge\ y\in\mathbb{R}\}\) położona na prawo od osi \(Oy\). Zatem zbiór jej rozwiązań narysujemy tylko na tej półpłaszczyźnie. Do narysowania zbioru rozwiązań zadanej nierówności potrzebny jest wykres funkcji \(y=\left|\log_3 x\right|\), który otrzymujemy z wykresu funkcji logarytmicznej \(y=\log_3 x\) w wyniku odpowiedniego przekształcenia (\(y=|f(x)|\)), tzn. przez pozostawienie bez zmian części wykresu funkcji \(y=\log_3 x\) dla \(y\ge 0\) i symetryczne odbicie fragmentu wykresu tej funkcji dla \(y\lt 0\) względem osi \(Ox\). Wówczas zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(y\ \czerwony{\boldsymbol{\leq}}\ \left|\log_3 x\right|\) są wszystkie punkty należące do zbioru \(D\) (na prawo od osi \(Oy\)) i leżace pod wykresem funkcji \(y= \left|\log_3 x\right|\) oraz na tym wykresie, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
W podobny sposób można rozwiązać graficznie nierówność, w której po zamianie na równość otrzymujemy:
  • równanie okręgu o środku w punkcie \(S(0,0)\) i promieniu \(r\gt 0\) \[x^2+y^2=r^2\]
  • równanie elipsy o środku w punkcie \(S(0,0)\) i długości osi wielkiej \(2a\) i osi małej \(2b\), gdy \(a\gt b\), lub odwrotnie – osi wielkiej \(2b\) i osi małej \(2a\), gdy \(a\lt b\) \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1\]
Dziedziną takich nierówności jest zawsze cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\), dlatego nie będziemy już o tym wspominać, rozwiązując kolejne przykłady.
Przykład

Rozwiążemy graficznie nierówność \[ x^2+y^2 \ge 1\]

Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[x^2+y^2= 1\quad\vee\quad x^2+y^2 \gt 1,\] to narysujemy pomocniczo okrąg \[ x^2+y^2= 1 \] o środku w punkcie \(S(0,0)\) i promieniu \(r=1\).
Rysunek przedstawiający pomocniczą krzywą.
Punkty leżące na tym okręgu spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym okrąg będzie narysowany linią ciągłą. Widzimy, że okrąg ten dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (wewnątrz i na zewnątrz okręgu). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność \(x^2+y^2 \gt 1\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo środek okręgu \(S(0,0)\) nie spełnia nierówności \(x^2+y^2 \gt 1\). Zatem punkty płaszczyzny położone wewnątrz okręgu, gdzie leży jego środek, nie należą do zbioru rozwiązań nierówności \(x^2+y^2 \gt 1\). Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. \(P(0,2)\), że punkty leżące na zewnątrz okręgu spełniają nierówność \(x^2+y^2 \gt 1\).
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(x^2+y^2 \ {\czerwony{\boldsymbol\ge }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona na zewnątrz okręgu oraz na tym okręgu, jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
Przykład

Rozwiążemy graficznie nierówność \[\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\lt 1\]

Wiemy, że po zamianie znaku nierówności na znak równości otrzymujemy równanie elipsy \[\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} = 1\] o środku w punkcie \(S(0,0)\). Ponieważ \(a=2\) i \(b=3\), czyli \(a\lt b\), to oś wielka tej elipsy ma długość \(2b=6\), a oś mała ma długość \(2a=4\). Narysujemy pomocniczo taką elipsę.
Rysunek przedstawiający pomocniczą krzywą.
Punkty leżące na tej elipsie nie spełniają zadanej nierówności ostrej, więc nie należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym elipsa będzie narysowana linią przerywaną. Widzimy, że elipsa ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (wewnątrz i na zewnątrz elipsy). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\lt 1\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo środek elipsy \(S(0,0)\) spełnia nierówność \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\lt 1\). Zatem punkty płaszczyzny położone wewnątrz elipsy, gdzie leży jej środek, należą do zbioru rozwiązań zadanej nierówności. Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. \(P(3,0)\), że punkty leżące na zewnątrz elipsy nie spełniają zadanej nierówności.
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona wewnątrz elipsy, jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
Z powyższych przykładów wynika, że:
  1. Punkty leżące na okręgu o środku \(S(0,0)\) i promieniu \(r\) (\(r>0\)) spełniają równanie \[ x^2+y^2\ {\czerwony{\boldsymbol =}}\ r^2 \]
  2. Punkty leżące wewnątrz okręgu \(x^2+y^2=r^2\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[ x^2+y^2\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ r^2 \]
    Rysunek przedstawiający zbiór rozwiązań powyższej nierówności.
  3. Punkty leżące na zewnątrz okręgu \(x^2+y^2=r^2\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[ x^2+y^2\ {\czerwony{\boldsymbol\gt }}\ r^2 \]
    Rysunek przedstawiający zbiór rozwiązań powyższej nierówności.
Uwaga
Analogiczną uwagę można sformułować również dla elipsy, która jest uogólnieniem okręgu.
Zadanie
Rozwiąż graficznie podane nierówności:
  1. \((x+2)^2+(y+1)^2\leq 4\)
    Widzimy, że zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \((x+2)^2+(y+1)^2\ {\czerwony{\boldsymbol\leq }}\ 4\) jest część płaszczyzny położona wewnątrz okręgu o równaniu \[ (x+2)^2+(y+1)^2= 4 \] oraz na tym okręgu, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
  2. \(x^2-4x+y^2-2y+2>0\)
    Aby wyznaczyć zbiór rozwiązań zadanej nierówności, musimy ją najpierw uporządkować. Stosujemy więc wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i przekształcamy zadaną nierówność tak, aby widoczny był środek i promień okręgu \[ (x-2)^2-4+(y-1)^2-1+2>0 \] \[ (x-2)^2+(y-1)^2>3 \] Widzimy teraz, że zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \((x-2)^2+(y-1)^2\ {\czerwony{\boldsymbol\gt }}\ 3\) jest część płaszczyzny położona na zewnątrz okręgu o środku w punkcie \(S(2,1)\) i promieniu \(r=\sqrt{3}\), jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
  3. \(4(x-1)^2+2(y+2)^2\geq 8\)
    Aby wyznaczyć zbiór rozwiązań zadanej nierówności, musimy ją najpierw uporządkować tak, aby widoczny był środek i osie elipsy \[ 4(x-1)^2+2(y+2)^2\geq 8\ \Big/:8\] \[ \frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(y+2)^2}{4}\geq 1 \] Widzimy teraz, że po zamianie znaku nierówności na znak równości otrzymujemy równanie elipsy \[\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(y+2)^2}{4} = 1\] o środku w punkcie \(S(1,-2)\). Ponieważ \(a=\sqrt 2\) i \(b=2\), czyli \(a\lt b\), to oś wielka tej elipsy ma długość \(2b=4\), a oś mała ma długość \(2a=2\sqrt 2\). Zatem zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(y+2)^2}{4}\ {\czerwony{\boldsymbol\ge }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona na zewnątrz elipsy o środku w punkcie \(S(1,-2)\) oraz na tej elipsie, jak na poniżeszym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
W podobny sposób można również rozwiązać graficznie nierówność, w której po zamianie na równość otrzymujemy:
  • równanie hiperboli o ogniskach w punktach: \(F_1(-c,0)\), \(F_2(c,0)\), wierzchołkach w punktach: \(A_1(-a,0)\), \(A_2(a,0)\), gdzie \(0\lt a\lt c\) i \(b^2=c^2-a^2\) \[{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2} = 1\]
  • równanie paraboli o ognisku w punkcie \(F(\frac{1}{4a},0)\), kierownicy o równaniu \(x=-\frac{1}{4a}\) i wierzchołku w punkcie \(W(0,0)\) \[x=ay^2\]
Dziedziną takich nierówności jest zawsze cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\), dlatego nie będziemy już o tym wspominać, rozwiązując kolejne przykłady.
Przykład

Rozwiążemy graficznie nierówność \[{x^2\over 4}-{y^2\over 2} \le 1\]

Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[{x^2\over 4}-{y^2\over 2} = 1\quad\vee\quad {x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1,\] to narysujemy pomocniczo hiperbolę \[ {x^2\over 4}-{y^2\over 2} = 1,\] która ma wierzchołki w punktach: \(A_1(-2,0)\), \(A_2(2,0)\) oraz asymptoty o równaniach: \(y={\sqrt{2}\over 2}x\) i \(y=-{\sqrt{2}\over 2}x\).

Rysunek przedstawiający pomocniczą krzywą.
Punkty leżące na tej hiperboli spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym hiperbola będzie narysowana linią ciągłą. Widzimy, że hiperbola ta dzieli płaszczyznę na trzy otwarte części (jedną pomiędzy gałęziami hiperboli i dwie poza nimi). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność \({x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo środek odcinka łączącego wierzchołki hiperboli \(S(0,0)\) spełnia nierówności \({x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1\). Zatem punkty płaszczyzny położone pomiędzy gałęziami hiperboli, gdzie leży punkt \(S\), należą do zbioru rozwiązań nierówności \({x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1\). Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. \(P(-3,0)\) i \(Q(3,0)\), że punkty leżące w obu częściach płaszczyzny poza gałęziami hiperboli nie spełniają nierówność \({x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1\).
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \({x^2\over 4}-{y^2\over 2} \ {\czerwony{\boldsymbol\le }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona pomiędzy gałęziami hiperboli oraz na tej hiperboli, jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
Uwaga
Z powyższego przykładu wynika, że:
  1. Punkty leżące na hiperboli o ogniskach w punktach: \(F_1(-c,0)\), \(F_2(c,0)\), wierzchołkach w punktach: \(A_1(-a,0)\), \(A_2(a,0)\), gdzie \(0\lt a\lt c\) i \(b^2=c^2-a^2\), spełniają równanie \[ {x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}\ {\czerwony{\boldsymbol =}}\ 1\]
  2. Punkty leżące pomiędzy gałęziami hiperboli \({x^2\over a^2}-{y^2\over b^2} = 1\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}\ {\czerwony{\boldsymbol \lt}}\ 1 \]
    Rysunek przedstawiający zbiór rozwiązań powyższej nierówności.
  3. Punkty leżące na zewnątrz hiperboli \({x^2\over a^2}-{y^2\over b^2} = 1\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}\ {\czerwony{\boldsymbol \gt}}\ 1 \]
    Rysunek przedstawiający zbiór rozwiązań powyższej nierówności.
Przykład

Rozwiążemy graficznie nierówność \[x\le y^2\]

Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[x=y^2\quad\vee\quad x\lt y^2,\] to narysujemy pomocniczo parabolę \(x=y^2\) o ognisku w punkcie \(F({1\over 4},0)\), kierownicy o równaniu \(x=-{1\over 4}\) i wierzchołku w punkcie \(W(0,0)\), której ramiona skierowane są w prawo.
Rysunek przedstawiający pomocniczą krzywą.
Punkty leżące na tej paraboli spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym parabola będzie narysowana linią ciągłą. Widzimy, że parabola ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (na lewo i na prawo od paraboli). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność \(x\lt y^2\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo punkt \(P(-1,0)\) spełnia nierówność \(x\lt y^2\). Zatem punkty płaszczyzny położone na lewo od paraboli, gdzie leży punkt \(P\), należą do zbioru rozwiązań zadanej nierówności. Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. ogniska \(F({1\over 4},0)\), że punkty leżące na prawo od paraboli nie spełniają zadanej nierówności.
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(x\ {\czerwony{\boldsymbol\le }}\  y^2 \) jest część płaszczyzny położona na lewo od paraboli oraz na tej paraboli, jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
Uwaga
Z powyższego przykładu wynika, że:
  1. Punkty leżące na paraboli o ognisku w punkcie \(F(\frac{1}{4a},0)\), kierownicy o równaniu \(x=-\frac{1}{4a}\) i wierzchołku w punkcie \(W(0,0)\) spełniają równanie \[x\ {\czerwony{\boldsymbol =}}\ ay^2\]
  2. Punkty leżące na lewo od paraboli \(x=ay^2\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[x\ {\czerwony{\boldsymbol \lt}}\ ay^2 \]
    Rysunek przedstawiający zbiór rozwiązań powyższej nierówności.
  3. Punkty leżące na prawo od paraboli \(x=ay^2\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[x\ {\czerwony{\boldsymbol \gt}}\ ay^2 \]
    Rysunek przedstawiający zbiór rozwiązań powyższej nierówności.
Zadanie
Rozwiąż graficznie podane nierówności:
  1. \(\displaystyle y^2 -\frac{x^2}{9} \gt 1\)
    Widzimy, że po zastąpieniu znaku nierówności znakiem równości otrzymujemy równanie \[y^2 -\frac{x^2}{9} = 1,\] które opisuje hiperbolę sprzężoną z hiperbolą \(\frac{x^2}{9}-y^2=1\). Wierzchołkami hiperboli sprzężonej są punkty \(B_1(0,1)\) i \(B_2(0,-1)\), ogniskami punkty \(F_1(0,−\sqrt{10})\) i \(F_2(0,\sqrt{10})\), a jej asymptoty mają równania \(y=\frac{1}{3}x\) i \(y=-\frac{1}{3}x\). Zatem zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(\displaystyle y^2 -\frac{x^2}{9}\ {\czerwony{\boldsymbol\gt }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona na zewnątrz hiperboli sprzężonej o równaniu \(y^2 -\frac{x^2}{9}= 1\), jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający pomocniczą krzywą.
  2. \(\displaystyle {3\left(x-1\right)^2\over 2}-{2\left(y+2\right)^2\over 3} \le 6\)
    Aby wyznaczyć zbiór rozwiązań zadanej nierówności, musimy ją najpierw uporządkować tak, aby widoczne były wierzchołki i asymptoty hiperboli. \[{3\left(x-1\right)^2\over 2}-{2\left(y+2\right)^2\over 3} \le 6\ \Big/:6\] \[{\left(x-1\right)^2\over 4}-{\left(y+2\right)^2\over 9} \le 1\] Widzimy teraz, że po zamianie znaku nierówności na znak równości otrzymujemy równanie hiperboli \[{\left(x-1\right)^2\over 4}-{\left(y+2\right)^2\over 9} = 1\] o wierzchołkach \(A_1(-1,-2)\), \(A_2(3,-2)\) oraz asymptototach \(y={3\over 2}x-{7\over 2}\) i \(y=-{3\over 2}x-{1\over 2}\). Zatem zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \({\left(x-1\right)^2\over 4}-{\left(y+2\right)^2\over 9} \ {\czerwony{\boldsymbol\le }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona pomiędzy gałęziami hiperboli oraz na tej hiperboli, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
  3. \(y^2\gt 4x\)
    Po podzieleniu obu stron zadanej nierówności przez \(4\) widzimy, że zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \[y^2\gt 4x\quad\Longleftrightarrow\quad x\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ \frac{1}{4}y^2\] jest część płaszczyzny położona na lewo od paraboli o równaniu \[x= \frac{1}{4}y^2,\] jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
  4. \(y^2 \lt -2 x + 4\)
    Aby wyznaczyć zbiór rozwiązań zadanej nierówności, musimy ją najpierw uporządkować. \[y^2 \lt -2 x + 4\ \Big/-4\] \[y^2-4 \lt -2 x\ \Big/:(-2)\] \[-\frac{1}{2}y^2+2 \gt x\] Widzimy teraz, że zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(x\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ -\frac{1}{2}y^2+2\) jest część płaszczyzny położona na lewo od paraboli o równaniu \[x=-\frac{1}{2}y^2+2,\] jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
Rozwiążemy teraz metodą graficzną układ nierówności.
Przykład
Rozwiążemy graficznie układ nierówności liniowych \[\left\{\eqalign{4x-y&<-4\cr 4x+2y&\leq2\cr}\right.\] Przekształcamy obie nierówności \[ \left\{\eqalign{-y&<-4x-4 \ /:(-1)\cr 2y&\leq -4x +2\ /:2\cr}\right. \quad \Longleftrightarrow\quad\left\{\eqalign{y&>4x+4 \cr y&\leq -2x +1\cr}\right.\] Widzimy teraz, że rozwiązania nierówności \(y\gt 4x+4\) leżą nad prostą \(y=4x+4\), jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający zbiór rozwiązań pierwszej nierówności układu.
Rozwiązania nierówności \(y\leq -2x +1\) leżą na prostej \(y=-2x +1\) oraz pod tą prostą, jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający zbiór rozwiązań drugiej nierówności układu.
Zatem rozwiązaniem układu \[\cases{y\gt 4x+4\cr y\leq -2x +1 \cr}\] jest część wspólna zbiorów zaznaczonych na obydwu wcześniejszych rysunkach. Ostateczne rozwiązanie zadanego układu nierówności możemy więc narysować w następujący sposób.
Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
Przykład

Rozwiążemy graficznie układ nierówności \[\cases{(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1\cr y>x \cr}\]

Wiemy, że nierówność \((x-1)^2+(y-1)^2\leq 1\) spełniają punkty leżące na okręgu o równaniu \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) i w jego wnętrzu, czyli zbiorem rozwiązań tej nierówności jest koło (zobacz poniższy rysunek).
Rysunek przedstawiający zbiór rozwiązań pierwszej nierówności układu.
Wiemy również, że nierówność \(y>x\) spełniają punkty leżące nad prostą o równaniu \(y=x\), jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający zbiór rozwiązań drugiej nierówności układu.
Zatem rozwiązaniem układu \[\cases{(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1\cr y>x \cr}\] jest część wspólna zbiorów zaznaczonych na obydwu wcześniejszych rysunkach. Ostateczne rozwiązanie zadanego układu nierówności możemy więc narysować w następujący sposób.
Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
Zadanie
Rozwiąż graficznie podane układy nierówności:
  1. \(1<(x+1)^2+(y+1)^2\leq 16\)
    Podwójną nierówność zamieniamy na układ nierówności \[ \left\{ \eqalign{&(x+1)^2+(y+1)^2>1 \cr &(x+1)^2+(y+1)^2\leq 16\cr}\right. \] Wiemy, że pierwszą nierówność \[(x+1)^2+(y+1)^2>1\]spełniają punkty leżące na zewnątrz okręgu o równaniu \((x+1)^2+(y+1)^2=1\).
    Drugą nierówność \[(x+1)^2+(y+1)^2\leq 16\]spełniają punkty leżące na okręgu o równaniu \((x+1)^2+(y+1)^2= 16\) i wewnątrz tego okręgu.
    Zatem graficznym rozwiązaniem całego układu nierówności jest zbiór przedstawiony na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
  2. \(\cases{y^2\geq x+2\cr y>x\cr}\)
    Wiemy, że pierwszą nierówność \[y^2\geq x+2\]spełniają punkty leżące na paraboli o równaniu \(y^2=x+2\) oraz na lewo od tej paraboli.
    Drugą nierówność \[y\gt x\]spełniają punkty leżące powyżej prostej \(y=x\).
    Zatem graficznym rozwiązaniem całego układu nierówności jest zbiór przedstawiony na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.
  3. \(\cases{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}\leq 1\cr \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}\geq 1\cr}\)
    Wiemy, że pierwszą nierówność \[\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}\leq 1\]spełniają punkty leżące na elipsie o równaniu \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}= 1\) oraz wewnątrz tej elipsy.
    Drugą nierówność \[\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}\geq 1\]spełniają punkty leżące na hiperboli \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}= 1\) oraz poza jej gałęziami.
    Zatem graficznym rozwiązaniem całego układu nierówności jest zbiór przedstawiony na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania w układzie współrzędnych.